第一节勒贝格积分的引入

∑
k
y k m (( E 1 ∩ e k ) ∪ ( E 2 ∩ e k )) y k m (E1 ∩ e k ) +
∑
k
∑
k
y k m (E 2 ∩ e k )
∫
E1
( x)dm +
∫
E2
( x)dm.
可加性得证. 可加性得证.
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).当 再证(1).当设简单函数
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第四章 勒贝格积分
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第一节 勒贝格积分的引入
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在引言与第四章中我们已经提到, 在引言与第四章中我们已经提到 Riemann 积分在可积函数类上或处 理积分或连续函数极限时存在一些缺 使得Riemann 积分在处理分析 陷, 使得 数学中的一些问题时显得不够有力. 数学中的一些问题时显得不够有力 因此需要建立新的积分的理论. 因此需要建立新的积分的理论
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一般集合上一般函数的积分是通过两 步完成的. 步完成的. 第一步是建立简单函数与非负函 数在有限测度集合上的积分. 数在有限测度集合上的积分.再把无 穷测度集合表示为测度有限集列的极 限来完成的. 限来完成的. 第二步是建立一般函数的积分, 第二步是建立一般函数的积分, 它是将其分解两个非负函数(正部与负 它是将其分解两个非负函数 正部与负 的差的办法来完成的. 部)的差的办法来完成的. 的差的办法来完成的
∫
E1
均有定义. ( x)dm, ∫ ( x)dm 均有定义.
E2
设 ( x) = ∑ yk χek ( x) ,其中 E = ∪ ek 等为互不相 其中
k =1
k
n
交的可测集. 交的可测集.
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那么
∫
E
( x)dm =
∑
k
y k m ek
= = =
+
+∞
)
注:当 ( L) ∫E f ( x)dx 有限时 有限时,称f(x)在E上 L可积 可积 积分的几何意义:
( L) ∫ f ( x)dx = mG ( E; f ) mG ( E; f )
E + +
G ( E; f ) = {( x, y ) : x ∈ E , 0 ≤ y < f ( x)}
E
为f(x)在E上的Lebesgue积分
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(2)有界可测集E上一般可测函数的勒贝格积分 有界可测集E 有界可测集
定义1.2 设f(x)为E上的可测函数,定义
(L)∫ f (x)dx = (L)∫ f (x)dx (L)∫ f (x)dx
E E E +
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二十世纪初, 二十世纪初 Lebesgue 建立了一种 新的积分理论. 新的积分理论 新的积分理论消除了上 述缺陷, 并且包含了原有的Riemann 述缺陷 并且包含了原有的 积分理论. 积分理论 这就是本章将要介绍的Lebesgue 积 这就是本章将要介绍的 分理论.现代数学的许多分支如概率论 分理论 现代数学的许多分支如概率论, 现代数学的许多分支如概率论 泛函分析, 泛函分析 群上调和分析等越来越多的 用到一般空间上的测度与积分理论. 用到一般空间上的测度与积分理论
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为简单函数φ(x)在 称和 ∑ y k mek 为简单函数φ(x)在 E
k =1
n
上的勒贝格积分, 上的勒贝格积分, 记为
∫
E
( x ) dm = ∑ y k mek .
k =1
n
(简单函数的勒贝格积分) 简单函数的勒贝格积分)
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(b) 如果可测函数 如果可测函数f(x)与g(x) 在E上几乎处处 与 上几乎处处
满足0≤g(x) ≤f(x), 则当 则当f(x)可积时 可积时,g(x)也 满足 可积时 也 可积,且有 可积 且有
∫
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E
g ( x )d x ≤
∫
ห้องสมุดไป่ตู้
E
f ( x )d x
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应当注意, 在特殊情形, ( x) = cχ E ( x), 即 当 应当注意, 在特殊情形, 简单函数φ(x)在 上取常数时, 简单函数φ(x)在 E 上取常数时,有积分
∫ ( x)dm =cmE .
E
而当 c=1 时, 就有 ∫ 1dm =mE , 记为 ∫ dm =mE. 或
G ( E; f ) = {( x, y ) : x ∈ E , 0 ≤ y < f ( x)}
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+
+
Lesbesgue积分 Lesbesgue积分
Riemann积分
yi yi-1
xi-1 xi
分割值域
(L)∫ f ( x ) dx = lim
分割定义域
k c j = yk k c j = yk
c j = yk
∑
c j mE j
= ∑ y k m ( ∪ E j ) = ∑ y k mek .
k
因此 ∫ ( x)dm =∑ yk mek = ∑c j mE j .
E k j
这就说明,简单函数的积分, 这就说明,简单函数的积分,同函数的表示式无 说明 积分值是唯一确定的. 只是右边的和另外 关,积分值是唯一确定的. 只是右边的和另外 ( 分组而已. ) 分组而已.
E E E
(2)
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1.1 引理 1.1 简单函数的积分具有线性性与可加性: 简单函数的积分具有线性性与可加性: (1).设 上简单函数, 为常数, (1).设 1 , 2 是 E 上简单函数, a1 , a 2 为常数,则 有 ∫ ( a11 + a 2 2 ) dm = a1 ∫ 1dm + a 2 ∫ 2 dm .
即 f 在 E上 可 积.
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(d) f(x)可积当且仅当 可积当且仅当|f(x)|可积 可积当且仅当 可积
E E E
(2). 设 是 E 上简单函数, E = E1 ∪ E 2 , E1 , E 2 上简单函数, 为互不相交的可测集, 为互不相交的可测集,则
∫
E
( x ) dm =
∫
E1
( x )dm + ∫ ( x )dm
E2
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).当简单函数 限制在可测子 证明 先证(2).当简单函数 ( x) 限制 在可测子 上时,它们仍为简单函数 简单函数, 集 E1 , E2 上时,它们仍为简单函数,因而
∫
e1 ∩ e 2 k j
( a1 1 ( x ) + a 2 2 ( x ) dm
= ( a1 y 1 + a 2 y 2 ) m ( e 1 ∩ e 2 ) k j k j = a1 ∫ 1
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ek ∩ e 2 j
1 ( x ) dm + a 2 ∫
e1 ∩ e 2 k j
2 ( x ) dm
[ a ,b ]
δ →0
∑
n
i =1
ξ i mE i ( R ) f ( x ) dx = lim ∫
a
b
||T || → 0
∑ f (ξ )x
i =1 i
n
i
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积分的简单性质: 积分的简单性质
(a)零测度集 零测度集上的任何函数的积分为零. 零测度集
1 ( x ) =
2
∑
n1
k =1
1 y 1 χ ek ( x ), 2 ( x ) = k
∑
n2
k =1
y k2 χ e2k ( x ),
也是简单函数,因而它有积分, 则, ∑ a k k ( x ) 也是简单函数,因而它有积分, 简单函数 它有积分
k =1
容易看出,对每个 k,j 有 容易看出,
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1.积分的定义 简单函数 若 E = ∪ E i ( Ei 可测且两两不交),
i =1 n
f(x)在每个E f(x)在每个Ei上取常值 ci,则称f(x)是E ,则称f(x)是 上的简单函数; f ( x ) = ∑ ci χ Ei ( x )
i =1
(要求 ( L) ∫E f + ( x)dx, ( L) ∫E f ( x)dx 不同时为 为f(x)在E上的Lebesgue积分(有积分)
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+∞
)
(要求 ( L) ∫E f ( x)dx, ( L) ∫E f ( x)dx 不同时为 为f(x)在E上的Lebesgue积分(有积分)
( x) = ∑ c j χ E ( x) ,其中 E = ∪ E j 等为互不相交 其中
j =1
j
n
j
的可测集, 可以相等, 的可测集,c j 等可以相等,则根据测度的有限可 加性, 加性,有
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∑ c mE
j j k
j
= ∑ ( ∑ c j mE j ) = ∑ y k
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(1)有界可测集 上非负可测函数的勒贝 有界可测集E上 有界可测集 格积分 定义1.2 设f(x)为有界可测集E上的非负 可测函数,定义
( L)∫ f ( x)dx
E
=
0≤ ( x )≤ f ( x )
sup {( L)∫ ( x)dx | ( x)为E上的简单函数},
0≤ ≤ M
0 ≤ ≤ f+
∫
E
( x )d m
≤ sup
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∫
E
( x )d m = M m E < ∞ .
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同 理 ,
∫
E
f ( x )d m < ∞ , 所 以
∫
E
f ( x )d m
=
∫
E
f + ( x )d m
∫
E
f ( x )d m < ∞ ,
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将上式对每个 求和, 将上式对每个 k,j 求和,注意到
E = ∪ (e1 ∩ e1j ) k
k, j
并利用已证的可加性, 并利用已证的可加性,即得
∫
E
(a11 ( x) + a22 ( x)dm
E E
= a1 ∫ 1 ( x)dm + a2 ∫ 2 ( x)dm.
线性性得证. 线性性得证.
E E
这就是 上的勒贝格积分是等于 这就是说,常数1在 E 上的勒贝格积分是等于 E 常数1 的测度. 的测度.
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从而易知, 如果简单函数 (x) 的正部与负部 从而易知, 分别为 +(x)与 (x) ,则有积分 则
(x)dm= ∫ +(x)dm∫ (x)dm. ∫
(c). 若f有界可测函数 则f必可积 有界可测函数,则 必可积 必可积. 有界可测函数 证明:设有常数M使 | f ( x ) |≤ M , ( x ∈ E ),
那 么 ,对 于 f的 正 部 ,负 部 也 有 f+ ≤ M , f ≤ M ,故 根 据 积 分 的 定 义 知
∫
E
f + ( x )d m = s u p
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本章的中心内容是建立一种新的积分 ( 勒贝格积分 理论.它是实变函数数 勒贝格积分)理论 理论. 论研究的中心内容. 论研究的中心内容. 本章应注意两点: 本章应注意两点:一是黎曼积分意义 下的积分区间, 下的积分区间,现已被一般点集所代 二是分划的小区间长度, 替;二是分划的小区间长度,现已被 点集的测度所代替. 点集的测度所代替.
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n
⑴简单函数的积分
定义 1. 1 设 E 上简单函数 ( x) 有表示 ( x) = ∑ yk χek ( x) ,
k =1 n
等为互不相交的可测集, y 其中 ek = E( = yk ) 等为互不相交的可测集, k 互 表示特征函数. 异, χek ( x) 表示特征函数.
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例:对Dirichlet函数 函数
D ( x) =
E
{
1 x∈[ 0 ,1]∩ Q 0 x∈[ 0 ,1] Q
0
1
有 ( L ) ∫ D ( x )dx = 1 0 + 0 1 = 0
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容易验证, 在定义中可以要求 yk 两两互不相 容易验证, 等 . 其 实 设 简 单 函 数 ( x) 又 可 表 示 为