《平面镶嵌》课件.ppt
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1、全等的一种或几种平面图形； 2、无空隙、不重叠铺成一片。
探究
哪些图形可以密铺， 哪些图形不可以密铺？
探究活动（一）
用形状、大小完全相同的 三角形能否密铺？
正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60°
60°
接点处的六个 角和为360°
结论： 形状、大小完全相同的任意
三角形能镶嵌成平面图形。
请观察,这些图形在拼接时有什么特点?
如果你是设计师， 让你设计几种地板 图案，你如何设计
呢？
学一学 平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）:
用形状和大小完全相同的一种或几种 平面图形进行拼接，彼此之间不留空 隙、不重叠地铺成一片，这就是平面 图形的密铺，又称平面图形的镶嵌.
密铺的两个条件：
鱼形平面分割
一幅满足平面旋转、平移的鱼形图案。
第 70 号平面规则分割
美丽的蝴蝶图案，应用三原色绘制而成的。
第 21 号平面规则分割
本作品运用了平移、旋转，小人的头部， 膝盖，脚分别是三个旋转中心。
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/11/72020/11/7Saturday, November 07, 2020
用正五边形和什么多边形能密铺？
你知道吗？
密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术 家都在这方面进行过研究，其中最富有趣味的是 荷兰艺术家埃舍尔，他到西班牙旅行参观时，对 一种名为阿罕伯拉宫的建筑有很深刻的印象，并 得到启发，创造了各种并不局限于几何图形的密 铺图案。这些图案包括鱼、青蛙、狗、人、蜥蜴， 甚至是他凭空想象的物体。他创造的艺术作品， 结合了数学与艺术，给人留下深刻印象，更让人 对数学产生另一种看法。
1.正五边形能密铺吗？说说理由。 2.正六边形能密铺吗？说说理由。 3.还能找到能密铺的其他图形吗？
做一做
正五边形可以密铺吗？
1 3
2
正六边形可以密铺吗？
正六边形的平面镶嵌
正三角形
能否 平面 镶嵌
能
正方形
能
正五边形 正六边形
不能 能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
4
3
还能找到能密铺的其他正多边形吗？
★通过探究我发现：
1.任意全等的四边形_可__以__密铺. 2.在每个拼接点处有_四__个角，而这_四__
个角的和恰好是这个四边形的四个内 角之_和__,也就是它们的和为__3_6_.0
º
结论 1
能密铺的图形在一个拼接 点处的特点： 1.各角之和等于360º, 2.相等的边互相重合。
探究活动（三）
通过探究我发现：
1.任意全等的三角形都__可__以__密铺, 2.在每个拼接点处有_六__个角，而这__六_个
角的和恰好是这个三角形的内角和的 _两__倍，也就是它们的和为__3_6_0，o
探究活动（二）
用同一种四边形可以密吗？
正方形的平面镶嵌
90°
结论： 形状、大小相同的任意四边形 能镶嵌成平面图形
正多边形可以密铺的条件：
每个内角都能被360o 整除。
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ D ） A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的 正方形的个数是（ B ）
A、 3
B 、4
C、5
D 、6
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的 每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A ）
• 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这 种正多边形的一个内角的倍数是否是360°， 在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°， 正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每 个内角都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个 内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边 形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以 密铺，而其他的正多边形不可密铺．
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
A、3
B、4
C、5
D、6
探究活动(四)
----创意空间
用同一种平面图形如果 不能密铺,用两种或者两 种以上平面图形能不能 密铺呢?
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正
方形的角，
60m
90n
360
m 3 n 2
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
则记作（3，3，3，4，4）
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 六边形的角.
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/11/72020/11/72020/11/711/7/2020 8:26:37 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/11/72020/11/72020/11/7Nov-207-Nov-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/11/72020/11/72020/11/7Saturday, November 07, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/11/72020/11/72020/11/72020/11/711/7/2020
m4 m2 60m120n360n1 ,n2
（3，3， 3， 3，6）
（3，3，6，6）
图案（Ⅰ）
图案（Ⅱ）
60° 60°
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17 组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫 波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙 阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些 图样，真是令人叹为观止。
仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求 在公共顶点上所有内角和为360度。令正多边形的边数为n, 个数为m,则有
(n2)180m360 n
m 6 m 4
∴解得
n
3
n
4
m 3
n
百度文库
6
结论1： 可以用同一种正多边形密铺的图形只有
正三角形，正四边形，正六边形.
结论2:
用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形 也能进行平面镶嵌
探究
哪些图形可以密铺， 哪些图形不可以密铺？
探究活动（一）
用形状、大小完全相同的 三角形能否密铺？
正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60°
60°
接点处的六个 角和为360°
结论： 形状、大小完全相同的任意
三角形能镶嵌成平面图形。
请观察,这些图形在拼接时有什么特点?
如果你是设计师， 让你设计几种地板 图案，你如何设计
呢？
学一学 平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）:
用形状和大小完全相同的一种或几种 平面图形进行拼接，彼此之间不留空 隙、不重叠地铺成一片，这就是平面 图形的密铺，又称平面图形的镶嵌.
密铺的两个条件：
鱼形平面分割
一幅满足平面旋转、平移的鱼形图案。
第 70 号平面规则分割
美丽的蝴蝶图案，应用三原色绘制而成的。
第 21 号平面规则分割
本作品运用了平移、旋转，小人的头部， 膝盖，脚分别是三个旋转中心。
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/11/72020/11/7Saturday, November 07, 2020
用正五边形和什么多边形能密铺？
你知道吗？
密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术 家都在这方面进行过研究，其中最富有趣味的是 荷兰艺术家埃舍尔，他到西班牙旅行参观时，对 一种名为阿罕伯拉宫的建筑有很深刻的印象，并 得到启发，创造了各种并不局限于几何图形的密 铺图案。这些图案包括鱼、青蛙、狗、人、蜥蜴， 甚至是他凭空想象的物体。他创造的艺术作品， 结合了数学与艺术，给人留下深刻印象，更让人 对数学产生另一种看法。
1.正五边形能密铺吗？说说理由。 2.正六边形能密铺吗？说说理由。 3.还能找到能密铺的其他图形吗？
做一做
正五边形可以密铺吗？
1 3
2
正六边形可以密铺吗？
正六边形的平面镶嵌
正三角形
能否 平面 镶嵌
能
正方形
能
正五边形 正六边形
不能 能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
4
3
还能找到能密铺的其他正多边形吗？
★通过探究我发现：
1.任意全等的四边形_可__以__密铺. 2.在每个拼接点处有_四__个角，而这_四__
个角的和恰好是这个四边形的四个内 角之_和__,也就是它们的和为__3_6_.0
º
结论 1
能密铺的图形在一个拼接 点处的特点： 1.各角之和等于360º, 2.相等的边互相重合。
探究活动（三）
通过探究我发现：
1.任意全等的三角形都__可__以__密铺, 2.在每个拼接点处有_六__个角，而这__六_个
角的和恰好是这个三角形的内角和的 _两__倍，也就是它们的和为__3_6_0，o
探究活动（二）
用同一种四边形可以密吗？
正方形的平面镶嵌
90°
结论： 形状、大小相同的任意四边形 能镶嵌成平面图形
正多边形可以密铺的条件：
每个内角都能被360o 整除。
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ D ） A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的 正方形的个数是（ B ）
A、 3
B 、4
C、5
D 、6
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的 每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A ）
• 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这 种正多边形的一个内角的倍数是否是360°， 在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°， 正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每 个内角都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个 内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边 形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以 密铺，而其他的正多边形不可密铺．
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
A、3
B、4
C、5
D、6
探究活动(四)
----创意空间
用同一种平面图形如果 不能密铺,用两种或者两 种以上平面图形能不能 密铺呢?
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正
方形的角，
60m
90n
360
m 3 n 2
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
则记作（3，3，3，4，4）
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 六边形的角.
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/11/72020/11/72020/11/711/7/2020 8:26:37 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/11/72020/11/72020/11/7Nov-207-Nov-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/11/72020/11/72020/11/7Saturday, November 07, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/11/72020/11/72020/11/72020/11/711/7/2020
m4 m2 60m120n360n1 ,n2
（3，3， 3， 3，6）
（3，3，6，6）
图案（Ⅰ）
图案（Ⅱ）
60° 60°
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17 组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫 波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙 阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些 图样，真是令人叹为观止。
仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求 在公共顶点上所有内角和为360度。令正多边形的边数为n, 个数为m,则有
(n2)180m360 n
m 6 m 4
∴解得
n
3
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4
m 3
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百度文库
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结论1： 可以用同一种正多边形密铺的图形只有
正三角形，正四边形，正六边形.
结论2:
用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形 也能进行平面镶嵌