判断充要条件的四种常用方法

判断充要条件的四种常用方法

徐宜昌

一、定义法

定义法即借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着是充分，即：

1. 若p ⇒q 但q p ⇒

/，则p 是q 的充分但不必要条件； 2. 若q p p q ⇒⇒但/，则p 是q 的必要但不充分条件； 3. p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的既充分又必要条件，即充要条件；

4. p q q p ⇒⇒//且，则p 是q 的既不充分又不必要条件。 特别要注意，若p ⇒q ，则有以下说法是等价： ①p 是q 的充分条件； ②q 是p 的必要条件； ③p 的一个必要条件是q ； ④q 的一个充分条件是p 。

例1. αβαβαβ+>>⎧⎨⎩>>⎧⎨

⎩

442

2是的什么条件？并说明理由。 解：由αβαβαβ>>⎧⎨⎩⇒+>>⎧⎨

⎩

224

4，但反之不成立。 不妨取αβαβαβ==+>>⎧⎨

⎩1544，，显然满足，但不满足αβαβαβ>>⎧⎨⎩+>>⎧⎨

⎩224

4

，即 ⇒>>⎧⎨

⎩/αβ2

2

。 由定义（即箭头方向）可知，αβαβαβ+>>⎧⎨

⎩>>⎧⎨

⎩442

2

是的必要但不充分条件。

二、传递性法

根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法。

充分条件具有传递性，若A A A A A n n 1231⇒⇒⇒⇒⇒-…，则A A n 1⇒，即

A A n 1是的充分条件。

必要条件也有传递性，若A A A A A n n 1231⇐⇐⇐⇐⇐-…，则A A n ⇒1，即

A A n 1是的必要条件。

当然充要条件也有传递性。因此，对于较复杂的（连锁式）充要关系的判断可用连锁式的传递图示法来解答最为适宜。

例2. 若A 、B 都是C 的充要条件，D 是A 的必要条件，B 是D 的必要条件，则D 是C 的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

分析：宜采用传递性法来解。 解：由已知A C ⇔

B C A D D B ⇔⇒⇒，，，

即有如下关系式：

由传递性，知D C C D C D ⇒⇒⇔，同时有，于是，故选C 。

三、集合法

若将命题p 、q 看成集合，当p ⊆q 时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即p q ⇒。这可以用“小范围推出大范围”帮助记忆。当p ＝q 时，则p 、q 互为充要条件。 特别地，

1. 若p q ⊂≠

，则p 是q 的充分但不必要条件；

2. 若q ⊂≠

p ，则p 是q 的必要但不充分条件；

3. 若p ＝q ，则p 是q 的既充分又必要条件，即充要条件；

4. 若p q q p ⊆⊆//，且，则p 是q 的既不充分又不必要条件。

例3. 设集合M x x P x x =>=<{|}{|}23，，那么“x M ∈，或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解：由x M x P x M P x M P x M ∈∈⇔∈⋃∈⋂⇔∈，或，以及且x P ∈，显然()()M P M P ⋂⊂⋃≠

，故选B 。

四、等价命题法

当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“≠”形式的命题）时，可利用原命题与其逆否命题等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题。 例4. 若p x y ：≠，或≠23，q x y ：≠+5，则p 是q 的___________条件。

解：考虑逆否命题：┑：，┑：，且q x y p x y +===523，显然有┑┑p q ⇒，所以q p ⇒，即p 是q 的必要但不充分条件。

注：此例中若直接分析，则需分多种情况讨论，且还很难说清。

例5. 已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么┑是┑A B 的__________条件。

分析：根据题意知A ⇒B ，又因为原命题与其逆否命题等价，即┑┑B A ⇒，即

┑是┑A B 的必要条件。