专题五第3讲知能演练轻松闯关

1．(2012·山东潍坊二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C

两点．当直线l 的斜率是12

时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；

(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．

解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12

时， l 的方程为y ＝12

(x ＋4)，即x ＝2y －4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py x ＝2y －4

，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， y 1＋y 2＝8＋p 2

，y 1y 2＝4， 由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，

由根与系数的关系及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，

∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .

(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，

设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，

由⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＝4y y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0， 由Δ>0得k <－4或k >0，

∴x 0＝x B ＋x C 2

＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ， BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k

(x －2k )， ∴b ＝2(k ＋1)2，

∴b >2.

故b 的取值范围是(2，＋∞)．

2．(2012·河南八校联考)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上，它的一个顶

点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14

，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程．

解：(1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)． 由于椭圆的一个顶点是A (2，0)，故b 2＝2.

根据题意得，∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝b a

， 即a ＝2b ，a 2＝8，

所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22

＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．

直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：

(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.

由Δ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)>0，得－2

根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 2

4＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k 2

. 又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，

即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)

解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)．

所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．

3．(2012·西城区期末考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．

解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .

依题意，得c ＝1.

因为椭圆C 的离心率为12

， 所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.

故椭圆C 的方程为x 24＋y 23

＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.

当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1

，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，又x 1＋x 2＝8k 2

3＋4k 2

， 所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 2

3＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2

. 线段MN 的垂直平分线的方程为

y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k 2

3＋4k 2

)． 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k

＋4k . 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k

＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0<0或0

. 综上，y 0的取值范围是[－312，312

]． 4．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作垂直x 轴于点D 的直线，动点Q 满

足DQ →＝23

DP →. (1)求动点Q 的轨迹方程；

(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M 、N ，使OE →＝12

(OM →＋ON →)(O 是坐标原点)？若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )．

依题意，点D 的坐标为(x 0,0)，

∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，

又DQ →＝23

DP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧

x 0

＝x y 0＝32y

， ∵点P 在⊙O 上，故x 20＋y 20＝9， ∴x 29＋y 24

＝1， ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12

(OM →＋ON →)， 则E (1,1)是线段MN 的中点， 且有⎩⎨⎧ x 1＋

x 22＝1y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2y 1＋y 2＝2. 又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24

＝1上， ∴⎩⎨⎧

x 219＋y 214＝1x 229＋y 224＝1， 两式相减，得

(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4

＝0， ∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2

＝－49， ∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0，

∴椭圆上存在不重合的两点M 、N 满足OE →＝12

(OM →＋ON →)， 此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.

5．如图，

已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴的两端点为A 、B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．

(1)求椭圆的方程；

(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连结CM ，交椭圆于点

P ，证明：OM →·OP →为定值；

(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．