应用非负数的性质解题

应用非负数的性质解题

长安中学 王尊丰

大于或等于零的实数统称非负数，非负数的类型有：（1）实数的绝对值是非负数；（2）非负数的算术平方根是非负数；

（3）实数的偶次方是非负数。

常用的非负数的性质有：

（1）有限个非负数之和，仍为非负数；

（2）若有限个非负数之和等于零，则每一个非负数必为零。

例1：已知0|72|)1(2=+++--y x y x ，求2x-3y 的值。 分析：有限个非负数的和等于零，则每个非负数都为零。

解：由题意得：⎩

⎨⎧=++=--07201y x y x 解方程组得：⎩⎨

⎧-=-=3

2y x 故2x-3y=5 例2：0|2|12=-+-b a ，则a 2+b 2= 解：∵12-a 与|2|-b 均为非负数。

∴⎩⎨⎧=-=-02012b a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==221b a ∴4

142)21(2222=+=+b a

例3：0||2)1(2=+-++++-c b a b a a ，求代数式ab-c 2的值。 解：∵2)1(2++-b a 、a 与|a-b+c|均为非负数。

∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=-0020

12c b a b a x

解得⎪⎩

⎪⎨⎧-=-==431c b a ∴19)4()3(122-=---⨯=-c ab

例4：若x 、y 、z 均为实数，且x 、y 、z 满足关系0)522(3

134|73|212=+-+-+++-z x z y y x ，求（y-x ）xz 的值。 解：由题意得⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=-+=+-05220340

73z x z y y x 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==-=2112z y x ∴3

13)21()(121

2==+=--⨯-xz x y 例5：求方程145222-=++-y y xy x 的实数解。

分析：应用常规的方法不可能求出方程的实数解，因此，必须将方程变形：0)144()2(222=++++-y y y xy x ，因此，222)(2y x y xy x -=+-，22)12(144+=++y y y ，则0)12()(22=++-y y x ，至此，可应用非负数的性质求解。

解：将原方程变形：0)144()2(222=++++-y y y xy x

0)12()(22=++-y y x

根据非负数性质可得⎩⎨⎧=+=-0

120y y x

∴2

1-==y x

例6：设四边形的四条边分别为a 、b 、c 、d ，且满足等式a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd ，求证这四边形为菱形。

证明：∵ a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd

∴a 4+b 4+c 4+d 4-4abcd=0

024222222242244224=+-++-++-d c abcd b a d d c c b b a a 0)(2)()(2222222=-+-+-cd ab d c b a

∴0)(222=-b a 0)(222=-d c 0)(22=-cd ab 解得a=b=c=d ，∴此四边形为菱形。

解多个元只有一个方程而有求值问题的重要而基本的方法，就是应用非负数的性质，或通过配方变形，应用非负数的性质，列方程组求解。