喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间
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EX1.矢量空间
练习 1.1 试只用条件(1)~(8)证明2ψψψ+=,0ψ=O 和1ψψ-=-()。 (完成人:梁立欢 审核人:高思泽) 证明:由条件(5)、(7)得 11112ψψψψψψ+=+=+=()
只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件(7)
00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-,得
)0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件(4), 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件(4)、(2)
上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ
由O =0ψ,根据条件(4)、(7)得
ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-⇒)1( #
练习 1.2 证明在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立,则必有21ψψ=。 (完成人:谷巍 审核人:肖钰斐)
证明 由题意可知,在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立,则有
(1ψ,)ϕ-(2ψ,)ϕ=0 (1)
于是有
()0,21=-ϕψψ (2)
由于在内积空间中()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立,则可取21ψψϕ-=,则有
()2121,ψψψψ--=0 成立 (3)
根据数乘的条件(12)可知,则必有
021=-ψψ
(4) 即21ψψ=
故命题成立,即必有21ψψ=. #
练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的?有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论?如有,试证明之。 (完成人:赵中亮 审核人:张伟) 解:矢量空间运算的12个条件是独立的。 #
练习 1.4 (1)在第二个例子中若将加法的规定改为:和矢量的长度为二矢量长度之和,方向为二矢量所夹角()︒〈180的分角线方向,空间是否仍为内积空间? (2)在第二个例子中若将二矢量和内积的定义改
为θ⋅
或
θ,空间是否仍为内积空间? (3)在第三个例子的空间中,若将内积的定义改为 ()4*
43*
32*
21*
1432,m l m l m l m l m l +++=
空间是否仍为内积空间?
(4)在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
()()⎰⎰==b
a
b
a dx
x x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2
*
*)()()(),()()()(),(或
空间是否仍为内积空间?
(完成人:张伟 审核人:赵中亮)
解:(1)在第二个例子中若将加法的规定改变之后,空间不是内积空间。
因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元,如一个不为零的矢量设为
,则任意矢量和它相加后,得到的矢量的长度不为零,所以一定不能得到零
矢量,即找不到逆元。所以空间不是内积空间。
(2)在第二个例子中若将内积的定义改之后,空间不是一个内积空间。证明如下:
+≠+,即有
() ,=+
θ+
θθ⋅+≠=()(),,+
所以内积的定义改变之后不是内积空间。
(3)在第三个例子中若将内积的定义改之后,空间仍然是一个内积空间。证明如下: i
()()m l m l m l m l m l l m l m l m l m l m ,432)432(,4*43*32*21*1*4*43*32*21*1*=+++=+++=
ii .
()()()n l m l n l n l n l n l m l m l m l m l n m l n m l n m l n m l n m l ,,)432()432()
(4)(3)(2)(,4*
43*
32*
21*
14*
43*
32*
21*
144*433*322*211*1+=+++++++=+++++++=+ iii .
()()
m l a m l m l m l m l a a
m l a m l a m l a m l ma l ,)432(432,4*
43*
32*
21*
14*43*32*21*1=+++=+++= iv.()0||4||3||2||,24232221≥+++=l l l l l l ,对任意l 成立 若()0,0,0,4321======l l l l l l l 即则必有
综上所述,新定义的内积规则符合条件(9)—条件(12),所以仍为内积空间
(4)在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
()⎰=b
a
xdx x g x f x g x f )()()(),(*后,空间不是内积空间。
因为()⎰⎰==b
a
b
a
xdx x f xdx x f x f x f x f 2
*
)()()()(),(,积分号内的函数是一个
奇函数,它不能保证对于任意的()x f 积分出来后都大于零,即不符合条件(12),所以不是内积空间。
在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
()⎰=b
a
dx x x g x f x g x f 2*)()()(),(后,空间是内积空间。
证明如下:
i ()()**
2
*2
*
)(),()()()()()(),(x f x g dx x x f x g dx x x g x f x g x f b a b
a
=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰
ii
()()()()()
x h x f x g x f dx x x h x f dx x x g x f x h x g x f b
a
b
a
),()(),()()()()()(),(2*2*+=+=+⎰⎰ iii ()())(),()()()()()(),(2*2
*
x g x f a dx x x g x f a dx ax x g x f a x g x f b
a
b
a
===⎰⎰
iv ()成立对任意ψ,0)()(),(22
≥=⎰b
a dx x x f x f x f
若()0)()(),(22
==⎰b
a
dx x x f x f x f ,则必有()0=x f
综上所述,新定义的内积规则符合条件(9)—条件(12),所以仍为内积空间。 #
练习 1.5若a 为复数,证明若a ψϕ=时,Schwartz 不等式中的等号成立。 (完成人:肖钰斐 审核人:谷巍)
证明:当若a ψϕ=时,分别带入Schwartz 不等式的左边和右边。 左边=()2
,ψψψa a =
右边=2
ψψψa a =⋅
左边=右边,说明当a ψϕ=时,Schwartz 不等式中的等号成立。 #
练习1.6 证明当且仅当 ||||a a ϕψϕψ-=+ 对一切数a 成立时,ψ与ϕ正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。 (完成人:赵中亮 审核人:张伟)
证明:解:当||||a a ϕψϕψ-=+对一切数a 成立时,有