高中数形结合问题总结

数形结合思想在高中数学中得应用

灵宝实验高中 王少辉

一、什么就是“数形结合思想”?

数形结合就是一种数学思考方法;就是数学研究与学习中得重要思想;也就是解决数学问题得有效方法。“以形助数"可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化;能够把抽象得数学语言变为直观得图形语言、把抽象得数学思维变为直观得形象思维;“以数助形"有助于把握数学问题得本质、

二、什么类型得题可以用“数形结合思想”解决?

“数”与“形”就是数学研究得两个基本对象。

数,通俗地说一般就是指文字语言、数学符号语言、代数式等; 形,通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式得几何意义等、

既能用“数”表示,又能用“形”表示得知识就可以用数形结合思想解决。

数形结合得思想方法就是数学教学内容得主线之一,应用数形结合思想,可以解决以下问题:

①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题 三、数形结合思想应用举例 (一)在集合中得应用 【知识点】集合得基本运算

以在解决某些集合得运算问题时,我们可以用数形结合思想。 【例1】

(１)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤=

(２)已知集合A={ｘ|－2≤x≤7},B＝｛x|m＋1

【小结】

数形结合在集合中得应用,主要体现在集合得基本运算中:

(1)离散得集合用Veｎn图表示

(2)连续得数集用数轴表示,注意端点

(二)在函数中得应用

1、二次函数区间求值问题

二次函数得图象我们都很熟悉,所以在解决二次函数得相关问题时,我们就可以借助图象来进行。

【例2】已知,求f(x)在[１,2]上得最小值

【跟踪训练】已知,求f(x)在[t,t+2］上得最小值

2。函数性质综合应用

函数得性质在图象上都有直观得反应,所以在利用函数性质解决某些问题时,我们就可以借助图象来进行。

【例3】设函数,若函数y=f(x)在区间(ａ,a＋１)上单调递增,则实数a得取值范围就是_＿_＿____.

【例４】已知函数,则满足不等式得x得取值范围为

3、函数零点个数问题

函数零点、方程得根与函数图象得交点密切相关,所以在解决函数零点个数问题,方程根得个数问题时,常使用数形结合思想。

【例５】已知函数ｆ(x)就是定义在R上得偶函数,当x≥０时,f(ｘ)＝x2—2ｘ,如果函数ｇ(ｘ)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点,则m得取值范围就是_＿＿＿＿＿＿_、

【例６】已知定义在Ｒ上得偶函数ｆ(x)满足ｆ(x-4)=f(x),且在区间[0,2］上f(x)＝x,若关于ｘ得方程f(x)=log a x有三个不同得实根,求a得取值范围。

【小结】

数形结合在函数中得应用,主要体现在函数图象得应用中

(1)二次函数求给定区间上得最值问题

①轴动区间定②轴定区间动

(2)函数性质(奇偶性、单调性、周期性)得综合应用

①求范围②解不等式

(3)函数零点个数、方程根得个数

转化为图象交点个数问题

【跟踪训练1】函数f(ｘ)=|x－2|－ｌn x在定义域内得零点得个数为( )

A、0 B.1C。２ﻩ Ｄ、3

解析由题意可知f(x)得定义域为(０,+∞)。在同一直角坐标系中画出函数y1=|ｘ—2|(x〉0),ｙ２＝ln x(x〉0)得图象,如图所示:

由图可知函数f(x)在定义域内得零点个数为2。

答案C

【跟踪训练2】若关于x得方程｜x|＝ａ-x只有一个解,则实数ａ得取值范围就是＿_____＿_、

解析在同一个坐标系中画出函数ｙ=|x|与y＝a－x得图象,如图所示。由图象知当a>0时,方程｜x|＝a—ｘ只有一个解、

答案(0,＋∞)

【跟踪训练3】已知函数(ａ∈R),若函数ｆ(ｘ)在R上有两个零点,则a得取值范围就是()

A.(－∞,-1) B。(－∞,0) C.(－1,0)ﻩ ﻩＤ。［—１,0)

解析当x〉0时,f(x)=３ｘ－1有一个零点ｘ=、

因此当x≤０时,ｆ(ｘ)＝ｅx＋a=０只有一个实根,

∴ａ=-eｘ(x≤0),则－1≤a〈0。

答案D

【跟踪训练4】(2０16·山东卷)已知函数,其中m＞０.若存在实数b,使得关于x得方程f(ｘ)＝b 有三个不同得根,则ｍ得取值范围就是__＿_____.

解析在同一坐标系中,作ｙ＝f(x)与ｙ=ｂ得图象。

当x〉m时,x２－２ｍx+4ｍ=(x—ｍ)2+４m－m2,

∴要使方程f(x)＝b有三个不同得根,则有4m-m2〈m,

即ｍ2-3ｍ〉0、又m〉０,解得m＞３.

答案(３,+∞)

四、作函数图象得常用方法

数形结合得关键在于准确作出函数得图象,那么如何作函数图象就就是最关键得步骤,同学们一定要掌握、下面介绍两种高中数学中最常用得方法。

１、利用描点法作函数得图象

步骤:(1)确定函数得定义域;(２)化简函数解析式;(3)讨论函数得性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(４)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴得交点等),描点,连线。

2.利用图象变换法作函数得图象

(１)平移变换

①y=f(x＋ａ)(a>0)得图象把y=f(x)得图象向左平移ａ个单位即可;

②y=f(ｘ—a)(a〉0)得图象把y=f(ｘ)得图象向右平移a个单位即可;

③y=f(x)+b(b＞０)得图象把y＝f(x)得图象向上平移b个单位即可;