热力学与统计物理试题及答案

i

中国海洋大学试题答案

填空题（共40 分）

1 . N 个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为 的一个代表点表示。

r ,系统的自由度为（

Nr ）。系统的状态可以用（2Nr ）维r 空间中

2对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为

Q,则每一微观状态出现的概率为（

1/?），系统的熵为

kin ?

玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理 玻色系统和费米系统在满足（

经典极限条件（或e a <<1）或e a >>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。

dU - 7 a ] d * _ 二da l

l

1

给出内能变化的两个原因，其中（

、；|da i ）项描述传热，

（a a i d ；i ）项描述做功。

l

|

(d(E s -E)2

)(如写成 E 2

-(E)2

也得分)。

10.与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数 归一

化条件。 二.计算证明题（每题 10分，共60 分）

0, 3, 2 3, 3 Q ,OOO ,而且都是非简并的，如果系统含有 6个分子，问:

（1）与总能量3 3相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么?

（2） 根据公式0 {a j = -^―n 蛍引计算每种分布的微观态数

''a i

!

1

|

（3） 确定各种分布的概率。 解：能级：

2, 2,

4,

能量值： 0, 3, 2 3, 3 3,

简并度： 1,

1,

1, 1,

分布数：

a 1, a 2, a 3, a 4.

分布$ J 要满足的条件为：一 a i = N = 6

i

' a i = E = 3' ■

专业年级:

学年第2学期

试题名称：热力学与统计物理

（A ）

共2页第1页 学号

姓名

授课教师名杨爱玲 分数

）原理，其中（费米）系统的分布必须满足 0 <

6 .对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（

的能量 U 0=（ 0）,压强 p 0=（ 0）,熵 S 0=（ 0）。 升高 ）;如果温度足够低，则会发生（ 玻色一一爱因斯坦凝聚 ）。这时系统

已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为

1 2 (

P x

2m

2 2 2 -P y ■ P

z ) ■

ax bx

，粒子的平均能量为(2kT — b 2/4a

当温度（很低）或粒子数密度（ 很大）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。 如果系统的分布函数为

P s ，系统在量子态 s 的能量为 E s ,用p s 和E s 表示：系统的平均能量为（

能量涨落为

P s 具有特点（d P s / dt=0或与时间无关等同样的意思也得分 ），同时P s 也满足

1 •假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为

满足上述条件的分布有： A ： [aj _ [5,0, 0,1,0,…？

B ：佝 J = I

4,1,1, 0, 0,

... /

C ： C -「3,3, 0,0,0，…？

6!

1

A

1

= 6

；

5!汇1!

6 !

1 二 30; 4! 1! 1! 6!

1 二 20 3! 3!

R R

1 C

=2 3 4 5 6 - 30 • 20 = 56

(1) 求单粒子的配分函数 Z 1；

(2)

在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在 x 到x + dx , y 到y + dy 内，动量在p x 到

p x + dp x , p y 到p y + dp y 内的分子数dN ; (3) 写出分子按速度的分布； (4) 写出分子按速率的分布。

解: (1)单粒子的配分函数 乙勺=亠[[“対弘入)dxdydp x dp y =$ (2兀mkT )

h 、… h

/、

s^&dxdydp x dP y N 鸟dxdydp x d P y

(2) dN

---------- 2

—— =—— -------------------------------------------- 2——L

h Z 1 h

m 事 2

2

dN v = N( ------------- )e

(v x - V y )dv x dV y

2irkT

(1)温度为T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点; (2 )系统的内能和热容量;

(3)极端高温和极端低温时系统的熵。

2

m v

m 詬

2 二 N ( ------- ) e vdv

2irkT

各分布对应的微观态数为:

所有分布总的微观态数为:

P A

各分布对应的概率为： p B

-门A /'J

= 6/56 = 0.107; = 30 /56 = 0.536; P C

=20 / 56 =0.357;

2 •表面活性物质的分子在液面(面积为

A )上做二维自由运动, 可以看作二维理想气体，设粒子的质量为 m ,总粒子数为N 。

(3)将(1)代入(2),并对dxdy 积分，得分子按速度的分布为

(4)有(3)可得分子按速率的分布为: 2

mv

/ m 、"2kT .

(—)e vdv kT 3 •定域系含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级 £ 1 = 一£ 0, e 2=£ 0，其中e 0大于零且为外参量

y 的函数。求:

解：(1)单粒子的配分函数为:

八 e" 乂-" e"二e " e"

l

处于基态的粒子数为:

N 1

N - ■ 1 e -0

N e

e

N

打-'-0 ; Z

e e