现代控制理论基础图文 (4)

(3-11)
第3章 控制系统的能控性和能观性
由凯莱—哈密顿定理 Φ(t) eAt
n 1
j(t)A j
有
j0
C
n1
y(t) C i t Ai x 0 0 t 1 t i0
n
1
t
CA
x
t0
CAn1
(3-12)
由于αi(t)是已知函数，因此根据有限时间区间[t0，tf]内y(t) 能唯一地确定初始状态x(t0)的充要条件为Q0满秩，即 rank(Q0)=n。
j ( ) A j Bu( ) d
j0
n 1
AjB
j0
tf t0
j
(
)u(
)
d
(3-3)
由于式(3-3)中的积分上限是已知的，因此每一个定积分
都是一个确定的数值。令
t f
t0
j (t0
)u( )d
j
( j 0,1,,n 1)
由于u(t)是r维向量，βi也必然是r维向量。因此式(3-3)可写成
输出有可能完全能控。
定理3-5 系统输出能控的充要条件是输出能控性判别矩
阵：
S [ CB CAB CA2B CAn1B D ]
(3-8)
的秩为m，即rank(S)=m，其中m为输出维数。
第3章 控制系统的能控性和能观性
例3-5 判断下列系统的状态能控性与输出能控性：
x
0 1
1 2
x
1 1
u,
y 1 0 x
0
1 x3 1
0
2 5
u1 u2
试判断系统能控性。
第3章 控制系统的能控性和能观性
解：由于各状态方程系数矩阵均为对角阵，分析输入矩 阵B可知系统的能控性。由于(2)中b2=0，因此系统(2)不能控。 系统(1)、(3)中矩阵B各行均不全为零，所以(1)、(3)能控。
定理3-3 如果线性系统具有重特征值，且每个重特征值 只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要 条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准形为
x1 A1x1 B1u1
y1
C1x1
另一个m维输入r维输出的n阶系统∑2为
x2 A2 x2 B2u2
y2
C2 x2
(3-16) (3-17)
第3章 控制系统的能控性和能观性
若满足下列条件，则称∑1与∑2是互为对偶的：
A2 A1T , B2 C1T , C 2 B1T
(3-18)
1 2 1 1 0 x 0 1 0 x 0 1u
1 0 3 0 0
解:
Qc B
AB
1 A2B 0
0 1
1 0
2 1
2 0
4 1 ,
0 0 1 0 4 2
其rank(Qc)=3，满秩，故系统状态能控。
第3章 控制系统的能控性和能观性
定理3-2 设线性系统具有两两相异的特征值，则其状态
完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角
系统能观的充分必要条件是C阵中与每一个约当块Ji第一列对 应的列不全为零。
第3章 控制系统的能控性和能观性
例3-7 用定理3-8判断例3-6所示系统的能观性。 解： A为对角阵，对应C中含有为零的列，故系统不能 观。 例3-8 已知某系统如下，试判断其是否能观。
1 1 0 0 0
0 1 1 0
0
第3章 控制系统的能控性和能观性
第3章 控制系统的能控性和能观性
3.1 线性连续系统的能控性与能观性 3.2 线性离散时间系统的能控性与能观性 3.3 能控标准形与能观标准形 3.4 能控性、 能观性与传递函数的关系 3.5 实现问题 3.6 线性定常系统的结构分解 3.7 MATLAB在系统能控性和能观性分析中的应用
解: 求系统特征值，由
det
I
A
det
1 2
0
3
1
Leabharlann Baidu
3
0
第3章 控制系统的能控性和能观性
可解出λ1=1，λ2=－3。按照定理3-4，有
rank[1I
A, b]
rank
0 2
0 4
1 1
2
rank[2
I
A,
b]
rank
4
0
0 0
1 1
2
故系统能控。
第3章 控制系统的能控性和能观性
3. 输出能控性
定理3-1 对于线性定常系统 x Ax Bu ，能控的充分必
要条件是由A，B构成的能控性矩阵
满秩，即
Qc=[B AB A2B … An－1B]
(3-1)
rank(Qc)=n
(3-2)
否则当rank(Qc)<n时，系统为不能控的。式中，每个子矩阵
单元都是n行r列，共有n个子矩阵，因此能控性矩阵Qc为n行
出量包含状态信息量的程度。
第3章 控制系统的能控性和能观性
2. 能观性判据 定理3-6 对式(3-9)所示的线性连续定常系统，其能观的 充分必要条件是由A，C构成的能观性矩阵
C
Q0
CA
CAn
1
(3-10)
满秩，即
rankQ0=n 证明： 设u(t)=0，系统的齐次状态方程的解为
x(t) Φ(t) x t0 y(t) Cx(t) CΦ(t) x t0
C1 sI
A
1
B1
T
G1T (s)
(3-19)
如果系统是单输入单输出系统，则两者传递函数相同。
第3章 控制系统的能控性和能观性 2) 对偶系统特征值相同
例3-6 已知某系统如下，试判断其是否能观。
x
2 0
0 1
x
1 2
u
y 1 0 x
第3章 控制系统的能控性和能观性
解：Q0 不能观。
C CA
1 2
0 0
，显然其rank(Q0)=1<2，故系统
定理3-7 对式(3-9)所示的线性定常连续系统，若A的特 征值互异，经非奇异变换后为
1
x
2
y Cx
定理3-4 线性定常系统 x Ax Bu 完全能控的充分必要
条件是n×(n+r)维矩阵[λI－A，B]对A的所有特征值λi之秩都 为n，即
rank[λiI－A，B]=n (i=1，2，…，n) 这个定理又称为PBH判别法。
(3-7)
例3-4 系统状态方程为
x
1 2
0 3
x
1 1
u
试判别系统的能控性。
第3章 控制系统的能控性和能观性
3.1 线性连续系统的能控性与能观性
3.1.1 线性系统的能控性定义及判据 1. 能控性的定义 对于线性连续定常系统 x Ax Bu，如果存在一个分段连续的输入
u(t)，能在有限时间区间[t0，tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)转移到指 定的任意终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是 能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。能控性描述 了由输入量控制状态变量的能力。
3.1.2 线性系统的能观性定义及判据 1. 能观性的定义 对于线性连续定常系统
x = Ax + Bu,
x t0 = x0
y = Cx
(3-9)
如果对任意给定的输入u(t)，在有限的观测时间tf>t0时， 使得根据[t0，tf]期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻 的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观的。若系统的每一个状态 都是能观的，则称系统是状态完全能观的。能观性反映了输
n1
x(t0 ) A j Bβ j B AB j0
0
An1B
1
n
1
(3-4)
第3章 控制系统的能控性和能观性
若系统能控，必能从式(3-4)中解得β0，β1，…，βn－1。 这就要求系统能控性矩阵Qc=[B AB … An－1B]的秩必须为n， 即rank(Qc)=n。
例3-1 试判断下列系统的能控性。
x Bu
n
(3-13)
系统能观的充分必要条件是C 阵中不包含全为零的列。
第3章 控制系统的能控性和能观性
定理3-8 对式(3-9)所示的线性定常连续系统，若A阵具 有重特征值，且对应每一个重特征值只存在一个独立的特征 向量，经非奇异变换后为
J1
x
J2
y Cx
x Bu
J
k
(3-14)
rank
2
C I
A
rank
3 0
0 2 0
由于λ1的判别阵秩不为2，故系统不能观。
第3章 控制系统的能控性和能观性
3.1.3 对偶性原理 对于系统的能控性和能观性，无论在概念上还是在判据
和标准形的形式上都存在着内在联系，即对偶关系。 1. 线性定常系统的对偶关系
设有两个系统，一个r维输入m维输出的n阶系统∑1为
x1 2 0 0 x1 1
(1)
x2
0
4
0
x2
3
u
x3 0 0 1 x3 5
x1 2 0 0 x1 1
(2)
x2
0
4
0
x2
0
u
x3 0 0 1 x3 5
x1 2
(3)
x2
0
x3 0
0 4 0
0 x1 1
0
x2
n×r列。
第3章 控制系统的能控性和能观性
证明： 对于系统的任意初始状态x(t0)，如果能找到输 入u(t)，使之在[t0，tf]的有限时间内转移到x(tf)=0，则系统状 态能控。已知线性定常非齐次状态方程的解为
t
x(t) Φ(t t0)x(t0)
Φ(t )Bu( )d
t0
将t=tf代入上式有
A的每一个特征值λi之秩为n，即
C
rankiI A n
(3-15)
例3-9 采用定理3-9判断下列系统的能观性：
x
2
0
0 5
x
1 1
u
y 0 1 x
第3章 控制系统的能控性和能观性
解： 已知A的特征值为－2、－5。由定理3-9可知
0 1
rank
C
1I
A
rank
0 0
0 1 3
0 1
(2)
x1 1
x2
0
x3 0
1 1 0
0 x1 4
0
x2
0
2 x3 3
2
0 0
u1 u2
解： 系统(1)中，与x2对应的b2=4≠0，与x3对应的b3=3≠0， 故系统(1)状态完全能控。系统(2)中，与x2对应的b21=0，b22=0， 故系统(2)不能控。
第3章 控制系统的能控性和能观性
第3章 控制系统的能控性和能观性
2. 对偶系统的两个基本特征 1) 对偶系统传递函数阵互为转置 设由式(3-16)和式(3-17)求得的传递函数矩阵分别记为 G1(s)、G2(s)，有
G2(s) C2
sI A2 1 B2 B1T
sI A1T
C 1 T 1
B1T
sI
A1
1
T
C1T
对于线性定常连续系统，为简便计，可以设初始状态为状态空间任 意非零有限点，终端状态为状态空间原点，即零态。如果存在一个分段 连续的输入u(t)，能在[t0，tf]的有限时间内使得系统的某一初始状态x(t0) 转移到零态x(tf)=0，则称系统是状态能控的。
第3章 控制系统的能控性和能观性
2. 能控性判据
解： (1) 状态能控性判断
rankQc rankB
AB
rank
1 1
1
1
1
能控性矩阵Qc的秩小于2，所以状态不完全能控。
(2) 输出能控性判断
rank S rankCB CAB D rank 1 1 0 1
能控性判别矩阵S的秩等于输出维数1，所以输出能控。
第3章 控制系统的能控性和能观性
在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是
系统的状态。因此，就需要研究输出的能控性。
如果能找到一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间
间隔[t0，tf]内，把任一初始输出y(t0)移到任意最终输出y(tf)， 那么称系统为输出能控的。状态能控性和输出能控性是两个
完全不同的概念，没有必然的联系。某系统状态不完全能控，
x 0 0 1 0 0 x
0 0 0 2
1
0 0 0 0 2
y
1 0
2 1
0 1
1 0
0 0
x
第3章 控制系统的能控性和能观性
解： 由定理3-8可知，由于系数矩阵中两个约当块第1
列对应C阵的列不为零，因此系统能观。
定理3-9 (PBH判别法)对式(3-9)所示的线性定常连续系
统，能观的充分必要条件是(n+m)×n型矩阵[C λI－A]T，对
x(t f ) Φ(t f
t0)x(t0)
tf t0
Φ(t f
)Bu( )d 0
化简后可得
x(t0 )
tf t0
Φ(t0
)Bu( )d
第3章 控制系统的能控性和能观性
n 1
由凯莱—哈密顿定理 Φ(t) eAt a j (t) A j 有
j0
x(t0)
tf t0
n 1
J1
x
J2
0 x Bu
(3-6)
0
J
k
式中，B 阵中与每个约当小块Ji(i=1，2，…，k)最后一行所
对应的元素不全为零。
第3章 控制系统的能控性和能观性
例3-3 考察如下系统的状态能控性：
x1 1 1 0 x1 0
(1)
x2
0
1
0
x2
4 u
x3 0 0 2 x3 3
标准形
1
x
2
0
0
x Bu
n
(3-5)
式中， B 不包含元素全为0的行。 由于当系数矩阵写成对角标准形的结构时，各状态变量
间彼此独立，没有耦合关系，从而影响每一个状态的唯一途 径是通过输入。只要输入矩阵中不包含元素全为0的行，状态 就可以由输入改变。
第3章 控制系统的能控性和能观性 例3-2 已知如下系统：