喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

EX1.矢量空间

练习 1.1 试只用条件(1)~(8)证明2ψψψ+=,0ψ=O 和1ψψ-=-()。 (完成人:梁立欢 审核人:高思泽) 证明:由条件(5)、(7)得 11112ψψψψψψ+=+=+=()

只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件(7)

00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-,得

)0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件(4), 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件(4)、(2)

上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ

由O =0ψ,根据条件(4)、(7)得

ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-⇒)1( #

练习 1.2 证明在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立,则必有21ψψ=。 (完成人:谷巍 审核人:肖钰斐)

证明 由题意可知,在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立,则有

(1ψ,)ϕ-(2ψ,)ϕ=0 (1)

于是有

()0,21=-ϕψψ (2)

由于在内积空间中()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立,则可取21ψψϕ-=,则有

()2121,ψψψψ--=0 成立 (3)

根据数乘的条件(12)可知,则必有

021=-ψψ

(4) 即21ψψ=

故命题成立,即必有21ψψ=. #

练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的?有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论?如有,试证明之。 (完成人:赵中亮 审核人:张伟) 解:矢量空间运算的12个条件是独立的。 #

练习 1.4 (1)在第二个例子中若将加法的规定改为:和矢量的长度为二矢量长度之和,方向为二矢量所夹角()︒〈180的分角线方向,空间是否仍为内积空间? (2)在第二个例子中若将二矢量和内积的定义改

为θ⋅

θ,空间是否仍为内积空间? (3)在第三个例子的空间中,若将内积的定义改为 ()4*

43*

32*

21*

1432,m l m l m l m l m l +++=

空间是否仍为内积空间?

(4)在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为

()()⎰⎰==b

a

b

a dx

x x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2

*

*)()()(),()()()(),(或

空间是否仍为内积空间?

(完成人:张伟 审核人:赵中亮)

解:(1)在第二个例子中若将加法的规定改变之后,空间不是内积空间。

因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元,如一个不为零的矢量设为

,则任意矢量和它相加后,得到的矢量的长度不为零,所以一定不能得到零

矢量,即找不到逆元。所以空间不是内积空间。

(2)在第二个例子中若将内积的定义改之后,空间不是一个内积空间。证明如下:

+≠+,即有

() ,=+

θ+

θθ⋅+≠=()(),,+

所以内积的定义改变之后不是内积空间。

(3)在第三个例子中若将内积的定义改之后,空间仍然是一个内积空间。证明如下: i

()()m l m l m l m l m l l m l m l m l m l m ,432)432(,4*43*32*21*1*4*43*32*21*1*=+++=+++=

ii .

()()()n l m l n l n l n l n l m l m l m l m l n m l n m l n m l n m l n m l ,,)432()432()

(4)(3)(2)(,4*

43*

32*

21*

14*

43*

32*

21*

144*433*322*211*1+=+++++++=+++++++=+ iii .

()()

m l a m l m l m l m l a a

m l a m l a m l a m l ma l ,)432(432,4*

43*

32*

21*

14*43*32*21*1=+++=+++= iv.()0||4||3||2||,24232221≥+++=l l l l l l ,对任意l 成立 若()0,0,0,4321======l l l l l l l 即则必有

综上所述,新定义的内积规则符合条件(9)—条件(12),所以仍为内积空间

(4)在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为

()⎰=b

a

xdx x g x f x g x f )()()(),(*后,空间不是内积空间。

因为()⎰⎰==b

a

b

a

xdx x f xdx x f x f x f x f 2

*

)()()()(),(,积分号内的函数是一个

奇函数,它不能保证对于任意的()x f 积分出来后都大于零,即不符合条件(12),所以不是内积空间。

在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为

()⎰=b

a

dx x x g x f x g x f 2*)()()(),(后,空间是内积空间。

证明如下:

i ()()**

2

*2

*

)(),()()()()()(),(x f x g dx x x f x g dx x x g x f x g x f b a b

a

=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰

ii

()()()()()

x h x f x g x f dx x x h x f dx x x g x f x h x g x f b

a

b

a

),()(),()()()()()(),(2*2*+=+=+⎰⎰ iii ()())(),()()()()()(),(2*2

*

x g x f a dx x x g x f a dx ax x g x f a x g x f b

a

b

a

===⎰⎰

iv ()成立对任意ψ,0)()(),(22

≥=⎰b

a dx x x f x f x f

若()0)()(),(22

==⎰b

a

dx x x f x f x f ,则必有()0=x f

综上所述,新定义的内积规则符合条件(9)—条件(12),所以仍为内积空间。 #

练习 1.5若a 为复数,证明若a ψϕ=时,Schwartz 不等式中的等号成立。 (完成人:肖钰斐 审核人:谷巍)

证明:当若a ψϕ=时,分别带入Schwartz 不等式的左边和右边。 左边=()2

,ψψψa a =

右边=2

ψψψa a =⋅

左边=右边,说明当a ψϕ=时,Schwartz 不等式中的等号成立。 #

练习1.6 证明当且仅当 ||||a a ϕψϕψ-=+ 对一切数a 成立时,ψ与ϕ正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。 (完成人:赵中亮 审核人:张伟)

证明:解:当||||a a ϕψϕψ-=+对一切数a 成立时,有

相关文档
最新文档