函数的单调性

从上面的观察分析，能得出什么结论？ 从上面的观察分析可以看出：不同的函数， 其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上 变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是 函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的 一个重要性质——函数的单调性．
函数的单调性
以二次函数 f （ x ）＝ x2 为例，列出 x ， y 的对 应值表． … －4 －3 －2 －1 0 9 4 1 0 4 … 16 …
已知函数 f(x)＝kx2－4x－8 在[5， 20]上是单调函 数，求实数 k 的取值范围．
【思路探究】 首先对二次项系数 k 是否为零进行分类 讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．
29
【自主解答】 当 k＝0 时，f(x)＝－4x－8，其在[5，20] 上是单调减函数， 所以 k＝0 符合题意． 当 k≠0 时，有两种情况： 2 2 ①k>0 时， 要使 f(x)在[5， 20]上单调， 必有 5≥ 或 20≤ ， k k 2 1 即 k≥ 或 0<k≤ . 5 10 ②k<0 时，显然[5，20]在对称轴右侧是单调减区间，所 以 k<0 成立． 1 2 综上可知，实数 k 的取值范围是{k|k≤ 或 k≥ }． 10 5
16
7.并不是所有函数都具有单调性，有的函数不 具有单调性（如y=2，y=x(x∈0,1,2)) 8.函数单调性定义中的, x1 ，x2 必须满足任意性， 不可以随意取两个特殊值。
函数单调性的几何意义：
单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升 单调减区间：在定义区间上图像从左到右下降
17
想一想
判断下列说法是否正确 1、如果对于区间（a，b）上 存在 x1 x 2，使得f (x1 ) f (x 2 ) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。 错误
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
k 分析：按题意，只要证明函数 p 在区间（0， V +∞）上是减函数即可．
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之． 证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域 （0，+∞）上的任意两个实数，且V1<V2，则 取值 k k V2 V1 pV1 pV2 k 作差变形 V1 V2 V1V2 由V1,V2 ∈（0，+∞）得V1V2>0；
30
已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(4a－3)>f(5＋ 6a)，则实数 a 的取值范围是________．
【解析】 由题意得，4a－3>5＋6a，即 a<－4. 【答案】 (－∞，－4)．
31
因混淆“单调区间”和“区间上单调”两个概念致误 若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4 的单调递减区间 是(－∞，4]，则实数 a 的取值范围是________．
2 f ( x1 ) x1 ， f ( x2 ) x2 ，当 x1 < x2时,有f ( x1 ) f ( x2 )， 这时，就说函数f（x）＝x2在区间（0，+∞）上是增 函数．
2
你能仿照这样的描述，说明函数 f（x）＝x2 在区间 (－∞，0]上是减函数 吗？
函数的单调性
对于二次函数f（x）＝x2 ，我们可以这样来描 述“在区间（－∞，0］上，随着x 的增大，相应的 f(x)反而减小．”： 在区间（－∞，0］上，任取两个 x1 ，x2 ，得到
f ( x1 ) x1 ，f ( x2 ) x2 ，当 x1 < x2时,有 f ( x1 ) f ( x2， ) 这时，就说函数f（x）＝x2在区间（－∞，0］上是减 函数．
2
2
函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 ，当 时，都有 ，那么就说函 数 在区间D上是增函数（increasing function）．
【正解】 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函 数图象的对称轴为直线 x＝1－a，所以有ห้องสมุดไป่ตู้1－a＝4，即 a＝－ 3.
【答案】 a＝－3
33
知识小结
本节课主要学习了以下内容： 1．函数的单调性及单调区间的概念； 2．根据定义证明函数的单调性的主要步骤．
4、若f(x)是R上的增函数，且 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则
x1 x2 。
正确
18
三、单调区间的求法：
（1）直观法：对于我们熟悉的函数，如一次 函数，二次函数，反比例函数等，可直观判断 它们的单调性，写出其单调区间 （2）图像法：能作出图像的函数我们可通过 观察法确定函数的单调区间。 （3）定义法：有些函数不能作出图像，也不 能观察出单调区间，只有用定义法来求其单调 区间，对于抽象函数单调性判断的方法
21
依据函数图象给出单调区间
例1：下图是定义在闭区间 [-5，5]上的函数 y=（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1），
[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上 是减函数， 在[－2，1），[3，5）上是增函数.
在单调区间上增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的．
注意：对函数单调性的理解
1.在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是 f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2)); 2.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是 局部概念;
y f ( x)
y 3
2 1
-5
-4
-3
-2
-1 O
1 -1
2
3
4
5 x
-2
1.如图 1－3－1 是定义在区间[－4，7]上的函数 y＝f(x) 的图象， 则函数 f(x)的单调增区间是________， 单调减区间是 ________．
图 1－3－1
23
不能作函数图像用定义法求解函数单调性及单调区间
函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 ，当 时，都有 ，那么就说函 数 在区间D上是减函数（decreasing function）．
函数的单调性
如果函数y＝f（x），在区间D上是增函数或 减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格） 单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
19
直观法看常见函数的单调性及单调区间
1. 一、二次函数及反比例函数的单调性： (1)一次函数 y＝kx＋b 的单调性由参数 k 决定：当 k＞0 时，该函数在 R 上是增函数；当 k＜0 时，该函数在 R 上为 减函数． k (2)反比例函数 y＝ (k≠0)的单调性如下表所示： x k 的符号 k＞0 k＜0 单调区间 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增
1.3.1 函数的单调性
实例引入
观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律吗？ ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？
实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x)=x;
①从左至右图象上升还 上升 是下降? _______ ∞，+∞)上， ②在区间(________ 随着 x的增大， f(x)的值随着 ________ 增大 ．
x
… －4 －3 －2 －1 0 9 4 1 0
1 1
2 4
3 9
4 … 16 …
f(x)＝x2 … 16
函数的单调性
如何利用函数解析式 f（x）＝x2 描述“随着x的 增大，相应的f(x)随着减小．”“随着x的增大，相 应的f(x)也随着增大．”?
函数的单调性
对于二次函数 f（x）＝x2 ，我们可以这样来 描述“在区间（0，+∞）上，随着x 的增大，相应 的 f(x)也随着增大．”： 在区间（0，+∞）上，任取两个 x1 ，x2，得到
20
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性以对称轴方程 b x＝－ 为分界线. 2a b b 在(－∞，－ )上单调递增，在(－ ，＋∞) 2a 2a a＜0 上单调递减 b b 在(－∞，－ )上单调递减，在(－ ，＋∞) 2a 2a a＞0 上单调递增 2. 当函数的单调区间不唯一时，中间用“， ”隔开，如 (－1，2)，(3，＋∞)等．
2、如果对于区间（a，b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数 f(x)在区间（a，b）上是增函数．错误 3、函数f(x)在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当 a x1 x 2 ... ... b 时，有 f (a) f (x1 ) f (x 2 ) ... ... f (b) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。 错误
3.学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是
双向使用的.
15
4.函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质。 ①这个区间可以是整个定义域
②这个区间也可以是定义域的真子集）
5.单调性讨论必须在一个区间上。 6.区间端点的写法（对于单独的一点，它的函数 值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存 在单调性问题，因此写单调区间是包括端点也可 以不包括也可以，但对于某些点无意义时单调区 2 间就不包括这些点）(如 y= x 1 y=1／x )
实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（2）f(x)=x2．
(-∞，0) 上， ①在区间 ________ 随着 x的增大， f(x)的值随着 减小 ． ________ ，+∞) 上， ②在区间 [0 ________ 随着 x 的增大， f(x) 的值随着 增大 ． ________
函数的单调性
【错解】 函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x＝1－a，由 于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此 1－a≥4，即 a≤－ 3.
【错因分析】 错解中把单调区间误认为是在区间上单 调．
32
【防范措施】
单调区间是一个整体概念，比如说函数
的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I. 而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子 集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题， 明确条件含义．
9 9 （x1－x2）（x1x2－9） f(x1)－f(x2)＝x1＋ －x2－ ＝ . x1 x2 x1x2 又∵0<x1<x2<3，∴x1－x2<0，x1x2－9<0， ∴f(x1)－f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)． 9 ∴f(x)＝x＋ 在(0，3)上为减函数． x
28
函数单调性的应用
典型例题
由V1<V2 ,得V2－ V1>0． 又k>0，于是 pV1 pV2 0
定号
下结论 即 pV1 pV2 k 所以，函数 p ,V 0, 是减函数．也就是 V p将增大． 说，当体积V减小时，压强
定义法判断函数单调性的四个步骤
27
9 试证明函数 f(x)＝x＋ 在(0，3)上的单调性． x 【证明】 任取 x1，x2∈(0，3)，且 x1<x2，则
x
1 1
2 4
3 9
f(x)＝x2 … 16
函数的单调性
对比函数 f （ x ）＝ x2 的 图象和列出的 x， y的对应值 表格，你能发现什么？
x
… －4 －3 －2 －1 0 9 4 1 0
1 1
2 4
3 9
4 … 16 …
f(x)＝x2 … 16
函数的单调性
图象在y轴左侧“下降”， 也就是，在区间 ( － ∞ ， 0] 上， 随着 x 的增大，相应的 f(x) 反而 减小； 图象在y轴右侧“上升”， 也就是，在区间 (0 ， +∞) 上，随 着 x 的增大，相应的 f(x) 也随着 增大；