空间直角坐标系与空间两点的距离公式

空间直角坐标系与空间两点的距离公式空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z 表示.轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O —xyz, 0叫做坐标原点.如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；2. 在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；3. 如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；4. 在平面上画空间直角坐标系O —xyZ时，一般情况下使/ xOy=135°, / yOz=90°.空间点的坐标1. 点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与X轴的交点记为P x，它在X轴上的坐标为X，这个数X就叫做点P的x坐标；2. 点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为P y,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标；3. 点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与Z轴的交点记为P z,它在Z轴上的坐标为Z,这个数Z就叫做点P的z坐标；这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P （x，y, z）,其中x, y, z也可称为点P的坐标分量.已知数组（x, y, z），如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组（x, y, z）：（1）在坐标轴上分别作出点P x, P y, P z,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z；（2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是所求的点.空间点的坐标1. 在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面;2. 坐标平面上点的坐标的特征：中x、y 为任意实数z为任意实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x, 0，z)的点构成的点集，其中X、z为任意实数；3. 坐标轴上点的特征：x轴是坐标形如(X, 0, 0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0, y, 0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0, 0, z)的点构成的点集，其中z为任意实数。

卦限在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；八个卦限中点的坐标符号分别为：I: ( + ,+ ,+ )；II : (-,+ , + )；III , + )；IV: ( + ,- , + )；V: ( + , + ,- )；VI : ( - , + ,-)；VII : (-,-,-)；VIII : ( + ,-,-)；空间两点间的距离公式空间两点A(x i , y i , z i) , B(X2, y2 , z2)的距离公式是d(A,B) =；y(X2 -汀(y2 -y i)2 (Z2 -乙)2,特别地，点A(x, y, z)到原点的距离公式为d(O, A) m：f x2 y2 z2 .题型1.确定空间任一点的坐标例1.正方体的棱长为2,求各顶点的坐标.解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下 A(0, 0, 0),B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), A i (0, 0, 2), B i (2,0, 2), C i (2, 2, 2), D i (0, 2, 2),题型2.空间中点的对称问题例2.在空间直角坐标系中，写出点 P(x , y , z)的对称点的坐标(1) ____________________________________ 关于x 轴的对称点是P i ；(2) ____________________________________ 关于y 轴的对称点是P 2 ；(3) 关于z 轴的对称点是P 3_(4) 关于原点的对称点是 卩4_(5) ____________________________________________ 关于xOy 坐标平面的对称点是 P 5 _____________________________________________________________ ；；(6) ____________________________________________ 关于yOz 坐标平面的对称点是 P 6 _____________________________________________________________ ；(7) ____________________________________________ 关于xOz 坐标平面的对称点是 P 7 _____________________________________________________________ .解：(1) P i (x ，— y ，— z);(2) P 2(—x , y ,—z);(3) P 3(— x ，— y , z);(4) P 4( — x , — y , — z)； (5) P 5(x , y , — z); (6) P 6(—x , y , z);(7) P 7(x ,— y , z);题型3.求两点间的距离例3.( 1)点P^2^3 _6)到原点的距离是2 3 6(A ) 3(B ) 1 (C ) 36 613 4 12 3⑵幣〒5)"6'预)两点间的距离是 -----------------------------【研析】(1)点P 到原点的距离是|OP|±Jl+1+1 =1，选B. V 2 3 6⑵由两点间的距离公式得|AB |^.(3 6)2 (4_2)2 (4_10)2 ■ 73121.有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0, b, 0);②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可以写成(0, b, c);③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为(0, 0, c);④ 在空间直角坐标系中，在xOz 平面上点的坐标可写为(a , 0, c ).其中正确的叙述的个数是(C )(A ) 1 ( B ) 2 ( C ) 3 ( D )42•点A(-3, 1, 5),点B(4, 3, 1)的中点坐标是(B )71 1 4 (A ) (—,1,-2)(B ) (—,2,3)( C ) (- 12, 3, 5) (D ) (-,-,2)2 23 33•点B 是点A(1 , 2, 3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB|等于(B )(A ) 114 ( B ) . 13 (C ) 2 3 (D )、.—4. 到定点(1, 0, 0)的距离小于或等于1的点的集合是(A )2 2 2 2 2 2(A ) {(x , y , z)| (x - 1) +y +z <} (B ) {(x , y , z)| (x - 1) +y +z =1}(C ) {(x , y , z)| x 2+y 2+z 2W 2} (D ) {(x , y , z)| x 2+y 2+z 2W 1}5. Rt A ABC 中，/ BAC=90° A(2, 1, 1), B(1, 1, 2), C(x , 0, 1),贝U x= 26. 若点P(x , y , z)到A(1, 0, 1), B(2, 1, 0)两点的距离相等，贝U x 、y 、z 满足的 关系式是 _____________________________ . (2x+2y - 2z -3=0)7. 证明：以A(4, 3, 1), B(7, 1, 2), C(5, 2, 3)为顶点的△ ABC 是等腰三角形 例4.已知长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 2的边长为 AB=14, AD=6, AA 1=10,(1) 以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；(2)以C 点为原点，以射线BC 、CD 、CC 1的方向分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标;【探究】根据题目要求画出图形，建立空间直角坐标系后写 出各顶点的坐标。

解：(1)如图 1, A(0, 0, 0), B(14, 0, 0), C(14, 6, 0), D(0,6, 0), A 1(0, 0, 10), B 1(14, 0, 10), C 1(14, 6, 10), D 1(0,6, 10),(2)如图 2, A( — 6, 14, 0), B(-6, 0, 0), C(0, 0, 0), D(0, 14, 0), A 1(-6, 14, 10), B 1(— 6, 0, 10), 0(0, 0, 10), D 1(0,14, 10),例5.在坐标平面xOy 上求一点P ,使点P 到A(3, 1, 5)与B(3, * 图巳 c5, 2)的距离相等’解：设P(x, y, O),t|PA|=|PB|,••• (x-3)2+(y—1)2+25=(X— 3)2+(y—5)2+4，整理得，-2y+26=—10y+29,3 3••• 8y=3，即y=—, •••点P 的坐标为(x, - , 0).8 8例6•如图，在空间直角坐标系中，BC=4,原点O是BC的中点，点A的坐标是(仝,-,0),点D在平面yOz上,2 2且/ BDC=90°, / DCB=30°.(1)求AD的长度；(2)求/ DAC的余弦值的大小'解：(1)由题意得B(0,-2, 0), C(0, 2, 0),设D(0,y, z),v 在Rt A BDC 中，/ DCB=30°• BD=2, CD=2 .3 , •(y+2)2+z2=4 , (y-2)2+z2=12 ,• y= —1, z=订3 , •- D(0 , — 1 ,. 3 ),(2)在厶ACD 中，由(1)知AD= ,6 ,又AC=, (J)2 (； -2)2 02 = 3 , CD=2 . 3 ,cos/ DAC= 3 6-122 3 .6 「寻，即/DAC的余弦值等于-汙|AD|= 2 (； 1)2(方)2 = 6。