涉及变限积分的隐函数求导
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求导公式和隐函数求导法，求得结果．
相关例题1
设x y
2 yx 0
dy ． cost d t ，求 dx
2
解答：
在方程两端对 x 求导，得
2 1 2 yy y 1cos y x ，
从而解得
1 cos y x y 2 cos y x 2 y
2
cos y x 2 y 0．
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相关例题2
已知 y
1 sin t 1
(1 e ) d u ，其中 t t x 由
1 u
x cos2v , dy 确定，求 ． dx t sin v
解答： 1 dy dt 1sin t (1 e ) cost ， dx dx dt (sin v) cosv 1 1 ， 而 4 sin v 4t d x (cos2v) 2 sin 2v
因此
dy cost (1 e dx 4t
1 1 sin t
)．
相关例题3
设 e dt
t2 0 y xy 0
dy ． sin 1 t d t 0 ，求 dx
2
解答：
两端对 x 求导得
e y sin 1 x 2 y 2 y xy 0 ，
y2
从而解得
y
y sin(1 x 2 y 2 ) e x sin(1 x y )
2 2 y2
( e x sin 1 x 2 y 2 0 )．
y2
题
目
设 2 x tanx y
x y 0
sec2 t d t x y ，
d2 y 求 2． dx
解题方法1
利用隐函数求导法和积分上限函数的求导 公式，求得隐函数的导数．
解题步骤1
等式两端对 x 求导，得
2 sec2 x y 1 y sec2 x y 1 y ，
2 解得 y sin x y ．从而
y sin2x y 1 y
sin2x y cos2 x y ．
常见错误
对积分上限函数中的两个变量 x 和 y 不能区
分自变量和隐函数，从而在隐函数求导时出错．
方法总结
认定 y 是 x 的隐函数，利用积分上限函数的
相关例题1
设x y
2 yx 0
dy ． cost d t ，求 dx
2
解答：
在方程两端对 x 求导，得
2 1 2 yy y 1cos y x ，
从而解得
1 cos y x y 2 cos y x 2 y
2
cos y x 2 y 0．
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相关例题2
已知 y
1 sin t 1
(1 e ) d u ，其中 t t x 由
1 u
x cos2v , dy 确定，求 ． dx t sin v
解答： 1 dy dt 1sin t (1 e ) cost ， dx dx dt (sin v) cosv 1 1 ， 而 4 sin v 4t d x (cos2v) 2 sin 2v
因此
dy cost (1 e dx 4t
1 1 sin t
)．
相关例题3
设 e dt
t2 0 y xy 0
dy ． sin 1 t d t 0 ，求 dx
2
解答：
两端对 x 求导得
e y sin 1 x 2 y 2 y xy 0 ，
y2
从而解得
y
y sin(1 x 2 y 2 ) e x sin(1 x y )
2 2 y2
( e x sin 1 x 2 y 2 0 )．
y2
题
目
设 2 x tanx y
x y 0
sec2 t d t x y ，
d2 y 求 2． dx
解题方法1
利用隐函数求导法和积分上限函数的求导 公式，求得隐函数的导数．
解题步骤1
等式两端对 x 求导，得
2 sec2 x y 1 y sec2 x y 1 y ，
2 解得 y sin x y ．从而
y sin2x y 1 y
sin2x y cos2 x y ．
常见错误
对积分上限函数中的两个变量 x 和 y 不能区
分自变量和隐函数，从而在隐函数求导时出错．
方法总结
认定 y 是 x 的隐函数，利用积分上限函数的