涉及变限积分的隐函数求导
涉及变限积分的隐函数求导方案
相关例题1
设 x y2 yx cost2 dt ，求 d y ．
0
dx
解答：
在方程两端对 x 求导，得
1 2 yy y 1cosy x2 ，
从而解得
y
1 cosy x2 cosy x2 2y
cosy x2 2 y 0 ．
题目
设 2x tanx y xy sec2 t dt x y， 0
求 d2 y ． d x2
解题方法1
利用隐函数求导法和积分上限函数的求导 公式，求得隐函数的导数．
解题步骤1
等式两端对 x 求导，得
2 sec2x y 1 y sec2x y 1 y ， 解得 y sin2x y．从而
因此
d
y
cos t
1
(1 e1sin t
)．
d x 4t
相关例题3
设 y et2d t xy sin 1 t2 d t 0 ，求 d y ．
0
0
dx
解答：
两端对 x 求导得
ey2 y sin 1 x2 y2 y xy 0，
从而解得
y
y sin(1 x2 ey2 x sin(1
y2) x2 y2)
(
e y2
xsin
1
x2
y2
0 )．
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
积分变限函数求导公式
积分变限函数求导公式分变限（IntegrationByParts）是一种利用积分计算积分形式的方法，它可以将复杂的积分问题简化为计算几个基本函数的积分问题。
积分变限有许多应用，例如估计确定型积分，解决积分方程以及分析带有参数的变分问题等。
在学习积分变限的过程中，求导是一个重要部分。
首先，让我们来看看积分变限的求导公式。
对于二元函数$f(x,y)$，积分变限的求导公式为：$$frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} int_{a}^{b} f(x,y)mathrm{d}y = f(x,b)-f(x,a) + int_{a}^{b}frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$$这里，$a$和$b$是某一区间$[a,b]$上$f(x,y)$的定义域中的两端点，$f(x,y)$是在定义域内有定义的函数，$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$是此函数在定义域内的变量$x$的偏导数。
从上述公式中，可以看出，积分变限的求导结果分为两部分：首先，计算$f(x,b)-f(x,a)$，其结果即为上式右端第一项；其次，计算$int_{a}^{b} frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，其结果即为上式右端第二项。
若要求出上式右端第二项，即$int_{a}^{b}frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，就需要求出函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，将其代入上式，即可求得积分变限的求导结果。
为了求得函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，我们需要使用泰勒展开公式（Taylor’s Formula）。
泰勒展开公式是个关于多变量函数的展开公式，它可以把一个具有多个变量的函数展开为更多函数的和。
对变限积分求导
对变限积分求导
对于变限积分，即积分的上下限是变量的函数形式，我们可以使用Leibniz积分法则对其进行求导。
设函数F(x,t)满足F'(x,t) = f(x,t)，其中f(x,t)是连续函数。
则对
于下限为a(x)、上限为b(x)的变限积分∫[a(x),b(x)]f(x,t) dt，求
导结果可表示为：
d/dx ∫[a(x),b(x)]f(x,t) dt = F(x,b(x)) * b'(x) - F(x,a(x)) * a'(x) +
∫[a(x),b(x)]∂f(x,t)/∂x dt
其中，∂f(x,t)/∂x为偏导数。
这个公式可以理解为首先对积分上限b(x)求导，乘以F(x,b(x))，然后对积分下限a(x)求导，乘以-F(x,a(x))，最后加上对函数
f(x,t)对x的偏导数∂f(x,t)/∂x的积分。
需要注意的是，在应用Leibniz积分法则时，要保证积分上限
和下限的函数在所求的区间内是连续可导的，积分上下限的导数存在且连续。
隐函数求导法则(2)
根据变上限积分求导公式有
ex sin(x z) (1 dz ),
xz
dx
dz 1 ex (x z) , dx sin(x z)
所以，du dx
f1'
y x
f
' 2
[1
ex (x sin( x
z) z)
]
f3'
.
12
2. 二元隐函数F(x, y, z) 0求导公式
解 令 F(x, y) ln x2 y2 arctan y x
1 ln(x2 y2 ) arctan y
Fx
(
x,
y
)
2 2x 2(x2 y2 )
Fy( x, y)
y x2
1 y
y2 xx2
x2 y2
,
x x2
x
y y2
,
则
dy Fx x y .
dx Fy y x
9
例3 设u f (x, y, z)有连续一阶偏导数，又
1
问题1 是不是所有的二元方程都能确定一个
隐函数？
不是。 例如：x2 y2 c 0
当c 0时，不能确定一个隐函数。
当c 0时,能确定一个隐函数。
问题2 是不是所有的隐函数都可以显化成显函数？
不是。 例如：2x y3 1 0
y 3 2x 1
x ln( xy) 不能显化为显函数 y
显函数
x
x y
y
z yz z xz x ez xy , y ez xy ,
dz
z x
dx
z y
dy
ez
yz xy
积分变限函数求导的基本方法
善ｒ一
导类型及 方法概括 总结 ，并 详细解答 例题 ，帮助学生深 刻理解积 分
变限函数的实质及 内涵 ，击破难点 。
：
：
１积分变 限函数基本 求导公式
积分变限函数求导 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基本原理是 以下五个公式【３Ｊ：
因为 ｆ（０）＝１，ｆ （０）≠０，分子 的极 限值为 ０，若满 足同阶无穷
科 技 论 坛
·２７·
积分变 限函数 求导的基本 方法
秦 琳 （北京科技大学天津学院，天津 ３０１８３０）
摘 要 ：本 文总结 了积分 变限函数 的基 本 求导公式 ，研 究 了被积函数 中含 有参变量的积分 变限函数 求导 问题 ，并结合 实例做 了详 细 演算 ，能帮助 学生突破积分 变限函数求导这一难点。
参 考 文 献
Ｆ（ ）＝ｅ口 ，（ｘ，，）＝ｒａ ｇ（ ·ｈ（ｔ）ｄｔ＝ｇ（ ）－．’ｆ ￣ｈ（ｔ）ｄｔ，那么
【１】卢亚丽等．变限积分 函数 求导方法研 究［Ｊ】．河南教 育学院学报 （自
然科 学版 ），２００４（３）：４—６．
Ｆ （ ＝ｇ ）·ｒ （ｆ） ＋ｇ（ ）·（ｅ （ｆ）鳓 ＝ｇ （ ）Ｃ万（ ＋ｇ（ｘ） （ｘ）． 【２】同济大学数 学系．高等数学【Ｍ】．北京 ：高等教育 出版社 ，２０１４．
其基 本原理 ，是 ｇ（ｘ）不参 与积分运算 ，将其提 到积分号前面 ，然 ［３】吕继荣等．关于变限积 分函数 求导问题 的研 究与应 用［Ｊ］．数 学学 习
后利用乘 积的求导 法则求解 。
与 研 究 ．２０１５（１９）：１３４—１３７．
例 ２（２０１２天津 大学生数学 竞赛 ）·设 函数 ｆ（ｘ）有 连续导数 ，ｆ（０）
多重变限积分求导
多重变限积分求导摘要：1.多重变限积分的概述2.多重变限积分的求导方法3.多重变限积分求导的实例解析4.多重变限积分求导在实际问题中的应用正文：一、多重变限积分的概述多重变限积分是指在多维空间中，对一个函数关于多个变量进行积分的一种运算。
多重变限积分广泛应用于数学、物理等科学领域，它是研究多元函数的性质及其在空间中的分布规律的重要工具。
在多重变限积分中，求导是一种基本的运算方法，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
二、多重变限积分的求导方法求导是微积分的基本运算之一，对于多重变限积分，我们可以通过以下方法进行求导：1.利用隐函数求导法则：当多重变限积分可以转化为一个隐函数时，我们可以利用隐函数求导法则进行求导。
2.利用参数方程求导法则：当多重变限积分的被积函数可以表示为参数方程时，我们可以利用参数方程求导法则进行求导。
3.利用重积分的求导法则：当多重变限积分可以转化为重积分时，我们可以利用重积分的求导法则进行求导。
三、多重变限积分求导的实例解析下面我们通过一个具体的例子来说明多重变限积分的求导方法：例：设函数f(x,y) = x^2 + y^2，求f(x,y) 关于x 的偏导数。
解：我们可以将f(x,y) 看作是一个隐函数，即y = sqrt(x^2 + z^2)，那么对x 求偏导数，得到：f/x = 2x四、多重变限积分求导在实际问题中的应用多重变限积分求导在实际问题中有广泛的应用，例如在物理学中，求解物体受力的问题就需要用到多重变限积分求导；在经济学中，求解成本函数的最小值也需要用到多重变限积分求导。
通过求导，我们可以更好地理解函数的变化规律，从而解决实际问题。
总结：多重变限积分求导是微积分中的一个重要内容，它为我们研究多元函数的性质及其在空间中的分布规律提供了有力的工具。
变上限积分求导规则
变上限积分求导规则
变上限积分求导如下：
当积分上限为被积函数的自变量时，变限积分在某一点的导数等于被积分函数在这一点的值，就是说积分这一点的增量为被积分函数在这一点的值乘以自变量增量区间大小，求导求出来的就是这一点的导数即为被积分函数在这一点的值。
自变量增量区间为某个函数时，此函数也需要进行求导方可平衡。
变上限积分求导公式：即∫f（t）dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g（x）=∫f（t）dt （积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。
现在用导数定义求g'（x），根据定义，g'（x）=lim【∫f（t）dt-∫f（t）dt】/h （h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f（t）dt/h（积分限x 到x+h，根据的是积分的区间可加性）。
根据积分中值定理，存在ξ属于（x，x+h），使得∫f（t）dt/h=f（ξ）h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf（ξ）h/h=f（x），至此证明了g'（x）=f（x）。
变限积分求导公式总结
上限为a(x),下限为b(x)y=(a(x),b(x))∫f(t)dt已知f(x)原函数是F(x),F'(x)=f(x)（观察y=(a,b)∫f(t)dt=F(a)-F(b),括号里跟着代入就行了）所以y=(a(x),b(x))∫
f(t)dt=F[a(x)]-F[b(x)]两边求导
y'=(F[a(x)])'-(F[b(x)])'=F'[a(x)]a'(x)-F'[b(x)]b'(x)
如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是积分变限函数。
积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。
积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用。
连续性
【定理一】若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。
导数定理
【定理二】如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：
注：
（1）区间a可为-∞，b可为+∞；
（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。
原函数存在定理
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
变限积分求导公式总结
变限积分求导公式总结变限积分求导是微积分中的重要内容，它是对定积分的一种推广，可以用来求解一些复杂的函数导数。
在实际问题中，变限积分求导也有着重要的应用价值。
本文将对变限积分求导的公式进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 定积分的定义。
在介绍变限积分求导之前，我们首先来回顾一下定积分的定义。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n份，每份的长度为Δx，取任意一点ξi属于[xi-1, xi]，其中i=1,2,...,n。
那么定积分的近似值可以表示为：∑f(ξi)Δx。
当Δx趋于0时，这个近似值的极限就是定积分的值，即：∫[a, b]f(x)dx。
2. 变限积分的定义。
现在，我们来看看什么是变限积分。
设函数f(x, t)在区域D={(x, t)|α≤x≤β, φ(t)≤t≤ψ(t)}上连续，那么对于每一个t，函数f(x, t)在区间[α, β]上构成一个函数φ(t)到ψ(t)的函数，这个函数的积分称为变限积分，记作：∫[α, β]f(x, t)dx。
3. 变限积分的导数。
接下来，我们来总结一下变限积分的导数公式。
设函数f(x, t)在区域D={(x, t)|α≤x≤β, φ(t)≤t≤ψ(t)}上连续，且在D内具有连续的偏导数，那么变限积分∫[α, β]f(x, t)dx对于t的导数存在，且有：d/dt∫[α, β]f(x, t)dx=∫[α, β]∂f/∂t dx+ f(β, t)ψ'(t) f(α, t)φ'(t)。
其中∂f/∂t表示对f(x, t)关于t的偏导数。
这个公式就是变限积分的导数公式，它可以帮助我们求解一些复杂的函数导数。
4. 示例分析。
为了更好地理解变限积分的导数公式，我们来看一个具体的例子。
考虑函数f(x, t)=x^2+t在区域D={(x, t)|0≤x≤t, 0≤t≤1}上，我们要求∫[0, t]x^2+t dx对t的导数。
关于变上限积分函数及N-L公式的探讨
关于变上限积分函数及N-L公式的探讨张惠芳【摘要】变上限积分函数是定积分内容中较难的题型之一,由于变上限积分函数情况比较复杂,知识点涉及的面较广,解题起来比较困难.文章针对微积分学中经常出现的变上限积分函数的题型,阐述了几种常见解题常用方法以及所用到的知识点.【期刊名称】《安顺学院学报》【年(卷),期】2016(018)004【总页数】3页(P122-124)【关键词】变上限;N-L公式;积分函数【作者】张惠芳【作者单位】扬州工业职业技术学院,江苏扬州225127【正文语种】中文【中图分类】O1721. 定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若对∀x∈[a,b]，定积分存在，且对每一个x∈[a,b]，都有一个积分值与之对应，则称是积分上限x的函数，记作F(x)，其定义域是区间[a,b]. 即].2.几何意义积分上限函数F(x)表示右侧一边可以变动的曲边梯形aACx的面积.它的面积随右侧一边的位置x而改变.当x给定后，这条边也就确定了，面积F(x)也随之而定，因而F(x)是x的函数(图1).3.变上限积分函数与不定积分的关系若f(x)在[a,b]上可积，则是f(x)的一个原函数，且4.微积分学基本定理定理(N-L公式) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则定理若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.即注若f(x)连续，u(x),v(x)可导，则1.变上限积分函数与极限例1 已知，求正的常数a和b。
解而，所以，故而b=1,故而a=2注本题是已知极限求待定常数的问题，由变上限积分的定义及定积分的规定知，本题是属于未定型的极限问题，可用L’Hos pital法则求解。
2.变上限积分函数与隐函数求导例2 已知由方程确定y为x的函数，求解对(1)式两边关于x求导故而注题中的隐函数，注意求导时用到复合函数求导链式法则。
涉及变限积分的隐函数求导方案
涉及变限积分的隐函数求导方案隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它用于求解含有隐含变量的方程的导数。
在计算中，有时会遇到含有变限积分的隐函数，这时需要采用变限积分的链式法则来求导。
本文将介绍涉及变限积分的隐函数求导方案，并给出详细的步骤和示例。
一、变限积分的求导法则在介绍隐函数求导方案之前，首先需要了解变限积分的求导法则。
对于形如\[ F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt \]的变限积分，其中$a(x)$和$b(x)$是$x$的函数，$f(x,t)$是$x$和$t$的函数。
根据变限积分的求导法则，有：\[ F'(x)=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdota'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{{\partial f(x,t)}}{{\partial x}}dt \]其中，$b'(x)$和$a'(x)$分别表示$b(x)$和$a(x)$的导数。
当需要求解包含变限积分的隐函数的导数时，可以采用如下步骤：步骤1：首先，对隐函数两边同时对$x$求导。
\[ \frac{{d}}{{dx}}(F(x))=\frac{{d}}{{dx}}\left(\int_{a(x)}^ {b(x)}f(x,t)dt\right) \]根据变限积分的求导法则，有：\[ F'(x)=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdota'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{{\partial f(x,t)}}{{\partial x}}dt \]步骤 2：将 $ F'(x) $ 表示为 $ \frac{{dF}}{{dx}} $，即：\[ \frac{{dF}}{{dx}}=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdota'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{{\partial f(x,t)}}{{\partial x}}dt \]步骤3：根据隐函数的定义，将$F(x)$表示为$y$，即$y=F(x)$。
变限积分函数的求导和应用
变限积分函数的求导和应用作者：朱忠华来源：《教育教学论坛》2017年第38期摘要：变限积分函数是微积分中一类具有特殊形式的函数，它是联结众多知识点的纽带，是学生学习的重点和难点，在微积分中有广泛的应用。
本文介绍了积分上限函数的概念及其特有的求导性质，并结合实例深入讲解变限积分函数的求导以及其在微积分各主要内容中的应用。
关键词：变限函数；不定积分；定积分；导数；连续中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）38-0211-03一、前言一元函数微积分[1-3]部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）。
在这六个概念中，除了不定积分，其他五个概念都是某种形式的极限，所以它们由极限联系了起来。
为了要说明不定积分与其他概念的联系时，引入了积分上限函数，得出了牛顿—莱布尼兹公式，从而揭示了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系，不但解决了定积分的计算问题，同时微积分的六个重要概念也就相互联系了起来[4]。
二、变限积分函数的定义与性质1.定义。
对于闭区间[a，b]上连续的函数f（x），设x为[a，b]上的任一点，定积分f（t）dt显然存在，当x在[a，b]上任意变动时，对于每一个取定的x的值，f（t）dt就有一个对应的值，这样就在[a，b]上定义了一个新的函数，称为变上限积分，又称为积分上限函数，一般记为Φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]。
这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几何解释：Φ（x）表示一个以f（x）为曲边的曲边梯形的面积，当x给一个确定的值，Φ（x）有一个确定的值，所以又称Φ（x）=f （t）dt为面积函数。
记Ψ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]称为变下限积分，又称为积分下限函数。
Φ（x），Ψ（x）统称为变限积分函数。
因Ψ（x）=f（t）dt=-f（t）dt也可化为积分上限函数，所以本文主要讨论积分上限函数的情况。
变限积分求导公式--加上自己理解
变限积分求导公式 --加上自己理解
自己理解：当积分上限为被积函数的自变量时，变限积分在某一 点的导数等于被积分函数在这一点的值，就是说积分这一点的增 量为被积分函数在这一点的值乘以自变量增量区间大小，求导求 出来的就是这一点的导数即为被积分函数在这一点的值。 自变量增量区间为某个函数时，此函数也需要进行求导方可平 衡。
变限积分求导莱布尼茨公式
变限积分求导莱布尼茨公式变限积分求导是微积分中的一个重要概念，它与莱布尼茨公式有着密切的关系。
本文将探讨变限积分的求导过程，并说明莱布尼茨公式的应用。
我们先对变限积分进行简要介绍。
在微积分中，积分是求解函数的面积或曲线的长度的一种方法。
而变限积分是指积分的上限和下限是变量的情况，即积分的结果也是一个关于变量的函数。
对于一个变限积分∫[a(x),b(x)]f(t)dt，我们希望求得它对自变量x的导数。
根据莱布尼茨公式，我们可以将求导的过程转化为对积分上限和下限求导的过程。
设F(x)为积分的结果，则根据莱布尼茨公式，我们有：d─── ∫[a(x),b(x)]f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x) + F'(x)dx其中，F'(x)是F(x)对x的导数，a(x)和b(x)分别是积分的下限和上限，a'(x)和b'(x)分别是a(x)和b(x)对x的导数。
简单来说，对一个变限积分求导的结果等于原函数在积分上限处乘以上限的导数，再减去原函数在积分下限处乘以下限的导数，最后再加上原函数对自变量的导数。
举个例子来说明。
假设我们要求解变限积分∫[0,x]t^2dt的导数。
根据莱布尼茨公式，我们可以得到：d─── ∫[0,x]t^2dt = x^2 - 0 + F'(x)dx其中，F(x)为积分的结果。
对t^2求积分得到F(x) = (1/3)t^3，将其代入上式，得到：d─── ∫[0,x]t^2dt = x^2 + (1/3)x^3dx这样，我们就求得了变限积分∫[0,x]t^2dt的导数为x^2 + (1/3)x^3。
莱布尼茨公式的应用不仅限于变限积分的求导，还可以用于求解其他类型的积分。
例如，我们可以将莱布尼茨公式推广到多个变量的情况下，得到多元函数的求导公式。
总结起来，变限积分的求导可以利用莱布尼茨公式，将求导的过程转化为对积分上限和下限求导的过程。
第11讲 积分变上限函数及性质
则
x tf (x2 t2 )dt
0 f (u)( du ) 1
x2
f (u)du
0
x2
2 20
所以原式 (1 x2 f (u)du) f (x2 ) x 。
20
题型 2：有关积分变上函数极限与连续的命题：
例 1：求正常数 a 与 b ，使等式 lim 1
x t2 dt 1 成立。
0
x
x
x
F(0) lim F (x) F (0) lim
x0 x 0
x0
0
f (u)du x2
lim
x0
f (x) 2x
1
题型 4：有关积分变上函数导数的应用问题：
例 1：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，在区间 (a, b) 内可导，且 f (x) 0 ，证明函
x0 bx sin x 0 a t 2
解： 由罗比塔法则得
x2 原式 lim a x2
x0 b cos x 由于分子极限为零，且原式极限为1，所以 b 1，从而有
x2
原式 lim a x2 1 lim x2 2 1
x0 b cos x
a x0 1 x2
a
2
所以 a 4 。
例 2：设 f ( x )
dx g (x)
公式 2： d
(
x g(x) f (t)dt) g(x)
x
f (t)dt g(x) f (x) ；
dx a
a
公式 3：
d
(
x
f ()dt) ，其中 是 x, t 的二元函数，一般通过换元，即令 u ，最
dx a
终转化为公式 1 的形式。
题型 1：直接对积分变上函数求导：
变限积分求导公式四个
变限积分求导公式四个一、复合函数的求导法则设函数y=f(u)和u=g(x)都有导数，则复合函数y=f(g(x))的导函数为：dy/dx = dy/du * du/dx二、反函数的求导法则设函数y=f(x)的反函数为x=g(y)，其中f'(x)≠0，则反函数的导函数为：dy/dx = 1 / (dx/dy)三、隐函数的求导法则设方程F(x,y)=0确定了y作为x的函数，则可通过隐函数求导法则求出y'：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)四、参数方程的求导法则设曲线的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，则有：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)dz/dx = (dz/dt) / (dx/dt)下面我们来详细解释一下每个公式的应用和推导过程。
一、复合函数的求导法则复合函数指的是将一个函数作为另一个函数的参数或者自变量。
设函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)和g(x)都有导数，则复合函数y=f(g(x))的导函数为：dx du--*--dy dx例如，设y=sin(2x)，u=2x，则有dy/du = cos(u)和du/dx = 2、代入复合函数求导公式得到：dy/dx = dy/du * du/dx = cos(u) * 2 = 2cos(2x)二、反函数的求导法则反函数是指若y=f(x)为一一对应的函数，且其导数f'(x)≠0，则函数x=g(y)为反函数，反函数的导函数为：dy-- = 1 / dxdxdy=----dx例如，设y=x^2，求其反函数x=√y在y=4处的导数。
代入反函数的求导公式得到：dx 1 1 1--=--=----=----=0.5dy 2√y 2√4 2√4 2三、隐函数的求导法则隐函数是指由方程F(x,y)=0确定的y作为x的函数。
设方程F(x,y)=0，其中∂F/∂y≠0，则隐函数的导数为：dy - (∂F/∂x)--=-----------dx (∂F/∂y)例如，设x^2+y^2=1，则有∂F/∂x=2x，∂F/∂y=2y。
变限积分求导公式
变限积分求导公式变限积分求导公式是微积分中的一个重要内容，通过这些公式可以简化积分运算，方便地求出函数的导数。
本文将详细介绍常见的变限积分求导公式，并通过实例进行说明。
首先，我们回顾一下变限积分的定义及其求导的基本性质。
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上定义，我们可以将其积分表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$其中，$a$和$b$是积分的上下限，$dx$表示在$x$方向上的微小增量。
求取这个积分的导数称为变限积分求导。
在求解变限积分求导时，我们通常采用求导中的基本运算法则和求积分中的一些特殊性质。
下面，我们将介绍一些常见的变限积分求导公式：1. 基础公式：对于常数函数$c$，其变限积分求导结果为零，即$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}cdx=0$$这是由于在区间$[a,b]$上$c$是一个常数，其导数为零。
2. 可加性公式：如果函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上都是可导的，那么变限积分的求导满足可加性，即$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}\left[f(x)+g(x)\right]d x=\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x)dx+\frac{d}{dx}\int_{a}^ {b}g(x)dx$$这是由于求导是线性运算的性质。
3. 换元公式：对于函数$f(x)$和$g(x)$，如果相等关系$x=g(t)$成立，并且$g'(t)$存在且连续，那么有$$\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt=\int_{g(a)}^{g(b)}f( x)dx$$利用此公式，可以将变限积分的求导转化为函数求导的问题。
4. 积分级数公式：如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上存在$x$的幂级数展开形式$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...$$其中，$a_0,a_1,a_2,...$是常数，并且级数在区间$[a,b]$内一致收敛，那么有$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}f(x)dx$$这是由于可积函数的级数展开形式的求导结果与对应的级数展开形式的求导结果相等。
隐函数求导问题的方法总结
隐函数求导问题的方法总结在微积分中，斜率是重要的概念。
它表明一个函数在某个点发生变化时，函数另一个参数的变化量。
在微积分中，求斜率就是求导，这是微积分中最常见的问题，也是学习微积分的基础。
求导的方法有很多种，但是在某些情况下可能出现隐函数的情况，而求解隐函数求导就比较困难，尤其是函数中有多个隐函数，一般情况下，很难一次性求出所有隐函数的导数。
首先，在求导之前，需要将隐函数显式化，从而简化计算。
比如，若有f（x）= y2+2xy-1，其中y是一个隐函数，那么可以将f （x）= (y+1)2-2，将f（x）显式化后，求y的导数则变得简单，可以用隐函数法求得。
其次，如果隐函数有多个，这样的情况就比较复杂。
一般情况下，推荐使用局部导数的方法，也就是把所有函数限制在某一个点，然后分别求各个函数的局部导数，直到求出所有隐函数的导数，局部导数法特别适用于多变量、多个隐函数的情况。
另外，对于非线性的隐函数求导，可以使用链式法则来进行求导。
这种方法要求对每个变量都求得一个导数，然后根据链式法则将这些导数进行组合，得到总的导数，链式法则很容易并且计算量不大，适用于各种多变量的情况。
最后，可以使用函数的分部展开的方法来求解隐函数求导。
这种方法要求将隐函数先转化为一个级数，然后求出各项系数，最后根据分部展开法则求出导数。
这样求出来的导数比较准确，所以使用分部展开的方法来求解隐函数求导是一个不错的选择。
总之，求隐函数求导的方法有很多，以上是其中的几种，选择正确的求导方法可以加快计算速度，提高计算精度，使求导过程更加顺利。
另外，学习微积分时，要多加练习，熟练掌握各种求导方法，才能使得解决问题更加轻松。
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y sin2x y 1 y
sin2x y cos2 x y ．
常见错误
对积分上限函数中的两个变量 x 和 y 不能区
分自变量和隐函数，从而在隐函数求导时出错．
方法总结
认定 y 是 x 的隐函数，利用积分上限函数的
2
cos y x 2 y 0．
2
相关例题2
已知 y
1 sin t 1
(1 e ) d u ，其中 t t x 由
1 u
x cos2v , dy 确定，求 ． dx t sin v
解答： 1 dy dt 1sin t (1 e ) cost ， dx dx dt (sin v) cosv 1 1 ， 而 4 sin v 4t d x (cos2v) 2 sin 2v
因此
dy cost (1 e dx 4t
1 1 sin t
)．
相关例题3
设 e dt
t2 0 y xy 0
dy ． sin 1 t d t 0 ，求 dx
2
解答：
两端对 x 求导得
e y sin 1 x 2 y 2 y xy 0 ，
题
目
设 2 x tanx y
x y 0
sec2 t d t x y ，
d2 y 求 2． dx
解题方法1
利用隐函数求导法和积分上限函数的求导 公式，求得隐函数的导数．
解题步骤1
等式两端对 x 求导，得
2 sec2 x y 1 y sec2 x y 1 y ，
y2
从而解得
y
y sin(1 x 2 y 2 ) e x sin(1 x y )
2 2 y2
( e x sin 1 x 2 y 2 公式和隐函数求导法，求得结果．
相关例题1
设x y
2 yx 0
dy ． cost d t ，求 dx
2
解答：
在方程两端对 x 求导，得
2 1 2 yy y 1cos y x ，
从而解得
1 cos y x y 2 cos y x 2 y