高斯投影及高斯投影 坐标系

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3.1.3 地图投影的分类
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习
题
1. 给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。 2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。 3. 变形主方向有什么性质？
4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？
5. 地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？
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§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影

a 2 x2 b2 y 2 x2 y2
a 2 cos 2 b 2 sin 2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
3、方向变形与角度变形 某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有：
y1 by b tg1 tg x1 ax a
由三角公式，得：
tg1 tg tg1 tg sin(1 ) ba sin(1 ) tg a cos1 cos ba sin(1 ) tg a cos1 cos ba sin(1 ) ba
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3.1.2 地图投影变形及其表述
长度比与1之差，称为长度变形，即：
vm m 1 ds dS dS
vm>0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。
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3.1.2 地图投影变形及其表述
2、主方向和变形椭圆 主方向：在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向称为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
显然，当 +1 = 90°或 270 °时，方向变形最大
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3.1.2 地图投影变形及其表述
若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：
umax
顾及：
ba arcsin ba
' 1 '
tg1' tg (90 ' ) ctg ' b tg tg ' a
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3.1.3 地图投影的分类
2、按采用的投影面和投影方式分类 (1). 方位投影 投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定 条件将椭球面上的物投影到平面上。
x cos f ( Z ) cos y sin f ( Z ) sin
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3.1.3 地图投影的分类
2 ds2 mL .( N cos Bdq) 2
2mB mL N 2 cos2 B cosdqdl
2 mB .( N cos Bdl) 2
dS
A
N cos Bdq
ds

N cos Bdqm L
N cos Bdl
对照第一基本形式，得：
2 2 E mL ( N cos B)2 G mB ( N cos B)2
使长度比为极值的方向：
2mB mL cos tg 2 A0 2 2 mB mL
1
2
由三角公式得：
cos 2 A0 1 tg 2 A0
2 2 mL mB 2 2 2 2 2 ( mB mL ) 4 mL mB sin 2
sin 2 A0 1 cos2 2 A0
显然，当 +1 = 90°、 + 1 = 270 °或 +1 = 270°、
+ 1 = 90 °时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：
max arcsin
ba ba ba arcsin 2 arcsin b a b a b a
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3.1.2 地图投影变形及其表述
4、面积比与面积变形 椭球面上单位圆面积为 ，投影后的面积为ab， 则面积变形为：
n ab / ab Vn n 1 ab 1 n mL mB sin
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3.1.3 地图投影的分类
1、按投影变形的性质分类
(1). 等面积投影 ab=1 (2). 等角投影 a=b (3). 等距离投影 某一方向的长度比为1。
2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
E 当A=0°或180 °，得经线方向长度比： mL N cos B
G 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： mB N cos B
要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G，
则长度比可表示为：
E G m N cos B N cos B
3.1.2 地图投影变形及其表述
若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴 和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：
P x, y P 1 x1 , y1


椭球面上
x1 ax y1 by, x y 1
2 2
投影面上
x12 y12 2 1 2 a b
m
x12 y12 x2 y2
2 2 2 2 2
2
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
0
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
对应的椭球面上的弧长相同。
3
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
0
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
(2). 正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投 影)、或相割(割圆柱投影) 切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成
一组平行直线，经线投影成与纬线正交
的另一组平行直线。 割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。
2 m0
1 2 2 2 2 2 2 2 ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2
因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：
1 2 2 2 2 2 2 2 ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2 a2
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3.1.3 地图投影的分类
横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。 斜轴圆柱投影：用于小比例尺投影，将地球视为圆球， 投影圆柱体斜切于圆球进行投影。
(3). 圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上
物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。 根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。
§3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关系
xF 1 ( B, L ) y F2 ( B, L)
因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必 然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方 法，对应于不同的投影。
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3.1.2 地图投影变形及其表述
对应的椭球面上的弧长相同。
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
0
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
根据微分几何，其第一基本形式为：
ds2 Edq2 2Fdqdl Gdl2
其中：
x 2 y 2 E( ) ( ) q q x x y y F ( )( ) ( )( ) q l q l x 2 y 2 G( ) ( ) l l
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3.1.2 地图投影变形及其表述
N cos BdlmB
且：
F mB mL N 2 cos2 B cos
cos
F EG
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3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
2 2 m 2 mL cos2 A mB mL cos sin 2 A mB sin 2 A
d 2 2 2 若使： (m ) mL sin 2 A0 2mB mL cos cos 2 A0 mB sin 2 A0 0 dA
对应的椭球面上的弧长相同。
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3.1.2 地图投影变形及其表述
引入等量纬度后，投影公式为：
x f1 (q, l ) y f 2 (q, l )
其中：l = L - L0 求微分，得：
x dx dq q y dy dq q x dl l y dl l
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3.1.2 地图投影变形及其表述


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3.1.2 地图投影变形及其表述
不难得出下列关系：
2 2 a 2 b 2 mB mL
ab mL mB sin
2 2 (a b)2 mL 2mL mB sin mB 2 2 (a b)2 mL 2mL mB sin mB
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2mL mB cos
2 2 2 2 2 (mB mL ) 4mL mB sin 2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
由此得，长度比极值为：
2 2 2 2 mB mL mL mB m cos 2 A0 mB mL cos sin 2 A0 2 2 2 0
将三角展开式代入得：
' 1
解得最大变形方向为：
a tg b
'
b , tg a
' 1
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3.1.2 地图投影变形及其表述
两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：
( 1 1 ) ( ) arcsin
b a b a sin(1 ) arcsin sin(1 ) b a b a
2 2 2 2
由第二式解得：
y y x q l x l q
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1
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
代入第一式，得：
x q
2
y 2 2 2 y y l x 2 q q q x q x y l q
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足 条件E = G, F = 0，即：
x y x y q q l l x x y y 0 q l q l
1、投影长度比、等量纬度及其表示式
长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。
ds m dS
投影平面上微分长度： 椭球面上微分长度：
ds dx dy
2 2
2 2 2
2
M 2 dB2 2 dS M dB N cos BdL N cos B( 2 dL ) 2 N cos B N 2 cos2 B(dq2 dL2 )
则，长度比公式为：
2 2 2 ds Edq 2 Fdqdl Gdl m2 2 dS N 2 cos2 B(dq2 dl 2 )
N cos Bdl dl 将 tgA 代入上式，得： MdB dq
E cos2 A 2 F cos A sin A G sin 2 A m N 2 cos2 B
2 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
即为 :
x y 考虑到导数的方向，开方根得： q l
再代入 1 式，得：
x y l q
2 3
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3.2.1 正形投影的概念和投影方程
2 ，3 式称为Kauchi-Rimann方程，满足 该方程的复变函数为解析函数，可展开成幂