第1章测量误差理论

3、绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；
4、偶然误差的数学期望为零（抵偿性）：
0或E () 0 lim
x
n
以上分析可知：
1）观测误差呈现偶然性；
2）偶然误差具有统计规律；（均值为零的正态
随机分变量）
测量平差任务之一：评定测量成果精度。
1.3 衡量精度的指标
测量工作中，极限误差是保证工程质量的一个重要的定量信息！
5、相对误差
定义：中误差与观测值之比，即
1 中误差 T 观测值
相对误差是一个无名数，为方便计，通常将分子化为1，即 1/T 的形式。
相对误差是用来衡量长度精度的一种指标。
相对误差又分为相对中误差，相对真误差，相对极限误差。
同一人丈量同一段距离N次，结果均不同； 观测结果不能满足其理论关系。
观测误差定义：
LL
观测误差产生的原因很多，概括起来有以下三种：
测量仪器、观测者、外界条件,又称为“观测条件”。
观测值获取离不开以下观测条件：
观测条件 观测者 感觉器官的 局限、技术 水平、工作 态度 结论1： 仪器 仪器分辨 能力；具 有一定限 度的精密 度 外界环境 温度、湿度、 风力 、大气 折光及变化 等
1.3.1 观测条件与观测精度
1、观测条件：指测量过程中的观测者、仪器、外界条件的综合。 一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布；
可见：
分布曲线陡峭的说明误差分布密集，或者离散度小，观测精度高些，也就 是观测条件好；另一条说明误差分布较为离散或者说它的离散度大，也即观 测条件差。
2、观测精度： 是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，是观测值 与其期望值接近的程度，表征观测结果偶然误差大小的程度。
1.1.4
测量平差的任务
测量平差两大任务：
1、削弱误差的影响，消除由于误差引起的观测值之间的矛盾， 计算观测值最佳估值；
2、对观测值成果质量进行评估。
即测量平差两大任务：求待定量的最佳估值和精度评定。
1.2
偶然误差的统计特性
测量平差研究对象是偶然误差,为此,有必要对偶然误差的 性质作进一步的分析研究。 几个概念： 真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正大 小的数值，这一数值就称为该观测值真值，用 L 表示。 真误差：真值与观测值之差（偶然误差），即：
平均误差和中误差的理论关系式
ˆ
n

4 5


2
5 2 4
3、或然误差
定义：误差出现在正负或然误差（- ρ ，+ ρ ）之间的概 率等于1/2，即



1 f ( )d 2
实用上，观测个数有限，只能得到其估值。 或然误差与中误差的关系：
2 3
实际或然误差得到方法：
1）将相同条件下得到一组误差，排列，取中间或中间两个的平均数；
2）先求中误差，然后用上述公式求得。
例题1：设有一列等精度观测真误差，按绝对值递增顺序排列 与下表。试计算其中误差、平均误差以及或然误差。
序号
1
2
3
4
5 +1.8 14 -9.7
6 +1.9 15 +9.8

观测值L和观测误差△均为随机变量，因此其方差为
DL L 2 E ( L E ( L)) 2 E ( 2 ) D E ( E ()) 2 E ( 2 )
~ E () 0; E ( L) L
当观测值只含偶然误差时，任一观测值的方差与观测误差的方 差是相同的。
观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。 即：观测误差是不可避免的！
结论2：
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。
观测条件较好则观测质量较高； 观测条件较差则观测质量较低； 观测条件相同则观测质量相同。
1.1.2 观测误差产生的原因
观测误差产生原因很多，概括起来，有以下三个方面的原因。
由数学期望定义，方差（标准差）又可表示为：
D() E ( ) lim
2 2 n

n
和
E ( 2 )
lim
n
n
实际工作中，由于观测个数有限的，故可求得方差或标准 差的估值：
ˆ ˆ
2
和 ˆ
7 +2.6 16 +9.9
8 -4.7 17 -10.0
9 -5.1 18 -10.3
真误差 （秒）
序号
-0.1
10 +5.6
+0.4 +1.2 +1.2 11 -7.2 12 13
真误差 （秒）
+8.9 +9.6
解：
ˆ
2 6.72 n
ˆ 5.56 n 2 ˆ ˆ 4.48 3
误差理论与测量平差基础
— 测量误差理论
本章教学内容
§1-1 观 测 误 差
§1-2 偶然误差的统计特性
§1-3 衡量精度的指标
§1-4 精度与准确度
第1章 测量误差理论
本章学习的目的要求:
明确观测误差产生的原因； 掌握误差分类及其处理方法； 熟悉衡量精度的绝对指标和相对指标； 了解测量平差的任务和内容。
消除或削弱的方法：
采取合理的操作程序（正、倒镜，中间法，对向观测等）；用公式改正， 即加改正数。
3、偶然误差
概念：
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表 现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但 就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差, 也叫随机误差。
不难看出：
中误差、平均误差以及或然误差都可以作为衡量精度的指 标； 但当n不大时，中误差比平均误差能更灵敏地反映大的真 误差的影响；或然误差又可由中误差求得； 因此，我国和世界各国通常都是采用中误差作为精度指标。 计算时，精度指标通常取2-3个有效数字，数值后面要写上 对应单位！
4、极限误差
2、系统误差
概念：
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出 一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差 就称为系统误差。
产生原因：
由于仪器构造有缺限或检验校正不严格而产生的，它的变化有一定的规 律。例如：钢尺量距时，钢尺尺长误差引起的量距误差与所测距离长度成 正比增加；水准测量的i角误差等。可见该误差具有累积性！
真误差（∆）= 真值（ L ） - 观测值（ L ）
真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形 下，是可以知道的，如： 1）三角形内角和等于180度； 2）闭合水准路线高差闭合差等于零； 3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。
当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真值， 即： 真误差（∆）= 数学期望（ E ( L) ） - 观测值（ L ）
1、粗差 概念：
粗差即粗大误差，或者说是一种大量级的观测误差，是由于 测量过程中的差错造成的。
产生的主要原因：
作业人员的疏忽大意、失职而引起的，如读错、记错、瞄错 目标、计算机输入数据错误、控制网起始数据错误等。
发现、剔除粗差的方法：
进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、 验算等，发现后舍弃或重测 。
n n
2
vv ; vv ˆ
n 1
n 1
可见： 中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离散 度的大小； 中误差越小，说明绝对值较小的误差越多！
2、平均误差
定义：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的 数学期望，称为平均误差，并以θ表示，即
E ( ) lim n n
密 集
离 散
数学期望：反映随机变量集中位置的数字特征； 方差：反映随机变量偏离集中位置的离散程度；
1.3.2
衡量精度的指标
1、方差 由数理统计学可知，随机变量X的方差定义为：
2 X E ( X E ( X )) 2

( X E ( X ))
2
f ( X )dx
f ()
2 1 e 2 2
2
服从正态分布的误差也称高斯误差，不同观测条件，对应着不同误差 分布
可见：
当σ不同时，曲线位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。
1.2.2
偶然误差的统计特性
用概率的术语概括偶然误差的特性如下：
1、一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐 降性）；
误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来 表达。
一定的观测条件对应着一种确定的误差分布。
当误差个数无限增大时，将误差区间缩小，直方图则变成 一条光滑的曲线：
该图同样可以说明观测误差特性，称为“误差分布曲线”。
根据高斯推证，多数情况下偶然误差是服从均值为零的正态分布的随 机变量，则其分布密度函数为：
0.00～0.20
0.20～0.40 0.40～0.60
0.60～0.80
0.80～1.00 1.00～1.20 1.20～1.40 1.40～1.60 1.60以上
0
181
0
0.505
0
177
0
0.495
0
358
0
1.000
∑
从表中看出： 绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多； 绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等。 大量的测量实践证明，在其它测量结果中，也都显 示出上述同样的统计规律。
重点、难点:
误差分类及其处理方法；衡量精度的指标以及精度和 准确度的联系与区别。
测量（观测）：观测者借助仪器在特定环境下
获取测量对象物理或者几何信息的活动。 观测数据如：距离，角度，高差等。
测量仪器：经纬仪，全站仪，GPS接收机等。
1.1
观测误差
1.1.1 观测条件与观测误差
观测数据总是不可避免地带有误差的：
产生的原因：
偶然误差产生的原因很多，往往难以预知和控制。如空气不稳定、被观 测目标的亮度较差、仪器本身构造不严密或无法完善；观测者的感觉器官 受一定的限制等等，均会使观测值有时大于被观测量的真值，有时又小于 被观测量的真值。可见，偶然误差是不可避免的！
采取措施：
处理带有偶然误差的观测值，就是本课程的内容，也叫做测量平差。
残差（改正数）：
改正数（V）= 平差值（
L
） - 观测值（
L
）
大量实践证明：大量偶然误差的分布呈现出一 定的统计规律。
1.2.1 三角形闭合差的例子
在相同观测条件下，独立观测了358个三角形的全部内角，三 角形内角和的真误差i由下式计算：
i= 1800 -（i +i+ i） 其结果按误差区间0.2秒间隔、数值大小及符号进行排列（见 表）。 据此，分析三角形内角和的误差i的 规律。
定义：通常将三倍（或两倍）的中误差作为极限误 差，即
限 3，或限 2
确定极限误差依据：概率理论和大量实践统计证明，大
量同精度观测的一组误差中误差落在各区间的概率为
P( ) 68.3 P(2 2 ) 95.5 P(3 3 ) 99.7
α β γ
W
W W W W W W
W
W W W
W
W
W
先按大小排列；
再以0.2秒区间分区，统计各区间个数； 计算该区间概率，并列表。
表1-2-1偶然误差分布表
误差区间 45 40 33 23 17 13 6 4 △为负值 个数 频率 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 △为正值 个数 46 41 33 21 16 13 5 2 频率 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 误差绝对值 个数 91 81 66 44 33 26 11 6 频率 0.254 0.226 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017
1、观测者的原因
人的感觉器官的鉴别力不是很完善、准确。
2、仪器的原因
每一种仪器只具有一定的精密度。
3、外界条件的原因
外界条件是不断变化的。
1.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为以下三类：
g s n
观测误差wk.baidu.com粗 差 系统误差 偶然误差