2014年全国高考试卷立体几何部分汇编(下)

2014年全国高考试卷立体几何部分汇编（下）

1. （2014山东理13）

三棱锥P ABC -中，,D E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC

-的体积为2V ，则

1

2

V V =_____． 【解析】 1

4

2. （2014山东理17）

如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，

M 是线段AB 的中点．

⑴求证：1C M ∥平面11A ADD ；

⑵若1CD 垂直于平面ABCD

且1CD =11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值．

A

B

C

D

M

B 1

A 1

C 1

D 1

【解析】 ⑴ 证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =

所以AB DC ∥,又由M 是AB 中点，因此//CD MA 且CD MA =．

连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 因为11//CD C D ,11CD C D =

可得1111//=C D MA C D MA ，

所以四边形11AMC D 为平行四边形，因此11//C M D A 又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD , 所以1//C M 平面11A ADD ⑵ 由⑴知，平面11D C M

ABCD AB =过C 向AB 做垂线交AB 于N ，连接1D N ,

由1CD ⊥面ABCD ，可得1D N AB ⊥，故1D NC ∠为二面角1C AB C --的平面角 在1Rt D CN △中，160BC NBC =∠=︒，

可得CN =

所以1ND = 在1Rt D CN △

中，11cos CN D NC D N ∠=

==, 所以平面11C D M 和平面ABCD

．

3. （2014山东文13）

一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ． 【解析】 12

4. （2014山东文18）

如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1

2

PCD AD BC AB BC AD E F ,,==,,∥分别为线段AD PC ,的中点．

⑴求证：AP ∥平面BEF ； ⑵求证：BE ⊥平面PAC

C

B

A

D

F

E

P

【解析】 ⑴ 连接AC 交BE 于点O ，连接OF ，不妨设1AB BC ==，则2AD =，

AB BC AD BC =∴，，∥四边形ABCE 为菱形

又O F ，分别为中点，OF AP ∴∥ ∵OF ⊂平面BEF ，∴AP ∥平面BEF ⑵ ∵AP ⊥面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴AP CD ⊥

BC ED BC ED BCDE =∴，，∥为平行四边形， BE CD BE PA ∴∴⊥，∥

又ABCE 为菱形，BE AC ∴⊥

又

PA AC A =∩，PA AC ⊂，

平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ． 5. （2014陕西理5）

已知底面边长为1，

则该球的体积为（ ）

A ．32π3

B ．4π

C ．2π

D ．4π3

【解析】 D

如图为正方形四棱柱1AC

．根据题意得AC =11ACC A 为正方形，所以外接球

直径1

4π

2213

R AC R V ==∴=∴=球，，，故选D ．

F E D

C

A

G

H

A

C

D D 1

C 1

B 1

A 1

B

6. （2014陕西理17）

四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD BC ，的平面分别交四面体

的棱BD ，DC CA ,于点F G H ,,． ⑴证明：四边形EFGH 是矩形；

⑵求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．

俯视图

左视图

D

E

F

H

G

C

B

A

【解析】 ⑴ 由该四面体的三视图可知．

21BD DC BD AD AD DC BD DC AD ⊥⊥⊥===，，，，． 由题设BC ∥平面EFGH ，

平面EFGH ∩平面BDC FC =， 平面EFGH ∩平面ABC EH =，

BC FG BC EH FG EH ∴∴∥∥∥，，．

同理EF AD HG AD EF HG ∴∥∥∥，，

∴四边形EFGH 是平行四边形．

又AD DC AD BD AD ⊥⊥∴⊥，，平面BDC ，

AD BC EF FG ∴⊥∴⊥，，

∴四边形EFGH 是矩形，

⑵ 解法一：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则(000)(001)D A ，，，，，(200)(020B C ，，，，，）． 001(21)DA BC =-＝（，，），，0，，(201)BA =-，，．

设平面EFGH 的法向量()n x y z =，，，

∵EF AD FG BC ∥，∥．∴0n DA ⋅=，0n BC ⋅=． 得0220z x y =⎧⎨-+=⎩

．

．取(110)n =,,．

∴sin cos 5BA n BA n BA n

θ⋅==

=

，．