例谈圆锥曲线中求离心率的常见问题

圆锥曲线中求离心率的常见问题

整理者：童继稀

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，它的变化直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的重要要素。纵观近年的高考，离心率也是圆锥曲线客观题的考查重点，通常有求椭圆和双曲线的离心率和离心率取值范围两种题型，属于中档次的题型。试题既不需要深奥的知识，也没有高难的技巧，许多题目源于将课本中若干基础知识串并联、类比、改造而成。本文通过实例归纳了求椭圆或双曲线的离心率和离心率的取值范围两种题型的常用方法。

题型一：求离心率e

方法1：直接求出a 、c ，再求解离心率e

当圆锥曲线的标准方程已知或者a c 、易求时，可直接利用率心率公式c

e a

=

来解决。 例1．[2013·高考陕西卷(文)] 双曲线22

1169

x y -=的离心率为_______。

解析：由双曲线方程不难得出4,3,5a b c ===，故离心率45

c e a =

=。 例2．[2013·浙江卷] 如图所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24

＋y 2

＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，

B 分别是

C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A ． 2 B ． 3 C ．32

D ． 62

解析：由椭圆方程知12||F F =，设双曲线方程为

22221(0,0)x y a b a b -=>>，则2121||||4||||2AF AF AF AF a +=⎧⎨-=⎩，得21||2||2AF a AF a

=+⎧⎨=-⎩。 在12Rt F AF ∆中，1290F AF <

=，由勾股定理：222

(2)(2)a a -+

+=，得

a

=2

c e a =

=。 方法2：采用圆锥曲线的统一定义求解

从“焦点-准线”的观点来看，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨

迹是圆锥曲线（不包括一些退化情形）。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率。根据e 的取值范围不同，曲线也各不相同：当0e =时，轨迹为圆；当10<e 时，轨迹为双曲线。

例3．设椭圆122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准

线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，

则椭圆的离心率是

。

解析：如图所示， AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，由1AD l ⊥于D 可知AD 为1F 到准线1

l 的距离，根据椭圆的第二定义，11

1

22

AB AF e AD AD ===。 方法3：构造a 、c 的齐次方程，解出e

根据题设条件建立,,a b c

之间的等量关系，再借助椭圆中b =

曲线中b b ，从而构造a 、c 的齐次方程，进而根据离心率的定义两边同时除以的齐次得到关于e 的方程，便可解方程得到离心率e 。

例4．[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为1

2-的直线与椭圆C ：22221(0,0)

x y a b a b

+=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

解析：设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点M 是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，

且22

112

222

2222

11

x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得2222121222x x y y a b --=-，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b +-+-=-，所以2

12212y y b x x a

-=--，即22AB b k a =-。由题意可

知，直线AB 的斜率为－12，所以2

212

b a -=-。由a 2＝b 2＋

c 2可知2222

222a b a c ==-，即

222a c =，再两边同时除以2a 得21()2c a =即21

2

e =

，所以e =，故选D ．

例5．[2015·新课标卷Ⅱ(理)] 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM

为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A

B ．2 C

D

解析：设双曲线方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，

如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M

作MN x ⊥轴，垂足为N 。

在Rt BMN ∆中，BN a =

，MN =

，故

点M

的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程化简得2222a b a c ==-，即222c a =，两边同时除以2

a 得2()2c a

=即2

2e =

，所以e =

，故选D ．

题型二：求解离心率e 的取值范围

方法1：运用函数思想求解离心率的范围

通过已知条件分析，利用圆锥曲线的性质建立离心率的函数关系，转换为求函数值域的问题。

例6．[2008·全国卷Ⅱ(理)] 设1a >，则双曲线22

22

1(1)x y a a -

=+的离心率e 的取值范围是（ ）

A

． B

．

C ．(25)，

D

．(2

解析：根据题意可知222

22

2

(1)1()1(1)c a a e a a a

++===++，则可把2e 看成是关于a 的函数。又因对应函数在(1,)a ∈+∞上单调递减，得2

25e <<

e <

方法2：构建关于e 的不等式，求e 的取值范围

根据已知和潜在条件构建一个关于基本量,,a b c 的齐次不等式（通常要借助一些不等式性质、平面解析几何知识，函数性质与数形结合思想等来探求），再化简为e 形式，便可求得离心率范围。

例7．设P 是椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 上一点，且

9021=∠PF F ，其中21,F F 是椭圆

的两个焦点，求椭圆离心率的范围。

解析1：（利用二次方程有实根建立不等式）据椭圆定义可知a PF PF 221=+，由

9021=∠PF F 得22

2

12

2

214c F F PF PF ==+，则)(22

221c a PF PF -=⋅。

因此，2

1,PF PF 是方程0)(222

2

2

=-+-c a ax x 的两个根，则有

08422≥+-=∆c a ，又因1

，解得,12e ⎫

∈⎪⎪⎣⎭

。 解法2：（利用x 或y 的有界性建立不等式）可知10F c -（，）

20F c （，），设P x y （，），则有12(,),(,)F P x c y F P x c y =+=-。由1290F PF <=知12F P F P ⊥，则120F P F P ⋅=，即

2()()0x c x c y +-+=，得222x y c +=。

将之与椭圆方程联立，消去y 可得2222

2

22

a c a

b x a b

-=-，但由椭圆范围及1290F PF <=知220x a ≤<，即22222220a c a b a a b -≤<-，可得2222222

c b c a c c a ⎧≥⇒≥-⎪⎨<⎪⎩，

解得1

c e a c e a ⎧=≥⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩

。

故2

e ∈。 例8．[2013·重庆卷] 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )