专题五第3讲知能演练轻松闯关
人民版历史选修3：专题五一知能演练轻松闯关
1.朝鲜战争爆发后，中国政府发出了“抗美援朝，保家卫国”的号召。
关于朝鲜战争中中国抗美援朝的表述，正确的是()A．是美国全球霸权政策引起的B．中国人民志愿军解放了朝鲜C．属于中国新民主主义革命遗留问题D．《朝鲜停战协定》使朝鲜南北开始分裂解析：选A。
本题考查辨别历史事物和历史解释的能力。
朝鲜战争和美国的霸权政策有直接关系，故A项表述正确。
中国人民志愿军是帮助朝鲜而不是去解放朝鲜，故B项表述错误。
C项表述明显不符合朝鲜战争。
早在朝鲜战争爆发之前，朝鲜半岛就已经分裂，故此D项表述错误。
2.美国干涉朝鲜内政的表现是()①操纵联合国通过指责北朝鲜的决议②宣布援助韩国③命令第七舰队开往台湾海峡④组成“联合国军”直接参战A．①②③B．①②④C．①②③④D．①③④解析：选B。
本题考查说明和证明历史现象和历史观点的能力。
可用排除法，美国第七舰队开往台湾海峡是为了阻挠中国人民解放军解放台湾，故应属于干涉中国内政的表现。
可排除含有③的选项。
3.2012年7月是美国发动侵朝战争62周年，当时朝鲜战争从内战扩大为一场国际性的局部战争的关键因素是()A．美国宣布武装援助韩国B．以美军为主的“联合国军”干涉朝鲜战争C．美军把战火烧到中朝边境的鸭绿江畔D．中国派志愿军抗美援朝解析：选B。
1950年6月朝鲜内战爆发，美国操纵联合国安理会通过决议，于当年7月组成“联合国军”干涉朝鲜战争，美国的麦克阿瑟被任命为总司令，故题干中的关键因素是以美国为首的“联合国军”干涉朝鲜战争而扩大为一场国际性的局部战争，故选B项。
4.美国在越南推行所谓的“特种战争”是指()A．排挤法国，插手越南事务B．“用越南人打越南人”的战争C．直接派“特种部队”进入越南南方D．将战争由南方扩大到北方解析：选B。
本题考查对历史概念的理解能力。
所谓“特种战争”就是“用越南人打越南人”的战争。
故此B项符合题意。
千万不可望文生义而误选C项。
一、选择题1.第二次世界大战结束后，朝鲜半岛出现两个对立政权的主要原因是()A朝鲜人民的选择B．美苏冷战的结果C．联合国的决议D．日本对朝鲜的分而治之解析：选B。
人民版历史必修3：专题五三知能演练轻松闯关
1．建国后，我国科学技术取得显著成就的原因是()①人民政府十分重视科技工作②发展科技工作的规划方针正确③广大科技工作者的共同努力④海外一些优秀科学家回国，投身于社会主义建设A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选A。
本题考查学生的归纳分析能力。
中国政府在1949年和1958年分别成立中国科学院和国家科学技术委员会说明①正确；1956年国务院成立科学规划委员会并编制出《十二年科技发展远景规划》说明②正确；李四光、华罗庚、钱学森等归国说明③④正确。
2．我国20世纪60年代社会主义建设时期在尖端科学技术方面取得的重大成就是()①第一颗原子弹爆炸成功②籼型杂交水稻育成③人工合成结晶牛胰岛素④第一颗人造地球卫星发射成功A．①②B．①③C．①④D．③④解析：选B。
①②③④都属于我国尖端科学技术方面的成就。
从时间上看，①是1964年，由此我国跨入核国家行列；②是1973年，这是世界上首次育成籼型杂交水稻；③是1965年的成就；④是1970年。
由此可排除②④。
3．右图为《江门日报》刊载“墨顽童”钟志明的题为“袁隆平的梦”的漫画。
袁隆平备受人们喜爱的原因是他()A．使人类实现了“丰衣足食”的梦想B．解决了人类的生存问题C．推动了世界人口的增长D．为人类的生存和发展做出了突出贡献解析：选D。
A、B对袁隆平的评价过于绝对化，C项与袁隆平无关。
袁隆平培育的籼型杂交水稻为中国和世界的粮食增产作出了重大贡献。
4．(2012·厦门调研)我国古代嫦娥奔月的传说，敦煌莫高窟的飞天壁画，西游记孙悟空腾云驾雾，都表达了古代人们探索宇宙苍穹的愿望。
我国实现飞天梦想，中国人能够实地考察宇宙苍穹的伟大壮举是()A．首次人工合成结晶牛胰岛素B．“东方红一号”发射成功C．中国第一颗原子弹爆炸成功D．“神舟5号”进入太空解析：选D。
注意题干中的材料“实现飞天梦想”“实地考察宇宙苍穹”“壮举”等关键信息判断，可知D项符合题意。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题六第3讲知能演练轻松闯关含答案
1．（2011·高考浙江卷)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(）A.110B.错误!C.错误!D.错误!解析：选D。
“所取的3个球中至少有1个白球"的对立事件是“所取的3个球都不是白球"，因而所求的概率P＝1－错误!＝1－错误!＝错误!。
2．有一底面半径为1，高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( ）A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!解析:选B。
设点P到点O的距离小于1的概率为P1,由几何概型，则P1＝错误!＝错误!＝错误!,故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－错误!＝错误!。
3．(2012·安徽淮北二模）设随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2），若P(ξ〉m）＝a，则P（ξ>6－m)等于（)A．a B．1－2aC．2a D．1－a解析：选D。
正态分布曲线关于x＝μ对称，即关于x＝3对称，m 与6－m关于x＝3对称，∴P(ξ〈6－m)＝P（ξ>m)＝a,则P(ξ>6－m)＝1－a.4．（2012·福州高三质量检查)在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为错误!，则事件A恰好发生一次的概率为( ）A。
14B。
错误!C。
错误! D.错误!解析：选C。
设事件A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1－C错误!（1－x）3＝错误!，得x＝错误!，则事件A恰好发生一次的概率为C错误!×错误!×(1－错误!)2＝错误!。
5．从1,2，3,4,5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B｜A)＝( ）A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!解析：选B。
由于n(A）＝C错误!＋C错误!＝4，n(AB)＝C错误!＝1，所以P（B|A)＝错误!＝错误!，故选B。
专题五知能演练轻松闯关
1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A 、B .(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．解：(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45. 故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫85，45.(2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k 2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.2．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由． 解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧ m ＝2，r ＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．3．(2011·高考山东卷节选)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k >0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k >0)，由题意知t >0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. 由题意知Δ>0，所以3k 2＋1>t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋1， 所以y 1＋y 2＝2t 3k 2＋1. 由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t 3k 2＋1， 此时k OE ＝y E x E ＝－13k. 所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx . 由题意知D (－3，m )在直线OE 上，得m ＝1k，即mk ＝1， 所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ>0得0<t <2，因此当m ＝k ＝1且0<t <2时，m 2＋k 2取最小值 2.(2)证明：由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ， 将其代入椭圆C 的方程，并由k >0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎫－3，1k ， 由距离公式及t >0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝(－3)2＋⎝⎛⎭⎫1k 2＝9k 2＋1k ， |OE |＝ ⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1， 由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 恒过定点(－1,0)．4．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， 有x 20a 2－y 20b 2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2， c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.5．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程． 解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧ x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝⎛⎭⎫335c ＋3c 2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c . 圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2. 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 6．(2012·烟台调研)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)， 则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3. 故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1，①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1， ∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk . 又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，② 把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2.由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12. 综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。
最新-2018高考物理总复习 第五章第三节知能演练强化闯
知能优化演练1．(2018·广东东莞调研)关于机械能是否守恒的叙述，正确的是( )A ．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒B ．做加速运动的物体机械能不可能守恒C ．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒D ．只有重力对物体做功时，物体机械能一定守恒解析：选D.只有重力做功或弹簧弹力做功，其他力不做功或做功等于零时，物体的机械能守恒，D 正确．2．(2018·高考新课标全国卷)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )A ．运动员到达最低点前重力势能始终减小B ．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加C ．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D ．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关解析：选ABC.到达最低点前，高度始终在降低，所以重力势能始终减小，故A 正确．绳张紧后的下落过程，伸长量逐渐增大，弹力做负功，弹性势能增大，故B 正确．在蹦极过程中，只有重力与系统内弹力做功，故机械能守恒，C 正确．重力势能的改变与重力做功有关，重力做功只与始末位置高度差有关，与零势能面的选取无关，故D 错误．3．如图5－3－7所示，用长为L 的轻绳把一个小铁球悬挂在高为2L 的O 点处，小铁球以O 为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B 处，若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为( )图5－3－7 A.gL B.3gL C.5gL D.7gL解析：选D.小球恰能到达最高点B ，则小球在最高点处的速度v ＝gL .以地面为零势能面，铁球在B 点处的总机械能为mg ×3L ＋12mv 2＝72mgL ，无论轻绳是在何处断的，铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能12mv ′2＝72mgL ，故小球落到地面的速度v ′＝7gL ，正确答案为D.4．如图5－3－8所示，一根长为L 不可伸长的轻绳跨过光滑的水平轴O ，两端分别连接质量为2m 的小球A 和质量为m 的物块B ，由图示位置释放后，当小球转动到水平轴正下方时轻绳的中点正好在水平轴O 点，且此时物块B 的速度刚好为零，则下列说法中正确的是( )图5－3－8A ．物块B 一直处于静止状态B ．小球A 从图示位置运动到水平轴正下方的过程中机械能守恒C ．小球A 运动到水平轴正下方时的速度大小为gLD ．小球A 从图示位置运动到水平轴正下方的过程中，小球A 与物块B 组成的系统机械能守恒解析：选D.由图示位置分别对物块B 和小球A 进行受力分析可知，物块B 在小球A 运动的过程中，先向下做加速运动，后向下做减速运动，直到速度为零，所以物块B 的重力一直做正功，而由于小球A 和物块B 组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，故B 错D对．由A 下摆过程中，绳对A 做正功，则A 球机械能增加，即12mv 2＞mg L 2，v ＞gL ，故C 错． 5．(2018·南京模拟)山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一滑雪坡由AB 和BC 组成，AB 是倾角为37°的斜坡，BC 是半径为R ＝5 m 的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B ，与水平面相切于C ，如图5－3－9所示，AB 竖直高度差h ＝8.8 m ，运动员连同滑雪装备总质量为80 kg ，从A 点由静止滑下通过C 点后飞落(不计空气阻力和摩擦阻力，g 取10 m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．求：图5－3－9(1)运动员到达C 点的速度大小；(2)运动员经过C 点时轨道受到的压力大小．解析：(1)由A →C 过程，应用机械能守恒定律得：mg (h ＋Δh )＝12mv 2C ，又Δh ＝R (1－cos37°)，可解得：v C ＝14 m/s.(2)在C 点，由牛顿第二定律得： F C －mg ＝m v 2C R解得：F C ＝3936 N.由牛顿第三定律知，运动员在C 点时对轨道的压力大小为3936 N.答案：(1)14 m/s (2)3936 N一、选择题1．(2018·江苏无锡调研)如图5－3－10所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是( )图5－3－10A ．斜劈对小球的弹力不做功B ．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C ．斜劈的机械能守恒D ．小球重力势能减小量等于斜劈动能的增加量解析：选B.不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球重力做功，系统机械能守恒，小球重力势能减小量等于斜劈和小球动能的增量之和，D错．故选B. 2．(2018·高考上海卷)用如图5－3－11所示装置可以研究动能和重力势能转化中所遵循的规律．在摆锤从A位置由静止开始向下摆动到D位置的过程中( )图5－3－11①重力做正功，重力势能增加②重力的瞬时功率一直增大③动能转化为重力势能④摆线对摆锤的拉力不做功⑤若忽略阻力，系统的总机械能为一恒量A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤解析：选D.摆锤向下运动，重力做正功，重力势能减小，故①错误．由于开始静止，所以开始重力功率为零，在D位置物体v的方向与重力垂直，P G＝Gv cosθ，可知P G＝0，而在从A位置摆动到D位置的过程中，重力功率不为零，所以所受重力瞬时功率先增大后减小，②错误．在向下运动的过程中，重力势能减小，动能增加，故③错误．摆线拉力与v方向始终垂直，不做功，只有重力做功，故机械能守恒，故④⑤正确，选D.3．(2018·南通模拟)如图5－3－12所示，质量相等的甲、乙两物体开始时分别位于同一水平线上的A、B两点．当甲物体被水平抛出的同时，乙物体开始自由下落．曲线AC为甲物体的运动轨迹，直线BC为乙物体的运动轨迹，两轨迹相交于C点，空气阻力忽略不计．则两物体( )图5－3－12A．在C点相遇B．经C点时速率相等C．在C点时具有的机械能相等D．在C点时重力的功率相等答案：AD4．(2018·江苏启东中学质检)如图5－3－13所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则( )图5－3－13A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大D．两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较大解析：选BD.整个过程中两球减少的重力势能相等，A球减少的重力势能完全转化为A球的动能，B球减少的重力势能转化为B球的动能和弹簧的弹性势能，所以A球的动能大于B球的动能，所以B正确；在O点正下方位置根据牛顿第二定律，小球所受拉力与重力的合力提供向心力，则A球受到的拉力较大，所以D正确．5．如图5－3－14所示，一均质杆长为2r ，从图示位置由静止开始沿光滑面ABD 滑动，AB是半径为r 的14圆弧，BD 为水平面．则当杆滑到BD 位置时的速度大小为( )图5－3－14 A. gr2 B.grC.2grD ．2gr 解析：选B.由机械能守恒定律得：mg ·r 2＝12mv 2 ∴v ＝gr ，故B 对．6．(2018·福建福州第一次模拟)如图5－3－15所示，小车上有固定支架，一可视为质点的小球用轻质细绳拴挂在支架上的O 点处，且可绕O 点在竖直平面内做圆周运动，绳长为L .现使小车与小球一起以速度v 0沿水平方向向左匀速运动，当小车突然碰到矮墙后，车立即停止运动，此后小球上升的最大高度可能是( )图5－3－15A ．大于v 202gB ．小于v 202gC ．等于v 202g D ．等于2L解析：选BCD.小球上摆的高度不超过O 点时，小球的动能全部转化为重力势能，则由mgh ＝12mv 20得h ＝v 202g，C 正确；小球上摆的高度L ＜h ＜2L 时，小球在高于O 点的某位置开始做斜上抛运动，最高点的速度不为零，即动能不能全部转化为重力势能，mgh ＜12mv 20，h ＜v 202g，B 正确，小球能通过圆周最高点时，上升的高度为2L ，D 正确；由于最高点速度不为零，仍有h ＜v 202g，综上所述，A 错误． 7．(2018·南京模拟)用长度为l 的细绳悬挂一个质量为m 的小球，将小球移至和悬点等高的位置使绳自然伸直．放手后小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点的势能取作零，则小球运动过程中第一次动能和势能相等时重力的瞬时功率为( )A ．mg gl B.12mg gl C.12mg 3gl D.13mg 3gl 解析：选C.第一次动能和势能相等的位置为距最低点高度l2处，由机械能守恒可得：v ＝gl ，与竖直方向的夹角α＝30°∴P ＝mg ·v c os 30°＝12mg 3gl ，故C 对．8．2018年10月16日，在东京体操世锦赛男子单杠决赛中，邹凯、张成龙分别以16.441分和16.366分包揽冠亚军．假设邹凯的质量为60 kg ，他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，邹凯在最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g ＝10 m/s 2)( )图5－3－16A ．600 NB ．2400 NC ．3000 ND ．3600 N解析：选C.设邹凯的重心距杆的距离为r ，他能通过最高点的最小速度为v 1＝0，他在做圆周运动的过程中机械能守恒，设到达最低点的速度设为v 2，则有12mv 22＝2mgr ，在最低点他受到向上的拉力和向下的重力，根据牛顿第二定律，有F T －mg ＝m v 22r，由以上两式可得F T ＝5mg ＝3000 N.9．(2018·广东六校联合体联考)一物体沿斜面向上运动，运动过程中质点的机械能E 与竖直高度h 关系的图象如图5－3－17所示，其中O ～h 1过程的图线为水平线，h 1～h 2过程的图线为倾斜直线．根据该图象，下列判断正确的是( )图5－3－17A ．物体在O ～h 1过程中除重力外不受其他力的作用B ．物体在O ～h 1过程中只有重力做功其他力不做功C ．物体在h 1～h 2过程中合外力与速度的方向一定相反D ．物体在O ～h 2过程中动能可能一直保持不变解析：选BC.O ～h 1过程的图线为水平线，说明物体的机械能不变，即除重力以外没有其他力做功，但并非一定不受其他力作用，故A 错误，B 正确；在h 1～h 2过程中由于物体的机械能减小，重力势能增加，只能是动能减小，即合外力与速度方向相反，故C 正确； 在O ～h 2过程中物体的机械能减小，重力势能增大，动能只能减小不可能保持不变，故D 错误．10．物体做自由落体运动，E k 表示动能，E p 表示势能，h 表示物体下落的高度，以水平地面为零势能面，下列图象中，能正确反映各物理量之间关系的是( )图5－3－18解析：选BC.由机械能守恒定律：E p ＝E 机－E k ，得E p 与E k 的图象为倾斜的直线，C 正确；由动能定理得mgh ＝E k ，则E p ＝E 机 －E k ＝E 机－12mv 2，故E p 与v 的图象为开口向下的抛物线，B 正确；因为E k ＝12mv 2＝12m (gt )2＝12mg 2t 2，E p ＝E 机－E k ＝E 机－12mg 2t 2，所以E p 与t 的关系图象也为开口向下的抛物线，A 错误．设初状态势能为E 0，则E p ＝E 0－mgh ，D 错误．二、非选择题11．(2018·高考北京卷)如图5－3－19所示，长度为l 的轻绳上端固定在O 点，下端系一质量为m 的小球(小球的大小可以忽略)．图5－3－19(1)在水平拉力F 的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F 的大小；(2)由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力．不计空气阻力．解析：(1)受力图见右图．根据平衡条件，应满足F T cos α＝mg ，F T sin α＝F ，拉力大小F ＝mg tan α.(2)运动中只有重力做功，系统机械能守恒mgl (1－cos α)＝12mv 2 则通过最低点时，小球的速度大小v＝2gl －cos α根据牛顿第二定律F T ′－mg ＝m v 2l解得轻绳对小球的拉力F T ′＝mg ＋m v 2l＝mg (3－2cos α)，方向竖直向上． 答案：见解析12．(2018·苏北四市调研)如图5－3－20所示，光滑固定的竖直杆上套有一个质量m ＝0.4 kg 的小物块A ，不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上、大小可忽略的定滑轮D ，连接小物块A 和小物块B ，虚线CD 水平，间距d ＝1.2 m ，此时连接小物块A 的细绳与竖直杆的夹角为37°，小物块A 恰能保持静止．现在在小物块B 的下端挂一个小物块Q (未画出)，小物块A 可从图示位置上升并恰好能到达C 处，不计摩擦和空气阻力，cos37°＝0.8、sin37°＝0.6，重力加速度g 取10 m/s 2.求：图5－3－20(1)小物块A 到达C 处时的加速度大小；(2)小物块B的质量；(3)小物块Q的质量．解析：(1)当小物块A到达C处时，由受力分析可知：水平方向受力平衡，竖直方向只受重力作用，所以小物块A的加速度a＝g＝10 m/s2.(2)设小物块B的质量为m B，绳子拉力为F T；根据平衡条件：F T cos37°＝mgF T＝m B g联立解得m B＝0.5 kg.(3)设小物块Q的质量为m0，根据系统机械能守恒得mgh AC＝(m B＋m0)gh Bh AC＝d cot37°＝1.6 mh B＝dsin37°－d＝0.8 m解之得：m0＝0.3 kg.答案：(1)10 m/s2(2)0.5 kg (3)0.3 kg。
第八章第3课时知能演练轻松闯关
一、选择题1．(2011·高考安徽卷)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.2．(2013·郑州调研)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B.设P (x ，y )，则由题意可得，2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.3．(2013·广州模拟)若a ∈{－2,0,1，34}，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.要使方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则应有a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23，∴符合条件的a 只有一个，a ＝0，∴原方程只能表示一个圆．4．(2013·深圳调研)若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D.曲线C 的方程可化为：(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心为(－a,2a )，要使得圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到x ，y 轴的距离分别为|2a |和|－a |，则有|2a |>2且|－a |>2，且a >2.5．(2013·济南模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴均相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1 解析：选B.设圆心为(a ，b )(a >0，b >0)， 依题意有|4a －3b |42＋(－3)2＝b ＝1，∴a ＝2，b ＝1， ∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.二、填空题6．圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)的半径为________．解析：方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)配方为(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)， 所以方程表示的圆的半径r ＝2|a |. 答案：2|a |7．点P 是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋13＝0上的动点，O 是坐标原点，则线段OP 的中点Q 的轨迹方程是________．解析：圆的方程可化为(x －4)2＋(y －1)2＝4.设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 02， ∴x 0＝2x ，y 0＝2y .∵(x 0，y 0)是圆上的动点，∴(x 0－4)2＋(y 0－1)2＝4，∴(2x －4)2＋(2y －1)2＝4，即(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 答案：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 8．经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的方程为________．解析：根据题意，设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．由于圆过A ，B ，C 三点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋D －E ＋F ＝017＋D ＋4E ＋F ＝020＋4D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－7E ＝－3F ＝2. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.答案：x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，求与x 轴相交于A (1,0)和B (5，0)两点且半径为5的圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5.因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(0－b )2＝5，(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由A ，B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )．又AC ＝5，得 (3－1)2＋b 2＝ 5.解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.10．(2013·临汾高三模拟)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．则直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42， 此时|QM |的最小值为32－16＝4.一、选择题1．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，0，而D 可以大于0，故选A. 2．圆心为C ⎝⎛⎭⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足OP →·OQ →＝0，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －3)2＝52B.⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋3)2＝52C.⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y －3)2＝254D.⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254 解析：选C.∵圆心为C ⎝⎛⎭⎫－12，3， ∴设圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2， 在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y －3)2＝254，故选C.二、填空题3．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x ＋y ＝0对称；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．解析：圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确．答案：①③4．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．设圆C 2的圆心为(a ，b )．∵圆C 1与圆C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2. 又圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8，∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O .∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝8b a ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2. 由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0.∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)． ∴存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。
第一章第3课时知能演练轻松闯关
一、选择题1.将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( )A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2B ．∃a ＜0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2C ．∀a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D.全称命题含有量词“∀”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，故选D.2.下列四个命题中，为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2＋3＜0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5＜1D ．∃x ∈Q ，x 2＝3解析：选C.由于∀x ∈R 都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋3＜0”为假命题；由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 2≥1”是假命题； 由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5＜1，所以命题“∃x ∈Z ，使x 5＜1”为真命题；由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x ∈Q ，x 2＝3”为假命题，故选C.3.(2012·高考山东卷)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C.p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．4.(2013·武汉市适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )A ．所有能被2整除的整数都是奇数B ．所有不能被2整除的整数都不是奇数C ．存在一个能被2整除的整数是奇数D ．存在一个不能被2整除的整数不是奇数解析：选D.命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”．5.(2013·2013·石家庄市高中毕业班教学质量检测(二))已知命题p 1：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0；p 2：∀x ∈[1，2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．綈p 1∧綈p 2B ．p 1∨綈p 2C ．綈p 1∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C.∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x 2＋x ＋1＜0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1，∴∀x ∈[1，2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴綈p 1∧p 2为真命题，故选C.二、填空题6.命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是____________________．解析：否定为全称命题：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0”．答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠07.下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.所有真命题的序号是________．解析：①②显然正确；③中，若α＝π2，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，∴③正确；④中，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，∴④正确．故填①②③④.答案：①②③④8.(2013·安徽省名校联考)命题“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]三、解答题9.命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，函数f (x )＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)；命题q ：∃m ≥0，使得y ＝sin mx 的周期小于π2，试判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 的真假性． 解：对于命题p ，当f (x )＝|log 2x |＝0时，log 2 x ＝0，即x ＝1，1∈/(1，＋∞)，故命题p 为假命题．对于命题q ，y ＝sin mx 的周期T ＝2π|m |＜π2，即|m |＞4，故m ＜－4或m ＞4，故存在m ≥0，使得命题q 成立，所以q 为真命题．故p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．10.已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1＜0.当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A .解：非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真．若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；若a ≠0，则非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ≤0⇔0＜a ≤4. 综上知，所求集合A ＝[0，4]．一、选择题1.(2013·长沙模拟)设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( )A ．p 、q 中至少有一个为真B ．p 、q 中至少有一个为假C ．p 、q 中有且只有一个为真D ．p 为真，q 为假解析：选C.∵p 或q 为真⇒p 、q 中至少有一个为真；p 且q 为假⇒p 、q 中至少有一个为假，∴“命题p 或q 为真，p 且q 为假”⇒p 与q 一真一假．而由C 选项⇒“命题p 或q 为真，p 且q 为假”．2.若命题“p ∧綈 q ”为真，在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“q ”、“綈p ”中，真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.命题“p ∧綈q ”为真，即命题p 为真，綈q 为真，所以“綈p ”为假，“q ”为假，从而“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，故真命题有1个．二、填空题3.命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真4.已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②三、解答题5.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a >0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2，即2＜x ≤3. 所以q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x ＞3}，则A B .所以0＜a ≤2且3a ＞3，即1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1，2]．。
人民版高一历史必修1电子题库 专题五三知能演练轻松闯关 Word版含答案
1．(2012·湛江学业水平检测)十一届三中全会以后，党和国家的工作重心转向以经济建设为中心，外交策略也发生相应调整，主要目标是()A．打破西方对中国的孤立政策B．反对霸权主义，维护世界和平C．解决国家安全问题D．联合美国对抗苏联解析：选B。
本题考查学生对问题的理解能力。
A项早在20世纪70年代就已实现，C项本身不存在，改革开放以后我国实行不结盟的外交政策，即不与任何大国结盟，故排除D项。
和平与发展成为时代主题，主要目标是反对霸权主义，维护世界和平。
2．“中国不屈从于任何外来压力，不同任何大国或国家集团结盟……坚决反对任何国家以任何借口对别国主权和内政进行干涉。
”这段材料直接反映了()A．独立自主和平外交B．不结盟政策C．和平共处五项原则D．多边外交解析：选B。
“不同任何大国或国家集团结盟”是解答本题的关键。
A、C、D都是中国的外交政策，其中A是任何时期都不变的根本原则，C、D是具体方针，但与材料不符。
3．正在全力推进现代化的中国，积极主动地融入经济区域集团化这一世界经济发展的潮流。
2001年，中国在上海成功举办的第九次领导人非正式会议是()A．亚太经合组织会议B．北美自由贸易区会议C．东南亚国家联盟会议D．上海合作组织会议解析：选A。
本题考查学生对基础知识的再认再现能力。
2001年，中国在上海成功举办了亚太经合组织第九次领导人非正式会议。
4．2011年6月15日，胡锦涛主席在阿斯塔纳出席了某组织峰会并发表讲话：“10年来，各成员国团结一致、密切协作……我们创立了新型国家关系模式，把‘世代友好，永葆和平’的思想以法律形式确定下来，标志着本组织成员国睦邻互信和团结协作达到前所未有的高水平。
”该组织应是()解析：选A。
本题考查上海合作组织。
由“10年来”可知该组织成立于或者中国参加于2001年，由此排除B、C；由“新型国家关系模式……睦邻互信和团结协作”可以排除D。
5．阅读下列材料：中国的对外政策是独立自主的，是真正的不结盟。
第二章第一节知能演练轻松闯关
1.下列说法中正确的是()A．冬天对着手哈气，手变暖是机械能转化为内能B．用酒精灯给水加热，是机械能转化为内能C．洗澡时，用毛巾擦背，感觉后背发热，是机械能转化为内能D．滑冰时，冰刀与冰之间相互摩擦，出现一道痕迹，是内能转化为机械能答案：C2.图2－1－3如图2－1－3所示，从能量的转化和转移的角度可用下面三句话来概括：①小孩克服摩擦做功，动能转化为内能②小孩从滑梯上滑下时，重力势能转化为动能③小孩的臀部吸热，内能增加，温度升高以下排序正确的是()A．①②③B．②③①C．②①③D．③②①答案：C3.下列关于能量转化现象的说法中，正确的是()A．用太阳灶烧水是太阳能转化为内能B．电灯发光是电能全部转化为光能C．核电站发电是电能转化为内能D．生石灰放入盛有凉水的烧杯里，水温升高是动能转化为内能解析：选A.太阳灶烧水是太阳能转化为内能，A正确；电灯发光是电能转化为内能和光能，B错误；核电站发电是核能转化为电能，C错误；生石灰放入盛有凉水的烧杯里，化学能转化为内能，D错误．4.下列说法不．正确的是()A．任何一种机器做功都要消耗能量，不消耗能量的机器是无法对外做功的B．每种能量都与一种运动形式相对应，与内能相对应的运动形式是热运动C．能量在转化过程中总量可以减少，但不会增加D．能量不论如何转化，系统的总能量是不变的解析：选C.由能量守恒定律可知，A、B、D均正确，C错误，故本题应选C选项．5.有人试图制造一台“永久”的发电机．设计思路如下：先利用外界供给的电能，使电动机转动，再让电动机带动发电机发电．发电机发电后，一部分电供给电动机继续使用，电动机不再利用外界供给的电能；一部分电能供用户使用．这样，一旦这个发电机发出电来，它就可以不再使用外界的能量，自己“源源不断”地发出电来．用能量转化和守恒的知识分析说明，这样的“永动机”能实现吗？解析：题中设想的能量转化过程是这样的：电能→机械能→电能→机械能＋电能(用户)．根据能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为别的形式，或者从一个物体转移到别的物体，所以上述能量转化中均应是守恒的，一旦发电机发出电来不再使用外界能量是不可能的，这种永动机不能实现．答案：见解析一、选择题1.关于能量的转化和转移，以下说法中正确的是()A．能量可以从能量多的物体向能量少的物体转移，也可以从能量少的物体向能量多的物体转移B．内能可以转化为机械能，机械能也可以转化为内能C．能量只能从一种形式转化成另一种形式D．能量可以从一种形式转化为另一种形式，但转化前后能的总量会减少解析：选AB.能量转移的方向与物体能量的多少无关，故A正确；机械能与内能之间可以相互转化，故B正确；能量既可以相互转化也可以发生转移，而总能量保持不变，故C、D 错．2.一辆汽车在关闭发动机后继续沿水平方向向前运动，从能的转化看，它是()A．动能不变B．机械能不变C．动能转化为势能D．机械能转化为内能解析：选D.汽车沿水平方向向前减速运动，重力势能不变，动能减小，机械能减小，故A、B、C错；由于克服摩擦力做功，减小的机械能转化为内能，所以D正确．3.(2012·广州高二检测)下列现象中，只有能的转化而不发生能的转移的过程是()A．冬天用热水袋取暖B．一杯水慢慢变凉C．用打气筒给轮胎打气时，气筒壁会发热D．冬天用手摸户外的东西时感到凉解析：选C.用打气筒给轮胎打气时，外力压缩气体做功，机械能转化为内能，故C正确；用热水袋取暖，一杯水慢慢变凉，冬天用手摸户外的东西时感到凉，都是内能发生了转移，故A、B、D错．4.一铁块沿斜面释放后滑下，恰好做匀速运动，那么在下滑过程中()A．铁块机械能减小，内能增加B．铁块机械能守恒，内能不变C．铁块具有的总能量不变D．铁块具有的总能量增加解析：选A.铁块下滑时，由于摩擦力做功，机械能减少，而摩擦生热，使斜面及铁块内能增加．铁块的总能量减少了，斜面和铁块组成的系统的总能量不变．5.下列对能量守恒定律的认识错误的是()A．某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加B．某个物体的能量减少，必然有其他物体的能量增加C．不需要任何外界的动力而持续对外做功的机器——永动机是不可能制成的D．石子从空中落下，最后停止在地面上，说明机械能消失了解析：选 D.能量守恒定律是指能量的总量不变，但更重要的是指转化和转移过程中的守恒．在不同形式的能量间发生转化，在不同的物体间发生转移．不需要任何外界动力而持续对外做功的机器是违背能量守恒定律的，是永远不可能制成的．机械能可以转化成其他形式的能，但不能消失，因为能量是不会消失的，故A、B、C均正确，D错误．6.下列说法正确的是()A．随着科技的发展，永动机是可以制成的B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但是照射到宇宙空间的能量都消失了C．“既要马儿跑，又要马儿不吃草”违背能量转化和守恒定律，因而是不可能的D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生解析：选C.永动机是指不消耗或少消耗能量，而可以大量对外做功的装置．历史上曾出现过各式各样的所谓永动机的发明，结果都以失败告终，原因就是违背了能量转化和守恒定律，人类只能发现规律、利用规律，但绝不可以违背规律，即使以后科技再发达，也要受自然规律的制约，所以永动机是永远不可能制成的，故选项A错误；太阳辐射大量的能量，地球只吸收了极少的一部分，就形成了风云雨雪，使万物生长，但辐射到星际空间的能量也没有消失，一定是转化成了别的能量，故选项B错．马和其他动物，包括人要运动，必须消耗能量，动物的能量来源于食物中储存的化学能，故选项C正确；所谓“全自动”手表内部还是有能量转化装置的，一般是一个摆锤，当人戴着手表活动时，摆锤不停摆动，给游丝弹簧补充能量，才会维持手表的走动，如果把这种表放在桌面上静置几天，它一定会停摆的，故选项D错．7.(2012·大连八中高二检测)汽车关闭发动机后恰能沿斜坡匀速运动，在这个过程中() A．汽车的机械能守恒B．汽车的动能和势能相互转化C．机械能逐渐转化为内能，总能量逐渐减少D．机械能逐渐转化为内能，总能量不变解析：选D.汽车关闭发动机后恰能沿斜坡做匀速运动，则汽车必受到摩擦力的作用，机械能不守恒，汽车匀速运动，则动能不变，摩擦力做功，使机械能逐渐转化为内能，但总能量不变．8.一颗子弹以某一水平速度击中了静止在光滑水平面上的木块，未从木块中穿出．对于这一过程，下列说法中正确的是()A．子弹减少的机械能等于木块增加的机械能B．子弹减少的动能等于木块增加的动能C．子弹减少的机械能等于木块增加的动能与木块增加的内能之和D．子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块的内能增量之和解析：选D.子弹打击木块的过程中，除了子弹与木块间动能的转移外，还有摩擦阻力作用，导致动能与内能的转化，但此过程中总能量守恒，子弹、木块组成的系统损失的动能等于系统增加的内能，故选项D正确．9.物体从高处落下，由于空气阻力的影响，其能量转化情况是()A．机械能增加，内能也增加B．机械能减少，内能也减少C．机械能不变，内能也不变D．机械能减少，内能增加解析：选D.物体下落过程中，克服空气阻力做功，使部分机械能转化为内能，故D正确．10.图2－1－4大约在1670年，英国赛斯特城的主教约翰·维尔金斯设计了一种磁力“永动机”，如图2－1－4所示．在小柱上放一个强力的磁铁A，两个斜的木槽M和N叠着倚靠在小柱旁边，上槽M的上端有一个小孔C，下槽N是弯曲的．这位发明家认为：如果在上槽上放一个小铁球B，那么由于磁铁A的吸引力，小球会向上滚，可是滚到小孔处，它就要落到下槽N上，一直滚到N槽的下端，然后顺着弯曲处绕上来，跑到上槽M上．在这里，它又受到磁铁的吸引，重新向上滚，再从小孔里落下去，沿着N槽滚下去，然后再经过弯曲处回到上槽里来，以便重新开始运动．这样，小球就会不停地前后奔走，进行“永恒的运动”．关于维尔金斯的“永动机”，正确的认识应该是()A．符合理论规律，一定可以实现，只是实现时间早晚的问题B．如果忽略斜面的摩擦，维尔金斯“永动机”一定可以实现C．如果忽略斜面的摩擦，铁球质量较小，磁铁磁性又较强，则维尔金斯“永动机”可以实现D．违背能量守恒定律，不可能实现解析：选D.由题意可知，磁铁对小铁球的吸引力大于重力沿槽向下的分力，所以小铁球沿N 槽滚动时是减速前进的，若忽略摩擦，小铁球即使能滚到N槽下端，其速度也必为零，在不获得其他任何能量的前提下，无论如何也不可能再获得速度，使自己绕着弯曲处上升，重新回到M槽底端，故D正确．二、非选择题11.请填写下列现象中，能量转换的方式．(1)水轮机带动发电机发电：________________________________________________________________________；(2)水沸腾后，水壶盖被顶起：________________________________________________________________________；(3)电动机带动机器运转：________________________________________________________________________；(4)植物吸收太阳光进行光合作用：________________________________________________________________________；(5)煤炭燃烧发热：________________________________________________________________________.答案：(1)机械能转换为电能(2)内能转换为机械能(3)电能转换为机械能(4)光能转换为化学能(5)化学能转换为内能12.如图2－1－5所示，一个质量m＝100 g的金属块恰能从一个长l＝4 m、倾角θ＝30°的斜面的顶端匀速下滑至底端，损失的机械能有20%被金属块吸收，求在下滑过程中产生的内能及金属块升高的温度．[金属块的比热容为98 J/(kg·℃)]图2－1－5解析：金属块匀速下滑过程中动能不变，机械能的减少量即重力势能的减少量为mgl sin θ.这部分机械能通过摩擦生热转化成了等值的内能．Q ＝ΔE ＝mgl sin θ＝100×10－3×9.8×4×sin30° J＝1.96 J.而其中20%的内能被金属块吸收，所以金属块增加的内能为ΔU ＝Q ′＝η·Q ＝20%×1.96 J ＝0.392 J.又因为Q ′＝cm ·Δt ，所以Δt ＝Q ′c ·m ＝0.39298×0.1℃＝0.04 ℃. 答案：1.96 J 0.04℃。
第三章3.5知能演练轻松闯关
1．(2012·沈阳质检)函数f (x )＝3sin(2πx －1)的最小正周期是( )A ．πB ．2C.π2D ．1 解析：选D.T ＝2π2π＝1. 2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 解析：选D.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ， 当0<x <π2时，0<2x <π， 故f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减． 又当x ＝π2时，2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＝－2，因此x ＝π2是y ＝f (x )的一条对称轴． 3．(2012·重庆调研)函数y ＝lnsin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3>0且为增函数时， y ＝lnsin ⎝⎛⎭⎫2x －π3为增函数． ∴2k π<2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 即k π＋π6<x ≤k π＋512π(k ∈Z)． 答案：⎝⎛⎦⎤k π＋π6，k π＋512π(k ∈Z) 4．已知函数f (x )＝min {}sin x ，cos x ，则f (x )的值域是________．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x 的函数图像可得，f (x )＝min {}sin x ，cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－1，22答案：⎣⎡⎦⎤－1，22一、选择题1．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A ．0 B.π4C.π2D ．π 解析：选C.当φ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，且y ＝cos2x 是偶函数，故φ＝π2. 2．(2011·高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A.23B.32C ．2D ．3解析：选B.由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 3．(2012·江南十校联考)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝53π，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.223 B.233C.43D.263解析：选B .∵f (x )＝sin x ＋a cos x ＝a 2＋1sin(x ＋φ)， 又∵x ＝5π3是函数的一条对称轴． ∴sin 5π3＋a cos 5π3＝a 2＋1， 解得a ＝－33. ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233⎝⎛⎭⎫－12sin x ＋32cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3. 故g (x )的最大值为233.4．(2011·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( ) A ．2＋ 3 B. 3 C.33 D ．2－ 3解析：选B.由图形知，T ＝πω＝2⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π2，∴ω＝2. 由2×38π＋φ＝k π，k ∈Z ，|φ|<π2，知φ＝π4. 由A tan ⎝⎛⎭⎫2×0＋π4＝1，知A ＝1， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A.由已知得2πω＝6π， ∴ω＝13，2sin ⎝⎛⎭⎫13×π2＋φ＝2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，又－π<φ≤π，得φ＝π3. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，当2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )为增函数， 令k ＝0得，f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤－52π，π2. 而[－2π，0] ⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故选A. 二、填空题6．函数y ＝(sin x －3cos x )(cos x －3sin x )＋3的最小正周期是________．解析：y ＝(sin x －3cos x )(cos x －3sin x )＋3＝4sin x cos x －3(sin 2x ＋cos 2x )＋3＝2sin2x .所以，函数的最小正周期为π.答案：π7．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－5π12，0； ②已知函数f (x )＝max{sin x ，cos x }，则f (x )的最小值是－22； ③若α，β均为第一象限的角，且α>β，则sin α>cos β.其中所有真命题的序号是________．解析：对于①，令x ＝－5π12，则2x ＋π3＝－5π6＋π3＝－π2，有f ⎝⎛⎭⎫－5π12＝0，因此⎝⎛⎭⎫－5π12，0为f (x )的一个对称中心，故①为真命题；对于②结合图像知f (x )的最小值为－22，故②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin390°＝12<sin60°＝32，故③为假命题．所以真命题为①②.答案：①②8．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；②图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3. ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图像及性质可知②④正确． 答案：②④三、解答题9．(2010·高考湖北卷)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解：(1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14， 所以f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z)，即x ＝k π－π8(k ∈Z)时， h (x )取得最大值22. 故使h (x )取得最大值时的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 23π＋sin 2π3＝－1＋34＝－14. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )＝3cos 2x －1，x ∈R.因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝±1时，f (x )取最大值2；当cos x ＝0时，f (x )取最小值－1.11．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)，且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]， ∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，因此可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1， ∴g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1 ＝4sin(2x ＋π6)－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1， ∴sin(2x ＋π6)>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 由2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z. 由2k π＋π2≤2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x <k π＋π3，k ∈Z. ∴g (x )的递增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ； 递减区间为[k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z.。
第三章第3课时知能演练轻松闯关
1．(2010·高考福建卷)计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 答案：B2．(2011·高考辽宁卷)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79 答案：A3．已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )A ．－a 2 B.a 2C ．－aD ．a 解析：选C.sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝(1－cos 2α)·cos 2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2α＝－a .故选C.4．(2011·高考浙江卷)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69解析：选C.∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<34π.∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223. ∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2.∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. 5．一个凸平面四边形的四个内角成公比为2的等比数列，其中最小角为θ，且cos θ＝a 2，则最大角的正弦值为( )A ．－1－a 22 B. 1－a 22C ．－1＋a 22 D. 1＋a 22解析：选A.依题设θ＋2θ＋4θ＋8θ＝360°. ∴θ＝24°，8θ＝192°，∴cos θ＝cos24°＝a 2. sin8θ＝sin192°＝sin(180°＋12°)＝－sin12°＝－ 1－cos24°2＝－ 1－a 22，故选A.6．(教材习题改编)已知sin α＝35，cos β＝－45，α∈(π2，π)，β∈(π，3π2)，则sin(α－β)＝________.答案：－24251．(2010·高考课标全国卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：选A.由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(－45－35)＝－710 2.2．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°等于( )A. 3B.33C ．－33D ．－ 3解析：选D.tan70°＋tan50°－3tan70°tan50° ＝tan(70°＋50°)(1－tan70°tan50°)－3tan70°tan50°＝－ 3.3．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( )A.225 B ．－225C.425 D ．－425解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A.4．tan70°·cos10°(3tan20°－1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：选C.tan70°·cos10°(3tan20°－1) ＝sin70°cos70°·cos10°(3·sin20°cos20°－1) ＝cos20°cos10°sin20°·3sin20°－cos20°cos20°＝cos10°·2sin (20°－30°)sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.5．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)(x ∈R )的最大值是________． 解析：法一：y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)·cos x ，其最大值为(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1. 法二：y ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°] ＝12sin(x ＋10°)＋32cos(x ＋10°)＝sin(x ＋70°)， 所以，其最大值为1. 答案：16．在△ABC 中，tan A ＝－2，tan B ＝13，则C ＝________.解析：∵tan A ＝－2，tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－2＋131＋2×13＝－5353＝－1.∵A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝34π.∴C ＝π－34π＝π4.答案：π47．已知tan α＝2.求：(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．解：(1)∵tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α且tan α＝2，∴tan(α＋π4)＝1＋21－2＝－3.(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52.1.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4解析：选D.∵5π4<4<3π2，∴ sin4<cos4<0.∴2＋2cos8＋21－sin8＝2|cos4|＋2|sin4－cos4| ＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.故选D.2．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．cos(α＋β)>cos αcos β C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β)解析：选C.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0， 故sin(α＋β)>sin(α－β)． 3.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin αcos α1－sin αcos α＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 答案：14．已知α、β为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－1，则cos β＋tan α的值为________．解析：∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2，又∵tan(α－β)＝－1，∴α－β＝－π4，即β＝π4＋α，cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝－210. tan α＝sin αcos α＝43.cos β＋tan α＝－210＋43＝40－3230.答案：40－32305．求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．解：(1)原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝ 3.(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.6．已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等腰直角三角形，记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC |的取值范围．解：(1)由已知可得tan α＝y x ＝4535＝43，sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos αcos 2α＋cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫432＋2·432－⎝⎛⎭⎫432＝20.(2)A (cos α，sin α)，B ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2，且C (1,0)， ∴|BC |＝⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2－12＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2＋2sin α.∵A 、B 分别在第一、二象限，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α∈(0,1)，∴|BC |的取值范围为(2，2)．。
第一章第三节知能演练轻松闯关
1．(双选)下列说法正确的是( )A．磁感线从磁体的N极出发，终止于磁体的S极B．磁感线可以表示磁场的方向和强弱C．磁铁能产生磁场，电流也能产生磁场D．放入通电螺线管内的小磁针，根据异名磁极相吸的原则，小磁针的N极一定指向通电螺线管的S极答案：BC2．(单选)如图所示，OO1为条形磁铁的轴线，a、b、c为轴线上的点，则这三点的磁感应强度的大小关系为()A．B a＝B b＝B c B．B a>B b>B cC．B a>B c>B b D．B a<B b<B c解析：选B.在条形磁铁的轴线上，离磁铁越远，磁场越弱，磁感应强度越小，所以选项B正确．3．(单选)如图所示，三个线圈放在匀强磁场中，面积S1<S2<S3.穿过三个线圈的磁通量分别为Φ1、Φ2和Φ3，下列判断正确的是()A．Φ1＝Φ2B．Φ2＝Φ3C．Φ1>Φ2D．Φ3>Φ2解析：选D.根据磁通量的定义式Φ＝BS可知．在B相同的情况下，S越大，Φ越大，故选项D正确．4．(双选)条形磁铁上部一小磁针平衡时N极指向如图所示，假定磁铁内部也有一小磁针，平衡时如图所示，则下列说法正确的是()A．磁铁c端是N极，d端是S极B．磁铁c端是S极，d端是N极C．小磁针a端是N极，b端是S极D．小磁针a端是S极，b端是N极解析：选BD.小磁针静止时N极的指向即为该处的磁场方向，而条形磁铁外部磁感线方向是由N极指向S极，而内部是由S极指向N极，由小磁针静止时N极所指的方向可判定磁铁d端是N极，c端是S极；磁铁内部的小磁针，由内部磁场方向可判定，a端是S极，b端是N极．5．如图所示，平面的面积S＝0.6 m2，它与匀强磁场方向垂直，若磁感应强度B＝0.4 T，求通过平面的磁通量．解析：由Φ＝BS得，Φ＝0.4×0.6 Wb＝0.24 Wb.答案：0.24 Wb一、单项选择题1．在地球赤道上放置一个小磁针，静止时小磁针N极指向()A．南极B．北极C．东方D．西方解析：选B.地球是一块巨大的磁体，地磁场的南极和北极分别位于地理的北极和南极附近．在赤道处，地磁场方向由南指向北，小磁针静止时N极指向北极．2．下列关于磁感线的叙述，正确的是()A．磁感线是真实存在的，细铁屑撒在磁铁附近，我们看到的就是磁感线B．磁感线始于N极，终于S极C．磁感线和电场线一样，不能相交D．沿磁感线方向磁场减弱解析：选C.磁感线是为了形象地描绘磁场而假设的一组有方向的曲线，曲线上每一点的切线方向表示磁场方向，曲线疏密表示磁场强弱，在磁铁外部磁感线从N极出来进入S 极，在磁铁内部从S极到N极，磁感线不相交，故选C.3．关于磁通量的描述，下列说法正确的是()A．位于磁场中的一个平面垂直于磁场方向时，穿过平面的磁通量最大B．穿过平面的磁通量最大时，该处的磁感应强度一定最大C．如果穿过某平面的磁通量为零，则该处的磁感应强度一定为零D．将一平面置于匀强磁场中的任何位置，穿过该平面的磁通量总是相等解析：选A.磁通量可用公式Φ＝BS sinθ求解，其中θ为线圈平面与磁场方向之间的夹角．因此，磁通量为零，磁感应强度不一定为零；磁通量最大，磁感应强度也不一定最大．4．下面是某位同学列出的磁体和磁体、磁体和电流、电流和电流之间相互作用的流程图，其中不．正确的是()A．磁体——磁场——磁体B．磁体——磁场——电流C．电流——电场——电流D．电流——磁场——电流解析：选C.磁体与磁体、磁体与电流、电流与电流之间的作用力都是通过磁场传递的，所以C错，A、B、D正确．5．一个蹄形磁铁从中间断开后，每一段磁铁的磁极个数是()A．一个B．两个C．四个D．没有解析：选 B.一个磁铁无论断成几段，每一段还是有两个磁极，原因是不存在磁单极子．选项B正确．6．关于磁感应强度，下列说法中正确的是()A．磁感应强度只能反映磁场的强弱B．磁感应强度是描述磁场强弱和方向的物理量C．磁感应强度的方向就是通电导线在磁场中所受作用力的方向D．磁感应强度的方向就是放在该点的小磁针的S极静止时的指向解析：选B.磁感应强度是描述磁场强弱和方向的物理量，A错，B对．磁感应强度的方向是小磁针N极的受力方向，也是小磁针静止时N极的指向，C、D均错．7．磁场中任一点的磁场方向规定小磁针在磁场中()A．受磁场力的方向B．北极受磁场力的方向C．南极受磁场力的方向D．受磁场力作用转动的方向解析：选B.磁场中某点磁场方向，我们这样规定：小磁针N极受力方向，小磁针静止时N极指向，磁感线某点切线方向，这三个方向就是磁场方向表达的不同形式，但实质是一样的．8．如图所示，A、B是一条磁感线上的两点，下列关于这两点的磁场强弱判断正确的是()A．A点磁场比B点磁场强B．B点磁场比A点磁场强C．因为磁感线为直线，A、B两点磁场一样强D．条件不足，无法判断解析：选D.磁感线的疏密表示磁场的强弱，磁感线分布越密的地方，磁场越强，磁感线分布越疏的地方，磁场越弱，根据一条磁感线无法看出疏密，因此无法判断磁场强弱，选D.二、双项选择题9．关于磁场的下列说法正确的是()A．磁场的基本性质是对处于其中的磁体和电流有力的作用B．磁场看不见摸不着，实际不存在，是人们假想出来的一种物质C．磁场是客观存在的，是物质的一种特殊的存在形态D．磁场的存在与否决定于人的思想，想其有则有，想其无则无解析：选AC.磁场是客观存在的一种物质，不以人的意志而转移，它看不见，摸不着，但是客观存在的，所以C对，BD错．磁场的性质是对放入其中的磁体和电流有力的作用，A对．10．如图所示是几种常见磁场的磁感线分布示意图，下列说法正确的是()A ．图甲中a 端是磁铁的S 极，b 端是磁铁的N 极B ．图甲中a 端是磁铁的N 极，b 端是磁铁的S 极C ．图乙是两异名磁极的磁感线分布示意图，c 端是N 极，d 端是S 极D ．图乙是两异名磁极的磁感线分布示意图，c 端是S 极，d 端是N 极解析：选AD.图甲是条形磁铁外部磁感线分布示意图，外部磁场的磁感线是从磁铁的N 极出来，进入磁铁的S 极，故A 正确，B 错．图乙是两异名磁极间的磁感线分布示意图，磁感线仍然是从N 极出来，进入磁铁的S 极，故C 错，D 正确．三、非选择题11．磁体的周围存在着磁场，磁场的基本性质是对放入其中的________有力的作用，这种力的作用又是通过________产生的．答案：磁体和电流 磁场12．地球上某地点地磁感应强度B 的水平分量B x ＝0.18×10－4 T ，竖直分量B y ＝0.54×10－4 T ．求：(1)地磁场B 的大小及它与水平方向的夹角；(2)在水平面内2.0 m 2的面积内地磁场的磁通量Φ.解析：(1)根据平行四边形定则，可知B ＝B 2x ＋B 2y ＝0.182＋0.542×10－4 T ＝0.57×10－4 T B 的方向和水平方向的夹角(即磁倾角)α＝arctan B y B x ＝arctan 0.54×10－40.18×10－4＝71°34′. (2)题中地磁场竖直分量与水平面垂直，故磁通量Φ＝B ·S ＝0.54×10－4×2.0 Wb ＝1.08×10－4 Wb.答案：(1)0.57×10－4 T 71°34′ (2)1.08×10－4 Wb。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练专题一第3讲知能演练轻松闯关Word版含答案
1．(2012·四川绵阳高三诊断)已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3解析：选B.由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，即a 2＝1，a ＝±1，故选B. 2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B.由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0＜x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．3．(2012·高考湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2解析：选B.根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43. 4．(2012·高考大纲全国卷)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1解析：选A .∵y ′＝3x 2－3，∴当y ′＝0时，x ＝±1.则x ，＝2.5．若函数y ＝f(x)在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (b )>bf (a )B ．af (a )>bf (b )C ．af (a )<bf (b )D ．af (b )<bf (a )解析：选B.令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，由xf ′(x )>－f (x )，得xf ′(x )＋f (x )>0，即F ′(x )>0，所以F (x )在R 上为递增函数．因为a >b ，所以af (a )>bf (b )．6．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ，若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________．解析：由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以当a ＞－19时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． 答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 7．(2012·高考江西卷)计算定积分⎠⎛1－1(x 2＋sin x )dx ＝________. 解析：∵⎝⎛⎭⎫13x 3－cos x ′＝x 2＋sin x ， ∴⎠⎛1 1- (x 2＋sin x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－cos x ⎪⎪⎪1－1＝23. 答案：238．(2012·泉州模拟)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )(x ) 1 2 2①函数f (x )的值域为[0,2]；②函数f (x )在区间[0,2]和[4,5]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中是真命题的是________．解析：由f ′(x )的图象知，函数f (x )在[－1,0]上递增，在[0,2]上递减，在[2,4]上递增，在[4,5]上递减，故f (x )在x ＝0处取极大值，在x ＝2处取极小值，在x ＝4处取极大值．又由表格知f (－1)＝f (5)<f (0)，且f (0)＝f (4)，故f (x )的最大值为2，最小值因f (2)未知而不确定，故①不正确；③中t 最大值为5；④中零点个数受最小值影响，故④不一定正确．因此只有②正确． 答案：②9．(2012·高考安徽卷)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)． (1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． 解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . 法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上递增； 当0＜x ＜1a时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . (2)f ′(x )＝a －1ax 2， 由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32， 解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)． 将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1. 所以a ＝2，b ＝－1.10．(2012·潍坊市模拟)已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，x ∈[－2，t ](t >－2)．(1)当t <1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)设f (－2)＝m ，f (t )＝n ，求证：m <n .解：(1)f ′(x )＝(2x －3)e x ＋e x (x 2－3x ＋3)＝e x x (x －1)，①当－2<t ≤0，x ∈[－2，t ]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．②当0<t <1，x ∈[－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(0，t ]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，当－2<t ≤0时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2，t ]，当0<t <1时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t ]．(2)证明：依题意得m ＝f (－2)＝13e －2，n ＝f (t )＝(t 2－3t ＋3)e t .设h (t )＝n －m ＝(t 2－3t ＋3)e t －13e －2，t >－2，h ′(t )＝(2t －3)e t ＋e t (t 2－3t ＋3)＝e t t (t －1)(t >－2)．故h (↗ ↘ ↗由上表可知h (t )的极小值为h (1)＝e －13e 2＝e e2>0.又h (－2)＝0，∴当t >－2时，h (t )>h (－2)＝0，即h (t )>0，因此，n －m >0，即m <n .11．(2012·郑州市第一次质量预测)设函数f(x)＝ln x －p(x －1)，p ∈R.(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围． 解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x－1. 由f ′(x )＝1x－1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1. 所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0， 即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意；②当－12<p <0时，存在x ∈(1，－12p)，使得ln x >0,1＋2px >0，从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在(1，－12p )上单调递增，从而存在x 0∈(1，－12p)使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意； ③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意．综上所述，实数p 的取值范围为(－∞，－12]．。
第三章第5课时知能演练轻松闯关
一、选择题1.(2013·石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析：选D.因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故选D.2.(2013·安顺调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点(π6，0)对称解析：选B.由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)．又f (π3)＝sin(23π＋π3)＝sin π＝0，所以其图象关于点(π3，0)对称．3.(2012·高考山东卷)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A.∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.4.(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A.由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54π－14π＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，f ⎝ ⎛⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝±1.∵0＜φ＜π，∴π4＜φ＋π4＜54π，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.5.已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上是增函数，那么( )A ．0＜ω≤32B ．0＜ω≤2C ．0＜ω≤247D ．ω≥2解析：选A.由x ∈[－π3，π4]且ω＞0得ωx ∈[－ωπ3，ωπ4]．又y ＝sin x 是[－π2，π2]上的单调增函数．则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2－ωπ3≥－π2，解得0＜ω≤32.二、填空题6.函数y ＝1－tan x 的定义域是________． 解析：由1－tan x ≥0，得tan x ≤1， ∴k π－π2＜x ≤k π＋π4(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )7.(2013·温州市适应性测试)函数f (x )＝sin x sin(x －π3)的最小正周期为________．解析：注意到f (x )＝sin x sin(x －π3)＝sin x ·(12sin x －32cos x )＝12sin 2x －32sin x cos x ＝1－cos 2x 4－34sin 2x ＝14－12sin(2x ＋π6)，因此函数f (x )的最小正周期是π. 答案：π8.设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.答案：2 三、解答题9.已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标． 解：f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )．∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．10.(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域．解：(1)f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin(2x －π6)． ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)∵x ∈[－π12，π2]，∴2x －π6∈[－π3，5π6]，∴－32≤sin(2x －π6)≤1，即函数f (x )在区间[－π12，π12]上的值域为[－32，1]．1.(2013·安徽省“江南十校”联考)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x的值；(2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间． 解：(1)∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f (－x )＝cos x －sin x . 又∵f (x )＝2f (－x )，∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，且cos x ≠0， ∴tan x ＝13，∴cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x ＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611.(2)由题知F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ， ∴F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1， ∴F (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1.∴当sin(2x ＋π4)＝1时，F (x )max ＝2＋1.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，故所求函数F (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．2.设函数f (x )＝sin ωx ＋sin(ωx －π2)，x ∈R .(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：(1)f (x )＝sin ωx ＋sin(ωx －π2)＝sin ωx －cos ωx ＝2sin(ωx －π4)．当ω＝12时，f (x )＝2sin(x 2－π4)，而－1≤sin(x 2－π4)≤1，所以f (x )的最大值为2， 此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .相应的x 的集合为{x |x ＝3π2＋4k π，k ∈Z }．(2)因为f (x )＝2sin(ωx －π4)，所以x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f (π8)＝2sin(ωπ8－π4)＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ， 整理，得ω＝8k ＋2. 又0＜ω＜10，所以0＜8k ＋2＜10，－14＜k ＜1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，即f (x )＝2sin(2x －π4)，f (x )的最小正周期为π.。
第3章第2节知能演练轻松闯关 (2)
1．(2012·永安一中高二期中)一根均匀的电阻丝的电阻为R ，下列用同种材料做成的电阻中，其电阻值也为R 的是( )A ．长度不变，横截面积增大一倍B ．横截面积不变，长度增大一倍C ．长度和横截面积都缩小一倍D ．长度和横截面的半径都增大一倍解析：选C.由电阻定律R ＝ρl S 可知，C 正确，A 、B 、D 错误． 2．导体的电阻是导体本身的一种性质，对于同种材料的导体，下列说法正确的是( )A ．横截面积一定，电阻与导体的长度成正比B ．长度一定，电阻与导体的横截面积成正比C ．电压一定，电阻与通过导体的电流成正比D ．电流一定，电阻与导体两端的电压成反比解析：选A.由R ＝ρl S可知，在横截面积S 一定时，电阻R 与长度l 成正比，长度l 一定时，电阻R 与横截面积S 成反比，故A 正确，B 错误；R ＝U I是电阻的定义式，提供了一种测电阻的方法，但电阻R 与电压U 、电流I 无关，故C 、D 均错误．3．一只标有“220 V ,100 W”的灯泡工作时的电阻为484 Ω，当它不工作时，测量其电阻应( )A ．等于484 ΩB ．大于484 ΩC ．小于484 ΩD ．无法确定解析：选C.此题考查导体的电阻率与温度的关系．工作时，灯泡中有电流通过，灯泡发热，温度升高，由于金属的电阻率随温度升高而变大，所以灯泡工作时的电阻比不工作时大一些．4．在电阻两端加50 V 的电压，该电阻10秒内有20 C 的电量通过横截面，则该电阻的阻值为( )A ．2 ΩB ．5 ΩC ．20 ΩD ．25 Ω解析：选D.由I ＝q t 得，I ＝2010 A ＝2 A ，由欧姆定律得，R ＝U I ＝502Ω＝25 Ω，D 正确． 5．为了测定液体的电阻率，工业上用一种称为“电导仪”的仪器．其中一个关键部件如图所示，A 、B 是两片面积为1 cm 2的正方形铂片，间距1 cm ，把它们浸没在待测液体中，若通过两根引线加一定的电压6 V 时，测出电流1 μA ，这种液体的电阻率为多少？解析：由R ＝U I 得R ＝61×10－6 Ω＝6×106 Ω. 由R ＝ρl S 得，ρ＝RS l ＝6×106×1×10－41×10－2 Ω·m ＝6×104 Ω·m.答案：6×104 Ω·m一、选择题 1．关于公式R ＝U I 和公式R ＝ρl S，下列说法正确的是( ) A ．两式对一切情况都适用B ．R ＝U I 仅适用于金属导体，R ＝ρl S适用于任何导体 C ．导体的电阻R 与U 成正比，与I 成反比D ．导体的电阻在温度一定时与导体长度成正比，与导体的横截面积成反比解析：选D.R ＝U I适用于金属导体和电解液，且为纯电阻电路，故A 、B 错误；导体的电阻由导体本身决定，与U 、I 无关，故C 错误、D 正确．2．(2012·莆田一中高二期中)关于电阻率的说法中不．正确的是( ) A ．电阻率ρ与导体的长度L 和横截面积S 有关B ．电阻率表征了材料的导电能力的强弱，由材料决定，与温度有关C ．电阻率ρ越大的导体，电阻也越大D ．导体材料的电阻率都是随温度升高而增大解析：选ACD.电阻率表征材料导电性能的强弱，由材料决定，与温度有关，A 错，B 对．电阻由导体的长度，横截面积、材料共同决定，C 错．有的导体材料电阻率随温度几乎不变，D 错．3．下列说法中正确的是( )A ．由R ＝U /I 可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比B ．由I ＝U /R 可知，通过导体的电流跟导体两端的电压成正比，跟它的电阻成反比C ．导体的电阻率由导体本身的物理条件决定，任何物理变化都不能改变导体的电阻率D ．欧姆定律I ＝U /R ，不仅适用于金属导体的导电情况，对于别的电路也都适用解析：选B.由电阻定律知，导体的电阻是由本身的物理条件决定的，与加在它两端的电压和通过它的电流无关．所以A 错．导体的电阻率是由导体的材料决定的，与温度有关．温度发生变化，电阻率也会改变，所以C 错．部分电路欧姆定律只适用于电阻电路，不一定适合于一切电路，所以D 错．答案为B.4．有长度相同，质量相同，材料不同的金属导线A 、B 各一根．已知A 的密度比B 的大，A 的电阻率比B 的小．则A 、B 两根导线的电阻为( )A ．R A ＞RB B ．R A <R BC ．R A ＝R BD ．无法判断解析：选D.由R ＝ρL S，虽有A 、B 长度相同，密度ρA ＞ρB 得S A ＜S B ，但电阻率ρA <ρB ，故不能确定R A 与R B 的大小．D 正确．5．(2012·大连高二期末)某金属导线的电阻率为ρ，电阻为R ，现将它均匀拉长到直径为原来的一半，那么该导线的电阻率和电阻分别变为( )A ．4ρ和4RB ．ρ和4RC ．16ρ和16RD ．ρ和16R解析：选D.电阻率不变，A 、C 错误．直径为原来的一半，横截面积为原来的14，长度是原来的4倍，由R ＝ρl S知，电阻是原来的16倍，B 错误，D 正确． 6．有Ⅰ、Ⅱ两根不同材料的电阻丝，长度之比为l 1∶l 2＝1∶5，横截面积之比为S 1∶S 2＝2∶3，电阻之比为R 1∶R 2＝2∶5，外加电压之比为U 1∶U 2＝1∶2，则它们的电阻率之比为( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶4D ．8∶3解析：选B.由公式R ＝ρl S 知ρ＝RS l，所以两种材料的电阻率之比ρ1：ρ2＝4∶3.选项B 正确．7．(2012·福州高二检测)一根粗细均匀的导线，当其两端电压为U 时，通过的电流是I ，若将此导线均匀拉长到原来的2倍时，电流仍为I ，导线两端所加的电压变为( )A ．U /2B ．UC ．2UD ．4U解析：选D.由R ＝ρl S可知，当导线被均匀拉长为原来的2倍时，其横截面积变为原来的12，所以电阻变为原来的4倍，再根据欧姆定律可知电压变为原来的4倍，故D 正确，A 、B 、C 错误．8．用电器离电源L 米，线路上的电流为I ，为使在线路上的电压降不超过U ，已知输电线的电阻率为ρ.那么，输电线的横截面积的最小值是( )A ．ρL /RB ．2ρLI /UC ．U /(ρLI )D ．2UL /(I ρ)解析：选B.自用电器到电源需两根导线，故导线总长为2L ，由R ＝U I 及R ＝ρ2L S解得：S 最小＝2ρIL U，B 正确． 9．如图所示，均匀的长方形薄片合金电阻板abcd ，ab 边长为L 1，ad 边长为L 2，当端点Ⅰ、Ⅱ或Ⅲ、Ⅳ接入电路时，R ⅠⅡ∶R ⅢⅣ是( )A ．L 2∶L 1B ．L 1∶L 2C ．L 22∶L 21D ．L 21∶L 22解析：选C.设电阻板厚δ，当端点Ⅰ、Ⅱ接入电路时，导体长为L 2，横截面积为L 1δ，根据电阻定律；R ⅠⅡ＝ρl S ＝ρL 2L 1δ；同理，R ⅢⅣ＝ρl S ＝ρL 1L 2δ；所以R ⅠⅡ∶R ⅢⅣ＝L 22∶L 21，故选C. 10．有两根材料相同的导线，质量之比为2∶1，长度之比为1∶2，加上相同电压后，通过的电流之比为( )A ．8∶1B ．4∶1C ．1∶1D ．1∶4解析：选A.同种材料的导体体积之比等于质量之比，所以V 1V 2＝21，横截面积之比S 1S 2＝V 1l 1V 2l 2＝21×21＝41，故由R ＝ρl S 可得R 1R 2＝l 1l 2·S 2S 1＝12×14＝18，加上相同的电压，由I ＝U R ，可得I 1I 2＝R 2R 1＝81.选项A 正确．二、非选择题11．两根材料相同的均匀导线x 和y ，x 的长度为L ，y 的长度为2L ，串联在电路中，沿电流方向电势随长度的变化如图所示，求x 、y 横截面积之比？解析：由图象可得两导线上的电压相等均为4 V ，由公式R ＝U I得两导线电阻相等；由公式R ＝ρl S ，可得S ＝ρl R，R 、ρ相同，故横截面积S 与长度l 成正比，故面积比为1∶2. 答案：1∶212．相距40 km 的A 、B 两地架两条输电线，电阻共为800 Ω.如果A 、B 间的某处发生短路，为查明短路地点，在A 处接上电源、电压表和电流表，测得电压表的示数为10 V ，电流表的示数为40 mA ，求发生短路处距A 处有多远？ 解析：如图所示，A 、B 两地相距l 1＝40 km ，原输电线长为2l 1，总电阻R 1＝800 Ω，设A 与短路处距离为l 2，其间输电线电阻：R 2＝U I ＝1040×10－3Ω＝250 Ω 由R ＝ρl S 知，R 1R 2＝2l 12l 2得：l 2＝l 1R 2R 1＝40×250800km ＝12.5 km ，即短路处距A 端12.5 km. 答案：12.5 km。
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1．(2012·山东潍坊二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时， l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4， 由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，由根与系数的关系及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0， 由Δ>0得k <－4或k >0，∴x 0＝x B ＋x C 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ， BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )， ∴b ＝2(k ＋1)2，∴b >2.故b 的取值范围是(2，＋∞)．2．(2012·河南八校联考)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上，它的一个顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程．解：(1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由于椭圆的一个顶点是A (2，0)，故b 2＝2.根据题意得，∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝b a， 即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.由Δ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)>0，得－2<k <2.根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k 2. 又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)．所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．3．(2012·西城区期末考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为12， 所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，又x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2， 所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k 23＋4k 2)． 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是[－312，312]． 4．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作垂直x 轴于点D 的直线，动点Q 满足DQ →＝23DP →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O 是坐标原点)？若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )．依题意，点D 的坐标为(x 0,0)，∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝32y， ∵点P 在⊙O 上，故x 20＋y 20＝9， ∴x 29＋y 24＝1， ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)， 则E (1,1)是线段MN 的中点， 且有⎩⎨⎧ x 1＋x 22＝1y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2y 1＋y 2＝2. 又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上， ∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1x 229＋y 224＝1， 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0， ∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49， ∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0，∴椭圆上存在不重合的两点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)， 此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.5．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴的两端点为A 、B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连结CM ，交椭圆于点P ，证明：OM →·OP →为定值；(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，得2b ＝2c ＝2 2.∴b ＝c ＝2，a ＝2，∴所求椭圆的方程是x 24＋y 22＝1. (2)证明：由(1)知，C (－2,0)，D (2,0)．由题意可设CM ：y ＝k (x ＋2)，P (x 1，y 1)，∵MD ⊥CD ，∴M (2,4k )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝k (x ＋2)，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0. ∵－2x 1＝8k 2－41＋2k 2，∴x 1＝2－4k 21＋2k 2. ∵y 1＝k (x 1＋2)＝4k 1＋2k 2， ∴P (2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2)． ∴OM →·OP →＝2·2－4k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝4(1＋2k 2)1＋2k 2＝4. 即OM →·OP →为定值．(3)设Q (x 0,0)(x 0≠－2)，若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ ⊥DP ，∴QM →·DP →＝0.由(2)可知QM →＝(2－x 0,4k )，DP →＝(－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2)． ∴QM →·DP →＝(2－x 0)·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝0. 即8k 21＋2k 2x 0＝0，∴x 0＝0. ∴存在Q (0,0)使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．6．(2012·深圳市调研)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP 、NP 分别与x 轴交于点R 、S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32， ∴c ＝3，b ＝ a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.① 由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－(1－x 214) ＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54(x 1＋85)2－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值－15. 把x 1＝－85代入①式，得y 1＝35，故M (－85，35)． 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325. 故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)证明：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.② 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入②式，得：x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。