非线性非高斯滤波讲义

非线性/非高斯滤波讲义

L ECTURE N OTES ON N ONLINEAR N ON-G AUSSIAN F ILTERING

（第0.3版）

张永安

哈尔滨工业大学航天学院

电话：150********；Email：zhangyongan76@

2012年3月

符号表

∼：随机变量（向量）x具有概率分布密度函数()

p x。

x p x

()

Pr()x：x取某值的概率。

∼：x服从均值为x、自协方差阵为P的高斯分布密度函数。

(;,)

x N x x P

exp()x：x的指数函数，也可写作x e。

第一章 最优滤波的一般描述

1.1 预备知识

z 符号表示：

()x p x ∼：随机变量（向量）x 具有概率分布密度函数()p x ； Pr()x ：x 取某值的概率；

(;)x N x x P ∼：x 服从均值为x 、自协方差阵为P 的高斯分布密度函数；

exp()x ：x 的指数函数，也可写作x e 。

z 估计（Estimation ）：从受到各种噪声和干扰影响的信号中按一定准则提取有

用信号的过程。 z 估计器（Estimator ）：用作估计的算法。 z 估值（Estimate ）：被估计量经估计后得到的真实值的估计值。 z 决策（Decision ）：从一组离散的物理量中选取其中一个的估计过程。 z 滤波（Filtering ）：估计动态系统当前状态的过程。 z 导航（Navigation ）等运动状态信息。 z 跟踪（Tracking ）：通过遥测的方法估计运动体的状态信息。

引理1：分块矩阵求逆 给定

11

1221

22P P P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

则其逆阵为

11122122T T T T T ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

其中

()()1

111

11122221

11

2211122221112

111222

1

21222111

T P P P P T P P P P V P P T

V P P T −−−−−−⎧=−⎪⎪⎪=−⎨

⎪=−⎪=−⎪⎩

引理2 矩阵逆引理 设,A C 可逆，则

()1

111111()A BCD A A B DA B C DA −−−−−−−+=−+

若用1A −代替A ，1C −代替C ，则

()1

111()A BC D A AB DAB C DA −−−−+=−+

1.2 高斯随机向量的概率特征

n 维随机向量n x ∈ 可以由其概率分布函数()F x 或者概率分布密度函数

()p x 来表征，若其具有分布密度函数()p x ，则

()()x

F x p x dx −∞=∫

x 也可以由其特征函数来决定，x 的特征函数为其概率分布密度函数的傅里叶变换：

(

)

()()T

T

n

jx jx x E e e p x dx ωωφω=∫ ，

()1

()()2T n

jx x n

p x e

d ω

φωωπ−=

∫

顾名思义，高斯随机向量的概率分布为高斯分布（也称多维正态分布）。 定义： (1) 随机向量x 具有高斯分布密度函数：

()()11

2

1(;,)2exp 2T xx

xx x N x x P P x x P x x π−

−⎡⎤=−−−⎢⎥⎣⎦

∼ 其中

x Ex ，()()T

xx P E x x x x ⎡⎤−−⎣⎦

(2) 随机向量x 具有如下形式特征函数：

(

)

1()exp 2

T

jx T T x xx E e jx P ωφωωωω⎡⎤==−⎢⎥⎣

⎦

其中

x Ex ，()()T

xx P E x x x x ⎡⎤−−⎣⎦

1.3 高斯向量的基本性质

性质1 高斯向量的线性变换仍然是高斯向量。也就是，若(;,)xx x N x x P ∼，z Ax =，

m n A ×∈ ，rank A m =，则~(;)zz z N z z P ，且

T

zz

xx z Ax

P AP A =⎧⎨=⎩ 证明：

()()()()

1exp ()()21exp ()()2T T

T

T

jz j Ax z z x jx A T x x T T T T T xx T T T xx E e

E e E e A jx A A P A j Ax AP A ω

ωωφωφωωωωωωω⎡⎤

==⎣⎦

⎡⎤==⎣⎦

⎡⎤=−⎢⎥

⎣⎦⎡⎤

=−⎢⎥

⎣⎦

性质2（作为性质1的推论）：高斯向量的线性组合仍然是高斯向量。也就是：若1x 与2x 是联合高斯的，12,n x x ∈ ，且

11111

122122222;,x x x P P N P P x x x ⎧⎫

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎪⎪

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭∼ 则其线性组合1122z A x A x =+也是高斯的，其中12,m n A A ×∈ ，12rank rank A A m ==，

11111

1221

22222;,x x x P P N P

P x x x ⎧⎫

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭

∼ 则~(;)zz z N z z P ，且

1122

1111112222112222T T T T

zz z A x A x P A P

A A P A A P A A P A =+⎧⎨=+++⎩ 特别的，若12n A A I ==，则

12

11122122zz z x x P P

P P P =+⎧⎨

=+++⎩ 证明：

1122

1

2T

T T

z A x A x M x x =+⎡⎤=⎣⎦

这里

[]1

2M A A =