动力学基础讲义

1. 动力学概述

结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。

1.1 结构动力体系

当荷载不同时，结构体系对于荷载要考虑的结构特征也随之变化。质量作为结构的固有属性，分析动力问题时，因为质量的存在，会在结构中产生惯性力。

1.2 动载的定义和分类

荷载的定义：作用在结构上的主动力。三要素：大小、方向和作用点。

荷载按照不同的要素可以有不同的分类：

作用时间：恒载活载

作用位置：固定荷载移动荷载

对结构产生的效应：静荷载动荷载

静荷载：大小、方向和作用点不随时间变化或变化很缓慢的荷载。

动荷载：大小、方向或作用点随时间变化很快的荷载。

快慢标准：是否会使结构产生显著的加速度。

显著标准：质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比是否可以忽略。

动荷载分类

确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。

例如：简谐荷载、冲击荷载、突加荷载等

非确定性荷载：荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，又称为随机荷载。

例如：风荷载、地震荷载等

1.3 动力问题的基本特性

与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：

（1）动力问题具有随时间而变化的性质；

（2）数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；

（3）惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分；

（4）引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；

（5）需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响。

1.4 离散化方法

1.4.1 集中质量法

概念：把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块。

适用范围：大部分质量集中在若干离散点上的结构。

举例：

（1）房屋结构一般简化为层间剪切模型。

（2）简支梁结构

1.4.2 广义位移法

1.4.3 有限元法

1.5 运动方程的建立

运动方程：在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。

运动方程的重要性：

运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。

建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。

常用的方法有：直接平衡法、虚功法、变分法。

直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。

虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。

变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程。

2. 运动方程的建立

单自由度体系

对于单自由度体系模型

质量块m ，用来表示结构的质量和惯性特性；

自由度只有一个：水平位移y(t)；

无重弹簧，刚度为 k ，提供结构的弹性恢复力；

无重阻尼器，阻尼系数c ，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力；

随时间变化的荷载F(t)。

（1）建立计算模型

（2）取质点为隔离体画平衡力系

（3）建立平衡方程

()I D S F F F F t ++=

3. 自由振动反应

3.2 无阻尼自由振动

运动方程：0mv

kv += ； 通解：12()i t i t v t G e G e ωω-=+；

引人欧拉方程：cos sin i t

e t i t ωωω±=±； 得到无阻尼自由振动的位移反应：()sin cos v t A t B t ωω=+；

A 和

B 是由初始条件决定的常数。

代入初始条件：0(0)v v = 0(0)v

v = 得到单自由度无阻尼体系运动方程的解：00()sin cos v

v t t v t ωωω=+ ，

或者写成：()cos()v t t ρωθ=-。ρ=，00arctan v v θω= 。 振动波形：

3.3阻尼自由振动

运动方程：0mv

cv kv ++= ；

特征方程：220c s s m ω++=，2c s m =- 当c 的取值变化时，对应的振动情况是不同的，可以分成以下三种情况，临界阻尼体系、低阻尼体系、超阻尼体系。

3.3.1 临界阻尼体系

当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作Cc 。显然，应有Cc/2m=w ，即：2c c m ω=。

临界阻尼自由振动方程的解为：12()()t v t G G t e ω-=+

3.3.2 低阻尼体系

3.3.3 超阻尼体系

4. 谐荷载反应

4.1 无阻尼体系

4.2 阻尼体系

4.3 共振反应

5. 对周期性荷载的反应

6. 对冲击荷载的反应

7. 对一般荷载的反应