2019-2020年山西省名校联考高考理科数学押题卷(5月份)(有答案)
【水印已去除】2019年山西省名师联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2019年山西省名师联盟高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|x≥3﹣2a}，B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a）≥0}，A∪B＝R，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，2] 2．（5分）已知m∈R，复数z 1＝1+3i，z2＝m+2i，且为实数，则m＝（）A．B．﹣C．3D．﹣33．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31B．32C．63D．644．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cong），周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？’’意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．问它的体积是多少？”注：1丈＝10尺，取π＝3）（）A．704立方尺B．2112立方尺C．2115立方尺D．2118立方尺5．（5分）已知向量，满足2+＝（1，2m），＝（1，m），且在方向上的投影是，则实数m＝（）A．B．C．2D．±26．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．240B．264C．274D．2827．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，将函数f （x）的图象向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．函数g（x）为奇函数B．函数g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．函数g（x）为偶函数D．函数g（x）的图象的对称轴为直线x＝kπ+（k∈Z）8．（5分）某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四个等级，其中分数在[60，70）为D等级；分数在[70，80）为C等级；分数在[80，90）为B等级；分数在[90，100]为A等级，考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学毕公寓评估得分的平均数是（）A．80.25B．80.45C．80.5D．80.659．（5分）定义，由集合{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}确定的区域记作Q，由曲线C：y＝min{x，﹣2x+3）和x轴围成的封闭区域记作M，向区域Ω内投掷12000个点，则落入区域M的点的个数为（）A．4500B．4000C．3500D．300010．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+5）＝f（x﹣3），如果当x∈[0，4）时，f（x）＝log2（x+2），则f（766）＝（）A．3B．﹣3C．﹣2D．211．（5分）已知双曲线的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，若对∀x∈（0，e），∃x1，x2∈（0，e）且x1≠x2，使得f（x）＝g（x i）（i＝1，2），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知m∈Z，二项式（m+x）4的展开式中x2的系数比x3的系数大16，则m＝14．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x+2y的最大值为．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（l，2），直线l与抛物线交于相异两点A，B，若△MAB的内切圆圆心为（1，t），则直线l的斜率为．16．（5分）数列{a n}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2sin2（B+C）﹣3cos A ＝0．（1）求角A的大小；，求边长c．18．（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（1）当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当n＝4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°且AD ＝CD，BB1⊥平面ABCD，BB1＝2AB＝2．（1）证明：AC⊥B1D．（2）求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C2：＝1（a＞b＞0）经过点．（1）求椭圆∁l的标准方程；（2）设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l 与椭圆C1有且只有一个公共点，直线l与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：△NAB 面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝．（1）若曲线y＝g（x）在（2，g（2））处的切线方程是y＝ax﹣1，求函数g（x）在[0，3]上的值域；（2）当x＞0时，记函数若函数y＝h（x）有三个零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（α为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设曲线l1，的极坐标方程为，曲线l2的极坐标方程为，求三条曲线C，l1，l2所围成图形的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x﹣5|（a＞0）．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥5；（2）当x∈[a，2a﹣2]时，不等式f（x）≤|x+4|恒成立，求实数a的取值范围．2019年山西省名师联盟高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x≥3﹣2a}，B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a）≥0}＝{x|x≤a﹣1或x≥a}，A⋃B＝R，∴3﹣2a≤a﹣1，解得a≥，∴a的取值范围为[）．故选：C．2．【解答】解：∵z1＝1+3i，z2＝m+2i，∴＝（1+3i）（m﹣2i）＝（m+6）+（3m﹣2）i，则3m﹣2＝0，即m＝．故选：A．3．【解答】解：S2＝a1+a2，S4﹣S2＝a3+a4＝（a1+a2）q2，S6﹣S4＝a5+a6＝（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122＝3（S6﹣15），解得S6＝63故选：C．4．【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r尺，高为h＝11尺，则2πr＝48尺，∴r≈8，∴城堡的体积V＝πr2h＝3×64×11＝2112立方尺．故选：B．5．【解答】解：向量，满足2+＝（1，2m），＝（1，m），可得＝（0，）．在方向上的投影是，可得：＝，解得m＝±2．故选：D．6．【解答】解：几何体是以俯视图为底面的五棱柱，底面看作是边长为6的正方形与一个所在组成，如图：则该几何体的表面积为：（10+6+6+3+5）×6+2×6×6+3×4＝264．故选：B．7．【解答】解：依题意，A＝3，＝＝，所以T＝π，所以ω＝2，又3＝3sin （2×+φ），所以φ＝2kπ﹣，（k∈Z），所以f（x）＝3sin（2x﹣）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得g（x）＝3sin（2x+）．奇偶性，显然g（x）不是奇函数也不是偶函数，A，C错．单调性，由2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，得g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B对．对称性，由2x+＝得，x＝，（k∈Z）故D错．故选：B．8．【解答】解：设分数为变量X，则＝（65×0.015+75×0.040+85×0.020+95×0.025）×10＝80.5．故选：C．9．【解答】解：试验包含的所有事件对应的集合Q＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}，则S Q＝2×1＝2，满足条件的事件为A＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1，且min{x，﹣2x+3}}，即A＝{（x，y）|}，画出函数的图象，如图所示；根据图象，计算所求的概率为P＝＝，所以落入区域M的点的个数为12000×＝4500（个）．故选：A．10．【解答】解：∵f（x+5）＝f（x﹣3）；∴f（x+8）＝f（x）；∴f（x）的周期为8；又x∈[0，4）时，f（x）＝log2（x+2），且f（x）是R上的偶函数；∴f（766）＝f（﹣2+96×8）＝f（﹣2）＝f（2）＝log24＝2．故选：D．11．【解答】解：如图，不妨设直线l的斜率为﹣，∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．12．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e），∴f（x）min＝f（）＝＝，f（x）max→f（0）＝5，∴对∀x∈（0，e），f（x）的值域为[，5），g′（x）＝a﹣＝，当a≤0时，g′（x）＜0，与题意不符，∴a＞0，令g′（x）＝0，得x＝，则∈（0，e），∴g（x）min＝g（）＝1+lna，作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，如图，观察图形得到：，解得．∴实数a的取值范围是[，）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解答】解：展开式的通项公式为T k+1＝C m4﹣k x k，则展开式中x2的系数为C m2，x3的系数为C m，若展开式中x2的系数比x3的系数大16，即C m2﹣C m＝16，即6m2﹣4m﹣16＝0，得3m2﹣2m﹣8＝0得（m﹣2）（3m+4）＝0得m＝2或m＝﹣（舍），故答案为：2．14．【解答】解：作出实数x，y满足，对应的平面区域；由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点B时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，得B（2，2），此时z的最小值为z＝2+2×2＝6，故答案为：6．15．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（l，2），可得2p＝4，即抛物线为y2＝4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程设为y＝kx+m，联立抛物线方程可得k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，可得x1+x2＝，x1x2＝，直线l与抛物线交于相异两点A，B，若△MAB的内切圆圆心为（1，t），即x＝1为∠AMB的对称轴，可得k MA+k MB＝0，即有+＝0，即为（x2﹣1）（kx1+m﹣2）+（x1﹣1）（kx2+m﹣2）＝0，化为2kx1x2+4﹣2m+（m﹣2﹣k）（x1+x2）＝0，即为2k•+4﹣2m+（m﹣2﹣k）（）＝0，化为（k+1）m+（k2﹣k﹣2）＝0，由k+1＝0，且k2﹣k﹣2＝0，可得k＝﹣1．故答案为：﹣1．16．【解答】解：由题意可得a n+1＝a n+n+2，则a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝3+3+4+…+n+1＝3+（n﹣1）（n+4）＝（n+1）（n+2），可得＝＝2（﹣），则++…+＝2（﹣+﹣+…+﹣）＝2（﹣）＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为A+B+C＝π，2sin2（B+C）﹣3cos A＝0，所以：2sin2A﹣3cos A＝0，2（1﹣cos2A）﹣3cos A＝0，…2分所以：2cos2A+3cos A﹣2＝0，即（2cos A﹣1）（cos A+2）＝0，…4分因为：cos A∈（0，1），所以：cos A＝，…5分因为：A∈（0，π），所以：A＝…6分（2）因为sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝+×＝， (9)分又在△ABC中，由正弦定理，可得：＝，解得：c＝…12分18．【解答】解：（1）对于一个坑而言，要补种的概率为+＝．有3个坑需要补种的概率为：×，要使×最大，只须，解得5≤n≤7，∵n∈N*，故n＝5，6，7．∵＝＝＞＝，所以当n为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大．最大概率为．（2）n＝4时，要补播种的坑的个数X的所有的取值分别为0，1，2，3，4，X～B（4，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝．所以随机变量X的分布列为：所以X的数学期望E（X）＝4×＝2．19．【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°，∴AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDB1，又B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D．（2）解：由（1）可知∠ADB＝∠ADC＝30°，∴∠ABO＝60°，∴OB＝AB＝，BD＝2AB＝2，∴OD＝，OC＝OA＝．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则B（，0，0），D（﹣，0，0），C1（0，，2），B1（，0，2），∴＝（﹣，，2），＝（﹣2，0，﹣2），＝（﹣，，0），设平面B1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令y＝1可得＝（，1，﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣．∴BC1与平面B1C1D所成角的正弦值为|cos＜＞|＝．20．【解答】（1）解：∵C1的离心率为，∴，即a2＝3b2，将点（）代入，得，联立以上两式可得，a2＝1，．∴椭圆∁l的标准方程为；（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，点M为（1，0）或（﹣1，0），由对称性不妨取M（1，0），由（1）知椭圆C2的方程为，则N（，0），将x＝1代入椭圆C2的方程，得y＝．∴；②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m．联立，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣1＝0．由题意，得△＝（6km）2﹣4（1+3k2）（3m2﹣1）＝0，整理得3m2＝1+3k2．联立，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴|AB|＝＝＝．设M（x0，y0），N（x3，y3），，可得x3＝﹣λx0，y3＝﹣λy0，∵，∴，解得或（舍）．∴，从而|NM|＝．又∵点O到直线l的距离d＝，∴点N到直线l的距离为．∴＝．综上，△NAB面积为定值．21．【解答】解：（1）因为g（x）＝x3+2（1﹣a）x2﹣8x+8a+7，所以g（2）＝+8（1﹣a）﹣16+8a+7＝2a﹣1，解得a＝0，所以g（x）＝2x2﹣8x+7；且g（0）＝7，g（3）＝1，g（2）＝﹣1；所以g（x）在[0，3]上的值域为[﹣1，7]；（2）（i）当a＝0时，g（x）＝2x2﹣8x+7，由g（x）＝0，得x＝2±∈（1，+∞），此时函数y＝h（x）有三个零点，符合题意；（ii）当a＞0时，g′（x）＝2ax2+4（1﹣a）x﹣8＝2a（x﹣2）（x+），由g′（x）＝0，得x＝2，当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，若函数y＝h（x）有三个零点，则需满足g（1）＞0且g（2）＜0，解得0＜a＜；（iii）当a＜0时，g′（x）＝2ax2+4（1﹣a）x﹣8＝2a（x﹣2）（x+），由g′（x）＝0得x1＝2，x2＝﹣，①当﹣＜2，即a＜﹣1时，因为g（x）极大值＝g（2）＝a﹣1＜0，此时函数y＝h（x）至多有一个零点，不符合题意；②当﹣＝2，即a＝﹣1时，因为g′（x）≤0，此时函数y＝h（x）至多有两个零点，不符合题意；③当﹣＞2，即﹣1＜a＜0时，若g（1）＜0，则函数y＝h（x）至多有两个零点，不符合题意；若g（1）＝0，得a＝﹣，因为g（﹣）＝（8a3+7a2+8a+），所以g（﹣）＞0，此时函数y＝h（x）有三个零点，符合题意；若g（1）＞0，得﹣＜a＜0，由g（﹣）＝（8a3+7a2+8a+），记m（a）＝8a3+7a2+8a+，则m′（a）＝24a2+14a+8＞0，所以m（a）＞m（﹣）＞0，此时函数y＝h（x）有四个零点，不符合题意；综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{﹣}∪[0，）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解（1）由条件得圆C的直角坐标方程为：（x﹣）2+（y﹣1）2＝4，得x2+y2﹣2﹣2y＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，即ρ＝2cosθ+2sinθ，则ρ＝4sin（θ+），所以圆C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）．（2）由条件知曲线l1和l2是过原点O的两条射线．设l1和l2分别与圆C交于异于点O 的点A和点B，将θ＝代入圆C的极坐标方程，得A（4，），所以OA＝4；将代入圆C的极坐标方程，得B（2，），所以OB＝2，由（1）得圆C的圆心为C（，1），其极坐标为C（2，），故射线l2经过圆心C，所以∠COA＝﹣＝，∠ACB＝2∠COA＝，所以S COA＝•OC•OA sin∠COA＝•OA•OC•sin＝，扇形CAB的面积为•22＝，故三条曲线C，l1，l2所围成图形的面积为+．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）a＝2时，函数f（x）＝|x+2|+|2x﹣5|＝；所以不等式f（x）≥5可化为，或，或；解得x≤2或x，所以不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤2或x≥}；（2）不等式f（x）≤|x+4|化为|x+a|+|2x﹣5|≤|x+4|，因为x∈[a，2a﹣2]时，2a﹣2＞a，所以a＞2；又x∈[a，2a﹣2]时，x+a＞0，x+4＞0，得x+a+|2x﹣5|≤x+4，不等式恒成立，即|2x﹣5|≤4﹣a在x∈[a，2a﹣2]时恒成立；则不等式恒成立时必须a≤4，且a﹣4≤2x，即2x﹣5≤4﹣a，解得a+1≤2x≤9﹣a；所以，解得1≤a≤；结合2＜a≤4，所以2＜a≤，即实数a的取值范围是（2，]．。
山西省六校高三第四次名校联合考试(百日冲刺)数学(理)试题含答案【精编】.doc
2019-2020年度高三第四次名校联合考试（百日冲刺）数学（理科）六校联考 长治二中、鄂尔多斯一中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数3)1(i z +=的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．i 2-D ．i 22.设集合}06|{2<--=x x x A ，则满足B B A =⋂的集合B 不可能为（ ） A ．}1,0{ B ．)3,0( C ．)2,2(- D ．)1,3(-3.已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237 29148 66252 36936 87203 76621 13990 68514 14225 46427 56788 96297 78822已知甲班有60位同学，编号为60~01号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是（ ）A ．53,18,27,15B ．52,25,02,27C ．22,27,25,14D ．74,18,27,15 4.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x273)(+-=（b 为常数），则=-)2(f （ ）A ．6B ．6- C. 4 D ．4- 5.若41)3sin(=-a π，则=-)62sin(πa （ ） A ．1615 B ．1615- C. 87 D ．87- 6.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤-3313y x y x y x ，则y x z -=2的取值范围为（ ）A ．]3,1[-B ．]6,1[- C. ]5,1[- D ．]6,5[7.已知][x 表示不超过x 的最大整数，如3]4.2[,1]1[,0]4.0[-=-==.执行如图所示的程序框图，则输出的=S （ ）A ．1B ．5 C. 14 D ．15 8.已知曲线)32sin(:π-=x y C ，则下列结论正确的是（ ）A ．把C 向左平移125π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 9.如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为cm 9，高为cm 36.玻璃杯内水深为cm 33，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭.如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为（ ）A ．2900cm πB ．2450cm π C. 2800cm π D ．2400cm π10.已知倾斜角为ο135的直线l 交双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 于B A ,两点，若线段AB 的中点为)1,2(-P ，则C 的离心率是（ ）A ．3B ．2 C.26D ．2511.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．34 B ．1 C. 35D ．2 12.已知函数1222)(2--+-=e a ax e x f x，其中e R a ,∈为自然对数的底数.若函数)(x f 在区间)1,0(内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．)12,2(-eB ．)122,12(2---e e e C. )2,122(22e e e -- D ．)2,2(2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在矩形ABCD 中，2,5==AD AB ，则=+→→||AC AB ． 14.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知1,3,21)62sin(===+b a A π，则=B ．15.已知抛物线y x C 8:2=，直线2:+=x y l 与C 交于N M ,两点，则=|MN | ．16.若)1211)(321(212n n nx x x n x x x +++++++-ΛΛ的展开式的常数项为109，则=n ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在数列}{n a 中，已知)2(22,7213≥-+==-n a a a a n n . （1）证明：}1{+n a 为等比数列； （2）证明：12111++<+∑=n n a ni i . 18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本.称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为]515,510(,],500,495(],495,490(Λ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（1）在上述抽取的20件产品中任取2件，设X 为取到重量超过505克的产品件数，求2=X 的概率；（2）从上述20件产品中任取2件产品，设Y 为取到重量超过505克的产品件数.求Y 的分布列与期望.19. 如图，在直角梯形ABCD 中，BC AB BC AD ⊥,//，且F E AD BC ,,42==分别为DC AB ,的中点，沿EF 把AEFD 折起，使CF AE ⊥，得到如下的立体图形.（1）证明：平面⊥AEFD 平面EBCF ；（2）若EC BD ⊥，求二面角A CD F --的大小.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为)0,1(1-F ，点)22,1(M 在椭圆C 上，经过坐标原点O 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，P 为椭圆C 上一点（P 与B A ,都不重合）. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线AB 的斜率为21-，求ABP ∆的面积的最大值. 21. 已知函数x mx x f ln )(=.（1）当0>m 时，求函数1)()(+-=x x f x F 的单调区间； （2）若对任意的1)(),,0(-≥+∞∈x x f x 恒成立，求m 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 3=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，)0,5(A ，若点P 到直线3)3sin(=-πθρ的距离为437，求ACP ∠的大小.23.选修4-5：不等式选讲 设函数a a x x f 2||)(++=.（1）若不等式1)(≤x f 的解集为}42|{≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式4)(2--≥k k x f 恒成立，求实数k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5BDDAC 6-10BCDAC 11、12：AB 二、填空题13.62 14.6π（或ο30） 15.16 16.10三、解答题17.证明：（1）3,23,72233=∴-==a a a a Θ，)2(212211,1,1211113≥=++=++=∴+=∴----n a a a a a a a n n n n n n ，}1{+∴n a 是首项为2公比为2的等比数列.（2）由（1）知，nn a 21=+，1211211212121212111121<-=--=+++=+∴+=∑n n n ni i a Λ，又111112>++=++n n n ， 故12111++<+∑=n n a ni i . 18. 解：（1）由频率分布直方图可知，重量超过505克的产品件数是6)501.0505.0(20=⨯+⨯⨯，所以383)2(22026===C C X P .（2）Y 的所有可能取值为2,1,0，由（1）知重量超过505克的产品有6件.19091)0(220214===C C Y P ， 9542)1(22011416===C C C Y P ， 383)2(22026===C C Y P ，所以Y 的分布列为953829511900=⨯+⨯+⨯=EY . 19. （1）证明：有题可得AD EF //，则EF AE ⊥， 又CF AE ⊥，且F CF EF =⋂，所以⊥AE 平面EBCF ， 因为⊂AE 平面AEFD ，所以平面⊥AEFD 平面EBCF ，（2）解：过点D 作AE DG //交EF 于点G ，连接BG ，则⊥DG 平面EBCF ，EC DG ⊥. 又D DG BD EC BD =⋂⊥,，所以⊥EC 平面BG EC BDG ⊥,. 易得BEC EGC ∆∆~，则BCEBEB EG =，得22=EB . 以E 为坐标原点，→EB 为x 轴，→EA 为y 轴，→EA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz E -，则)220,0(),04,22(),2220(),030(，，，，，，A C D F . 故)0,1,22(),020(),222,22(--==--=→→→CF AD CD ，，，.设),,(z y x n =→是平面FCD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=⋅=--=⋅→→→→022222022z y x CD n y x CF n令1=x 得)1,22,1(--=→n .设),,(c b a m =→是平面ACD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=⋅==⋅→→→→02222202c b a CD m b AD m同理)1,0,1(=→m .因为0||||,cos =⋅>=<→→→→→→m n mn m n ，所以二面角A CD F --为ο90.20. 解：（1）由已知左焦点)01(1，-F ，右焦点1),0,1(2=-c F . 因为)22,1(M 为椭圆C 上一点，所以22||||221=+=MF MF a ， 所以1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1222=+y x . （2）如图，设),(),,(2211y x B y x A ，直线x y AB 21:-=， 联立方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=122122y x x y ，消去y 得02232=-x ，则)33,332(),33,332(--B A 3152320)3333()332332()()(||22221221==++--=-+-=y y x x AB ，设点)sin ,cos 2(θθP ， 则点P 到直线AB 的距离5|)sin(6|12|sin 2cos 2|2ϕθθθ+=++=d ，当1)sin(±=+ϕθ时，53056max ==d . 所以2530315221||21)(max max =⨯⨯=⋅=∆d AB S OBP .21. 解：（1）因为),0(,1ln 1)()(+∞∈+-=+-=x x x mx x x f x F ， 所以1ln )(-+='m x m x F ， 由0)(>'x F 解得mm e x ->1；0)(<'x F 解得mm ex -<<10.所以)(x F 在),0(1mm e-上单调递减，在),(1+∞-mm e 上单调递增.（2）若122ln 2)2(,0-<=<m f m ，与已知矛盾， 设1ln 1)()(+-=+-=x x mx x x f x h ，若0=m ，则1)(+-=x x h ，显然不满足在),0(+∞上0)(≥x h 恒成立， 当0>m 时，由（1）知要满足在),0(+∞上0)(≥x h 恒成立， 只需01)()(11min ≥-==--mm mm meeh x h .要使上式成立只需m e mm 11≤-成立，两边取自然对数得mm m 1ln 1≤-， 整理得011ln ≤-+mm （*），即此式成立. 令11ln )(-+=m m m g ，则21)(mm m g -='. 显然当10<<m 时，0)(<'m g ，当0>m 时，0)(>'m g . 于是函数)(m g 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增， 所以0)1()(=≥g m g ，当且仅当1=m 时取等号.要使011ln )(≤-+=m m m g （*）成立，必须011ln )(=-+=mm m g ，所以1=m . 综上所述：1=m .22. 解：（1）x y x 3,cos 3,cos 3222=+∴=∴=θρρθρΘ，即∴=+-,49)23(22y x 圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ααsin 23cos 2323y x （α为参数）.（2）由（1）可设)2,0[),sin 23,cos 2323(πθθθ∈+P ， 3)3sin(=-πθρ的直角坐标方程为0323=+-y x ，则P 到直线3)3sin(=-πθρ的距离为437|)3sin(23437|2|32sin 23)cos 2323(3|=--=+-+πθθθ， 3),2,0[,0)3sin(πθπθπθ=∴∈=-∴Θ或34π. 故3π=∠ACP 或32π=∠ACP . 23. 解：（1）因为12||≤++a a x ，所以a a x 21||-≤+， 所以a a x a 2112-≤+≤-，所以a x a 311-≤≤-， 因为不等式1)(≤x f 的解集为}42|{≤≤-x x ， 所以⎩⎨⎧=--=-43121a a ，解得1-=a .（2）由（1）得2|1|)(--=x x f ，不等式4)(2--≥k k x f 恒成立， 只需4)(2min --≥k k x f ，所以422--≥-k k ，即022≤--k k ，所以k 的取值范围是]2,1[-.。
2019-2020年高三5月联考数学理.docx
2019-2020 年高三 5 月联考数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟，（选择题，共 60 分）第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号．考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设 i 为虚数单位，复数1 i的虚部为12iA ．一 11 11B ．一C ．D ．一 i5352．函数 y=lg （ l-x ）的定义域为A ，函数 y=（ 1） x的值域为 B ，则 AB=3A ．（0，1）B ．（ 1，1）C.D ． R33．等比数列 { a n3 4xdx ，则公比 q 的值为}中， a 3=6，前三项和 S 3=A ． l1 1 1B ．一C ．1 或一D ．一 1 或一2224．右图是函数 y=Asin （x+ 5）（x ∈ R ）在区间 [一 ,]66上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将 y= sinx （ x∈ R ）的图象上所有的点A ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩3短到原来的1倍，纵坐标不变2B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变31倍，纵坐标不变C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的62D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变65．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是1 A ．2B ．一2 1C ．— 3D ．—32x 2y 26．已知抛物线 y =2px （ p>0）焦点 F 恰好是双曲线22=ab1（ a>o ， b>o ）的右焦点，且双曲线过点（3a 2, b 2 ，譬），则该双曲pp线的渐近线方程为A ． y=±2xB ．y=± xC ． y=± 5 x15D ． y=±x57．一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm ），则该组合体的体积为A ．32B ．48C ． 56D ． 648．若数列 { a n }满足 a 1=2 为数列 a n +a n+1=2n +2n-1， S n 为数列 { a n }的前 n 项和，则 log 2（ S 2012 +2=A ．2013B ．2012C ． 2011D ．20109．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量 a =（ m ， n ）与向量 b =（ 1， 0）的夹角记为 a ，则 a ∈（ 0，）的概率为45 517 A ．B ．C.D ．1812212 10．二次函数 f （x ）2， +a1 c 1=ax +2x+c （x ∈ R ）的值域为 [0 ），则 aa 的最小值为cA ．2B ．2+ 2C ． 4D ．2十 2 211．盒中装有 6 个零件，其中 4 个是使用过的，另外2 个未经使用，从中任取3 个，若至少有一个是未经使用的不同取法种数是 k ，那么二项式（ l+kx2 ）6的展开式中 x 4 的系数为A ．3600B ．3840C ． 5400D ． 600012．已知 f （ x ）一（1) x 一 log 2x ，实数 a 、 b 、 c 满足 f （ a ） f （ b ） f （ c ） <0，且 0<a<b<c ，若3实数 x 0 是函数 f （ x ）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是A ． x 0<aB ．x 0 >bC ． x 0<cD ． x 0 >c第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0．5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。
2019届高考理科数学百校联盟押题卷3套(含解析)
2019届高考全国统一试卷押题卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，则A B =（ ）A ．{}2x x >-B ．{}21x x -<≤C ．{}2x x ≤-D ．{}1x x ≥【答案】A【解析】∵{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，∴根据集合并集的定义可得{}2A B x x =>-， 故选A ． 2．复数2iiz +=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】∵()()22i i 2i 12i i i z +-+===--， ∴复数2iiz +=在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ． 3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，∴6OA =， ∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．4．设实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x z =-+，直线3y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上截距最小，∴min 3011z =⨯+=，故选A ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行程序框图，1n =时，11133S ==⨯；3n =时，11213355S =+=⨯⨯； 5n =时，11131335577S =++=⨯⨯⨯；7n =时，11114133557799S =+++=⨯⨯⨯⨯， 9n =，满足循环终止条件，退出循环，输出的n 值是9，故选C ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14 C ．7 D ．2【答案】B【解析】∵563542a a a a a +=+=+，∴42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 7．下列判断正确的是（ ）A ．“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件B ．函数()f x =的最小值为2C ．当α，β∈R 时，命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”【答案】C【解析】当4x =-时，2x <-成立，()ln 30x +<不成立，∴A 不正确； 对()2f x =≥1=时等号成立，3，∴()2f x =>，的最小值不为2，∴B 不正确；由三角函数的性质得 “若αβ=，则sin sin αβ=”正确，故其逆否命题为真命题，∴C 正确； 命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，∴D 不正确，故选C ． 8．已知函数()32cos f x x x =+，若(a f =，()2b f =，()2log 7c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】D【解析】∵函数()32cos f x x x =+，∴导数函数()32sin f x x '=-，可得()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数，又∵222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D ．9．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点， 则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） AB ．1CD【答案】C【解析】各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A，)M，)B，()0,1,0N ，()13,1,1A M=-，()BN =，设异面直线1A M 与BN 所成角为θ，则11cos 5A MBN A M BNθ⋅===⋅，∴tan θ=．∴异面直线1A M 与BN C ．10．齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为A ，B ，C ，田忌上等、中等、下等马分别为a ，b ，c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B b ，(),B c ，(),C c ，共6种， ∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C ． 11．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线()0x a a =>对称，且当x a ≥时，()2e x a f x -=． 若A ，B 是函数()f x 图像上的两个动点，点(),0P a ，则当PA PB ⋅的最小值为0时，函数()f x 的最小值为（ ） A ．12e- B ．1e -C ．32e-D ．2e -【答案】B【解析】如图，显然PA PB ⋅的模不为0，故当PA PB ⋅最小值为0时，只能是图中的情况，此时，PA PB ⊥，且PA ，PB 与函数图象相切，根据对称性，易得45BPD ∠=︒， 设()00,B x y ，当x a ≥时，()2e x a f x -'=，∴()020e 1x a f x -'==，∴02x a =， ∵(),0P a ，∴PD a =，∴BD a =，即()2,B a a ，∴22e a a a -=，∴1a =，∴当1x ≥时，()2e x f x -=，递增，故其最小值为1e -，根据对称性可知， 函数()f x 在R 上最小值为1e -．故选B ．12．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当()2233ln ln 3a m n b mn mn⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A ．15BC ．45D【答案】D【解析】(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，则()2220202b a x y a -=，则00y m x a =+，00y n x a =-，∴2202220y b mn x a a==--， ∴()3222222222233ln ln 36ln 236ln 333a a b a a a b m n b bb mn mn b a b b b a a a ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++=-++=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪--⎪⎝⎭， 令1a t b=>，则()322236ln 3f t t t t t =-+-．()()()2322232436t t t t t f t t t -+-+-'==，∴当2t =时，函数()f t 取得最小值()2f ．∴2a b =，∴e =，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:1C x y -=的右焦点为F ，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_____． 【答案】1【解析】双曲线22:1C x y -=的1a b ==，∴c)F，设双曲线的一条渐近线方程为y x =，则F到渐近线的距离为1d ==，故答案为1．14．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是_______．【答案】24【解析】()()4124144C 2C 2rrrr r r r T x x x ---+==，∴240r -=，∴2r =，∴22214C 224T +==．15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，1n n a S +=，*n ∈N ，则5a =_____．【答案】32【解析】n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，1n n a S +=，*n ∈N ，①则当2n ≥时，1n n a S -=，② -①②得1n n n a a a +-=，∴12n na a += (常数）， 则数列{}n a 是从第二项起，公比2的等比数列，求得214a S ==，∴()2224n n a n -=⋅≥，故()()241 422n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩，当5n =时，54832a =⨯=，故答案为32． 16．已知G 为ABC △的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ．若AP AB λ=，则当ABC △与APQ △的面积之比为209时，实数λ的值为________． 【答案】34或35【解析】设AQ xAC =，∵P ，G ，Q 三点共线，∴可设()1AG AP AQ μμ=+-，∴()1AG AB xAC λμμ=+-， ∵G 为ABC △的重心，∴()13AG AB AC =+，∴()11133AB AC AB xAC λμμ+=+-，∴()13113xλμμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相乘得()119x λμμ=-①，∵1sin 21sin 2ABC APQAB AC AS S AP AQ A =△△，920x λ=②，②代入①即()20181μμ=-解得49μ=或59，即35λ=或34，故答案为34或35．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，222b c a +=．（1）求a的值；（2）若1b =，求ABC △的面积． 【答案】（1（2 【解析】（1）由题意，得222b c a +=-．∵2222cos b c a bc A +-=．∴2cos bcA =， ∵π3A =，∴a A == （2）∵a sin sin a b A B =，可得1sin 2B =． ∵a b >，∴π6B=，∴ππ2C A B =--=，∴1sin 2ABC S ab C ==△．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BMD ；（2）当PA =AM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵M ，O 分别为PC ，AC 中点，∴PA MO ∥．∵PA ⊄平面BMD ，MO ⊂平面BMD ，∴PA ∥平面BMD ．（2）如图，取线段BC 的中点H ，连结AH ．∵ABCD 为菱形，π3ABC ∠=，∴AH AD ⊥．分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， ∴()0,0,0A，)1,0B-，)C，(P，12M ⎝⎭．∴312AM ⎛= ⎝⎭，()0,2,0BC =，(3,1,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m ．由0BC PC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得200y y =⎧⎪+=．取1z =，∴()1,0,1=m ．设直线AM 与平面PBC 所成角为θ．∴32sin cos ,AM AM AMθ⋅====⋅m m m ∴直线AM 与平面PBC ． 19．（12分）在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系，经统计得到如下数据：（1）已知销售单价y 与等级代码数值x 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.1)；（2）若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋯⋯，其回归直线y bx a =+的斜率和截距最小二乘估计分别为：1221ˆni i i n ii x y nx y b xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-．参考数据：618440i i i x y ==∑，62125564i i x ==∑．【答案】（1）0.2.9ˆ8y x =+；（2）分布列见解析，1．【解析】（1）由题意，得384858687888636x +++++==，16.818.820.822.82425.821.56y +++++==，616221684406632150.225564663636ˆi i i xy x y b x x ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯⨯-∑∑．，21.50ˆˆ.2638.9a y bx =-=-⨯=． 故所求线性回归方程为0.2.9ˆ8yx =+． （2）由题意，知X 的所有可能取值为0，1，2．∵()023326C C 10C 5P X ===，()113326C C 31C 5P X ===，()203326C C 12C 5P X ===，∴X 的分布列为∴()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=．20．（12分）已知长度为4的线段的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点()0,1H 的直线2y x t =+与曲线C 相交于两点M ，N ．若直线HM 与HN 的斜率之和为1，求实数t 的值．【答案】（1）2219x y +=；（2）3．【解析】（1）设(),P x y ，(),0A m ，()0,B n ．∵3BP PA =，∴()()(),3,33,3x y n m x y m x y -=--=--，即333x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，∴434m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩，又4AB =，∴2216m n +=．从而221616169x y +=．∴曲线C 的方程为2219x y +=．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立22219y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()223736910x tx t ++-=． 由()()2236437910t t ∆=-⨯⨯->，可得t <又直线2y x t =+不经过点()0,1H ，且直线HM 与HN 的斜率存在， ∴1t ≠±，∴t 1t ≠±．∴123637tx x +=-，2129937t x x -=．∵()()12121212124111HM HNx x t x x y y k k x x x x +-+--+=+=， ∴()()121212414411x x t x x tx x t +-+=-=+．解得3t =，∴t 的值为3． 21．（12分）已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a ∈R ．（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，若关于x 的不等式()1e 1x f x x bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）(],2-∞．【解析】（1）由题意，知()()()22e 1e e xx xax x a x f x a x x x ---=--='+． ∵当0a <，0x >时，有e 0x ax -<．∴当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>． ∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．（2）由题意，当1a =时，不等式()1e 1x f x x bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立．即()e ln 11x x x b x -+-≥恒成立，即ln 11e x x b x x-≤--恒成立． 设()ln 1e xx g x x x =--．则()22221ln 1e ln e x xx x x g x x x x -+=-+='． 设()2e ln x h x x x =+，则()()212e x h x x x x'=++．∵当0x >时，有()0h x '>．∴()h x 在()0,+∞上单调递增，且()1e 0h =>，1ln 202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭． ∵函数()h x 有唯一的零点0x ，且0112x <<． ∴当()00,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增． 即()0g x 为()g x 在定义域内的最小值，∴0000ln 11e x x b x x -≤--． ∵()00h x =，得0000ln e x x x x =-，()011*2x <<， 令()e x k x x =，112x <<．∴方程()*等价于()()ln k x k x =-，112x <<． 而()()1e x k x x +'=在()0,+∞上恒大于零，∴()k x 在()0,+∞上单调递增． 故()()ln k x k x =-等价于ln x x =-，112x <<． 设函数()ln m x x x =+，112x <<．易知()m x 单调递增． 又11ln 2022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110m =>，∴0x 是函数的唯一零点．即00ln x x =-，001e x x =．故()g x 的最小值()()000000000ln 111e 1x x x g x x x x x x -=--=--=． ∴实数b 的取值范围为(],2-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线错误！未找到引用源。
山西省长治市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析
山西省长治市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】 【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-【答案】C 【解析】 【分析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.3．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=404．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．1516【答案】D 【解析】 【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论． 【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．5．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32【答案】A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A.6．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 7．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则A =()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.8．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >【答案】D 【解析】 【分析】先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即()0f x '=在(1,4)上有解，即可得出结论. 【详解】21241()24--'=--=ax ax f x ax a x x， 若()f x 在(1,4)上不单调，令2()241=--g x ax ax ，则函数2()241=--g x ax ax 对称轴方程为1x =在区间(1,4)上有零点（可以用二分法求得）. 当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，只需0(1)210(4)1610a g a g a >⎧⎪=--<⎨⎪=->⎩或0(1)210(4)1610a g a g a <⎧⎪=-->⎨⎪=-<⎩，解得116a >或12a <-.故选:D. 【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题. 9．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案. 【详解】Q211(1)(1)22i i i ii i i i+++==---⋅ 111222i i -+==-+ ∴对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 10．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A ．243π+B ．342π+C ．263π+D ．362π+【答案】D 【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为： V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×1+12•π•12×1=（6+1.5π）cm 1． 故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 11．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】 【分析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！ 12．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可． 【详解】 由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届山西省省际名校高三下5月联考押题理科数学试卷【含答案及解析】
2019届山西省省际名校高三下5月联考押题理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若是虚数单位，是的共轭复数，若，则为（________ ） A． B． C． D．12. 设集合，集合，则等于（_________ ）A． B． C． D．3. 在各项均为正数的等比数列中，，则（________ ）A．有最小值6_________ B．有最大值6_________ C．有最大值9_________ D．有最小值34. 设为的三边长，若，且，则的大小为（________ ）A． B． C． D．5. 如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（_________ ）A． B． C． D．6. 现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（________ ）种.A．36________ B．9________ C．18________ D．157. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（________ ）A．_________ B． C． D．8. 是所在平面上一点，满足，则为（________ ）A． B． C． D．9. 下列说法错误的是（________ ）A．若，且，则至少有一个大于2B．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件C．若命题，则D．中，是最大角，则是为钝角三角形的充要条件10. 在三棱柱中，底面，为等边三角形，且，则与所成的角的大小（_________ ）A． B． C． D．11. 已知定义在上的函数满足，当时，下面选项中最大的一项是（_________ ）A．B．C．D．12. 过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为（________ ）A． B． C． D．二、填空题13. 已知抛物线的方程为，则该抛物线的准线方程为____________________ .14. 由直线，，曲线所围封闭图形的面积为____________________ .15. 若将函数表示为，其中（，）为实数，则等于____________________ .16. 已知数列，，且（），记，数列的前项和为，则满足不等式成立的最大正整数为____________________ .三、解答题17. 在中，内角所对边长分别是，已知， . （1）若的面积等于，求；（2）求的最大值.18. 某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计，其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人. （1）填写教师水平和教师管理水平评价的2×2列联表：问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量：①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.19. 如图，已知四棱锥，，侧面是边长为4的等边三角形，底面为菱形，侧面与底面所成的二面角为 .（1）求点到平面的距离；（2）若为的中点，求二面角的正弦值.20. 已知分别为椭圆的左、右两个焦点，椭圆上点到两点的距离之和等于4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于点（点在第一象限），是椭圆上的两个动点，如果，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.21. 设函数 .（1）求函数在上的单调区间；（2）当时，求函数在上零点个数.22. 选修4-1：几何证明选讲是等腰直角腰上的中线，于点，延长交于点，于点，与交于点 .（1）求证：≌ ；（2）求证： .23. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数），与交于两点.（1）求曲线的直角坐标方程及的普通方程；（2）已知，求的值.24. 选修4-5：不等式选讲函数 .（1）解不等式；（2）若存在使不等式成立，求参数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
山西省长治市2019-2020学年高考数学第一次押题试卷含解析
山西省长治市2019-2020学年高考数学第一次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．311【答案】C【解析】【分析】首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.【详解】因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为937. 故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-【答案】B【解析】【分析】 由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的18， 如图，故其表面积为2124342248πππ-+⨯⨯⨯=-，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详解】 由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.4．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） AB．2 CD【答案】D【解析】【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率. 【详解】 双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线， 四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=， 所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率c e a== 故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.5．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B U 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<< 【答案】A【解析】【分析】求出集合B ，然后进行并集的运算即可.【详解】∵{}|1A x x =>-，{}|20B x x =-<<，∴{}|2A B x x =>-U .故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.6．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r ”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r，所以向量m r ，n r 共线且方向相反，所以0m n ⋅<r r ，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r 不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r ”的充分不必要条件．故选B ．【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 7．计算2543log sincos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( ) A ．32- B ．32 C ．23- D ．23【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式2221log cos 2log cos log 332πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.8．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本运算求解即可.【详解】 224422(1)2i i i i i===---. 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.9．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->-B ．()()211b b a a ->-C ．()()11a b a b +>+D ．()()11a b a b ->-【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1x y a =-是减函数，又因为01b <<，所以1b b >，2b b >， 所以()()111b b a a -<-，()()211bb a a -<-，所以A,B 两项均错；又111a b <+<+，所以()()()111a a ba b b +<+<+，所以C 错；对于D ，()()()111a b b a a b ->->-，所以()()11a b a b ->-，故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ）A ．42B ．21C ．7D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值.【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=， ()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 11．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0B ．55C ．66D ．78 【答案】D【解析】【分析】 先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++-12341112=++++⋅⋅⋅++121+122⨯=（） 78=故选：D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.12．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】 对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确；对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为 10080100801008031063+++++=， 乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确； 对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(A卷)(含答案解析)
2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，，则A. B. C. D.2.若复数为虚数单位是纯虚数，则a的值为A. 1B. 0C. 1D. 23.若，，且，则向量，的夹角为A. B. C. D.4.若，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.5.给定下列四个命题，其中真命题是A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为3，则等于A. B. C. 4 D.7.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为A. B. C. D.8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过A. 2小时B. 4小时C. 6小时D. 8小时9.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，A. B. C. D.10.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为若要使该总体的标准差最小，则的值是A. 12B. 14C. 16D. 1811.已知双曲线与圆O：相交于A，B，C，D四点，如图所示，点F是双曲线C的左焦点，且，则双曲线C的离心率为A.B.C. 2D.12.函数，，若存在，，，，其中且，使得，则n的最大值为A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某篮球运动员罚篮命中率为，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______．14.已知函数是奇函数，当时，且，且，则______．15.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，则三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为______．16.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若的面积，则面积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系？针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：，．18.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面ABC，且，且，D，F分别为PA，BC的中点．求证：直线平面ABC；求锐二面角的余弦值．19.已知等差数列前n项和为，，．求数列的通项公式及前n项和；设，求前n项和．20.设椭圆E：长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．求椭圆E的方程；设过原点O的直线交椭圆于A，B两点B不在坐标轴上，连接AF并延长交椭圆于点C，若，求四边形ABCD面积的最大值．21.已知函数．求在点处的切线方程；若恒成立，求a的取值范围；当时，证明．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和的直角坐标方程；已知曲线的极坐标方程为，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A，B均异于极点O，求的值．23.已知关于x的函数．若存在x使得不等式成立，求实数a的取值范围；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：或，，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：是纯虚数，，解得．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：若，，且，设向量，的夹角为，，则，求得，，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4.答案：D解析：解：由幂函数的性质可知，函数在R上单调递增，又，，故选：D．利用幂函数的性质可知选项D正确．本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．5.答案：D解析：解：如图所示，在长方体中：，，但是与不平行，所以A错；平面与平面相交，但是内平行于的直线都平行于，所以B错；平面平面，平面平面，但是这两个平面不平行，所以C错；故选：D．画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．6.答案：B解析：解：设抛物线的方程为，由抛物线定义知，，，抛物线方程为，点在抛物线上，，．故选：B．先由抛物线的定义建立关于p的方程，解之可得p的值以及抛物线的方程，再把点P的坐标代入可求得，最后利用两点间距离公式即可得解．本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：函数，整理得，由于函数的最小正周期为，所以，故．将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象，由于函数的图象关于对称，所以，解得，当时，．故选：B．直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：C解析：解：，则n小时后的血液中酒精含量为，由，解得，故选：C．先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．9.答案：C解析：解：已知，所以，所以，解得或舍去．则，由于，所以．则当，即时，函数取得最大值．故选：C．首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：由题，因为中位数为12，所以，，；要使该总体的标准最小，即方差最小，所以：，当且紧当，取等号，即体标准差最小此时故选：A．由题，中位数为12，求得，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x，y 的值，即可求得．本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型．11.答案：B解析：解：双曲线的右焦点为，根据对称性可知是平行四边形，所以，又点A在双曲线上，所以，因为，所以，所以，在三角形OFC中，，，，可得三角形OFC是直角三角形，C为直角，在三角形AFC中，，，，，所以，即：，所以双曲线的离心率为：．故选：B．画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．12.答案：C解析：解：令，，，，，，，，，，，，集合，，，且，，，，即，又，的最大值为10．故选：C．令，由，得，由，，，，得，从而，，进而集合，，，，，由此能求出n的最大值．本题考查实数的取大值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：解析：解：由题意知，随机变量，计算，故答案为：．根据题意知随机变量，计算即可．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、方差的计算问题，是基础题．14.答案：解析：解：根据题意，函数是奇函数，且，又由，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：根据题意，由对数的性质可得，结合函数的奇偶性可得，结合函数的解析式可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．15.答案：解析：解：由题意，，又，，，，，．，三棱锥的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，且点C到平面ABD的距离，．故答案为：；．由题意，，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC的长度，结合，可知三棱锥的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C 到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，求出点C到平面ABD的距离，可得三棱锥体积的最大值．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，，，即．，的面积，解得．则面积的最小值为当且仅当，时取等号．故答案为：．，利用正弦定理、倍角公式可得，化简可得利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得，利用的面积，进而得出结论．本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100，在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系．喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：X 0 1 2P．解析：补充完整的列联表，求出，从而在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系．喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：证明：设AB的中点为G，连结DG，CG，则，，又，且，，且，四边形DGCE为平行四边形，，平面ABC，平面ABC，直线平面ABC．解：如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，4，，2，，0，，0，，0，，2，，，2，，，，，，，平面AEF，平面AEF的一个法向量2，，设平面PAE的一个法向量y，，4，，0，，则，取，得1，，设锐二面角的平面角为，则，锐二面角的余弦值为．解析：设AB的中点为G，连结DG，CG，推导出四边形DGCE为平行四边形，从而，由此能证明直线平面ABC．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由题意，，即，设等差数列的公差为d，则，，．则，．由知，，当n为偶数时，为奇数，，当n为奇数时，为偶数，，综上所述，可得．解析：本题第题根据等差数列的求和公式和等差中项的性质计算可得，然后根据即可计算出公差d，则可得到等差数列的通项公式及前n项和；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后分n为偶数和n为奇数两种情况分别求和，运用分组求和法及等差数列的求和公式进行计算，最后综合两种情况可得前n项和．本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及正负交错类型数列的求和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论数学，方程思想，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．20.答案：解：由题得，，所以，则，故椭圆E的方程为：；根据条件可得，设直线AC的方程为，联立，整理得，设，，则，，则，令，则，在上单调递减，所以当，即时，面积最大，最大值为．解析：有条件得到，，求出b，即可得椭圆方程，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到，利用换元思想及不等式即可求出其最值．本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：解：由题知，，，，在点处的切线方程为，即；解：恒成立，所以恒成立．令，则，，当时，，故满足；当时，，故在上单调递减，时，，所以不满足；当时，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，，解得；综合知a的取值范围为；证明：当时，，由知：，即，．令，得，即，所以，．解析：先利用导数的几何意义求切线的斜率，进而求切线方程；先把恒成立转化为恒成立，再对a进行讨论，求出取值范围；先由中结论证出，进而有，再利用放缩法与裂项相消法证明即可．本题主要考查切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道难题．22.答案：解：曲线的参数方程为，为参数转换为和直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．根据题意建立，解得，同理，解得，故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用建立方程组，进一步求出的值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：对，，当且仅当时，等号成立，故原条件等价于，即，解得，故实数a的取值范围为；当时，，，即，则，又的解集包含，在恒成立，当时，，又，，即实数a的取值范围为．解析：由绝对值不等式的性质可得，解出即可；依题意，在恒成立，则，，由此即可求得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．。
2019届高三山西名师联盟5月内部特供卷 理科数学 学生版
2019届高三5月份内部特供卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}32A x x a =≥-，()(){}10B x x a x a =-+-≥，A B =R ，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知m ∈R ，复数113i z =+，22i z m =+，且12z z ⋅为实数，则（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．3-3．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）A ．63B ．62C ．61D ．604．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我（cōng ），周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺． 问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取π3=）（ ） A ．704立方尺B ．2112立方尺C ．2115立方尺D ．2118立方尺5．已知向量a ，b 满足()21,2m +=a b ，()1,m =b ，且a 在b，则实数（ ）A ．2±B ．2C ．D ．6．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．264B ．270C ．274D ．2827．函数（其中，）的部分图象如图所示、将函数的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数为奇函数B ．函数的单调递增区间为()5ππ,π1212πk k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZC ．函数为偶函数D ．函数的图象的对称轴为直线()ππ6x k k =+∈Z 8．某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为，、、四个等级，其中分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级．考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数 是（ ）A ．80．25B ．80．45C ．80．5D ．80．659．定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，由集合(){},02,01x y x y ≤≤≤≤确定的区域记作，由曲线和轴围成的封闭区域记作，向区域内投掷12000个点，则落入区域此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号的点的个数为（ ） A ．3000 B ．3500C ．4000D ．450010．已知是定义在R 上的偶函数，且，如果当时，，则（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2-11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，，若3AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） ABCD ．12．已知函数，若对，，且，使得，则实数的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．241,e e ⎡⎫⎪⎢⎪⎢⎣⎭C ．24160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦⎢⎣⎭D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知m ∈Z ，二项式的展开式中的系数比的系数大16，则__________．14．已知实数，满足430260y x x y x y ≤--≤+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数的最大值为_______．15．已知抛物线经过点，直线与抛物线交于相异两点，，若M AB △的内切圆圆心为，则直线的斜率为_______． 16．数列满足，且对于任意的n ∈*N 都有，则12985111a a a +++=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角，，所对的边分别是，，且．（1）求角的大小； （2）若π4B =，，求边长．18．（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的()n n ∈*N 个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望．19．（12分）在四棱柱中，，且，平面，．（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()22222:1033x y C a b a b+=>>经过点⎝⎭．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于，两个相异点，证明：NAB △面积为定值．21．（12分）已知函数()ln f x x =，()()322218873a g x x a x x a =+--++． （1）若曲线在点处的切线方程是，求函数在上的值域；（2）当时，记函数()()()()()()(),,f x f xg xh x g x f x g x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数有三个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，圆的参数方程为2cos12sinxyαα⎧==+⎪⎨⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）设曲线的极坐标方程为()06πθρ=≥，曲线的极坐标方程为()03πθρ=≥，求三条曲线，，所围成图形的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．2019届高三5月份内部特供卷理科数学 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】因为{}32A x x a =≥-，{}1B x x a x a =≥≤-或，A B =R ，所以321a a -≤-，解得43a ≥． 2．【答案】B【解析】因为()()()()1213i 2i 632i z z m m m ⋅=+-=++-为实数，所以，解得23m =． 3．【答案】A 【解析】因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以615124S -=⨯，解得．4．【答案】B【解析】设圆柱体底面圆半径为，高为，周长为． 因为2πC r =，所以2πCr =，所以222224811ππ21124π124πC C h V r h h ⨯==⨯⨯===（立方尺）．故选B 项． 5．【答案】A【解析】因为向量a ，b 满足()21,2m +=a b 、()1,m =b ，所以0,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，22m ⋅=a b ，()2cos 2m θ=⋅=b a a b ， 所以，即，解得，故选A ．6．【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，，，所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=，故选A ． 7．【答案】B 【解析】由函数的图像可知函数的周期为π、过点5π,312⎛⎫⎪⎝⎭、最大值为3，所以3A =，2ππT ω==，，5π5π3sin 231212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2π3πk k ϕ=-+∈Z ， 所以取时，函数的解析式为()3sin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数的图像向左平移π3个单位长度得()π3sin 23sin 233π3πg x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当()ππ2π22π23π2k x k k -+≤+≤+∈Z 时，即()5ππ,π1212πx k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z 时，函数单调递增，故选B ． 8．【答案】C【解析】由折线图可知，等级分数在频率为0.025100.25⨯=，等级分数在频率为0.020100.20⨯=，等级分数在频率为0.040100.40⨯=，等级分数在频率为0.015100.15⨯=，平均数为650.15750.40850.20950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=．故选C 项． 9．【答案】D【解析】如图，1331224M S =⨯⨯=，，落入区域的概率为33428M S P S Ω===， 从而落人区域的点的个数为31200045008⨯=．10．【答案】C 【解析】由，得，所以是周期为8的周期函数，当时，，所以，又是定义在R 上的偶函数所以．11．【答案】A【解析】由题意得直线的方程为bx y c a=+，不妨取，则，且．将代入2221y x b-=，得()4234120b y b cy b -++=．设，，则312421b cy y b +=--，41241b y y b =-．由3AF FB =，得，所以324422422131b cy b by b -=⎧⎪⎪⎨---=-⎪⎪⎩，得，解得214b =，所以c ==，故该双曲线的离心率为c e a ==A ． 12．【答案】D 【解析】当时，函数的值域为11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由()11ax g x a x x='-=-可知：当0a ≤时，，与题意不符，故．令，得1x a =，则()10,e a ∈，所以()min 11ln g x g a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 作出函数在上的大致图象如图所示，观察可知()111ln 4e e 15a g a +<=-≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得746e e a ≤<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2【解析】由22344C C 16m m -=，得，解得或43m =-，因为m ∈Z ，所以故答案为2．14．【答案】6【解析】根据条件画出可行域，如图所示，将目标函数转化为1122y x z =-+的形式，为斜率是12-的一簇平行线，12z 是其在轴的纵截距．由图可知，当直线过点时，截距最大， 解260y x x y =+-=⎧⎨⎩，得22x y ==⎧⎨⎩，即，所以的最大值为．15．【答案】1- 【解析】将点代入，可得，所以抛物线方程为，由题意知，直线斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 代入，得，设，，则，，又由M AB △的内切圆心为，可得121222121222220111144MA MB y y y y k k x x y y ----+=+=+=----， 整理得，解得，从而的方程为，所以直线的斜率为1-．16．【答案】985987【解析】由题＝+n+2，∴，所以，，，，， 上式个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122n n n a ++=，当1n =时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 从而1298511111111198522334986987987a a a ⎛⎫+++=-+-++-= ⎪⎝⎭．故答案为985987．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π3；（2）．【解析】（1）因为πA B C ++=，，所以，，所以，即．因为，所以1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A=． （2）()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=++=． 在ABC△中，由正弦定理得sin sin c aC A=， =，解得．18．【答案】（1）当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516；（2）见解析． 【解析】（1）对一个坑而言，要补播种的概率33133111C C 222P ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 有3个坑要补播种的概率为3C 12nn⎛⎫⎪⎝⎭． 欲使3C 12nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大，只需1331133111C 221C 1C 2C 2n n n n n n n n --++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎧⎪⎪⎨ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩， 解得，因为n ∈*N ，所以当时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516． （2）由已知，的可能取值为0，1，2，3，4．14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以的分布列为的数学期望1422EX =⨯=． 19．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）证明：设与的交点，∵AD ＝CD ，∴DAC DCA ∠=∠，又∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∴AB ＝BC ， ∴△ABD ≌△CBD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∴△AOD ≌△COD ，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，∴AC ⊥BD ，又因为平面，所以， 又所以平面， 因为平面，所以．（2）以，的交点为原点，过O 作平行于的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由（1）及122BB AB ==，知1,0,02B⎛⎫⎪⎝⎭，11,0,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以112BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1112B C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()12,0,2B D =--．设平面的法向量为(),,x y z =n ，由11100B C B D ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n，得102220x y x z -+=--=⎧⎪⎨⎪⎩，所以x x z ==-⎧⎪⎨⎪⎩，令，得1⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ．设与平面所成的角为，则1sin cos ,BC θ-===n ． 20．【答案】（1）22113y x +=；（2）见解析． 【解析】（1）解：因为22619b a =-，解得．①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=．② 联立①②，得，213b =，故椭圆的标准方程为22113y x +=．（2）证明：①当直线的斜率不存在时， 点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为2213x y +=，所以有．将代入椭圆的方程得y=，所以11122NAB S MN AB =⋅==△②当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得．将代入椭圆的方程，得．设，，则122613kmx x k +=-+，21223313m x x k -=+，所以AB ===设，，ON MO λ=，则可得，．因为220022333113x y x y ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ+=⎛⎫+= ⎪⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩，解得（舍去），所以3ON MO =，从而． 又因为点到直线的距离为d =所以点到直线的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB=⋅==△， 综上，NAB △． 21．【答案】（1）；（2）330,2016⎧⎫⎡⎫-⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭． 【解析】（1）因为()()322218873a g x x a x x a =+--++， 所以，所以， 所以，即．，，，所以在上的值域为． （2）（i ）当时，，由，得()21,x =±+∞，此时函数有三个零点，符合题意． （ii ）当时，()()()22241822g x ax a x a x x a ⎛⎫'=+--=-+ ⎪⎝⎭．由，得．当时，；当时，．若函数有三个零点，则需满足且，解得3016a <<． （iii ）当时，()()()22241822g x ax a x a x x a ⎛⎫'=+--=-+ ⎪⎝⎭．由，得，22x a=-． ①当22a-<，即时，因为()()162103g x g a ==-<极大值，此时函数至多有一个零点，不符合题意； ②当22a -=，即时，因为，此时函数至多有两个零点，不符合题意；③当22a->，即时，若，函数至多有两个零点，不符题意；若，得320a =-，因为3222188783g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以20g a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，此时函数有三个零点，符合题意； 若，得3020a -<<，由3222188783g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记()3288783a a a a ϕ=+++，则，所以()3020a ϕϕ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，此时函数有四个零点，不符合题意．综上所述：满足条件的实数330,2016a ⎧⎫⎡⎫∈-⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭． 22．【答案】（1）π4sin3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（22π3．【解析】（1）由条件得圆的直角坐标方程为，得， 将，代入，得，即，则π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以圆的极坐标方程为π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由条件知曲线和是过原点的两条射线，设和分别与圆交于异于点的点和， 将π6θ=代入圆的极坐标方程，得4,6πA ⎛⎫⎪⎝⎭，所以；将π3θ=代入圆的极坐标方程，得3πB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以．由（1）得圆的圆心为，其极坐标为2,6πC ⎛⎫⎪⎝⎭，故射线经过圆心，所以36ππ6πCOB ∠=-=，2π3ACB COB ∠=∠=． 所以π11sin sin 246COB S OC OB COB OA OB =⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅△，扇形的面积为2π12π2233CAB S =⋅⋅=，故三条曲线，，所围成图形的面积为2π3COB CAB S S +=△． 23．【答案】（1）823x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或；（2）132,5⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）当时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由，得2335x x <--≥⎧⎨⎩，即223x x <-≤-⎧⎪⎨⎪⎩，，或52275x x -≤≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩，即5222x x ⎧-≤≤≤⎪⎨⎪⎩，，或52335x x ⎧>-≥⎪⎨⎪⎩，即5283x x ⎧⎪⎪⎨>≥⎪⎪⎩，83x ≥， 综上：或83x ≥，所以不等式的解集为823x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或．（2），，因为，，所以，又，，，得．不等式恒成立，即在时恒成立，不等式恒成立必须，，解得．所以21449a aa a≥+-≤-⎧⎨⎩，解得1315a≤≤，结合，所以1325a<≤，即的取值范围为13 2,5⎛⎤ ⎥⎝⎦．。
2020年山西省晋中市高考(理科)数学(5月份)模拟(A卷)试卷(Word 含解析)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（A 卷）一、选择题（共12小题）1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣2≥0}，B ＝{x |y =√x }，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．[0，1） B ．（1，+∞） C ．[0，2） D ．（﹣2，1）2．若复数1−ai 2+i（i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．1D ．23．若|a →|＝2，|b →|＝1，且a →⊥（a →−4b →），则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．若x ＞y ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1x＜1yB ．tan x ＞tan yC ．ln （x ﹣y ）＞0D ．x 13＞y 135．给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A ．垂直于同一直线的两条直线相互平行B ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C ．垂直于同一平面的两个平面相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直6．已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点P （x 0，2），若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则|OP |等于（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．2√57．已知函数f(x)=sin 2ωx −12(ω＞0)的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a （a ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20，80）mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg /mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（ ） A ．2小时B ．4小时C ．6小时D ．8小时9．已知a为正整数，tanα＝1+1ga，tanβ＝1ga，且α＝β+π4，则当函数f(x)=asinθ−√3cosθ（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（）A．π2B．2π3C．5π6D．4π310．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12．若要使该总体的标准差最小，则4x+2y的值是（）A．12B．14C．16D．1811．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)与圆O：x2+y2＝b2相交于A，B，C，D四点，如图所示，点F是双曲线C的左焦点，且|AF|＝3|CF|，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√512．函数f（x）＝2x﹣1，g（x）＝x2﹣2x+4，若存在x1，x2，……，x n∈[1，5），其中n∈N*且n≥2，使得f（x1）+f（x2）+……+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+……+g（x n ﹣1）+f（x n），则n的最大值为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则E（X）＝．14．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝1og a（x﹣1）（a＞0且a≠﹣1），且f（1og0.516）＝﹣2，则a＝．15．现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知∠DAB=π6，∠BAC=π4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为；该三棱锥体积的最大值为．16．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a sin2B+b sin A＝0，若△ABC的面积S=√3b，则△ABC面积的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：P（K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ． 18．已知三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，PB ⊥平面ABC ，且PB ＝AB ，EC ∥PB 且EC =12PB ，D ，F 分别为PA ，BC 的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC ； （2）求锐二面角P ﹣AE ﹣F 的余弦值．19．已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）设b n ＝（﹣1）n S n ，求{b n }前n 项和T n ． 20．设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)长轴长为4，右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过原点O 的直线交椭圆于A ，B 两点（A ，B 不在坐标轴上），连接AF 并延长交椭圆于点C ，若OD →=OA →+OC →，求四边形ABCD 面积的最大值． 21．已知函数f(x)=alnx+a−1x． （1）求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）（i ）若xf （x ）≤x ﹣1恒成立，求a 的取值范围； （ii ）当a ＝1时，证明f(2)2+f(3)3+⋯+f(n)n＜n 2+12n+2−34．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosφy =2+2sinφ，（φ为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θ=π6． （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为ρ＝4cos θ，点A 是曲线C 2与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于极点O ，求|AB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）若存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，求实数a的取值范围；（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含[−12，2]，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣2≥0}，B ＝{x |y =√x }，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．[0，1）B ．（1，+∞）C ．[0，2）D ．（﹣2，1）【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集和交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥1}，B ＝{x |x ≥0}， ∴∁R A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，（∁R A ）∩B ＝[0，1）． 故选：A ．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．若复数1−ai 2+i（i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．1D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解． 解：∵1−ai 2+i=(1−ai)(2−i)(2+i)(2−i)=2−a 5−2a+15i 是纯虚数，∴{2−a5=0−2a+15≠0，解得a ＝2． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．若|a →|＝2，|b →|＝1，且a →⊥（a →−4b →），则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量a →，b →的夹角．解：若|a →|＝2，|b →|＝1，且a →⊥（a →−4b →），设向量a →，b →的夹角为θ，θ∈[0°，180°]，则a →•（a →−4b →）=a →2−4a →⋅b →=4﹣4•2•1•cos θ＝0， 求得cos θ=12，θ＝60°，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．若x＞y，则下列不等式恒成立的是（）A．1x＜1yB．tan x＞tan y C．ln（x﹣y）＞0D．x13＞y13【分析】利用幂函数的性质可知选项D正确．解：由幂函数的性质可知，函数f(x)=x13在R上单调递增，又x＞y，∴x13＞y13，故选：D．【点评】本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．5．给定下列四个命题，其中真命题是（）A．垂直于同一直线的两条直线相互平行B．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C．垂直于同一平面的两个平面相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直【分析】画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案解：如图所示，在长方体中：CC1⊥B1C1，CC1⊥D1C1，但是B1C1与D1C1不平行，所以A错；平面BC1与平面DC1相交，但是BC1内平行于BB1的直线都平行于DC1，所以B错；平面BC1⊥平面A1C1，平面DC1⊥平面A1C1，但是这两个平面不平行，所以C错；故选：D．【点评】本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．6．已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点P （x 0，2），若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则|OP |等于（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．2√5【分析】先由抛物线的定义建立关于p 的方程，解之可得p 的值以及抛物线的方程，再把点P 的坐标代入可求得x 02，最后利用两点间距离公式即可得解． 解：设抛物线的方程为x 2＝2py （p ＞0），由抛物线定义知，p2+2=3，∴p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y ，∵点P （x 0，2）在抛物线上，∴x 02=4×2=8， ∴|OP |=√x 02+4=√12=2√3． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．已知函数f(x)=sin 2ωx −12(ω＞0)的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a（a ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π【分析】直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． 解：函数f(x)=sin 2ωx −12(ω＞0)，整理得f （x ）=−12cos 2ωx ，由于函数的最小正周期为π， 所以ω＝1，故f （x ）=−12cos2x ．将其图象沿x 轴向右平移a （a ＞0）个单位，所得g （x ）=−12cos(2x −2a)图象， 由于函数的图象关于x =π3对称， 所以2π3−2a =kπ，解得a =π3−kπ2（k ∈Z ）， 当k ＝0时，a =π3． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到[20，80）mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（）A．2小时B．4小时C．6小时D．8小时【分析】先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．解：1.6×100＝160mg，则n小时后的血液中酒精含量为160×（1﹣30%）n＝160×0.7n，由160×0.7n＜20，解得n≥6，故选：C．【点评】本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．9．已知a为正整数，tanα＝1+1ga，tanβ＝1ga，且α＝β+π4，则当函数f(x)=asinθ−√3cosθ（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（）A．π2B．2π3C．5π6D．4π3【分析】首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：已知α＝β+π4，所以α−β=π4，所以tan（α﹣β）＝1=tanα−tanβ1+tanαtanβ=1+lga−lga1+(1+lga)lga=1，解得a＝1或a=110（舍去）．则f（x）＝sinθ−√3cosθ=2sin(θ−π3 )，由于θ∈[0，π]，所以θ−π3∈[−π3，2π3]．则当θ−π3=π2，即θ=5π6时，函数f（x）取得最大值．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12．若要使该总体的标准差最小，则4x +2y 的值是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【分析】由题，中位数为12，求得x +y ＝4，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x ，y 的值，即可求得． 解：由题，因为中位数为12，所以，x+y 2，x +y ＝4110（2+2+3+4+x +y +20+19+19+20+21）＝11.4；要使该总体的标准最小，即方差最小，所以：（10+x ﹣11.4）2+（10+y ﹣11.4）2＝（x ﹣1.4）2+（y ﹣1.4）2≥2（x+y−2⋅82）2＝0.72，当且紧当x ﹣1.4＝y ﹣1.4，取等号，即x ＝y ＝2 体标准差最小 此时4x +2y ＝12 故选：A ．【点评】本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型．11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)与圆O ：x 2+y 2＝b 2相交于A ，B ，C ，D 四点，如图所示，点F 是双曲线C 的左焦点，且|AF |＝3|CF |，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．解：双曲线的右焦点为F2，根据对称性可知AFCF2是平行四边形，所以|AF2|＝|CF|，又点A在双曲线上，所以|AF|﹣|AF2|＝2a，因为|AF|＝3|CF|，所以|AF|﹣|AF2|＝3|CF|﹣|CF|＝2a，所以|CF|＝A，在三角形OFC中，|FC|＝a，|OC＝b，|OF＝c，可得三角形OFC是直角三角形，C为直角，在三角形AFC中，AF＝﹣3a，CF＝a，AC＝2b，∠ACF＝90°，所以9a2＝a2+4b2，即：2a2＝b2，所以双曲线的离心率为：e=√1+b 2a2=√3．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．12．函数f（x）＝2x﹣1，g（x）＝x2﹣2x+4，若存在x1，x2，……，x n∈[1，5），其中n∈N*且n≥2，使得f（x1）+f（x2）+……+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+……+g（x n ﹣1）+f（x n），则n的最大值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x2﹣4x+5，由g（x n）﹣f（x n）＝[g（x1）﹣f（x1）]+[g （x2）﹣f（x2）]+…+[g（x n﹣1）﹣f（x n﹣1）]，得h（x n）＝h（x1）+h（x2）+…+h（x n ﹣1），由x1，x2，…，x n∈[1，5]，得h（x）∈[1，10），从而1≤h（x n）＜10，n﹣1≤h （x1）+h（x2）+…+h（x n﹣1）＜10（n﹣1），进而集合[1，10）∩[n﹣1，10（n﹣1））≠∅，n﹣1≥1，10（n﹣1）≥10，2≤n＜11，由此能求出n的最大值．解：令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x2﹣4x+5，∵f（x1）+f（x2）+……+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+……+g（x n﹣1）+f（x n），∴g（x n）﹣f（x n）＝[g（x1）﹣f（x1）]+[g（x2）﹣f（x2）]+…+[g（x n﹣1）﹣f（x n﹣1）]，∴h（x n）＝h（x1）+h（x2）+…+h（x n﹣1），∵x1，x2，…，x n∈[1，5]，∴h（x）∈[1，10），∴1≤h（x n）＜10，∴n﹣1≤h（x1）+h（x2）+…+h（x n﹣1）＜10（n﹣1），∵h（x n）＝h（x1）+h（x2）+…+h（x n﹣1），∴集合[1，10）∩[n﹣1，10（n﹣1））≠∅，∵n∈N*，且n≥2，∴n﹣1≥1，10（n﹣1）≥10，∴1≤n﹣1＜10，即2≤n＜11，又n∈N*，∴n的最大值为10．故选：C．【点评】本题考查实数的取大值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则E（X）＝37.5．【分析】根据题意知随机变量X～B（50，0.75），计算E（X）即可．解：由题意知，随机变量X～B（50，0.75），计算E（X）＝50×0.75＝37.5，故答案为：37.5．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、方差的计算问题，是基础题．14．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝1og a（x﹣1）（a＞0且a≠﹣1），且f（1og0.516）＝﹣2，则a＝√3．【分析】根据题意，由对数的性质可得1og0.516＝﹣1og216＝﹣4，结合函数的奇偶性可得f（4）＝﹣f（﹣4）＝2，结合函数的解析式可得f（4）＝1og a3＝2，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）是奇函数，且f（1og0.516）＝﹣2，又由1og0.516＝﹣1og216＝﹣4，则f（4）＝﹣f（﹣4）＝2，又由当x＞0时，f（x）＝1og a（x﹣1），则f（4）＝1og a3＝2，解可得a=√3；故答案为：√3【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．15．现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知∠DAB=π6，∠BAC=π4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为100π；该三棱锥体积的最大值为√36．【分析】由题意，∠ADB＝∠ACB＝90°，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC 的长度，结合∠ADB＝∠ACB＝90°，可知三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，求出点C到平面ABD的距离d＝5，可得三棱锥体积的最大值．解：由题意，∠ADB＝∠ACB＝90°，又∠DAB=π6，∠BAC=π4，AB＝10，∴AD=5√3，BD＝5，AC＝BC=5√2．∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为S＝4π×52＝100π；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离d＝5，∴V A−BCD=V C−ABD=13S△ABD⋅d=13×12×5√3×5×5=125√36．故答案为：100π；125√36．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a sin2B+b sin A＝0，若△ABC的面积S=√3b，则△ABC面积的最小值为12√3．【分析】a sin2B+b sin A＝0，利用正弦定理、倍角公式可得2sin A sin B cos B+sin A sin B＝0，化简可得cos B=−12．利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得b2≥3ac，利用△ABC的面积S=√3b=12ac sin B，进而得出结论．解：∵a sin2B+b sin A＝0，∴2sin A sin B cos B+sin A sin B＝0，∵sin A，sin B≠0，∴2cos B＝﹣1，即cos B=−1 2．∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B≥2ac+ac＝3ac，△ABC的面积S=√3b=12ac sin B≤12×b23×√32，解得b≥12．则△ABC面积的最小值为12√3．当且仅当a＝c＝4√3，b＝12时取等号．故答案为：12√3．【点评】本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：P（K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．【分析】（1）补充完整的列联表，求出K2≈16.67＞10.828，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．解：（1）补充完整的列联表如下：喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×10−40×30)260×40×50×50≈16.67＞10.828，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为1 10，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）=C22C62=115，P（X＝1）=C41C21C62=815，P（X＝2）=C42C62=25，∴X的分布列为：X012P11581525E（X）=0×115+1×815+2×25=43．【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18．已知三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，PB ⊥平面ABC ，且PB ＝AB ，EC ∥PB 且EC =12PB ，D ，F 分别为PA ，BC 的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC ； （2）求锐二面角P ﹣AE ﹣F 的余弦值．【分析】（1）设AB 的中点为G ，连结DG ，CG ，推导出四边形DGCE 为平行四边形，从而DE ∥GC ，由此能证明直线DE ∥平面ABC ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角P ﹣AE ﹣F 的余弦值．解：（1）证明：设AB 的中点为G ，连结DG ，CG ，则DG ∥PB ，DG =12PB ， 又EC ∥PB ，且EC =12PB ， ∴EC ∥DG ，且EC ＝DG ，∴四边形DGCE 为平行四边形，∴DE ∥GC ， ∵DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ， ∴直线DE ∥平面ABC ．（2）解：如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （0，4，2），F （2，2，0），B （4，0，0），P （4，0，4），D （2，0，2），PF →=（﹣2，2，﹣4），EF →=（2，﹣2，﹣2），AF →=（2，2，0）， ∴PF →⋅EF →=0，PF →⋅AF →=0，∴PF ⊥EF ，PF ⊥AF ， ∵AF ∩EF ＝F ，∴PF ⊥平面AEF ，∴平面AEF 的一个法向量m →=PF →=（﹣2，2，﹣4），设平面PAE 的一个法向量n →=（x ，y ，z ）， AE →=（0，4，2），AP →=（4，0，4），则{n →⋅AE →=4y +2z =0n →⋅AP →=4x +4z =0，取x ＝2，得n →=（2，1，﹣2）， 设锐二面角P ﹣AE ﹣F 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||n →|⋅|m →|=√66，∴锐二面角P ﹣AE ﹣F 的余弦值为√66．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）设b n ＝（﹣1）n S n ，求{b n }前n 项和T n ．【分析】本题第（1）题根据等差数列的求和公式和等差中项的性质计算S 5＝25可得a 3＝5，然后根据a 5＝9即可计算出公差d ，则可得到等差数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后分n 为偶数和n 为奇数两种情况分别求和，运用分组求和法及等差数列的求和公式进行计算，最后综合两种情况可得前n 项和T n ． 解：（1）由题意，S 5=5(a 1+a 5)2=5⋅2a 32=5a 3＝25，即a 3＝5， 设等差数列{a n }的公差为d ，则 d =a 5−a 35−3=9−52=2， ∴a n ＝a 3+（n ﹣3）•d ＝5+2（n ﹣3）＝2n ﹣1，n ∈N*．则a 1＝2×1﹣1＝1， ∴S n =n⋅[1+(2n−1)]2=n 2．（2）由（1）知，b n ＝（﹣1）n S n ＝（﹣1）n n 2， ①当n 为偶数时，n ﹣1为奇数， T n ＝b 1+b 2+…+b n＝﹣12+22﹣32+42﹣…﹣（n ﹣1）2+n 2 ＝（22﹣12）+（42﹣32）+…+[n 2﹣（n ﹣1）2]＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+…+[n +（n ﹣1）][n ﹣（n ﹣1）] ＝1+2+3+4+…+（n ﹣1）+n =n(n+1)2， ②当n 为奇数时，n ﹣1为偶数， T n ＝b 1+b 2+…+b n＝﹣12+22﹣32+42﹣…﹣（n ﹣2）2+（n ﹣1）2﹣n 2 ＝（22﹣12）+（42﹣32）+…+[（n ﹣1）2﹣（n ﹣2）2]﹣n 2＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+…+[（n ﹣1）+（n ﹣2）][（n ﹣1）﹣（n ﹣2）]﹣n 2＝1+2+3+4+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）﹣n 2 =n(n+1)2−n 2 =−n(n+1)2， 综上所述，可得T n ＝（﹣1）n n(n+1)2．【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及正负交错类型数列的求和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论数学，方程思想，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 20．设椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)长轴长为4，右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过原点O 的直线交椭圆于A ，B 两点（A ，B 不在坐标轴上），连接AF 并延长交椭圆于点C ，若OD →=OA →+OC →，求四边形ABCD 面积的最大值．【分析】（1）有条件得到a ＝2，c ＝1，求出b ，即可得椭圆方程，（2）设直线方程为x ＝my +1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到S ABCD ＝3S △AOC =18√m 2+12，利用换元思想及不等式即可求出其最值．解：（1）由题得a ＝2，a +c ＝3，所以c ＝1，则b 2＝a 2﹣c 2＝3， 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1；（2）根据条件可得F （1，0），设直线AC 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，整理得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 则S ABCD ＝3S △AOC ＝3×12×|OF |×|y 1﹣y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=18√m 2+13m 2+4，令t =√m 2+1≥1，则S ABCD =18t3t 2+1=183t+1t，在t ∈（1，+∞）上单调递减， 所以当t ＝1，即m ＝0时，S ABCD 面积最大，最大值为92．【点评】本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a 2，b 2的值，若引入c ，则需建立关于a ，b ，c 的三个独立的方程，注意隐含条件“a 2＝b 2+c 2”运用．2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值． 21．已知函数f(x)=alnx+a−1x． （1）求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）（i ）若xf （x ）≤x ﹣1恒成立，求a 的取值范围； （ii ）当a ＝1时，证明f(2)2+f(3)3+⋯+f(n)n＜n 2+12n+2−34．【分析】（1）先利用导数的几何意义求切线的斜率，进而求切线方程；（2）（i ）先把xf （x ）≤x ﹣1恒成立转化为alnx ﹣x +a ≤0恒成立，再对a 进行讨论，求出取值范围；（ii ）先由（i ）中结论证出lnx ≤x ﹣1，进而有lnn 2n 2≤1−1n 2，再利用放缩法与裂项相消法证明即可．解：（1）解：由题知f ′（x ）=a−alnx−a+12=1−alnx2，x ＞0，f （1）＝a ﹣1，f ′（1）＝1，∴f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣（a ﹣1）＝x ﹣1，即y ＝x +a ﹣2； （2）（i ）解：∵xf （x ）＝alnx +a ﹣1≤x ﹣1恒成立，所以alnx ﹣x +a ≤0恒成立． 令h （x ）＝alnx ﹣x +a ，则h ′（x ）=a−xx ，x ＞0， ①当a ＝0时，h （x ）＝﹣x ＜0，故a ＝0满足；②当a ＜0时，h ′（x ）＜0，故h （x ）在（0，+∞）上单调递减，∵x →0时，h （x ）→+∞，所以a ＜0不满足；③当a ＞0时，x ∈（0，a ）时，h ′（x ）＞0，h （x ）在（0，a ）上单调递增； x ∈（a ，+∞）时，h ′（x ）＜0，h （x ）在（a ，+∞）上单调递减，h （x ）max ＝h （a ）＝alna ≤0，解得0＜a ≤1；综合①②③知a 的取值范围为[0，1]；（ii ）证明：当a ＝1时，f （x ）=lnxx，∴f(n)n =lnn n ．由（i ）知：xf （x ）≤x ﹣1，即lnx ≤x ﹣1，∴lnx x≤1−1x．令x ＝n 2，得lnn 2n 2≤1−1n 2，即2lnn n ≤1−1n 2，所以lnn n ≤12（1−1n 2）， ∴f(2)2+f(3)3+⋯+f(n)n =ln222+ln332+⋯+lnn n 2≤12（1−122+1−132+⋯+1−1n 2）=12[（n ﹣1）﹣（122+132+⋯+1n 2）]＜12[（n ﹣1）﹣（12×3+13×4+⋯+1n(n+1)]=12[（n ﹣1）﹣（12−13+13−14+⋯+1n−1n+1）]=12（n −32+1n+1）=12n +12n+2−34． 【点评】本题主要考查切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道难题． 一、选择题22．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosφy =2+2sinφ，（φ为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θ=π6．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为ρ＝4cos θ，点A 是曲线C 2与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于极点O ，求|AB |的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立方程组，进一步求出|AB |的值．解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =2cosφy =2+2sinφ，（φ为参数）．转换为和直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4．曲线C 2的极坐标方程为θ=π6．转换为直角坐标方程为y =√33x ． （2）根据题意建立{ρ=4cosθθ=π6，解得ρ1=2√3， 同理{ρ=4sinθθ=π6，解得ρ2＝2，故|AB |＝|ρ1−ρ2|=2√3−2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的函数f （x ）＝|x +1|+|x ﹣a |．（1）若存在x 使得不等式f （x ）≤3a ﹣1成立，求实数a 的取值范围；（2）若f （x ）≤|x +3|的解集包含[−12，2]，求a 的取值范围．【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得|1+a |≤3a ﹣1，解出即可；（2）依题意，f （x ））≤|x +3|在[−12，2]恒成立，则（x ﹣2）max ≤a ≤（x +2）min ，x ∈[−12，2]，由此即可求得a 的取值范围．解：（1）对x ∈R ，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣a |≥|（x +1）﹣（x ﹣a ）|＝|1+a |，当且仅当（x +1）（x ﹣a ）≤0时，等号成立，故原条件等价于|1+a |≤3a ﹣1，即﹣3a +1≤1+a ≤3a ﹣1.3a ﹣1≥0，解得a ≥1， 故实数a 的取值范围为[1，+∞）；（2）当x ∈[−12，2]时，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣a |＝x +1+|x ﹣a |≤|x +3|＝x +3，∴|x﹣a|≤2，即﹣2≤x﹣a≤2，则x﹣2≤a≤x+2，又f（x）≤|x+3|的解集包含[−12，2]，∴f（x））≤|x+3|在[−12，2]恒成立，∴当x∈[−12，2]时，（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，又(x−2)max=0，(x+2)min=32，∴0≤a≤32，即实数a的取值范围为[0，32]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．。
山西省2020届高三高考考前适应性测试(5月)理科数学·A卷试题(含答案)
积是
A. 4 15
B. 5 15 4
C. 3 3 2
D. 5 3 3
12. 设函数 f (x)是定义在 (0, +∞)上的可导函数，满足① f (x) > 0，② 2xf ′(x) + f (x) < 0，其中
f ′(x)为 f (x)的导函数 . 对于任意 a > b > 0，必有
A. a2 f (a) > b2 f (b)
题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.［选修 4-4：坐标系与参数方程］（10 分） 过点 P（2，0）的直线 l 与抛物线 C:y2 = 2x 相交于 A，B 两点 .
（1）求 AB 中点轨迹的直角坐标方程；
（2）若 P 满足| | PA | - | PB | |=2 2 时,求 l 的方程 .
OCPD（O 为坐标原点）面积的最小值是
A. 3
B. 2
C. 1
D. 2
8. 某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为 7 天左右，短的约 2~3 天，长的约 10~14 天，甚至有 20
余天 . 某医疗机构对 400 名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图 .
根据该直方图估计：要使 90% 的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是
2020 年山西省高考考前适应性测试（二）
理科数学参考答案详解及评分说明
评分说明： 1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定
评分 . 2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不
给分 .
C. 若 a⫽α，b ⊂ α，则 a⫽b
2020届山西省晋中市高考理科数学5月模拟试题和答案详细解析及家长必读
2、别怕考试，放弃烦恼，先把文具准备好；吃得要好，睡得要早，身心健康脑才好； 读题认真，心不分神，方可从容考得好。祝你考试顺利，轻轻松松得满分！
3、欣喜你考上了心目中理想的大学，我很高兴，并衷心的祝福你在以后的求学之路上 奋发图强以优异的成绩来回报父母，回报社会！
2020 届山西省晋中市高考理科数学 5 月模拟试题（A 卷）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5 分）集合 A＝{x|x2+x﹣2≥0}，B＝{x|y＝ }，则（∁ RA）∩B＝（ ）
A．[0，1）
B．（1，+∞）
国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对 100 名学生进行了问卷调查，
得到如表列联表：
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
50
女生
10
合计
100
（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为 喜欢国学与性别有关系？ （2）针对问卷调查的 100 名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽 取 6 人成立国学宣传组，并在这 6 人中任选 2 人作为宣传组的组长，设这两人中女生人 数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分.
17．（12 分）2020 年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后
2019届山西省高考冲刺压轴卷数学(理)试题Word版含答案
2019届山西省高考冲刺压轴卷数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}04,322≥-=<<-=x x B x x A ，则=B A I （ ） A ．)1,2[- B ．]2,1(- C ．)3,2[ D ．)3,2[- 2.已知复数21,z z 在复平面内的对应点的分别为)1,2(),1,1(--，则=12z z （ ） A ．i 2123+-B ．i 2123--C ．i 2123+D ．i 2123- 3.设向量),2(),1,1(t b a =-=，且1-=⋅，则实数=t （ ） A ．0 B ．1- C ．2- D ．14.已知命题p ：在ABC ∆中，若BC AB <，则A C sin sin <；命题q ：已知R a ∈，则“1>a ”是“11<a”的必要不充分条件.在命题q p q p q p q p ∧⌝∨⌝∨∧)(,)(,,中，真命题个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.设函数ax x x f a+=)(的导函数22)(+='x x f ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前9项和是（ ） A ．3629 B ．4431 C ．5536 D ．6643 6.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且2)1(=-f ，则)2017(f 的值是（ ） A ．2 B ．0 C ．1- D ．2- 7.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A ．80 B ．90 C ．100 D ．1208.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤--,01232,42,063y x x y y x 则y x z -=的最小值是（ ）A ．4-B ．6-C ．52-D ．0. 9.某校高三学生有3000名，在一次模拟考试中数学成绩X 服从正态分布),100(2σN ，已知6.0)12080(=<<X P ，若学校按分层抽样的方式从中抽取50份试卷进行分析研究，则应从成绩不低于120分的试卷中抽（ ）A ．10份B ．20份C ．30份D ．40份 10.直线a y x 3=+与圆2222)1(-+=+a a y x 相交于点B A ,，点O 是坐标原点，若AOB ∆是正三角形，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．21 D ．21- 11.在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是BD 中点，点P 在线段11D B 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（ ） A ．]33,32[B ．]21,31[C ．]33,43[D ．]31,41[ 12.过点)1,2(-P 引抛物线x y 42=的两条切线，切点分别为B A ,，F 是抛物线x y 42=的焦点，则直线PF 与直线AB 的斜率之和为（ ） A ．31 B ．32 C ．34 D ．35 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.5)2(a x -的展开式中，4x 的系数为80-，则=a _______.14.给出一个如下图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是______.15.已知函数)3()(+=x x x f ，若b x x f y +-=)(有四个零点，则实数b 的取值范围是______.16.在等比数列{}n a 中，687105102⨯=+a a a a ，则=+⋅⋅⋅++1421lg lg lg a a a ______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数1)cos (sin cos 2)(+-=x x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且锐角A 满足3,2,1)(===c b A f ，求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥11ACC A 底面ABC ，且31π=∠AC A ，点O 为AC的中点.（Ⅰ）求证：平面⊥ABC 平面OB A 1； （Ⅱ）求二面角B AC B --1的大小.19.（本小题满分12分）某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为5.06.04.0、、.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为4.05.05.0、、. （Ⅰ）求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；（Ⅱ）设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过)22,2(-与)23,1(两点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设直线)0,0(:>≠+=m k m kx y l 与E 交于Q P ,两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为)0,1(-，求OPQ ∆面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln 2)(>-+=a x a xx f . （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =的单调区间； （Ⅱ）若对),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记)()()(R b b x x f x g ∈-+=，当1=a 时，函数)(x g 在区间],[1e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=为参数）t t y t x (32,1. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 21,得到曲线C '，设),(y x M 为曲线C '上任一点，求2223y xy x +-的最小值，并求相应点M 的坐标.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(12)(R a a a x x f ∈+--=.（Ⅰ）若1=a ，解不等式1)(+<x x f ；（Ⅱ）若对任意0)(],2,1[≥∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.2019届山西省高考冲刺压轴卷数学（理）试题参考答案1.C2.B232)1)(2(1212i i i i i z z --=++-=-+-=. 3.D ∵12-=+-=⋅t b a ，∴=t 1. 4.A p 真，q 假，只有q p ∨正确. 5.C )211(21)2(1)(1,2)(2+-=+=+=n n n n n f x x x f , )2111211(21)21151314121311(21+-+-+=+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n n n S n ,5536)111101211(219=--+=S .6.D 2)1()1()2017(,4),()2()4(-=--====+-=+f f f T x f x f x f .7.C 由几何体的三视图，知该几何体是上下底面为梯形的直棱柱，体积为100520=⨯. 8.A 不等式组表示的平面区域如下图，由图可知，点)4,0(D 满足y x z -=有最小值4-.9.A 学生成绩服从正态分布，其图象关于直线100=x 对称，成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的53，所以成绩不低于120分的人数约为总人数的51)531(21=-，应抽取105150=⨯（份）10.C 弦长r a r =-222，得21,)1(336,3422222=-+==a a a a r d .11.A 分别以1,,DD DC DA 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则)1,21,21(--=x x OP ，平面BD A 1的法向量)1,1,1(1-=AC 1)21(231sin 2+-⋅=x θ.12.D 求点)0,1(),4,4(),2,1(F B A -，从而35=+AB PF k k . 13.114.2 当2≤x 时，由x x =-22得1-=x 或2，满足条件； 当52≤<x 时，由x x =-12得1=x 不满足条件； 当5>x 时，由x x=1得1±=x ，不满足条件. 故这样的x 值有2个. 15.(-4,-3)16.42 42142168*********,10=⋅⋅⋅===a a a a a a a a a ，∴42lg lg lg 1421=+⋅⋅⋅++a a a .17.解：（Ⅰ）)42sin(22cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2π-=-=+-=x x x x x x x f ，所以)(x f 的最小正周期为π. 由)(224222Z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ得)(838Z k k x k ∈+≤≤-ππππ， 所以)(x f 的单调增区间为)](83,8[Z k k k ∈+-ππππ. （Ⅱ）由题意知22)42sin(,1)42sin(2)(=-=-=ππA A A f ，又∵A 是锐角，∴4,442πππ=∴=-A A ，因为O BO O A =I 1，所以⊥AC 平面OB A 1，又因为⊂AC 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面OB A 1. （Ⅱ）解：因为侧面⊥11ACC A 底面ABC ，所以⊥O A 1BO .以O 为坐标原点，分别以1A O C O OB 、、为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)3,1,3(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(11B A C B A -， 所以)0,2,0(),3,2,3(),3,1,0(11===AB ， 设平面C AB 1的一个法向量为),,(111z y x =， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,01AC n AB 即⎩⎨⎧==++02,03231111y z y x 所以可取)1,0,1(-=n .因为平面ABC 的一个法向量为)3,0,0(1=，所以22323,cos 1=⋅>=<. 由图知二面角B AC B --1为锐角，所以二面角B AC B --1的大小为4π. 19.解：（Ⅰ）设甲、乙经第一次考核后合格为事件11B A 、，设事件E 表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，则36.06.06.0)()(11=⨯=⋅=B A P E P . 即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为36.0.（Ⅱ）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件C B A 、、，则,2.05.04.0)(,3.05.06.0)(,2.05.04.0)(=⨯==⨯==⨯=C P B P A P经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，则X 可能取3,2,1,0，448.08.07.08.0)0(=⨯⨯==X P ，416.02.07.08.08.03.08.08.07.02.0)1(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==X P ，012.02.03.02.0)3(=⨯⨯==X P ，124.0012.0416.0448.01)2(=---==X P .X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.4480.4160.1240.012数学期望为7.0012.03124.02416.01448.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .20.解：（Ⅰ）设E 方程为122=+ny mx ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+143,1212n m n m ∴⎪⎩⎪⎨⎧==1,41n m ∴E 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）设PQ y x Q y x P ),,(),,(2211的中点坐标为),(00y x ，将直线m kx y +=与1422=+y x 联立，得0448)41(222=-+++m kmx x k ， 0)14(1622>-+=∆m k ，即2214m k >+.①又22102210412,4142kmy y y k km x x x +=+=+-=+=， 依题意有kx y 1)1(000-=---，整理得1432+=k km .②由①②可得512>k . 因为0>m ，所以0>k ，所以55>k . 设O 到直线l 的距离为d ，则21km d +=，故2222241)41(161121km k k k mS OPQ+-++⋅+⋅=∆ 422221120929)15)(14(2kk k k k -+=-+=，当2112=k 时，OPQ ∆的面积取最大值1，此时223,2==m k ， 所以直线l 的方程为2232+=x y . 21.解：（Ⅰ）直线2+=x y 的斜率为1， 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x f +-='32)(， 所以1112)1(3-=+-='af ，解得1=a ， 所以2ln 2)(-+=x x x f ，32)(xx x f -='，由0)(>'x f 得2>x ，由0)(<'x f 得20<<x ，所以)(x f 的单调递增区间为),2(+∞，单调递减区间为)2,0(.（Ⅱ）0,22)(33>-=+-='a x ax x a x x f Θ， 由0)(>'x f 得a x 2>，由0)(<'x f 得ax 20<<，所以)(x f 的单调递增区间为),2(+∞a ，单调递减区间为)2,0(a，当a x 2=时，)(x f 取极小值，也就是最小值)2()(min af x f =.∵对),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，∴)1(222ln 22),1(2)2(->-+->a a a aa a f ，∴e a a a a a 20,12ln ,2ln <<>>，∴实数a 的取值范围为)2,0(e.（Ⅲ）当1=a 时，)0(2ln 2)(>--++=x b x x xx g ，222)(x x x x g -+='，由0)(>'x g 得1>x ，由0)(<'x g 得10<<x .所以)(x g 的单调递增区间是),1(+∞，单调递减区间为)1,0(，1=x 时，)(x g 取得极小值)1(g .因为函数)(x g 在区间],[1e e -上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-,0)1(,0)(,0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b .所以b 的取值范围是]12,1(-+e e. 22.解：（Ⅰ）4,023322=+=+--y x y x .（Ⅱ）设14:22=+'y x C ，设M 为θθsin ,cos 2==y x ， )32cos(232322πθ++=+-y xy x .所以当M 为)23,1(或)23,1(--， 2223y xy x +-的最小值为1.23.解：（Ⅰ）因为1=a ，所以不等式为111+<--x x ， 当1≥x 时，111+<--x x 成立，所以1≥x ； 当11<<-x 时，111+<--x x ，解得21->x ，所以121<<-x ； 当1-≤x 时，111--<--x x ，不等式无解， 所以不等式1)(+<x x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21x x .（Ⅱ）由0)(≥x f 得012≥+--a a x ，因为对任意0)(],2,1[≥∈x f x 恒成立， 当1≤a 时，0121≥+--a a ，解得32≤a ； 当2≥a 时，0122≥+--a a 无解； 当21<<a 时，012≥+--a a a 无解， 所以a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤32a a .。
山西省长治市2019-2020学年高考数学第四次押题试卷含解析
山西省长治市2019-2020学年高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=（ ）A ．32B ．33log 22- C ．12-D ．32log 23+ 【答案】A 【解析】 【分析】因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3f ，再与()3log 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【详解】Q 定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，Q 当[2,2)x ∈-时，1()()43x f x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-，()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+-- 11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++--3336log (6)822=++⨯-32=. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.2．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ） A ．98B ．78C ．12D ．6256【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.3．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 4．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.【答案】D 【解析】 【分析】根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2011x ->，故B 错误；p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q 都为真命题，则p q∨为真，所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”，故D 正确；故选D 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =， 在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.6．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．7．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 8．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A ．y =B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果. 【详解】对于A 选项，函数y =()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数. 故选：C. 【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题. 9．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】 由101xx+>-得11x -<<，在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12lnln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．10．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】B 【解析】 【分析】选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.11．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ）A B ．C D ．35【答案】A 【解析】 【分析】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD V 即可. 【详解】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，在1Rt BCC △中，22115BC CC BC =+=， 在111Rt A B C △中，221111111115,cos 5A B AC B C B AC =+=∠=， 在11AC D V 中，22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =+=∴==，在1BC D V 中，22211115cos 2565BC BD C D C BD BC BD +-∠===⋅. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 12．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．32B ．2C ．12 D ．12-【答案】D 【解析】【分析】根据函数()f x 为R 上的奇函数可得ϕ，由函数()f x 的对称轴及单调性即可确定ω的值，进而确定函数()f x 的解析式，即可求得12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数， 则ϕπ=，所以()sin f x x ω=-.又()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42k πωππ=+，k Z ∈，即24k ω=+，k Z ∈，由函数的单调区间知，12114ππω≤⋅， 即 5.5ω≤，综上2ω=，则()sin 2f x x =-，1122f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省长治市2020届高三下学期五月份质量监测数学(理)试题 Word版含解析
长治市2020届高三年级五月份质量监测理科数学试卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合2{1,2,3,4,|},{60}A B x x x ==--<，则A B =( )A. {}2B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3【★答案★】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得集合B ，再由交集定义求解． 【详解】2{|60}{|23}B x x x x x =--<=-<<，∴{1,2}A B =．故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键．本题属于基础题． 2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A. 3 B. 5C. 3D. 5【★答案★】D 【解析】 【分析】题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..3.由于疫情期间大多数上上课，我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为( ) A. 800 B. 750 C. 700 D. 650【★答案★】D 【解析】 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x - 2，2x - 4，由题意可得2(22)(24)72,x x x +-+-= 13x ∴=设我校高三年级的学生人数为N ,再根据722131800N⨯= 求得650N =， 故选：D【点睛】本题主要考查了分层抽样，样本容量，属于容易题. 4.设命题:p 所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为（ ） A. 所有正方形都不是平行四边形 B. 有的平行四边形不是正方形 C. 有的正方形不是平行四边形 D. 不是正方形的四边形不是平行四边形【★答案★】C 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”）， 即p ⌝为有的正方形不是平行四边形 故选C.【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5.若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A. 5-B. 1-C. 5D. 6【★答案★】C 【解析】 【分析】作出可行域，根据平移法即可求出4z x y =+的最大值． 【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1时，z 取最大值5. 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题． 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【★答案★】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.7.设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在P 处的离散曲率为()312211112k k k PQ Q PQ P Q Q PQ Q Q π--+∠+∠∠+∠其中(),1,2,3...,,3Q i k k =≥为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面122113,,,k k k PQ Q PQ Q Q P Q Q PQ -遍历多面体M 的所有以P为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a b c d ,,,，则a b c d ,,,的大小关系是( )A. a b c d >>>B. a b d c >>>C. b a d c >>>D. c d b a >>>【★答案★】B 【解析】 【分析】根据所给定义，结合图形，分别计算出,,a b c 的值即可. 【详解】对于正四面体，其离散曲率1113232a ππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ 对于正八面体，其离散曲率1114233b ππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭对于正十二面体，其离散曲率1311321010c ππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ 对于正二十面体，其离散曲率1115236d ππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ 因为111123610>>> 所以a b d c >>>， 故选：B【点睛】本题考查学生阅读理解能力，合情推理能力，涉及正多面体相关知识，数形结合思想，属于中档题.8.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是 A. (0,1][9,)+∞ B. (0,3][9,)+∞ C. (0,1][4,)+∞D. (0,3][4,)+∞【★答案★】A 【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=，即33m≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=，即33m ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ． 点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定,a b 的关系，求解时充分借助题设条件120AMB ∠=转化为tan 603ab≥=，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．9.已知奇函数()()()3sin cos ,02f x x x πωϕωϕϕω⎛⎫=+-+<> ⎪⎝⎭对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，现将()f x 图象向右平移3π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断错误的是( )A. 函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B. ()g x 图象关于直线712x π=对称 C. 函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【★答案★】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数为()2sin 6πωϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭f x x ，根据奇函数的性质和周期性可求得()f x 解析式，根据三角函数平移变换得到()g x 解析式，利用代入检验的方式，对应正弦函数图象可确定结果.【详解】()()()3sin cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+-⎪⎝⎭由()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭得：()()2f x fx f x ππ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，2ππω∴=，解得：2ω=. 又()f x 为奇函数，()6k k Z πϕπ∴-=∈，解得：()6k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，6πϕ∴=，()2sin 2f x x ∴=，()22sin 233g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于A ，当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,323x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()g x ∴在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，A 正确；对于B ，当712x π=时，2232x ππ-=，()g x ∴关于直线712x π=对称，B 正确；对于C ，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]22,03x ππ-∈-，()g x ∴在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误；对于D ，当3x π=时，2203x π-=，且03g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x ∴关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 正确. 故选：C .【点睛】本题考查正弦型函数的单调性、对称性的求解问题，涉及到辅助角公式化简三角函数、根据三角函数性质求解函数解析式、三角函数的平移变换等知识；关键是能够熟练掌握代入检验的方式，通过整体对应的方式，对照正弦函数图象得到结果. 10.已知数列{}n a 满足：111,31,n n a a a n +=+=+则数列*21211{}()n n n N a a -+∈的前30项的和为（ ） A.2990B.2988C.1093D.3091【★答案★】D 【解析】 【分析】根据已知递推公式，可得数列{}n a 的奇数项成等差数列，求出21k a -，用裂项相消法，即可求出结论.【详解】由131n n a a n ++=+得2134n n a a n +++=+， 两式相减得23n n a a +-=，故135,,,a aa以3为公差的等差数列，11a =，()*2132k a k k N -∴=-∈． 则13355961111a a a a a a ++⋯+ 1335596111111113a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1130139191⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故选：D ．【点睛】本题考查数列的通项公式以及裂项相消法求数列和，考查计算求解能力，属于中档题.11.设点12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点,A B 分别在双曲线C的左，右支上，若211226,F B F A AF AB AF ==⋅且22AF BF <，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. 125y x =±B. 85y x =±C. 2155y x =± D. 2105y x =±【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合已知可得22F B AF ⊥，设1AF m =，则5AB m =，由双曲线的定义解得m a =或23m a =，然后分类讨论，并借助余弦定理和222c ab =+即可得解. 【详解】116F B F A =，∴1F ，A ，B 共线，且1AB 5AF =，2222222222()AF AF AB AF AF F B AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅， ∴220F B AF ⋅=，则22F B AF ⊥，故有22222AF BF AB +=，设1AF m =，则5AB m =，16BF m =，由双曲线的定义可得22AF m a -=，262m BF a -=，且有2222225AF BF m +=，解得m a =或23m a =， 若23m a =，则283AF a =，22BF a =，不满足22AF BF <；若m a =，2234AF a BF a =<=，16BF a =，5AB a =，22cos 5||445a BF A a BF AB ∠===， 在12F BF 中，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅∠，即2224361664542c a a a a =+-⨯⨯⨯， 得到222175c e a ==，即22175c a =， 所以222222175152b c a a a a =-=-=， 所以2551215b a ==， 故该双曲线的渐近线方程为2155y x =±.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的渐近线及直线与双曲线的位置关系的应用，其中涉及到平面向量的线性运算和余弦定理，求解出22F B AF ⊥是本题的解题关键，属于中档题.12.已知函数()124x e m f x x a a a-=-++-（,m a 为实数），若对于任意实数[]1,a e ∈，()0f x ≥对任意R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. [)2,+∞B. [),e -+∞C. ()2421,e e -++∞D. []2,e【★答案★】A 【解析】 【分析】对于任意实数[]1,a e ∈，()0f x ≥对任意R x ∈恒成立，化为2124x m e ax a a -≤-+-，令2()24x g x e ax a a =-+-，利用导数研究函数的最值，可得()g x 的最小值为(ln )g a ，令()(ln )h a g a =，利用导数研究函数的最值，即可得解.【详解】对于任意实数[]1,a e ∈，()0f x ≥对任意R x ∈恒成立，即1240x e m x a a a--++-≥，所以2124x m e ax a a -≤-+-， 令2()24xg x e ax a a =-+-，则()xg x e a =-′，令()0g x '=，即0x e a -=，解得ln x a =，当ln x a <时，()0g x '<，()g x 在(),ln a -∞上单调递减； 当ln x a >时，()0g x '>，()g x 在()ln ,a +∞上单调递增. 所以当ln x a =时，()g x 取得极小值，也是最小值，2(ln )2ln 3g a a a a a =--，令2()2ln 3h a a a a a =--，[]1,a e ∈，()4ln 1344ln h a a a a a =---=--′，141()40a h a a a-=-=>″， 所以()h a '在[]1,a e ∈上单调递增， 所以()(1)231h a h ≥=-=-， 所以11m -≤-，解得2m ≥， 所以实数m 的取值范围是[)2,+∞. 故选：A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查不等式的恒成立问题，考查学生的推理能力和运算求解能力，属于中档题. 不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a<无解⇔()min f x a ≥.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分 13.()53x -展开式中2x 项的系数为________. 【★答案★】270- 【解析】 【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解即可．【详解】解：∵()53x -展开式的通项公式为()5153rrr r T C x -+=⋅⋅-，令52r，得3r =，则()3322453270T C x x =⋅⋅-=-，故★答案★为：270-．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．14.山西省高考将实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物，历史，政治，地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假设他们对六科没有偏好，则他们选科至少两科相同的概率为________. 【★答案★】12【解析】 【分析】由题意得，基本事件总数3366400n C C ==，他们选科至少两科相同包含的基本事件个数13213646200m C C C C =+=，再根据古典概型的概率计算公式即可求出概率．【详解】解：山西省高考将实行33+模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物，历史，政治，地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，包含的基本事件总数3366400n C C ==，他们选科至少两科相同包含的基本事件个数13213646200m C C C C =+=，∴他们选科至少两科相同概率为20014002m p n ===，故★答案★为：12． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题．15.已知,a b 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b ，e 满足2680b e b -⋅+=，则||a b -的最小值为________.【★答案★】3312- 【解析】【分析】将2680b e b -⋅+=，转化为22680-⋅+=b e b e ，得到2b e = 或4b e =，利用平面向量的几何意义，得到向量b 的终点是在以2e 和4e 的终点为直径端点的圆上运动，作出图象，利用||a b -的几何意义求解.【详解】因为e 是单位向量，且2680b e b -⋅+=，所以22680-⋅+=b e b e ，所以()()240-⋅-=b e b e ，解得2b e = 或4b e =，所以向量b 的终点在以2e 和4e 的终点为直径端点的圆上运动，设2=OD e ，4=OE e ，则在圆心为3=OC e 的终点C ，半径为1的圆上运动，如图所示：其中OB b =，向量a 的终点在射线OA 上运动，当CF OA ⊥，交圆与点B ，交OA 于点F 时，||||-=a b BF 最小，此时333||sin 3322π==⨯=CF OC ， 33||112=-=-BF CF . 故★答案★为：3312- 【点睛】本题主要考查平面向量的综合运用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足:AB AD ⊥，BC CD ⊥，2,AD AB CD BC ==，设三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的体积分别为12,V V ，则1V 与2V 的大小关系是: 1V ________2V ，设三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球的表面积分别为12,S S ，则1S 与2S 的大小关系是: 1S ________2S （用“>”“=”“<”填空）．【★答案★】 (1). < (2). =【解析】【分析】由题意，可得三棱锥P ABD -的高和三棱锥P ACD -的高相等，从而比较ABD △和ACD △的面积即可得出第一空；由题意可得,,,A B C D 四点共圆，则三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球相同，由此可得出第二空．【详解】解：由题意，可得三棱锥P ABD -的高和三棱锥P ACD -的高相等，都等于点P 到平面ABCD 的距离，∵2,AD AB CD BC ==，设AB x =，则2AD x =，5BD x =，102CD BC x ==， ∴5sin 5ADB ∠=，25cos 5ADB ∠=，4BDC π∠=， ∴sin sin 4ADC ADB π⎛⎫∠=∠+ ⎪⎝⎭252531025510⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ABD △的面积2112=22ABD S AB AD x x x =⋅⋅=⋅⋅， ACD △的面积1sin 2ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠2110310232210x x x =⋅⋅⋅=， ∴ABD ACD S S <△△，∴12V V <；∵AB AD ⊥，BC CD ⊥， ∴2BAD BCD π∠=∠=，∴ABD △和ACD △的外接圆都是以BD 为直径的圆（即,,,A B C D 四点共圆），∴三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球相同，∴12S S ；故★答案★为：<；=．【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，考查几何体的外接球问题，属于中档题．三、解答题共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cossin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若6A π=，AB 边上的中线27CM =，求ABC 的面积．【★答案★】（1）23B π=（2）43 【解析】【分析】 （1）由正弦定理可得sin cos sin sin 2A C A B A +=，再利用诱导公式和倍角公式，求得23B π=，即可得★答案★； （2）利用余弦定理求出4a =，再代入三角形的面积公式，即可得★答案★； 【详解】（1）依题设及正弦定理可得，sin cos sin sin 2A C A B A +=， 因sin 0A >，所以cos cos sin 222A CB B π+-==， 所以sin 2sin cos 222B B B =， 又sin 02B >，所以1cos 22B =， 又022B π<<，所以23B π=，即23B π=. （2）因为23B π=，6A π=， 所以6C A B ππ=--=，故ABC 为等腰三角形． 则c a =，2a BM = 在MBC △中由余弦定理可得，2222cos MC BM BC BM BC B =+-⋅⋅，即()2222272cos 223a a a a π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得4a =， 所以113sin 4443222ABCS ac B ==⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，//,AB CD AB AD ⊥平面ABCD ⊥平面PAD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上一点，且,2 6.PD AD AB DF ===（1）求证://EF 平面PAD ；（2）若4,3,PA PD ==求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.【★答案★】（1）证明见解析；（2）26539. 【解析】【分析】 （1）取PA 的中点M ，连接MD ，ME ，证明四边形MDFE 是平行四边形，则//EF MD ，再由直线与平面平行的判定可得//EF 面PAD ；（2）过点P 作PH AD ⊥于点H ，则PH ⊥平面ABCD ，以H 为坐标原点，HA 所在直线为y 轴，过点H 且平行于AB 的直线为z 轴，PH 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABCD 的一个法向量与PB 的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.【详解】（1）如图，取PA 的中点M ，连接,MD ME .则//ME AB ，12ME AB =. 又//DF AB ，12DF AB =，所以//ME DF ，ME DF =， 所以四边形MDFE 是平行四边形，所以//EF MD ，因为MD ⊂面PAD ，EF ⊄面PAD ，所以//EF PAD 面（2）过点P 作PH AD ⊥于点H ，则PH ⊥平面ABCD ，以H 为坐标原点，HA 所在直线为y 轴，过点H 且平行于AB 的直线为z 轴，PH 所在直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，在等腰三角形PAD 中，3PD AD ==，4PA =，因为PH AD MD PA ⋅=⋅，所以223432PH =⨯-， 解得453PH =. 则83AH =，所以45,0,03P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭8(0,,6)3B ，所以458(,,6)33PB =-. 易知平面ABCD 的一个法向量为(1,0,0)n =，所以265cos ,39PB n PB n PB n⋅==-⋅， 所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为26539.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题.19.已知O 为坐标原点，()0,1,F M 为坐标平面内动点，且2,,2FM OM OF ⋅成等差数列.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线C ，过点F 作直线交C 于,A B 两点(不与原点重合)，是否存在y 轴上一定点Q ，使得_________.若存在，求出定点Q ，若不存在，说明理由.从“①作B 点关于y 轴的对称点'B ，则,',A B Q 三点共线；②0QA QB k k +=”这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答(注:如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分)【★答案★】（1）24x y =；（2）两种选择都存在(0,1)Q - 满足条件.【解析】【分析】（1）设(,)M x y ，(0,0)O ，(0,1)F ，由已知得关于x ，y 的关系式，整理即可求得点M 的轨迹方程； （2）当选①时，设:1AB l y kx =+，与24x y =联立，得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积，写出直线AB '的方程，由直线系方程可得，直线AB '过定点(0,1)Q -，说明结论成立；当选②时，假设存在(0,)Q q 满足条件②，设:1AB l y kx =+，与24x y =联立，得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积，由0QA QB k k +=求得1q =-，说明存在(0,1)Q -满足条件．【详解】解：（1）设(,)M x y ，(0,0)O ，(0,1)F ， 则22||(1)FM x y =+-，OM OF y =， 由2，||FM ，2OM OF 成等差数列，得2||22FM OM OF =+，即||1FM OM OF =+， 即22(1)1x y y +-=+，化简得24x y =， ∴点M 的轨迹方程为24x y =；（2）当选①时，设:1AB l y kx =+，与24x y =联立，得2440x kx --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2(B x '-，2)y ，124x x k +=，124x x =-，112121124()44AB x y y k x x x k x x k '+--===+，2211114:()44AB x x l y x x x '+-=-，化简得211414x y x x +=-， ∴存在(0,1)Q -满足条件．当选②时，假设存在(0,)Q q 满足条件②，设:1AB l y kx =+，与24x y =联立，得2440x kx --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2(B x '-，2)y ，124x x k +=，124x x =-，121211QA QB kx q kx q k k x x +-+-+=+1212122(1)()84(1)4kx x q x x k q k x x +-+-+-==-， 84(1)0k q k ∴-+-=，即1q =-，∴存在(0,1)Q -满足条件．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．20.设()()2sin cos ,4f x x x x g x x =+=+. （1）讨论()f x 在[],ππ-上的单调性；（2）令()()()4h x g x f x =-，试证明()h x 在R 上有且仅有三个零点.【★答案★】（1）()f x 的单调递增区间是,,0,22πππ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,0,,22πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求导得到()cos f x x x '=，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据2()44sin 4cos h x x x x x =+--，(0)0h =得到0x =是()h x 的一个零点，再根据()h x 是偶函数得到()h x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()h x 的零点个数即可，再求出()h x 在0x >时的单调性和最值，确定其零点个数即可.【详解】()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，令()0f x '=，则0x =或2x π=±.,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 单调递减， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. ()f x ∴的单调递增区间是,,0,22πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 递减区间是,0,,22πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）2()44sin 4cos h x x x x x =+--，因为(0)0h =，所以0x =是()h x 的一个零点.22()()44()sin()4cos()44sin 4cos ()h x x x x x x x x x h x -=-+-----=+--=所以()h x 是偶函数，即要确定()h x 在R 上的零点个数，需确定0x >时，()h x 的零点个数即可.①当0x >时，'()24cos 2(12cos )h x x x x x x =-=-令'()0h x =，即1cos 223x x kx π==+，或23x kx π=-+()k N ∈. (0,)3x π∈时，'()0,()h x h x <单调递减，且223()20393h πππ=+-<， 5(,)33x ππ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增， 且2525103()20393h πππ=++> ()h x ∴在5(0,)3π有唯一零点 ②当53x π≥时，由于sin 1x ≤，cos 1≤x . 2()44sin 4cos h x x x x x =+--224444()x x x x t x ≥+--=-=而()t x 在5(,)3π+∞单调递增，5()()03t x t π≥> 所以()0h x >恒成立，故()h x 在5(,)3π+∞无零点， 所以()h x 在(0,)+∞有一个零点，由于()h x 是偶函数，所以()h x 在(,0)-∞有一个零点，而(0)0h =，综上()h x 在R 有且仅有三个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.21.学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为:解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B 类解答”为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表: 教师评分（满分12分） 1110 9 各分数所占比例 14 12 14某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下:两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响). （1）本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B 类解答”，求甲同学此题得分X 的分布列及数学期望()E X ;（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“B 类解答”. ①记乙同学6个题得分为()12345i x x x x x x <<<<的题目个数为51,6,i ii a a==∑计算事件233a a +=“”的概率.②同学丙的前四题均为满分，第5题为“B 类解答”，第6题得8分.以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B 类解答”的认识. 【★答案★】（1）分布列见解析，32132；（2）①516；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据题意，随机变量X 的取值为9，9.5，10，10.5，11 ，再分析一评、二评、仲裁所打的分数情况，然后根据相互独立事件的概率逐一求出相应的概率，得到分布列，求得数学期望； （2）①方法一：事件“233a a +=”可分为230,3a a ==;231,2a a ==;232,1a a ==;233,0a a ==四种情况，结合独立事件的概率计算公式，求得概率；方法二：记“9.5X =或10X =”为事件A ，6次实验中，事件A 发生的次数1~(6,)2Y B ，“233a a +=”相当于事件A 恰好发生3次，结合独立重复试验的概率计算公式求解； ②依次求出乙丙的数学期望，通过比较数学期望值的大小，即可得到结论. 【详解】（1）根据题意，随机变量X 的取值为9，9.5，10，10.5，11 设一评、二评、仲裁所打的分数分别是,,x y z(9)(9,9)(9,11,9)(11,9,9)P X P x y P x y z P x y z ====+===+===11111324444432=⋅+⋅⋅⋅=， 11111(9.5)(9,10)(10,9)42424P X P x y P x y ====+===⋅+⋅=，1(10)(10,10)4P X P x y =====(10.5)(10,11)(11,10)(9,11,10)P X P x y P x y P x y z ====+==+===111115(11,9,10)24444416P x y z +====⋅+⋅⋅⋅=，(11)(11,11)(9,11,11)(11,9,11)P X P x y P x y z P x y z ====+===+===11111324444432=⋅+⋅⋅⋅= 故X 的分布列为X9 9.5 10 10.5 11P332 14 14 516 33231153321()99.51010.5113244163232E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）①方法一事件“233a a +=”可分为230,3a a ==;231,2a a ==;232,1a a ==;233,0a a ==四种情况，其概率为23232323(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)P a a P a a P a a P a a ==+==+==+==33321331233333664656111111115()()()()()()()()4242424216C C C C C C =+++=.方法二记“9.5X =或10X =”为事件A ，6次实验中，事件A 发生的次数1~(6,)2Y B ，“233a a +=”相当于事件A 恰好发生3次，故概率为：333236115(3)()()2216P a a C +===. ②由题意可知：乙同学得分的均值为32119266()63232E X =⋅=， 丙同学得分均值为：321211341283232⨯++=. 显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“B 类解答”的出现.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望的求解及应用，着重考查学生对数据分析和处理能力，将所学理论知识与实际生活相联系的能力，属于中档题. (二)选考题:共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修4-4坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点P 的极坐标1,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线1l 经过点P ，且倾斜角为)(0θθ≠.（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和直线1l 的标准参数方程；（2）直线1l 与曲线C 交于,A B 两点，直线2l 的参数方程为2cos ?22sin 2x t y t θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线2l 与曲线C 交于,C D 两点，求证:||||||||PA PB PC PD =.【★答案★】（1）2213x y +=，2cos 22sin 2x t y t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消参得到曲线1C 的直角坐标方程，求点P 的直角坐标，再直接写成直线1l 的标准参数方程；（2）首先将直线1l 的参数方程和曲线2213x y +=联立，利用参数的几何意义可知12PA PB t t =,同理可得34PC PD t t =，利用根与系数的关系证明.【详解】（1）由3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数α得2213xy +=由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得点P 的直角坐标为2222P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴直线l 的标准参数方程为2cos 22sin 2x t y t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）（2）将直线l 的标准参数方程2cos 22sin 2x t y t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入2213x y +=得2222(cos )3(sin )322t t θθ+++= 化简得()2212sin )2cos 32sin 10t t θθθ+++-=（ 设方程两根为12,t t ，则122112sin t t θ=+ 由直线参数方程中t 的几何意义得122112sin PA PB t t θ==+同理将2l 的参数方程代入C 的参数方程可得2222(cos )3(sin )322t t θθ-++= 342112sin PC PD t t θ==+PA PB PC PD ∴=【点睛】本题考查直线参数方程中t 的几何意义的应用，以及参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化，重点考查基本公式，基本方法，属于基础题型. 选修4-5不等式选讲23.已知函数()|1|2|2|)(R f x x x x =-+-∈，记()f x 得最小值为m . （1）解不等式()5f x ≤；（2）若2a b m +=，求22a b +的最小值. 【★答案★】（1）100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）15.【解析】【分析】（1）利用零点分段法，分1x <，12x ≤≤，2x >三种情况去绝对值，解不等式； （2）利用含绝对值三角不等式求得1m =，即21a b +=，方法一，利用柯西不等式2222(2)(12)()a b a b +≤++，求得22a b +的最小值，方法二，根据12a b =-，代入22a b + ，转化为关于b 的二次函数求最值.【详解】（1）53,1()3,1235,2x x f x x x x x -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，原不等式可等价于5351x x -≤⎧⎨<⎩，或3512x x -≤⎧⎨≤≤⎩，或3552x x -≤⎧⎨>⎩解得：1003x ≤≤， 所以原不等式的解集为100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由（1）可知()122122f x x x x x x =-+-=-+-+-，()()122121x x x x ≥---+-=+-≥当且仅当2x =时等号成立，所以1m = 即21a b +=方法一 由柯西不等式得2222(2)(12)()a b a b +≤++2215a b ∴+≥，当且仅当225a b ==时取等号 方法二 由题意得12a b =-222222211(12)5415()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥当且仅当12,55a b ==时等号成立.【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，以及含绝对值三角不等式的应用，柯西不等式求最值，意在考查转化与化归的思想，计算能力属于基础题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
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山西省省际名校联考高考数学押题卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i 是虚数单位，是z 的共轭复数，若z=，则||为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设集合A={x|e x ＞}，集合B={x|lgx ≤﹣lg2}，则A∪B 等于（ ）A ．RB ．[0，+∞）C ．（0，+∞）D ．∅3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 6=3，则a 4+a 8=（ ） A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值3 4．设a ，b ，c 为△ABC 的三边长，若c 2=a 2+b 2，且sinA+cosA=，则∠B 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图给出的是计算+++…++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A ．i ≤4030？B ．i ≥4030？C ．i ≤4032？D ．i ≥4032？6．现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（ ）种． A ．36 B ．9C ．18D ．157．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．πB ．34πC ．πD ．17π8．M 是△ABC 所在平面上一点，满足++=2，则为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：1D ．1：4 9．下列说法错误的是（ ）A ．若a ，b ∈R ，且a+b ＞4，则a ，b 至少有一个大于2B ．若p 是q 的充分不必要条件，则￢p 是￢q 的必要不充分条件C ．若命题p ：“＞0”，则￢p ：“≤0”D ．△ABC 中，A 是最大角，则sin 2A ＞sin 2B+sin 2C 是△ABC 为钝角三角形的充要条件 10．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，△ABC 为等边三角形，且AB=BB 1=，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90° C ．105°D ．75°11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足xf′（x ）﹣f （x ）＞0，当0＜m ＜n ＜1时，下面选项中最大的一项是（ ） A ．B ．log m n•f（log n m ）C ．D ．log n m•f（log m n ）12．过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线y 2=2px （p ＞0）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若=（+），则双曲线的离心率的平方为（ ） A ． B ． C ． +1 D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知抛物线的方程为2y=x 2，则该抛物线的准线方程为 ． 14．由直线x=，y=x ，曲线y=所围成封闭图形的面积为 ．15．若将函数f（x）=（x﹣1）7表示为f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，其中（ai∈R，i=0，1，2，…，7）为实数，则a4等于．16．已知数列{an }，a1=1，且an﹣1﹣an﹣1an﹣an=0（n≥2，n∈N*），记bn=a2n﹣1a2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足不等式Tn＜成立的最大正整数n为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）求+a的最大值．18．某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，SB⊥AD，侧面SAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为菱形，侧面SAD 与底面ABCD所成的二面角为120°．（1）求点S到平面ABCD的距离；（2）若E为SC的中点，求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．20．已知F 1，F 2分别为椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点，椭圆上点M （，）到F 1、F 2两点的距离之和等于4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于点N （点N 在第一象限），E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果k EN +K FN =0，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值． 21．设函数f （x ）=．（1）求函数f （x ）在[0，2]上得单调区间；（2）当m=0，k ∈R 时，求函数g （x ）=f （x ）﹣kx 2在R 上零点个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．BD 是等腰直角三角形△ABC 腰AC 上的中线，AM ⊥BD 于点M ，延长AM 交BC 于点N ，AF ⊥BC 于点F ，AF 与BD 交于点E ．（1）求证；△ABE ≌△ACN ； （2）求证：∠ADB=∠CDN ．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ﹣6cosθ=0，直线l 的参数方程为：（t 为参数），l 与C 交于P 1，P 2两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程及l 的普通方程； （2）已知P 0（3，0），求||P 0P 1|﹣|P 0P 2||的值．[选修4-5：不等式选讲] 24．函数f （x ）=|x|﹣2|x+3|． （1）解不等式f （x ）≥2；（2）若存在x∈R使不等式f（x）﹣|3t﹣2|≥0成立，求参数t的取值范围．山西省省际名校联考高考数学押题卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i 是虚数单位，是z 的共轭复数，若z=，则||为（ ）A ．B ．C ．D ．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求得答案． 【解答】解：∵z==，∴||=|z|=．故选：A ．2．设集合A={x|e x ＞}，集合B={x|lgx ≤﹣lg2}，则A∪B 等于（ ）A ．RB ．[0，+∞）C ．（0，+∞）D ．∅【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的并集的定义即可求出． 【解答】解：由e x ＞=，得到x ＞，A=（，+∞），由lgx ≤﹣lg2=lg ，得到0＜x ≤，B=（0，]， ∴A∪B=（0，+∞）， 故选：C ．3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 6=3，则a 4+a 8=（ ） A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意设出等比数列的公比，把a 4、a 8用a 6和公比表示，然后利用基本不等式求得答案． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0）， ∵a 6=3，∴，∴a4+a8=．当且仅当q=1时上式等号成立．故选：A．4．设a，b，c为△ABC的三边长，若c2=a2+b2，且sinA+cosA=，则∠B的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由c2=b2+a2，可得．由sinA+cosA=，化为2=，A∈，解得A．即可得出B．【解答】解：∵c2=b2+a2，∴．∵sinA+cosA=，∴2=，A∈，∴A+=，解得A=．则B==．故选：D．5．如图给出的是计算+++…++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤4030？B．i≥4030？C．i≤4032？D．i≥4032？【考点】程序框图．【分析】程序的功能是求S=+++…++的值，且在循环体中，S=S+表示，每次累加的是的值，故当i≤4032应满足条件进入循环，进而得到答案．【解答】解：∵程序的功能是求S=+++…++的值，且在循环体中，S=S+表示，每次累加的是的值，故当i≤4032应满足条件进入循环，i＞4032时就不满足条件分析四个答案可得条件为：i≤4032，故选：C6．现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（）种．A．36 B．9 C．18 D．15【考点】计数原理的应用．【分析】由敌意分为两类第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的2人各得一本，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余两人各一本语文书，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的2人各得一本，有C31A22=6种，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余两人各一本语文书，有C31=3种，根据分类计数原理可得，6+3=9种，故选：B．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（）A．πB．34π C．πD．17π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出对应的长方体，由三视图求出几何元素的长度，由长方体求出外接球的半径，由球体的表面积公式求出该四棱锥外接球的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P﹣ABCD，如图：且四棱锥P﹣ABCD是长方体的一部分，AP=4、AB=AD=3，∴该四棱锥和正方体的外接球相同，设外接球的半径是R，则2R==，R=，∴该四棱锥外接球的表面积S=4πR2=34π，故选：B．8．M是△ABC所在平面上一点，满足++=2，则为（）A．1：2 B．1：3 C．1：1 D．1：4【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】如图所示，由++=2，可得++=2，化为： =，因此AM∥BC，3AM=BC，∠CBA=π﹣∠BAM，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，∵++=2，∴++=2，化为： =，∴AM∥BC，3AM=BC，∠CBA=π﹣∠BAM，∴sin∠CBA=sin∠BAM，则==．故选：C．9．下列说法错误的是（）A．若a，b∈R，且a+b＞4，则a，b至少有一个大于2B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若命题p：“＞0”，则￢p：“≤0”D．△ABC中，A是最大角，则sin2A＞sin2B+sin2C是△ABC为钝角三角形的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用反证法进行证明B．根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断C．根据命题的否定进行判断D．根据正弦定理和余弦定理进行判断．【解答】解：A．若a，b至少有一个大于2不成立，则都不大于2，则a≤2，b≤2，则a+b≤4，与a+b＞4矛盾，故假设不成立，则若a，b∈R，且a+b＞4，则a，b至少有一个大于2正确，B．若p是q的充分不必要条件，则￢q是￢p的充分不必要条件，即￢p是￢q的必要不充分条件，正确，C．若命题p：“＞0”，则￢p：“≤0或x﹣1=0”，故C错误，D．△ABC中，A是最大角，则sin2A＞sin2B+sin2C得a2＞b2+c2，则cosA=＜0，则A是钝角，则△ABC为钝角三角形，若△ABC为钝角三角形，∵A是最大角，∴A是钝角，则cosA=＜0，即a2＞b2+c2，则sin2A＞sin2B+sin2C成立，即sin2A＞sin2B+sin2C是△ABC为钝角三角形的充要条件正确，故选：C10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，且AB=BB1=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60° B．90° C．105°D．75°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】根据条件可作出图形，并且得到B1A1=B1B，根据向量的加法及数乘的几何意义便可得到，，从而可求得，这样即可得出AB1和C1B所成角的大小．【解答】解：如图，根据条件，B1A1=B1B；又，；∴；∴；∴AB 1和C 1B 所成的角的大小为90°． 故选：B ．11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足xf′（x ）﹣f （x ）＞0，当0＜m ＜n ＜1时，下面选项中最大的一项是（ ） A ．B ．log m n•f（log n m ）C ．D ．log n m•f（log m n ）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过构造新函数构造函数F （x ）=xf （x ）得出F （x ）在R 上是增函数，得到log n （m ）最大，从而得出答案．【解答】解：构造函数F （x ）=，∵xf′（x ）﹣f （x ）＞0， 则F′（x ）=＞0，即F （x ）在R 上是增函数， 又由0＜m ＜n ＜1，知m n ，n m ＜1， 而log m （n ）＜log m （m ）=1， log n （m ）＞log n （n ）=1，故在m n ＜n m ，log m （n ），log n （m ）中log n （m ）最大， 故F （log n （m ））=log mn •f（log nm ）最大 故选：B ．12．过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线y 2=2px （p ＞0）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若=（+），则双曲线的离心率的平方为（ ）A．B．C． +1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由=（+），可得P为FQ的中点，设F（c，0），一条渐近线方程和垂直的垂线方程，求得交点P的坐标，由中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：由=（+），可得P为FQ的中点，设F（c，0），由渐近线方程y=x，①可设直线FP的方程为y=﹣（x﹣c），②由①②解得P（，），由中点坐标公式可得Q（﹣c，），代入抛物线的方程可得=2p•（﹣c），③由题意可得c=，即2p=4c，③即有c4﹣a2c2﹣a4=0，由e=可得e4﹣e2﹣1=0，解得e2=．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知抛物线的方程为2y=x2，则该抛物线的准线方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以准线方程y=﹣=﹣．故答案为：．14．由直线x=，y=x，曲线y=所围成封闭图形的面积为ln2﹣．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示面积，即可求得结论．【解答】解：由，解得x=1，y=1，∴直线x=，y=x，曲线y=所围成封闭图形的面积为S=（﹣x）dx=（lnx﹣x2）|=（ln1﹣）﹣（﹣ln2﹣）=ln2﹣，故答案为：15．若将函数f（x）=（x﹣1）7表示为f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，其中（ai∈R，i=0，1，2，…，7）为实数，则a4等于﹣280 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据题意可得a4等于[﹣2+（x+1）]7的展开式中（x+1）4的系数，再利用二项展开式的通项公式求得a4的值．【解答】解：将函数f（x）=（x﹣1）7=[﹣2+（x+1）]7表示为f（x）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，其中（ai ∈R，i=0，1，2，…，7）为实数，则a4等于（x+1）4的系数，∴a4=•（﹣2）3=﹣280，故答案为：﹣280．16．已知数列{a n }，a 1=1，且a n ﹣1﹣a n ﹣1a n ﹣a n =0（n ≥2，n ∈N *），记b n =a 2n ﹣1a 2n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足不等式T n ＜成立的最大正整数n 为 7 ．【考点】数列的求和．【分析】先根据递推公式求出数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，求出a n ，再求出b n ，根据裂项求和求出T n ，再解不等式即可． 【解答】解：∵a n ﹣1﹣a n ﹣1a n ﹣a n =0， ∴﹣=1，∵a 1=1， ∴=1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=1+n ﹣1=n ，即a n =， 当n=1是成立， ∴b n =a 2n ﹣1a 2n+1=•=（﹣），∴T n =b 1+b 2+…+b n =（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵T n ＜，∴（1﹣）＜，∴2n+1＜17， 即n ＜8，∴满足不等式T n ＜成立的最大正整数n 为7，故答案为：7．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，已知c=2，C=．（1）若△ABC 的面积等于，求a ，b ；（2）求+a的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由c=2，C=，利用余弦定理可得：a2+b2﹣ab=4，根据三角形的面积，联立方程组解出即可得出．（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，∵，∴ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2．（2）由题意==，则=，（其中），当sin（B+φ）=1 时，的最大值为．18．某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据题意，可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，计算K2，验证K2是否大于10.828，即可得出结论；（2）①分别求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；②由于X～B（4，），即可计算数学期望和方差．【解答】解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评120 60 180对教师教学水平不满意105 15 120合计225 75 300…2分，∴可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关；…5分（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，…8分X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P…10分②由于X～B（4，），则，．…12分19．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，SB⊥AD，侧面SAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为菱形，侧面SAD 与底面ABCD所成的二面角为120°．（1）求点S到平面ABCD的距离；（2）若E为SC的中点，求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）解：作SO⊥平面ABCD，连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．推导出OB⊥AD，SF ⊥AD．从而∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出点S到平面ABCD的距离．（2）以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【解答】解：（1）如图，作SO⊥平面ABCD，垂足为点O．连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．∵SB⊥AD，∴OB⊥AD．∵SA=SD，∴OA=OD．∴点F为AD的中点，所以SF⊥AD．由此知∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，∴∠SFB=120°，∵侧面SAD是边长为4的等边三角形，∴SF==2，∴SO=SF•sin60°=2=3，即点S到平面ABCD的距离为3．…（2）如图以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知得：A（，2，0），D（，0），C（3，﹣4，0），E（，﹣2，），=（0，﹣4，0），=（，0，），=（﹣，2，），设平面ADE的法向量为，则令x=，得=（，0，﹣1）．设平面DEC的法向量为=（x，y，z），则，令x=，得=（，3，﹣1），设二面角的平面角为θ，则cosθ===，∴sinθ==，∴二面角A ﹣DE ﹣C 的正弦值为．20．已知F 1，F 2分别为椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点，椭圆上点M （，）到F 1、F 2两点的距离之和等于4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于点N （点N 在第一象限），E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果k EN +K FN =0，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知求得a ，把已知的坐标代入椭圆方程得到关于a ，b 的关系式，把a 代入求得b ，则椭圆方程可求；（2）求出N 的坐标，设出NE 所在直线方程，与椭圆方程联立求得E 的坐标，同理求得F 的坐标，代入两点求斜率公式可得直线EF 的斜率为定值． 【解答】解：（1）依据椭圆的定义2a=4⇒a=2， ∵在椭圆上， ∴，把a=2代入可得b 2=3．∴椭圆方程；（2）由（1）得，c=1，则N （1，）， 设直线NE 的方程为：，代入，得．设E （x E ，y E ），F （x F ，y F ），∵点在椭圆上，∴由韦达定理得：．∴．又直线NF的斜率与NE的斜率互为相反数，在上式中以﹣k代k，可得，∴xF +xE=，．．∴直线EF的斜率=，即直线EF的斜率为定值，其值为．21．设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[0，2]上得单调区间；（2）当m=0，k∈R时，求函数g（x）=f（x）﹣kx2在R上零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（2）将m=0代入g（x），令g（x）=0，分离出k，根据函数的单调性求出k的范围，从而判断出零点的个数．【解答】解：（1），当2﹣m≤0，即m≥2时，x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]上单调递增；当0＜m＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜2﹣m，令f′（x）＞0，得2﹣m＜x＜2，所以f（x）在[0，2﹣m]上单调递减，在[2﹣m，2]上单调递增；当m≤0时，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上单调递减．…（2）由g（x）=f（x）﹣kx2=0，令，，由或，由或，∴h（x）在上单调递减，在上单调递增．…在x＜0时，当时，h（x）取得极小值，且，当x→﹣∞时，h（x）→+∞；x→0时，h（x）→+∞．在x＞0时，当时，h（x）取得极小值，当x→0时，h（x）→+∞，x→+∞时，h（x）→0．综上结合图形得当没有零点，当有一个零点，当或有二个零点，当时有三个零点．…[选修4-1：几何证明选讲]22．BD是等腰直角三角形△ABC腰AC上的中线，AM⊥BD于点M，延长AM交BC于点N，AF⊥BC于点F，AF 与BD交于点E．（1）求证；△ABE≌△ACN；（2）求证：∠ADB=∠CDN．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）通过证明∠BAE=∠C，AB=AC，∠ABD=∠NAC，即可判定△ABE≌△ACN．（2）由AE=NC，AD=CD，∠EAD=∠C，可证明△ADE≌△CDN，利用全等三角形的性质即可证明∠ADB=∠CDN．【解答】（本题满分为10分）证明：（1）∠BAE=∠C=45°，AB=AC，∠ABD=∠NAC（∠ADB的余角），∴△ABE≌△ACN．…（2）由（1）可得AE=NC，AD=CD，∠EAD=∠C=45°，∴△ADE≌△CDN，∴∠ADB=∠CDN．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρs in 2θ﹣6cosθ=0，直线l 的参数方程为：（t 为参数），l 与C 交于P 1，P 2两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程及l 的普通方程；（2）已知P 0（3，0），求||P 0P 1|﹣|P 0P 2||的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解．（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，利用参数方程的几何意义进行求解．【解答】解：（ 1）∵ρsin 2θ﹣6cosθ=0，∴ρ2sin 2θ﹣ρ6cosθ=0，由得y 2=6x ，即C 的直角坐标方程，直线l 消去参数t 得x=3+（2y ）， 整理得．（2）将l 的参数方程代入y 2=6x ，得． 设P 1，P 2对应参数分别为t 1，t 2，，t 1•t 2=﹣72， 所求．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f （x ）=|x|﹣2|x+3|．（1）解不等式f （x ）≥2； （2）若存在x ∈R 使不等式f （x ）﹣|3t ﹣2|≥0成立，求参数t 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】去掉绝对值符号，化简函数的解析式为分段函数，（ I ）不等式转化为或或，求出解集即可．（Ⅱ）求出f （x ）max =3，转化不等式为f （x ）max ﹣|3t ﹣2|≥0，然后求解参数t 的取值范围．【解答】解：，… （ I ）或或， ∴﹣4≤x ＜﹣3或或ϕ． ∴不等式f （x ）≥2的解集为．… （Ⅱ）∵f （x ）max =3∴只需f （x ）max ﹣|3t ﹣2|≥0，即3﹣|3t ﹣2|≥0， 亦即|3t ﹣2|≤3，解之得：，∴参数t 的取值范围．…。