反比例函数是K的几何意义及其应用

反比例函数K的几何意义及应用一、指导思想与理论依据义务教育数学（7-9年级）教学指导意见（2012年版）提到：数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下的生动活泼地、主动地、富有个性地学习；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展。

基于此认识本课设计围绕反比例函数中K的几何意义解决简单的图形面积问题为中心，通过情景引入─小组探究─典例分析─反思整合─自我提高等一系列活动，采用以“递进探究法”为主，类比法、变式教学法、分组合作交流法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，充分关注学生的个性差异，因材施教，由易到难突出重点。

引导学生通过观察、思考、探索、交流，获得解决反比例函数与图形面积问题的技能，意在帮助学生理顺知识体系，归纳解题要点及方法。

教学中注重师生双边活动、小组交流突破难点，激发不同层次的学生积极参与数学思维活动，而学生更可借助互联网上资源进行二次学习与拓展，充分发挥学生的主体作用。

及时评价学生的创新思维，让学生建立起自信心，逐次营造“会学”、“乐学”的氛围来达成本课教学目标。

二、教学背景分析北师大版九年级上册第五章反比例函数是在学完平面直角坐标系和一次函数的基础上再加深的函数知识学习，教材只安排6个课时掌握其概念、图象和性质，以及用反比例函数分析和解决实际问题等抽象的新知。

大部分学生实在有点吃不消，而反比例函数的图象与几何图形往往结合紧密，如何识别图象中信息来解决数学问题对初学反比例函数的九年级学生来说是一大难点，也是近几年各省市中考数学试题中的热点方向。

而这类以反比例函数为背景的图形面积题型在教材中没有系统呈现，但在教辅资料、考题中常见，学生在解此类题型由于缺乏方法而颇感吃力，但它的掌握又直接影响到后续的二次函数的学习及中学会考。

我结合平时教学并参考了网上资源而设计了本节课，作为此章知识学习的拓展和补充，三、教学目标设计知识与能力目标：1、了解反比例函数式中的K的几何意义。

2、理解反比例函数与图形面积的内在联系。

3、掌握运用数形结合法双向解决反比例函数与图形的面积数学问题。

过程与方法目标：1、通过探索反比例函数与图形面积的内在联系，理解反比例函数表达式的中K的几何意义。

2、在解决问题的过程中，体会数形结合思想在数学应用中的重要地位。

3、经历探索反比例函数与图形面积的内在联系，体会函数的思想与建模的思想在数学问题中的运用。

情感态度与价值观：1、在小组交流学习活动中学会与人合作获得成功的体验，培养学生的合作意识和乐于探究的良好品质。

2、在探究活动中培养学生学会观察、分析、归纳的能力，培养学生数学类比和数学建模思想。

感悟数形结合思想方法。

3、在问题变式中感受函数图象的简洁美，激发学生学数学的兴趣。

欣赏和感悟，体验数学的价值。

四、教学重点、难点教学重点：探索反比例函数式中的K与图形的面积联系。

教学难点：分析图象中信息来确定K与图形面积的关系。

五、教学方法：递进探究法类比法，合作交流法，变式教学法，多媒体辅助教学法节一情境设计引入新课2分钟如图，是y=6/x的图象，点P是图象上的一个动点。

1、若P(1，y)，则四边形OAPB的面积＝_________2、若P(3，y)，则四边形OAPB的面积＝_________3、若P(5，y)，则四边形OAPB的面积＝_________想一想：若P(x，y)，则四边形OAPB的面积＝____yB p(1,y)B p(3,y)B p(5,y)O A A A根据反比例函数解析式，和点的横坐标求其纵坐标，结合图形计算面积。

思考改变P点的位置，面积会不会发生改变通过特殊位置的面积计算，初步让学生感受K与图形的面积关系直观清晰地揭示图形面积与K的变化规律二合作学习探索新知识4分钟面积性质（一）设P（m,n）是双曲线y=xk(k≠0)上任意一点,有:(1),过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B，则S矩形OAPB=OA.AP=|m|.|n|=|k|.面积性质（二）计算P为任意一点时矩形的面积和三角形的面积认清两种面积与K关系。

结合学生已有的知识，使其认识到K的几何意义，从而切入本节课解决的中心问题。

P(m,n)AoyxB设P （m,n ）是双曲线y=x k(k ≠0)上任意一点,有:(2),过P 作X 轴的垂线，垂足为点A ，则：例1、反比例函数x k y =的图像如图1所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2=∆MON s ，则k 的值为 .（反比例函数与三角形）【变式1】：如图2，已知点P 在函数)0(2>=x x y 的图像上，x PA ⊥轴、y PB ⊥轴，垂足分别为A 、B ，则矩形OAPB 的面积为 .（反比例函数与矩形）【变式2】如图3，已知点A 在函数)0(3>-=x x y 的图像上，y AB ⊥轴于B ，OC=AB,则四边形OCBA 的面积为 .【变式3】、如图4，P 是反比例函数)0>=x x ky （图象上一点，过点P 作x PB ⊥轴于点B ，点A 在y 轴上，ABP ∆的面积为2，则K 的值为【即时反馈】1、反比例函数x y k=的图像如图5所示，点A 是该函数图像上一点，AB 垂直于y 轴，垂足是点N ，如果4=∆AOB s ，则k 的值为 .自我检测，运用刚掌握的知识完成上两题，结合各自答案举手互证设置两小题同类题型训练，让学生寻找图形中的“不同中的相同”找出问题的所在，进而解决问题，旨在唤起中下生的自信心，既实时了解学生掌握情况，又能达到即时巩固目的，为解决探究2的积聚自信心。

2、如图6，已知点A 在函数)0(6>-=x x y 的图像上，xAC ⊥轴、y AB ⊥轴，垂足分别为C 、B ，则矩形OCAB的面积为 .根据学生的完成情况及时补充。

例2 如图7，反比例函数)0(5>=x xy 的图像与直线)0(>=k kx y 相交于A 、B 两点，AC∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位.【变式1】如图8，直线mx y =与双曲线x k y =交于点A 、B. 过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为点M 连接BM. 若1=∆ABM S ，则k 的值是 . 【答案：1】【变式2】如图9，直线mxy=与双曲线xky=交于点A、B过点A、B分别作AM⊥x轴、BN⊥x轴，垂足分别为M、N，连接BM、AN. 若SAMBN=1，则k的值是 .（反比例函数与平行四边形）【答案：2 1】适时给予小组提点：变式1抓住反比例函数上A,B两点关于O对称知⊿AMO与⊿BOM等底等高面积相等，变式2则是在变式1的基础上延伸（对称性），从而打开思路。

以助学生小走弯路。

再试身手，以小组合作形式积极探寻解答的方法。

四反思整合知识升华3分钟提出问题：学习至此你有什么收获？引导学生总结：1、抓住图形的特点进行分解与合并；2、从K的几何意义入手；3、结合反比例函数图象的对称的性质。

积极评价不同层次的学生（小组）对学习内容的不同认识，及时肯定其闪光思维。

积极思考总结，互相补充，学有所得，以便今后解题触类旁通。

师生互动，针对本节课引导学生对学习中所运用的数形结合法等进行小结、反思。

加深对本节内容的学习，从而提高学生自主拓展知识和分析、解决问题的能力。

例3、如图10，已知双曲线)0(>=x x ky 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k= . 【答案:2】适时纠正，点拨：矩形OABC 的面积可看作OEBF AOF COESS S 四边形++∆∆， △AOF ，△COE 的面积和即为K ，矩形OABC 的面积？考虑F 为AB 的中点，其面积应为4个△AOF 的面积。

1（2016·本溪）如图，点A ，C 为反比例函数y ＝kx (x ＜0)图象上的点，过点A ，C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B ，D ，连接OA ，AC ，OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为32时，k 的值为( )A ．4B ．6C ．－4D ．－6 2（2012•成都第24题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数（k 为常数，且k ＞0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若（m 为大于l 的常数）．记△CEF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，则=_________．（用含m的代数式表示）七布置作业分层落实1分钟基础题1、如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．2、、如图，A是反比例函数xky=图象上一点，过点A作yAB⊥轴于点B，点D在x轴上，ABD∆的面积为2，则K的值为中等题3、如图，过反比例函数xy2=(x＞0)图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为21,SS，试比较21,SS的大小.1开动脑筋2归纳学到的数学方法，做好同学间的交流义务教育数学（7-9年级）教学指导意见（2012年版）指出：要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，让每个学生都得到充分的发展。

所给的课后作业尽可能地让所有的学生都能参与，并坚持学生作业合理负担、严格控制学生课外作业量，故作如下设计，以能巩固本节知识。

A B3yx=A B xy1S=阴影，12S S+=4．【2016·菏泽】如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为( )A ．36B ．12C ．6D ．3。