DC_DC变换器的切换仿射线性系统模型及控制_陆益民

x = Aσ x + bσ
(1)
式中：x∈Rn； σ (t) :[0, ∞) → {1, , m} 是时间的分段
常数函数，称为切换信号。σ (t) = i 时系统处于第 i
个子系统Σi。对于这个切换系统希望找到切换信号 使系统的状态最终趋近于一个给定的“切换平衡点”
xd。所谓的“切换平衡点”不是任何一个子系统的 平衡点，因而即使所有的子系统都是稳定的，这个
KEY WORDS: DC/DC converter; hybrid system; switched system; Hamiltonian system; quadratic stability
摘要：DC/DC变换器控制的主要难点之一在于它所特有的混 杂特性。从切换线性系统理论及无源系统理论角度提出了 DC/DC 变 换 器 建 模 和 调 节 问 题 的 新 方 法 。 首 先 建 立 基 本 DC/DC变换器Buck、Boost和Buck-Boost的切换仿射线性系 统模型，然后根据凸组合稳定条件及无源性理论，选取电感 和电容的储能函数为各切换子系统的共同Lyapunov函数，据 此划分各子系统的运行区域，构造切换律保证系统在任意切 换下的二次稳定，最后进行了仿真分析和验证。所提出方法 不仅适用于开关变换电路的控制，亦适用于其他具有端口受
第 15 期
陆益民等： DC/DC 变换器的切换仿射线性系统模型及控制
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工作稳定性；利用增加开关频率提高动态响应特 性等。
（2）开关损耗和谐波问题。增加电力电子变换 器开关频率可以提高动态响应特性，但是太大的开 关频率会导致大的开关损耗。此外，由于开关切换 逻辑往往按照固定的模式进行，造成电力电子变换 器的输出电压、电流中含有不少谐波成分，是产生 电磁噪声的主要根源。
ABSTRACT: The main difficulties in controlling DC-DC power converters arise from their hybrid nature. A novel approach to the modeling and regulation problem of DC/DC converters is presented from the combined perspective of switched system and passivity system theory. Three basic types of converter, namely Buck, Boost and Buck-Boost are modeled as switched affine systems, respectively. Then, based on the sufficient condition for quadratic stability of convex combination of the controllers, combined with using the stored energy in the inductance and the capacitance as a common Lyapunov function, switching rules and activation region of all the subsystems can be defined to assess quadratic stability of the switched system. Simulation results are provided that demonstrate the validity of this approach. The proposed modeling and control methodology can be extended to any kind of switched power converter and the other port-controlled Hamiltonian switched systems.
续微分方程子系统和切换律共同构成。在切换过程 中，每一时刻系统的状态只符合其中1个子系统的规 律。通过在多个子系统之间进行适当切换，以实现 一定的性能要求。切换信号可根据时间、状态或由 更复杂的方式产生。切换系统的稳定性有其特殊性， 子系统的稳定性不等价于整个系统的稳定性，切换 律的选择对系统的稳定性有重要作用。因而切换系 统的稳定性问题较之一般的连续系统或离散系统更 为复杂。目前，切换系统稳定性问题的研究已取得 了许多成果。Lyapunov理论及其推广形式仍是研究 系统稳定性的基础，它在切换系统中应用的具体表 现是单Lyapunov函数方法和多Lyapunov函数方 法[11-14]。单Lyapunov函数法通过构造各子系统的共 同Lyapunov 函数，保证系统在任意切换下渐近稳
第 28 卷 第 15 期 16 2008 年 5 月 25 日
中国电机工程学报 Proceedings of the CSEE
Vol.28 No.15 May 25, 2008 ©2008 Chin.Soc.for Elec.Eng.
文章编号：0258-8013(2008) 15-0016-07 中图分类号：TM 464 文献标识码：A 学科分类号：470⋅40
定；多Lyapunov 函数方法在相应的区域内为各子系 统构造各自的Lyapunov函数，使系统在一定Fra Baidu bibliotek切换
规律下稳定。这些方法的提出为切换系统的分析和
控制提供了理论依据。单Lyapunov函数法需要更强 的条件，目前的研究大多针对自治系统的情况，切
换系统的状态最终趋近于所有子系统或某些子系统
的平衡点。文献[15]把稳定性成果由自治系统推广 到具有分段常数输入的切换仿射系统：
免快速切换。显然对原点的渐进稳定要求 Aeq 是一 个稳定矩阵并且 beq=0。切换平衡点的二次稳定性有 如下定理[15]：
为此，本文从连续系统(电路的各单一模态)与 开关切换逻辑系统(功率开关的开通和关断切换规 则)相结合的角度重新建立变换器的系统模型—— 切换仿射系统模型，由此探讨更适合于变换器的控 制策略，从机理上解决整体优化控制问题。
1 切换仿射系统的二次稳定性
1.1 切换平衡点的二次稳定性 切换系统是一类典型的混合系统，由一系列连
V[ x(t)] = sup {γVi[ x(t)] + (1 − γ )Vj[ x(t)]} γ ∈[0,1]
无论是线性还是非线性切换控制系统，系统经
适当的切换规则能二次稳定的充分条件均存在稳定
的凸组合[11,16]。定义各子系统的凸组合为
∑eq : x = Aeq x + beq
(2)
式中：
Aeq
DC/DC 变换器的切换仿射线性系统模型及控制
陆益民 1，张 波 2，尹丽云 1
(1．广西大学电气工程学院，广西壮族自治区 南宁市 530004； 2．华南理工大学电力学院，广东省 广州市 510640)
Switched Affine Systems Modeling and Control of DC/DC Converters
那么，切换平衡点 xd =0 是二次稳定的，其中 V(x) 为系统的 Lyapunov 函数。由于式(1)的右端是不连
续的，Lyapunov 函数导数V[ x(t)] 定义为
当处于某个子系统Σi 时 V [ x(t)] = Vi [ x(t)] = xT ( AiT P + PAi ) x + 2biT Px 在子系统Σi 和Σj 之间的切换点
关键词：DC/DC 变换器；混杂系统；切换系统；哈密顿系 统；二次稳定
0 引言
电力电子变换器是开关电源的核心技术，几乎 所有的二次变换电源都是由其构成。由于电力电子 变换器唯一的工作模式是开关操作，使得带有电力 电子变换器的一类系统中既含有连续变化的非线性 动态过程，又含有离散变量，是一类典型的混杂系 统——切换线性系统，由连续性子系统和离散性子 系统相互作用构成。然而现有的电力电子变换器控 制机理，如状态空间平均法[1]等大都把连续变量和 离散变量分开单独控制：首先简化离散特性，把所 有系统变量看作是连续变量，近似描绘出主要的控 制关系(平均模型)，采用连续系统的控制技术，根 据连续化模型设计控制律(如PID控制，Lyapunov方 法等)[2-3]，作为电力电子变换器的控制信号。然后 再对电力电子变换器的开关方式(PWM)进行设计， 通过动态调节开关占空比，适时产生合适的电压和 电流。由于电力电子变换器固有的混杂特性，对连 续过程和开关切换逻辑独立进行的控制设计存在以 下先天的不足：
=
∑m i =1
αi
Ai
； beq
=
∑m i =1
αi
bi
；0
< αi
<1，
∑m i =1
α
i
=1。
在这里，若把αi 视为各子系统持续作用时间的
比例，则凸组合式(2)即为切换系统式(1)的平均系
统，这对应于 DC/DC 变换器中占空比 d 和状态空
间平均方程的概念。当切换频率远远大于电路的特
征频率时，平均系统的特性可逼近系统式(1)的平均
（1）稳定性问题。连续动态和离散变量的相互 作用形成各种各样的耦合行为，使系统的动态行为 更为丰富，与连续系统相比其整体性能具有很大的 差异，按连续变量控制系统理论的控制设计没有考 虑电力电子变换器开关非线性特性，使得控制效果 受到影响，必须辅以其它各种技术加以改进，如利 用电压电流双环控制以及前馈补偿控制等技术增加
电力电子变换器是典型的混杂系统，现有的把 连续过程和开关切换逻辑分开单独进行的控制策略 显然不是最佳选择。虽然也有一些把连续变量和切 换逻辑作为整体设计的方法，如bang-bang控制、变 结构控制[4-5]等，但目前还没有以更一般性的模式对 其混杂特性进行系统深入的研究。近年来混杂系统 尤其是切换系统理论发展十分迅速，其概念、理论 已引入到电力电子系统的研究中。文献[6-7]分析了 DC-DC变换器混杂动态系统的能控性、能观性和能 达性；文献[8-9]建立了DC-DC变换器和三相感应电 机 直 接 转 矩 控 制 的 混 合 逻 辑 动 态 (mixed logical dynamic)模型并进行了模型预测控制；文献[10]用混 杂系统方法对共振变换器进行了控制。
值。因此，为了获得好的逼近，时间平均控制需要
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快速切换，由此导致抖振现象，增加开关损耗。若
切换频率太低，不仅影响纹波的大小，还可能影响
稳定性的判断[17]。而切换平衡点的二次稳定控制方
法改变了基于时间切换这一思路，采用基于状态的
切换规则，可在保证系统渐进稳定的同时，有效避
LU Yi-min1, ZHANG Bo2, YIN Li-yun1
(1. College of Electric Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, Guangxi Zhuang Autonomous Region, China; 2. College of Electrical Power, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong Province, China)
问题也没有平凡解，子系统间的切换成为到达和在
切换平衡点邻域停留的充分条件。为不失一般性，
假设切换平衡点是原点 xd =0，切换仿射系统的二次 稳定性可定义如下：
定义 1 当仅存在矩阵 P = P T > 0 及常数 ε > 0 使得
对于二次型函数V ( x) = xTPx ，沿着系统轨线的导
数满足
V [x(t)] ≤ −εxT x
基金项目：国家自然科学基金项目(60774024)；广西科学基金项目(桂 科青0728007)；广西教育厅科研项目(桂教科研[2006]26号)。
Project Supported by National Natural Science Foundation of China(60774024).
控哈密顿结构的切换系统的控制。