椭圆的几何性质第二定义

x y 设所求的方程为 2 2 1 a b
a b 0,
D
Y
O
C
A
X
a c OB OF2 F2 B 6371 2384 8755
解得a 7782.5, c 972.5 ∴b≈7722.
x2 y2 1 2 2 7783 7722
练习与巩固： 1、求下列椭圆的准线方程：
法二:(数形结合)以 F1 F2 为直径的圆交椭圆于 P 1 ，P 2
x2 y2 5 2 2 x P1 x P x P2，而P1、P2 的坐标可由 x y 1 4 9
3 5 3 5 解得x P1 ，x P2 5 5
(0 , c)、(0, -c) a>b
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半轴长
离心率
长半轴长为a,短半轴长为b.
c e a
a、b、c 的关系
a2=b2+c2
准线
二、课题引入：
例1、 已知动点M到定点(4，0)的距离与到定直线
4 的距离之比等于 ，求动点M的轨迹。 5
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25 x 4
解 : 设 d是点 M到直线 l : x
标准方程 焦点坐标
x y 2 1(a b 0) 2 a b
(c,0)、(-c,0)
2
2
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
(0 , c)、(0, -c) a>b
半轴长
离心率
长半轴长为a,短半轴长为b.
c e a
a、b、c 的关系
a2=b2+c2
a x c
2
准线
a y c
2
x y2 已知椭圆 2 2 1(a b 0)上一点P的横坐标是x0 , 例3 、 a b F1、F2分别是椭圆的左、右焦 点，且e为离心率，则
2
应用与提高
PF1 a ex0 , PF2 a ex0 。
说明：
x y a 2 b2
2 2
Y
P
(第二定义 )
zxxkw
定义 1
平面内与
图形
定义 2
平面内与
一个定点的距
两个定点 F1、 F2的距离的和
焦点：F1 (c,0)、F2 (c,0) a2 准线：x c
离和它到一条 定直线的距离 的比是常数
e c (0 e 1) a
等于常数（大
于 F1 F2 ）的点
的轨迹。
的点的轨迹。
焦点：F1 (0,c )、F2 (0, c ) a2 准线：y c
4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴 端点与最近的焦点相距为1、与相近的一 5 条准线距离为 的椭圆标准方程。
3
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
B2 y A1 F1 O B1 F2 A2 x
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
25 的距离 , 根据题意 , 点 M的轨 迹就是集合 4 MF 4 P {M }, d 5
由此得
( x 4) 2 y 2 4 . 25 5 x 4
d
H
将上式两边平方 , 并化简得 9 x 2 25 y 2 225, x2 y2 1 即 25 9 所以, 点 M的轨迹是焦点在 x轴，长轴、短轴长分别 为 x2 y2 1 10、 6的椭圆，其轨迹方程是 25 9
给椭圆下一个新的定义
定义：
平面内与一个定点的距 离和它到一条 c 定直线的距离 的比是常数 e (0 e 1) a 的点的轨迹。
注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。
而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。
探究：
0 )的距离和它到定直线 （1）若点 M ( x , y )与定点 F ( c ， a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，此时点M的 c a 轨迹还是同一个椭圆吗 ？ （是） 2 a c )，定直线改为 l : y 时，对应 （2）当定点改为 F ( 0， c
二、讲授新课：
证明： 点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定
c a2 直线L ：x 的距离的比是常数 (a>c>0) ， a c
求点M的轨迹。
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合 MF c P M , d a
由此可得：
( x c )2 y 2 a2 x c
1 0 0 y2 x2 a c 1 F1，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点， a 2 b 2 （a>b>0）下焦点为 PF
x y2 练习：已知椭圆 1, P为椭圆在第一象限内的点，它 c a PF 45 ( 20 x ) a ex
2
与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。
解：以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立如图 所示的直角坐标系，AB 与地球交与 C,D两点。 2 2
由题意知：|AC|=439,|BD|=2384,
| F2C || F2 D | 6371. 则 : a c OA OF2 F2 A
6371 439 6810
F1 B F2

F1
O
F2
X
PF1 c a2 a 1 x0 （a>b>0 ）左焦点为 F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点， c
则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex 2 其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. 0 。 c a
PF (x ) a ex
c 2 则|PF1|=a+ey 同理 : 22|=a-ey 0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. 0，|PF a x 20 c a
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
B2 y A1 F1 O B1 F2 A2 x
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
A2 F2 B1 O F1 A1 y B2
图形
x
范围 对称性 顶点
a x a,b y b a y a,b x b
第二定义的“三定”： 定点是焦点；定直线是准线；定值是 离心率
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2 x y a 2 1的准线是 x= 2 a b c 2 2 2 a y x 的准线是 y= 1 2 2 a b c
2
2
例2、 如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地 心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地 面最近的点)距地面439km,远地点B距地面2384km.并且F2、A、 B在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方 程（精确到1km).

c . a
将上式两边平方，并化 简，得
（a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ). 设a 2 c 2 b 2 , 则方程可化成 x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
这是椭圆的标准方程， 所以点M的轨迹是长轴、短轴长
分别为2a、 2b的椭圆.
的轨迹方程又是怎样呢 ？
a （3）当定点改为 F ( c，0 )，定直线改为 l : x 时，对应 c 的点M轨迹会是一个椭圆吗？ （不是） 注意：在定义中，比值必须是动点到焦点（左）与准线 （左）之比。
x2 y2 1(a b 0) b2 a 2 2
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
2
a c
0
0
x y 1 的焦点为 F1、F2 ，点 P 为其上的 思考: 椭圆 9 4 动点， 当 F1 PF2 为钝角时， 则点 P 的横坐标的取值范围
2
2
是____________.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角 1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 3 5 3 5 解之得 x . 5 5
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为8.5,则P到左焦点 的距离为_________.
x 2 y2 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到 两准线的距离.
关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)
标准方程 焦点坐标
x y 2 1(a b 0) 2 a b
(c,0)、(-c,0)
2
2
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
A2 F2 B1 O F1 A1 y B2
图形
x
范围 对称性 顶点
a x a,b y b a y a,b x b
关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)