问渠哪得清如许,为有源头活水来”

“问渠哪得清如许，为有源头活水来”

—— 一道周练三角函数题思考与发散

一：问题与思考

（2021届高二上数学周练（5）） 如图（1），在ABC ∆中，3

3

2=∠ABC sin

，2=AB ，点D 在线段AC 上，且DC AD 2=，3

3

4=

BD 。 （1）求BC 的长； （2）求DBC ∆的面积。

这是我校2018

函数是我们必拿分的知识点，但是从老师讲解的情况来看，第一问 我侧面和几个数学成绩好的同学讨论，普遍反映难以建构等式，且

运算要求很高，推理路径很长，其求解过程绕来绕去，难以把握

方向，最后导致整题失分。 解 （1）,ABC cos ,ABC sin

3

1

332=∠∴=∠ 设a a b ,b AC ,a BC 3

4

4932

2

-

+=∴==①，在DBC ,ABC ∆∆由余弦定理，得,b 4b ADB cos 233164316-+

=∠,b a b CDB cos 23

3

83162-+=∠，CDB ADB ∠-=∠π b 4b 233164316-+,b a b 23

3

83162

-+-=② 由①②得,b ,a 13==即3BC = （2）3

2

2223223221=∴=⨯⨯⨯=BC D ABC S ,S ∆∆

上面是编者所给的答案，老师讲解后，仔细分析，确实如此，难怪我们会失分。但是在叹息失分的同时，能否进行学后反思？

二：探究与发现

平时老师在评讲试卷时，告诫我们不要就题论题，要注重知识交汇点，才能突破知识上的思维定势，因此要突破知识上的瓶颈，拓展我们的思维能力，就必须在课下对知识进行反思、重组。

于是，在老师讲解这道题目后，我回忆老师讲解的两个问题: 1、余弦定理的向量推导大家是否记得？

2、在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 2=，如图（2），若μλ+=，则μλ,分别等于_______.

简解：∵2,,=-=-=

∴,3

2

312+=-=-. ∴3

2

31==

μλ, 通过因势利导，我们马上意识到题中DC 2AD =这个条件的合理运用。真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，于是就有下列解法。（向量解法）

DC AD 2=⇒ 3231+=

⇒2229

4

94||||91||+•+= ⇒

29

4

31294949316|BC ||BC |+⨯⨯⨯+=⨯ ⇒03322=-+|BC ||BC |3⇒3

11

3-

==|BC |,|BC |(舍去），下同。 “水有源，故其流不穷，木有根，故其生不穷.。”

纵观历年来各省市的联考题或高考题，很多来源于教材或推陈出新，但有高于教材，因此多角度，多层次分析论证，做到一题多解，体会每种方法的优点，并对每种方法进行梳理、归纳、提炼，找共性，悟通性，才能轻松应考。

三、反馈与提升

（浙江省重点中学协作体2015届高三第一次适应性测试） 在ABC ∆中，

,C tan 3B tan ,A cos c 2A cos b B cos a =⋅=⋅+⋅则

.___________AB

AC

= 解法一：∵A cos c A cos b B cos a ⋅=⋅+⋅2，由正弦定理 2

1=A cos ⇒3A π=。

∵C tan B tan 3=，

∴331412-=--=-+-

=+-=C

tan C

tan C tan B tan C tan B tan )C B tan(A tan

∴03433=--C tan C tan 2

，解得3

613

24±=

C tan ，

∵C tan B tan 3=， ∴C tan B tan >，则C 为锐角， ∴3

613

24+=

C tan ①

∵C tan B tan 3=，∴

C cos C

sin B cos B sin 3=， ∴)C tan (C cos C sin C cos )(C cos )C (

cos C

cos B

cos C sin B sin 2

3213232133233+-=+⋅-⋅=-⋅==π②

把①代入② 中得

2131+-=C sin B sin , 即2

13

1+-=AB AC 解法一比较繁琐，如果借助向量，就有“四两拨千斤”之功效了。于是有下列解法二。 解法二：A cos c 2A cos b B cos a ⋅=⋅+⋅，由正弦定理 2

1=

A cos ⇒3A π

=。

过A 作,BC AD ⊥交BC 于点D ,如图，由C tan 3B tan =⇒

AD

3BD AD ⋅=⇒BD 3CD =⇒AB AC AD 4

3

41+=

,而AB AC BC -= ⊥ 0=•∴

即

•

+（AB AC 4341（AB AC -=0⇒4

3

212-•+|AB |AC AB |AC |41||||BAC cos ||||⋅=

∠⋅⋅=•2

1

0||3||AC |||22=-⋅+∴

032=-+

∴|

AB |)|

AB |⇒2

13

+-=

1（负值舍去）