工厂选址问题(数学建模论文)
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规定 2 号城市不修建仓库，即 x2 0 ，重新进行求解，并多次改变限制条件，可 得到多个解（部分解列举如下），结果发现，仓库的组合方式会发生变化，但是 仓库的个数仍为 18 个。 b.结果验证 求解结果是一个全局最优解，但不是唯一解，我们任意选取其中一组解去验 证 18 个仓库是否为全局最优解，验证方案如下： 任意选择 17 个城市修建仓库，判断能否实现集合覆盖，即在一天内将网上的订 货送达； 如果任意 17 个城市存在实现集合覆盖的方案解，说明 18 个仓库不是全 局最优解； 如果任意 17 个仓库不存在实现集合覆盖的方案解，说明 18 个仓库为 最少实现集合覆盖的方案解。 经过检验，我们发现问题一求解得到的为全局最优解，即至少需要在 18 个 城市修建仓库。
关键词：集合覆盖、0-1 整数线性规划、MATLAB、lingo、多目标规划、线 性加权法
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一、问题提出
1.知识背景
随着社会和时代的不断发展，各个企业展现出了自己旺盛的生命力，在各个 国家各个地区修建自己的工厂进行发展， 而工厂选址在某种程度上与企业的发展 与经营关系密切。 合理的工厂选址可以给企业带来极大的效益，所以在目前工厂 选址显得极为重要。 本题就是在该背景下确定仓库修建的位置和数量，以达到企 业要求的同时也达到减轻消费者负担的目的。
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S48 = c48 ; S49 = c49 ; S50 = c50 ;
c.集合覆盖模型的建立
5
令集合 A S j , j J ，假设集合 F 为集合 A 的一个集合覆盖，那么 A 中的 每一个元素都至少包含在 F ，即被 F 覆盖住[1]。 对于每一子集 S j , j 1,2,,50 ，我们引入决策变量：
城市编号
c2 c4 ຫໍສະໝຸດ Baidu10 c11 c12 c13
城市编号
c35 c38 c39 c45 c47 c50
城市名 西雅图 夏延 第蒙 波士顿 圣保罗 比林斯
5.1.4 问题一结果的分析与验证
a. 结果分析 由于 lingo 求解时只得能到一组解， 我们可以增加一些限制条件来判断是否 存在其他最优解， 如上述得到的仓库修建方案中有 2 号城市，我们在求解时可以
1, j J xj 0, j J
则可建立集合覆盖问题的 0-1 规划模型：
（5-1）
min x j
j 1
50
x j 1; i 1, 2， , 50 j:ci s j s.t x j 0,1; j 1, 2, , 50
5.1．3 问题一模型的求解 a.计算步骤：
四．问题分析
4.1 问题背景 随着社会和时代的不断发展，各个企业展现出了自己旺盛的生命力，在各个 国家各个地区修建自己的工厂进行发展， 而工厂选址在某种程度上与企业的发展 与经营关系密切。 合理的工厂选址可以给企业带来极大的效益，所以在目前工厂 选址显得极为重要。 本题就是在该背景下确定仓库修建的位置和数量，以达到企 业要求的同时也达到减轻消费者负担的目的。 4.2 分析问题 问题一针对仓库选址问题， 在各城市间运输天数的限制下，将其转换为集合 覆盖数学模型， 从而通过线性规划求得全局最优解，得到最少数量仓库的选址方 案。对于问题二，在问题一的基础上考虑消费者负担对选址的影响，建立多目标 规划模型对选址方案进行改进，重新得到了仓库建立的最优解。对于问题三，我 们确定设立工厂的指标， 建立了最优化评价模型，最终分别确定服装和娱乐设施 工厂的选址位置。
本文针对仓库选址问题， 在各城市间运输天数的限制下，建立整数线性规划 模型，得到最少数量仓库的选址方案，同时考虑到消费者负担对选址的影响，重 新建立多目标规划模型对选址方案进行改进，最后，分别建立服装和娱乐设施工 厂为以上仓库供货。 对于问题一，首先，我们将 50 个城市从 1 到 50 编号，分别以各个城市为起 点，筛选出与它公路运输需要一天的城市，以这些城市编号作为集合元素得到 50 个集合。通过建立集合覆盖问题的 0-1 规划模型，找取能覆盖 50 个城市的最 小数量集合，集合即代表修建仓库的城市。利用 lingo 软件求解，至少需要菲尼 克斯、洛杉矶、亚特兰大、博伊西、芝加哥、印第安纳波利斯、雷诺、阿布奎基、 布法罗、孟菲斯、达拉斯、里士满、西雅图、夏延、第蒙、波士顿、圣保罗、比 林斯 18 个城市修建仓库。并对结果进行了全局最优解检验。 对于问题二， 我们将修建仓库问题转化为仓库数量最少和人均消费负担最小 的多目标规划问题。通过线性加权法，将每一目标设置权重，将其转化为单目标 规划问题，利用 lingo 编程得出最优解。得到这 18 个仓库的确切位置：伯明翰, 菲尼克斯,小石城,丹佛,Wilmington,亚特兰大，雷诺，朴茨茅斯，阿布奎基，布 法罗，哥伦布，波特兰，Dallas，盐湖城，第蒙，圣保罗，比林斯，继而得到每 一仓库供应范围，根据每一仓库的服装娱乐消费之和相比较求得各仓库的规模 比。并通过改变权重进行了灵敏度分析。 对于问题三， 要求为这些仓库建立一个娱乐设施工厂和服装工厂，建设工厂 有运送成本低和竞争力大两个目标，最后都转换为要求工厂到仓库的总天数最 小，而且距离消费额负担大的仓库天数越小越好。综合考虑这两个影响因素，建 立最优化评价模型，利用 MATLAB 软件求解，得出服装工厂和娱乐设施工厂均在 第 49 个城市 Kansas City 修建。我们利用相关性分析对每个仓库的服装消费额 和娱乐设施消费两个变量进行比较，得出其相关性系数为 0.999，对两个工厂位 于同一个城市的原因进行了解释与验证。
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量以及仓库建立的城市。首先，我们将 50 个城市从 1 到 50 编号，以每一个城市 作为集合名称， 并以与它运输天数只为一天的城市作为集合元素。 仓库选址方案 即用最少的集合覆盖所有的城市，进而转换为集合覆盖问题。引进 0-1 变量来表 示是否选择该集合，即是否在它所代表的城市建立仓库。 5.1.2 问题一模型的建立 a.城市编号的确定 按照附录 1 给定的城市顺序，对城市进行编号，令第 i 个城市为
2.特殊数据的处理 观察表格中数据我们可以得到第 4 个城市和第 5 个城市以及第 30 个和第 31 个城市均属于同一个州， 我们将该州的数据均分作为该州属下各城市的人口和消 费数据。
模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 问题一的分析 问题一要求我们在网络订货一天送达的条件下， 确定仓库至少需要建立的数
2.需要解决的问题
某企业计划在美国的 50 个主要城市销售自己生产的产品， 销售在网上进行， 包括某种娱乐设施和某类服装。 现需要在这 50 个城市中的一部分城市建立仓库， 仓库选址时不仅要求网上的订货能及时送达给客户， 还要考虑消费税对消费者的 影响，我们通过建立数学模型解决下面三个问题： （1）为了使网上的订货在一天内送达，通过建立数学模型求出至少需要在 几个城市建仓库，并求出在哪几个城市建立仓库。 （2）由于网上购物需要按仓库所在地缴纳消费税，企业建仓库时要考虑为 消费者减少消费税以保持企业产品的竞争力。通过建立数学模型求解，如何在尽 可能少建仓库， 订货要保证一天内送达的基础上， 尽可能为消费者减轻消费税负 担，确定应该在哪几个城市建立仓库，并求出各仓库的规模比和它的供应范围。 （3）需要在美国建立一个娱乐设施工厂和一个服装厂为这些仓库供货，通 过建立数学模型确定这两个厂应该分别建在哪里。
由问题二知存在建立最少的仓库和最低的消费税负担， 所以我们存在两个目 标函数，我们先分别进行考虑。 a.消费税负担的衡量 对于消费者来说，他在意的是自己购买物品时所需要额外承担的消费税，故 我们用人均消费税来衡量消费者承担的消费税负担。假设在第 i 个城市修建仓 库，计算该仓库覆盖范围内的人均消费税 f j 消费税。
二.基本假设
1.假设不会因天气、路况等随机因素而影响运输天数。 2.假设由多个仓库供应的城市， 其服装和娱乐设施消费供应量由这些仓库平均分 担。
2
三.符号说明
符号 意义 第 i 个城市
j
符号
意义 第 i 个城市的人口数量 第 j 个仓库覆盖范围内的人均消费 税 数据标准化处理后的仓库数量 数据标准化处理后的各仓库平均人 均消费税 第 i 个城市到第 j 个仓库的天数 第 j 个仓库服装消费占所有服装消 费的比重 第 j 个仓库服装消费占所有娱乐设 施消费的比重
3
图 4-1 总问题分析图
4.3 数据预处理
1．运输天数的补全 附件 1 中只为各城市单向运输天数表，补全后应该为一个对称矩阵，我们通 过 MATLAB 编写程序，得到补全后的运输天数表如下： 表 4-1 补全后的运输天数表
到达 出发 1 2 3 „„ 49 50 伯明翰 菲尼克斯 小石城 „„ 堪萨斯城 比林斯 1 伯明翰 1 4 2 „„ 2 5 2 菲尼克斯 4 1 3 „„ 4 3 3 小石城 2 3 1 „„ 2 4 „„ „„ „„ 4 2 „„ 1 3 3 4 „„ 3 1 49 堪萨斯城 50 比林斯
, n s1 j 第 j 个仓库（第 j 个城市）的服装消费税率， j 1,2，
7
, n s 2 j 第 j 个仓库（第 j 个城市）的娱乐设施消费税率， j 1,2，
ci
rki
fj
S x
第 j 个仓库所覆盖的城市集合 是否选择第 j 个集合 第 i 个城市的服装消费 第 i 个城市的娱乐设施消费 第 j 个仓库（第 j 个城市）的服 装消费税率 第 j 个仓库（第 j 个城市）的娱 乐设施消费税率
j
z1 z2
d ij kf j
ky j
fzi yli
s1 j s2 j
ci , i 1,2,,50 ，编号部分结果如下：
表 5-1 城市编号表 编号
c1
城市名称 伯明翰 菲尼克斯 „„ 堪萨斯城 比林斯
c2
„„
c49
c50
b.集合的确定 对于第 j 个城市 c j ， 在补全的天数矩阵中找出与它天数为 1 的城市， 为集合
S j 的元素。列举部分集合如下；
S1 = c1, c10 , c29 , c41, c42 , c48; S2 = c2 ; S3 = c3，c29 ;
5.2.1 问题二模型的分析
第二问在第一问的基础上， 还需要考虑减少消费者承受的消费税负担，那么 问题转化为如何修建最少的仓库和保证最低的消费税负担， 进而我们可以建立多 目标规划的模型， 我们为每一个目标赋予一个权重系数，利用线性加权法把多目 标模型转化成单一目标的模型。
5.2.2 问题二模型建立
fj
i:ci S j
fzi s1 j
i:ci S j
rk
i:ci S j i
yli s 2 j
(5-3)
其中：
, m fzi 为第 i 个城市的服装消费， i 1,2， , m yli 为第 i 个城市的娱乐设施消费， i 1,2， , m ci 为第 i 个城市， i 1,2，
（5-2）
: S j 1, 2,, m ; Step1：令 J : = , S j j
* = max S , J : J j *, S : S S * j 1, 2,, m Step2：若 S j S , 则令 S j j j j j
jJ
1 j m
否则，转 Step3； Step3：输出集合覆盖 S j j J b.计算结果： 我们选用 lingo 软件（程序见附录 1）对其进行计算，计算结果为： 表 5-2 仓库修建位置表 城市名 城市编号 城市名 c15 菲尼克斯 雷诺 c18 洛杉矶 阿布奎基 c19 亚特兰大 布法罗 c 博伊西 孟菲斯 29 c31 芝加哥 达拉斯 c 34 印第安纳波利斯 里士满
B 题 工厂选址问题
姓名 学号 专业
刘琦 2015121507 交运城轨
王杨 2016117557 电气工程
袁欣 2015121481 交运城轨
电话号码 18146721773 18295984767 18297652546 QQ 1235093636 1142581599 1096784532
摘要
规定 2 号城市不修建仓库，即 x2 0 ，重新进行求解，并多次改变限制条件，可 得到多个解（部分解列举如下），结果发现，仓库的组合方式会发生变化，但是 仓库的个数仍为 18 个。 b.结果验证 求解结果是一个全局最优解，但不是唯一解，我们任意选取其中一组解去验 证 18 个仓库是否为全局最优解，验证方案如下： 任意选择 17 个城市修建仓库，判断能否实现集合覆盖，即在一天内将网上的订 货送达； 如果任意 17 个城市存在实现集合覆盖的方案解，说明 18 个仓库不是全 局最优解； 如果任意 17 个仓库不存在实现集合覆盖的方案解，说明 18 个仓库为 最少实现集合覆盖的方案解。 经过检验，我们发现问题一求解得到的为全局最优解，即至少需要在 18 个 城市修建仓库。
关键词：集合覆盖、0-1 整数线性规划、MATLAB、lingo、多目标规划、线 性加权法
1
一、问题提出
1.知识背景
随着社会和时代的不断发展，各个企业展现出了自己旺盛的生命力，在各个 国家各个地区修建自己的工厂进行发展， 而工厂选址在某种程度上与企业的发展 与经营关系密切。 合理的工厂选址可以给企业带来极大的效益，所以在目前工厂 选址显得极为重要。 本题就是在该背景下确定仓库修建的位置和数量，以达到企 业要求的同时也达到减轻消费者负担的目的。
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S48 = c48 ; S49 = c49 ; S50 = c50 ;
c.集合覆盖模型的建立
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令集合 A S j , j J ，假设集合 F 为集合 A 的一个集合覆盖，那么 A 中的 每一个元素都至少包含在 F ，即被 F 覆盖住[1]。 对于每一子集 S j , j 1,2,,50 ，我们引入决策变量：
城市编号
c2 c4 ຫໍສະໝຸດ Baidu10 c11 c12 c13
城市编号
c35 c38 c39 c45 c47 c50
城市名 西雅图 夏延 第蒙 波士顿 圣保罗 比林斯
5.1.4 问题一结果的分析与验证
a. 结果分析 由于 lingo 求解时只得能到一组解， 我们可以增加一些限制条件来判断是否 存在其他最优解， 如上述得到的仓库修建方案中有 2 号城市，我们在求解时可以
1, j J xj 0, j J
则可建立集合覆盖问题的 0-1 规划模型：
（5-1）
min x j
j 1
50
x j 1; i 1, 2， , 50 j:ci s j s.t x j 0,1; j 1, 2, , 50
5.1．3 问题一模型的求解 a.计算步骤：
四．问题分析
4.1 问题背景 随着社会和时代的不断发展，各个企业展现出了自己旺盛的生命力，在各个 国家各个地区修建自己的工厂进行发展， 而工厂选址在某种程度上与企业的发展 与经营关系密切。 合理的工厂选址可以给企业带来极大的效益，所以在目前工厂 选址显得极为重要。 本题就是在该背景下确定仓库修建的位置和数量，以达到企 业要求的同时也达到减轻消费者负担的目的。 4.2 分析问题 问题一针对仓库选址问题， 在各城市间运输天数的限制下，将其转换为集合 覆盖数学模型， 从而通过线性规划求得全局最优解，得到最少数量仓库的选址方 案。对于问题二，在问题一的基础上考虑消费者负担对选址的影响，建立多目标 规划模型对选址方案进行改进，重新得到了仓库建立的最优解。对于问题三，我 们确定设立工厂的指标， 建立了最优化评价模型，最终分别确定服装和娱乐设施 工厂的选址位置。
本文针对仓库选址问题， 在各城市间运输天数的限制下，建立整数线性规划 模型，得到最少数量仓库的选址方案，同时考虑到消费者负担对选址的影响，重 新建立多目标规划模型对选址方案进行改进，最后，分别建立服装和娱乐设施工 厂为以上仓库供货。 对于问题一，首先，我们将 50 个城市从 1 到 50 编号，分别以各个城市为起 点，筛选出与它公路运输需要一天的城市，以这些城市编号作为集合元素得到 50 个集合。通过建立集合覆盖问题的 0-1 规划模型，找取能覆盖 50 个城市的最 小数量集合，集合即代表修建仓库的城市。利用 lingo 软件求解，至少需要菲尼 克斯、洛杉矶、亚特兰大、博伊西、芝加哥、印第安纳波利斯、雷诺、阿布奎基、 布法罗、孟菲斯、达拉斯、里士满、西雅图、夏延、第蒙、波士顿、圣保罗、比 林斯 18 个城市修建仓库。并对结果进行了全局最优解检验。 对于问题二， 我们将修建仓库问题转化为仓库数量最少和人均消费负担最小 的多目标规划问题。通过线性加权法，将每一目标设置权重，将其转化为单目标 规划问题，利用 lingo 编程得出最优解。得到这 18 个仓库的确切位置：伯明翰, 菲尼克斯,小石城,丹佛,Wilmington,亚特兰大，雷诺，朴茨茅斯，阿布奎基，布 法罗，哥伦布，波特兰，Dallas，盐湖城，第蒙，圣保罗，比林斯，继而得到每 一仓库供应范围，根据每一仓库的服装娱乐消费之和相比较求得各仓库的规模 比。并通过改变权重进行了灵敏度分析。 对于问题三， 要求为这些仓库建立一个娱乐设施工厂和服装工厂，建设工厂 有运送成本低和竞争力大两个目标，最后都转换为要求工厂到仓库的总天数最 小，而且距离消费额负担大的仓库天数越小越好。综合考虑这两个影响因素，建 立最优化评价模型，利用 MATLAB 软件求解，得出服装工厂和娱乐设施工厂均在 第 49 个城市 Kansas City 修建。我们利用相关性分析对每个仓库的服装消费额 和娱乐设施消费两个变量进行比较，得出其相关性系数为 0.999，对两个工厂位 于同一个城市的原因进行了解释与验证。
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量以及仓库建立的城市。首先，我们将 50 个城市从 1 到 50 编号，以每一个城市 作为集合名称， 并以与它运输天数只为一天的城市作为集合元素。 仓库选址方案 即用最少的集合覆盖所有的城市，进而转换为集合覆盖问题。引进 0-1 变量来表 示是否选择该集合，即是否在它所代表的城市建立仓库。 5.1.2 问题一模型的建立 a.城市编号的确定 按照附录 1 给定的城市顺序，对城市进行编号，令第 i 个城市为
2.特殊数据的处理 观察表格中数据我们可以得到第 4 个城市和第 5 个城市以及第 30 个和第 31 个城市均属于同一个州， 我们将该州的数据均分作为该州属下各城市的人口和消 费数据。
模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 问题一的分析 问题一要求我们在网络订货一天送达的条件下， 确定仓库至少需要建立的数
2.需要解决的问题
某企业计划在美国的 50 个主要城市销售自己生产的产品， 销售在网上进行， 包括某种娱乐设施和某类服装。 现需要在这 50 个城市中的一部分城市建立仓库， 仓库选址时不仅要求网上的订货能及时送达给客户， 还要考虑消费税对消费者的 影响，我们通过建立数学模型解决下面三个问题： （1）为了使网上的订货在一天内送达，通过建立数学模型求出至少需要在 几个城市建仓库，并求出在哪几个城市建立仓库。 （2）由于网上购物需要按仓库所在地缴纳消费税，企业建仓库时要考虑为 消费者减少消费税以保持企业产品的竞争力。通过建立数学模型求解，如何在尽 可能少建仓库， 订货要保证一天内送达的基础上， 尽可能为消费者减轻消费税负 担，确定应该在哪几个城市建立仓库，并求出各仓库的规模比和它的供应范围。 （3）需要在美国建立一个娱乐设施工厂和一个服装厂为这些仓库供货，通 过建立数学模型确定这两个厂应该分别建在哪里。
由问题二知存在建立最少的仓库和最低的消费税负担， 所以我们存在两个目 标函数，我们先分别进行考虑。 a.消费税负担的衡量 对于消费者来说，他在意的是自己购买物品时所需要额外承担的消费税，故 我们用人均消费税来衡量消费者承担的消费税负担。假设在第 i 个城市修建仓 库，计算该仓库覆盖范围内的人均消费税 f j 消费税。
二.基本假设
1.假设不会因天气、路况等随机因素而影响运输天数。 2.假设由多个仓库供应的城市， 其服装和娱乐设施消费供应量由这些仓库平均分 担。
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三.符号说明
符号 意义 第 i 个城市
j
符号
意义 第 i 个城市的人口数量 第 j 个仓库覆盖范围内的人均消费 税 数据标准化处理后的仓库数量 数据标准化处理后的各仓库平均人 均消费税 第 i 个城市到第 j 个仓库的天数 第 j 个仓库服装消费占所有服装消 费的比重 第 j 个仓库服装消费占所有娱乐设 施消费的比重
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图 4-1 总问题分析图
4.3 数据预处理
1．运输天数的补全 附件 1 中只为各城市单向运输天数表，补全后应该为一个对称矩阵，我们通 过 MATLAB 编写程序，得到补全后的运输天数表如下： 表 4-1 补全后的运输天数表
到达 出发 1 2 3 „„ 49 50 伯明翰 菲尼克斯 小石城 „„ 堪萨斯城 比林斯 1 伯明翰 1 4 2 „„ 2 5 2 菲尼克斯 4 1 3 „„ 4 3 3 小石城 2 3 1 „„ 2 4 „„ „„ „„ 4 2 „„ 1 3 3 4 „„ 3 1 49 堪萨斯城 50 比林斯
, n s1 j 第 j 个仓库（第 j 个城市）的服装消费税率， j 1,2，
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, n s 2 j 第 j 个仓库（第 j 个城市）的娱乐设施消费税率， j 1,2，
ci
rki
fj
S x
第 j 个仓库所覆盖的城市集合 是否选择第 j 个集合 第 i 个城市的服装消费 第 i 个城市的娱乐设施消费 第 j 个仓库（第 j 个城市）的服 装消费税率 第 j 个仓库（第 j 个城市）的娱 乐设施消费税率
j
z1 z2
d ij kf j
ky j
fzi yli
s1 j s2 j
ci , i 1,2,,50 ，编号部分结果如下：
表 5-1 城市编号表 编号
c1
城市名称 伯明翰 菲尼克斯 „„ 堪萨斯城 比林斯
c2
„„
c49
c50
b.集合的确定 对于第 j 个城市 c j ， 在补全的天数矩阵中找出与它天数为 1 的城市， 为集合
S j 的元素。列举部分集合如下；
S1 = c1, c10 , c29 , c41, c42 , c48; S2 = c2 ; S3 = c3，c29 ;
5.2.1 问题二模型的分析
第二问在第一问的基础上， 还需要考虑减少消费者承受的消费税负担，那么 问题转化为如何修建最少的仓库和保证最低的消费税负担， 进而我们可以建立多 目标规划的模型， 我们为每一个目标赋予一个权重系数，利用线性加权法把多目 标模型转化成单一目标的模型。
5.2.2 问题二模型建立
fj
i:ci S j
fzi s1 j
i:ci S j
rk
i:ci S j i
yli s 2 j
(5-3)
其中：
, m fzi 为第 i 个城市的服装消费， i 1,2， , m yli 为第 i 个城市的娱乐设施消费， i 1,2， , m ci 为第 i 个城市， i 1,2，
（5-2）
: S j 1, 2,, m ; Step1：令 J : = , S j j
* = max S , J : J j *, S : S S * j 1, 2,, m Step2：若 S j S , 则令 S j j j j j
jJ
1 j m
否则，转 Step3； Step3：输出集合覆盖 S j j J b.计算结果： 我们选用 lingo 软件（程序见附录 1）对其进行计算，计算结果为： 表 5-2 仓库修建位置表 城市名 城市编号 城市名 c15 菲尼克斯 雷诺 c18 洛杉矶 阿布奎基 c19 亚特兰大 布法罗 c 博伊西 孟菲斯 29 c31 芝加哥 达拉斯 c 34 印第安纳波利斯 里士满
B 题 工厂选址问题
姓名 学号 专业
刘琦 2015121507 交运城轨
王杨 2016117557 电气工程
袁欣 2015121481 交运城轨
电话号码 18146721773 18295984767 18297652546 QQ 1235093636 1142581599 1096784532
摘要