高中函数基础经典例题

高中数学函数基础经典例题

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1求函数8

31522-+--=x x x y 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足

⎪⎩

⎪⎨⎧≠-+≥--08301522x x x 二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求；另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。

其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。

例3已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。

（2）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。

其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。

例4已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。

解：因为21≤≤x ，422≤≤x ，5123≤+≤x 。

即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为R ，表明0862≥++-m mx mx ，使一切R x ∈都成立，由2

x

项的系数是m ，所以应分0=m 或0≠m 进行讨论。

解：当0=m 时，函数的定义域为R ； 当0≠m 时，0862

≥++-m mx mx 是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是 ⎩⎨⎧≤+--=∆>0

)8(4)6(02m m m m 10≤<⇒m 综上可知10≤≤m 。

评注：不少学生容易忽略0=m 的情况，希望通过此例解决问题。

例6已知函数3

47)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围。 解：要使函数有意义，则必须0342≠++kx kx 恒成立，

因为)(x f 的定义域为R ，即0342=++kx kx 无实数解

①当0≠k 时，034162<⨯-=∆k k 恒成立，解得430<

综上k 的取值范围是430<

≤k 。 四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x ，则另一边长为)2(2

1x a -于是可得矩形面积。 ax x x ax x a x y 2

121)2(2122+-=-=-⋅=。 由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

⎪⎩⎪⎨⎧>->0)2(2

10x a x ⎩⎨⎧>->⇒020x a x 20a x <<⇒。 故所求函数的解析式为ax x y 212+

-=，定义域为)2,0(a 。 五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9已知)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)()()(a x f a x f x F -++=的定义域。 解：因为的定义域为]1,0[，即10≤≤x 。故函数)(x F 的定义域为下列不等式组的解集： ⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1010a x a x ，即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a

x a a x a 11 即两个区间[]a a --1,与[]a a +1,的交集，比较两个区间左、右端点，知

（1）当02

1≤≤-

a 时，)(x F 的定义域为{}a x a x +≤≤-1|； （2）当2

10≤≤a 时，)(x F 的定义域为{}a x a x -≤≤1|； （3）当21>a 或21-