变量可分离方程

§1.2 变量可分离方程
形如 y' f (x)g( y)
（1.2.1）
Hale Waihona Puke Baidu
的方程称为变量可分离方程。 是连续函数.
这里 f (x), g( y)
该方程的特点:方程的右端是两个独立的一元函数之积.
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一、 变量可分离方程的求解
当 g( y) 0 方程（1.2.1）两边同除以 g( y) 得
解：方程为一齐次方程，令 y xz
求导后得 x dz 1 z2
dx
分离变量得 dz 1 dx
1 z2 x
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积分上式得 ln z 1 z2 ln x ln C
用 z y 代入得
x
z 1 z2 Cx
y x
1
y2 x2
Cx
利用初始条件 y(1) 0可定出 c 1
6
t的取值在[0,4] 之间。
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设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比 例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩 小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V (t)，表面积为 S(t) ，由题得
dV (t) kS(t) dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t) (4 )3 33V 3
代入上式解出
y 1 (x2 1) 2
注:当方程右端是一些线性分式函数时，可化为
齐次方程。
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对特殊方程 dy f (ax by c)
dx
令 z ax by, 则
dz a bf (z c). dx
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§1.2.3变量可分离方程的应用 例:雪球融化问题
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
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事实上, 令 z y , 则 y xz, dy z x dz .
x
dx
dx
故有 z x dz F(z). 即 x dz F (z) z.
dx
dx
例1.2.3 求下面初始值问题
( y x2 y2 )dx xdy y(1) 0
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12
引入新常数r (4 )3 33 k 再利用题中的条件得
dV
2
rV 3
V (0) 288
V (2) 36
dx
分离变量积分得方程得通解为
V (t) 1 (C rt)3 27
再利用条件 V (0) 288 V (2) 36
确定出常数C和r代入关系式得 V (t) (12 3t)3
dt
10
解: 变形为 积分得:
dx x(1 x
)

dt
10

dx x(1
x
)

dt
C1
10
求积分得: 解得:
x
ln 10 x
t C1
x eC1et 10 x
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记 eC1 C2 , 则
x

10 1 C2et
, C2

0.
因为 x(1 x ) 0 可得 x 0, x 10.
10
故所有的解为:
x

10 1 C2et
,
x

0,
x
10.
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二、 齐次方程 齐次函数: 函数 f (x, y) 称为m次齐次函数, 如果
f (tx,ty) tm f (x, y),t 0.
齐次方程: 形如 dy F( y ) 的方程称为齐次方程。
dx x
其中
c ec1 .
该解 在 x 0 无定义, 故通解在
x 0, x R 中有定义. 注：求方程通解时，我们假设 g( y) 0 若 g( y) 0
时得y值也可能为方程的解。所以要考虑 g( y) 0 的情况，该方程对应的解我们称为常数解
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例 1.2.2 求微分方程 dx x(1 x ) 的通解.
dy f (x)dx g( y)
这样对上式两边积分得到

dy g( y)


f
(x)dx

C
例1.2.1求微分方程
x dy

3
y2
的通解。
dx
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解：变量分离后得
3
y 2 dy

dx
.
上式两边积分得
1
2y 2
x ln
x

c1.
整理得
y 4 4 (ln x c1)2 (ln cx )2