第二章最优化的数学表达

， 可以解出： x1 1, x2 2
二阶条件： f11 2, f 22 2, f12 0 ，可知满足二阶条件的要求 3 隐函数 变量与参数之间的关系隐含地给出而不是明显地给出。
y mx b （显函数）
y m x b 0 f ( x, y, m, b )
0
dy* f da a
5 具有约束条件的最大化
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
s.t.
g ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
拉格朗日乘数法：
f ( x1 ,x 2 , . x . n. , ) g x 1x( 2 , xn , . . . ,
)
x f g1 0 1 f g2 0 x2 f g 0 n xn g ( x , . .x. , ) 0 1 n 以上只是最优解的必要条件， 因此需要考察二阶条件以确保我们求得的结果 是局部最大值。 下面以二变量的例子来说明如何求出具有约束条件的方程的二阶 条件：
y* * * ( x1 ,..., xn ; a) a a
（隐函数）
隐函数求导法则：
f dy x dx fy
2 x 2 y 2 225 ，即
ຫໍສະໝຸດ Baidu
举例：假设生产可能性边界由两种商品组成
f ( x, y) 2 x 2 y 2 225 0 ， f x 4 x, f y 2 y ，因此
f dy 4x 2x x dx fy 2y y
y f ( x1 , x2 )
s.t.
c b1 x1 b2 x2 0
f ( x1 , x2 ) (c b1 x1 b2 x2 )
f1 b1 0
由一阶条件得到： f 2 b2 0
c b1 x1 b2 x2 0
2 对方程进行二阶全微分可得： d 2 y f11dx12 2 f12 dx2 dx1 f 22 dx2
By yong’s theorem f12 f 21
要使上式在任何情况之下均小于零：1 如果 dx2 0, 或dx1 0 ，则 f11 0
2 2 如果 dx2 , dx1 均不等于零，则 f11 f 22 f12 0
如果临界点是局部最大点，则其二阶条件必须满足某些约束，因为只有某些 形状的函数满足这些约束。为方便或通过设计，本课程所提到的函数大多满 足这些约束条件，因此我们通常只需要考虑一阶条件即可。但不能据此认为 二阶导数不重要。 举例：假设健康情况方程式为：
f1 2 f12 2 dx1 f 22 2 dx1 f2 f2 dx12 f 22
( f11 f 22 2 f12 f1 f 2 f 22 f12 )
如果上式为负，则必须有 f11 f 22 2 f12 f1 f 2 f 22 f12 <0，满足这个条件的函数 我们称作拟凹函数（quasi-concave functions） 拉格朗日乘数的经济意义：
，因此
* * y* f [ x1 *(a), x2 ( a),..., xn (a )]
将所得到的方程式对 a 进行微分，可得：
dy* f dx1 f dx2 f dxn f . . ... . ， da x1 da x2 da xn da a
根据一阶条件， 如果他们是最优值。 上式除了最后一项外， 其余各项均未 0， 因此可得：
df dq
0
q q

最大化的二阶条件：
d2 f dq 2
f '' (q)
q q

q q*
0

q
2 举 例 ： 假 设 利 润 与 出 售 商 品 数 量 的 关 系 是 ： 1 0 0q ，则 0 q5
d d 2 1000 10q 0 ，因此 q 100 。同时 10 0 ，满足最大化的二阶条 dq dq 2
xi的边际利益 ， 也被称为影子价格 xi的边际成本
6 约束条件最大化问题中的包络定理
y f ( x1 ,..., xn ; a)
s.t.
g ( x1 ,..., xn ; a) 0
f ( x1 ,..., xn ; a) g ( x1 ,..., xn ; a)
求解最优值： x f g1 0 1 f g2 0 x2 f g 0 n xn g ( x ,..., x ) 0 1 n 包络定理为：
件。讲课时可以画图辅助说明。 2 多变量函数及其最大化 与经济问题有关的很少是单一变量函数。例如，消费者的效用取决于消费的每 一种商品的量，对于厂商的生产函数，生产的量取决于投入生产过程的劳动、资 本与土地的量。
y f ( x 1 , x2 ,..., xn )
最优化的一阶条件： f1 f 2 ... f n 0 偏导数，它体现了其他情形均相同的假设。 最优化的二阶条件：我们假设 y f ( x1 , x2 ) ， （临界点）
b1dx1 b2 dx2 0
对约束条件进行全微分得：
dx2
b1 dx1 b2
根据一阶条件的结果：
f1 b1 ， f 2 b2
因此： dx2
f1 dx1 f2
d 2 y f11dx12 2 f12 ( f11dx 2 f12
2 1
f1 f dx1 )dx1 f 22 ( 1 dx1 ) 2 f2 f2
第二章 最优化的数学表达
许多重要的经济模型的研究起点是假设经济人在给定的环境下寻求到达某种 最好，或者最优的结果。因此我们介绍如何解决最大化的问题的数学方法。 1 一个变量函数的最优化 假设企业的经理渴望出售一种特定的商品以使利润最大化， 假设企业所获得 的利润（ ）仅取决于出售商品的数量（q） ，它的数学表达式为： f (q) 最大化的一阶条件：
y ( x1 1)2 ( x2 2) 2 10
2 y x12 2 x1 x2 4 x2 5
其中 y 表示一个人的健康状况（0 至 10 间的一个数值） ， x1 , x2 表示两种药物 的剂量。
一阶条件：
y 2 x1 2 0 x1 y 2 x2 4 0 x2
dy * 得出，也可以 da
y (1) 2 a(1) 1 a ， y 1 a
多变量函数的包络定理
y f ( x1 ,..., xn , a)
由一阶条件 y
* * x1 x1 (a ) * * x2 x2 (a )
xi
0
（i=1,…,n）可得：
. .
* * xn xn (a )
则 dy f1dx1 f 2 dx2 ，
d 2 y ( f11dx1 f12 dx2 )dx1 ( f 21dx1 f 22 dx2 )dx2
2 d 2 y f11dx12 f12 dx2 dx1 f 21dx1dx2 f 22 dx2 2 d 2 y f11dx12 2 f12 dx2 dx1 f 22 dx2
一般情况下，得到上面的结果是个很复杂的过程。对于每一个 a 值，我们不 得不求出 x 的最优值，并将它代入方程求 y。在更一般的情况下，要求反复最大 化目标函数。但是包络定理给我们提供了一种简便的计算方法。对于参数 a 得很 小变化可以在 x 的最优值点上令 x 为常数，对目标函数计算 直接计算得出。 例如，在 a=2 时，可以求出 x* 1 ，则
4 包络定理 隐函数定理应用于本书最主要的一个方面就是包络定理， 它涉及当函数中参数 变化时特殊函数最优值如何变化。 dy y 包络定理： {x x* (a)} da a 假设 y x 2 ax ，我们可以通过以下的步骤来求出 y 的最优值与参数 a 之 间的关系：
dy 2 x a 0 dx a x 2 a a a2 y ( x ) 2 a ( x ) ( ) 2 a ( ) 2 2 4 * dy 2a da 4