用十字相乘法分解因式

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6.5 用十字相乘法分解因式⑴

教学目的

探索并掌握可化为2()x a b x ab +++型的二次三项式的因式分解方法，会分解可化为2()x a b x ab +++型的二次三项式．

教学重点

可化为2()x a b x ab +++型的二次三项式的因式分解．

教学难点

例２比较复杂，是本节教学的难点．

教学过程

一、复习引入：

1. 计算：⑴ (1)(2)x x ++；⑵ (1)(2)x x -+；⑶ (1)(2)x x +-；⑷ (1)(2)x x --．

一般地，2()()()x a x b x a b x ab ++=+++．

2. 分解因式：

⑴ 3222468a b a b a b -+-；⑵ 382x x -；⑶ 23363a a a -+-；⑷ 232x x ++． 由⑴⑵⑶回顾已学的因式分解的方法，由⑷引出新课．

二、合作探究：

1. 观察与思考：

⑴232x x ++是几次几项式？二次项系数、一次项系数、常数项分别是谁？

⑵232x x ++有公因式吗？能用平方差公式、完全平方公式分解因式吗？

⑶你觉得该怎样分解因式？

在生充分发表意见的基础上，概括如下：

∵2(1)(2)32x x x x ++=++，∴232(1)(2)x x x x ++=++．

一般地，∵2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，∴2()()()x a b x ab x a x b +++=++．

这就是说，对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,,a b p a b q +=⎧⎨⋅=⎩

则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．

如对于二次三项式232x x ++，其中3p =，2q =，能找到两个数1、2，使12,12,p q +=⎧⎨⨯=⎩

故有232(1)(2)x x x x ++=++．

2. 用以上新方法分解二次三项式2x Px q ++时，如何寻找a 、b 两数？

例１ 把下列各式分解因式：

⑴ 256x x ++；⑵ 256x x -+；⑶ 256x x +-；⑷ 256x x --．

师让生观察以上各式，先明确以上各式不能用以前所学的方法分解因式，只能考虑用以上新方法来分解．

师让生讨论交流，寻找出a 、b 两数．

在生讨论交流解答的基础上，师可进一步分析归纳寻找a 、b 两数的思路：

用以上新方法来分解二次三项式2x Px q ++，式中的p 、q 通常是整数，要找的a 、b 两数也通常是在整数中去找．由于把p 拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把q 分解成两个整数之积只有有限几种可能，故应先把q 分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得p ．

如：⑴ ∵616(1)(6)23(2)(3)=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-，且其中235+=，

∴256(2)(3)x x x x ++=++．

⑵ ∵616(1)(6)23(2)(3)=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-，且其中(2)(3)5-+-=-，

∴256(2)(3)x x x x -+=--．

⑶ ∵6161(6)232(3)-=-⨯=⨯-=-⨯=⨯-，且其中165-+=，

∴256(1)(6)x x x x +-=-+．

⑷ ∵6161(6)232(3)-=-⨯=⨯-=-⨯=⨯-，且其中1(6)5+-=-，

∴256(1)(6)x x x x --=+-．

师：如何检验分解是否正确？

3. 请观察比较例１中的各题，你能发现把q 分解成两个整数a 、b 之积时的符号规律吗？

让生充分发表意见的基础上，师引导生归纳：

⑴若q ＞0，则a 、b 同号．当p ＞0时a 、b 同为正，当p ＜0时a 、b 同为负．

⑵若q ＜0，则a 、b 异号．

当p ＞0时a 、b 中的正数绝对值较大，当p ＜0时a 、b 中的负数绝对值较大．

三、巩固与提高：

1. 把下列各式分解因式（填空）：

⑴ 2412()()x x x

x --=．⑵ 2263()()x x x x +-=． ⑶ 2815()()x x x x -+=．⑷ 21232()()x x x x ++=．

强调：由常数q 分解成的两数，当和等于一次项系数p 时，这两数才是要找的a 、b ． 通过练习巩固a 、b 的符号法则．

2. 例2 把下列各式分解因式：⑴ 2()4()5x y x y +++-；⑵ 43223a a a --．

⑴启发生用换元思想，把原式看成2x Px q ++型分解之．

⑵让生思考分解步骤，师作适当指点．生口答，师板书解答．

强调：要注意换元思想的运用．要注意因式分解的一般思考步骤．

3. 把下列各式分解因式：（板演）

⑴ 272x x +-；⑵ 21236x x -+；⑶ 232x x -+-；⑷ 32712n n n -+；

⑸ 42718a a --；⑹ 2(2)4(2)3a b a b +-++．

4. 想一想：

若把2265a ab b ++看成a 的二次三项式，这时常数项是什么？一次项系数是什么？ 能用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++分解因式吗？

请把下列各式分解因式：

⑴ 2265a ab b ++； ⑵ 2228x y xy +-；

⑶ 2221012x xy y -+； ⑷ 222(2)2(2)3x x x x ----．

四、小结：

本节课你学到了什么新知识？

今天，你对分解因式的步骤有何新的认识？

五、作业：

1. 判断下列各式分解因式是否正确，若有错，则改正：

⑴ 22(2)(1)x x x x +-=+-．（ ）

⑵ 2232(2)()x xy y x y x y ++=++．（ ）

⑶ 42222625(25)(1)x x x x -+=--．（ ）

⑷ 322(1)(2)a a a a a a -++=-+-．（ ）

2. 把下列各式分解因式：

⑴ 2730x x +-= ；

⑵ 2x + 30(6)(5)x x +=++；

⑶ 2x + 30(6)(5)x x -=-+；

⑷ 42109()()()()x x -+=．

3. 已知当x 取任何实数时都有215(5)(3)x kx x x --=+-，则k = ．

4. 把下列各式分解因式：

⑴ 22833x xy y +-；⑵ 32712x x x -+；⑶ 2()2()15x y x y +++-；

⑷ 4221100a a --；⑸ 222()14()24x x x x +-++；⑹ 22(1)(1)x x y x ---．

5. 不解方程组2,1535,

x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 求223129x xy y ++的值．