有限元方法(课件)

第一章 有限元概貌与发展有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。

这种方法大约有60年的历史。

它首先在本世纪40年代被提出，在50年代开始用于飞机设计。

后来，该方法得到了发展并被非常广泛地用于结构分析问题中。

目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元已相当著名。

有限元法应用于电磁场中，最先是用结点上的插值基函数来表征该结点上的矢量电场或磁场分量的，称为结点有限元。

但是，在使用结点有限元进行电磁仿真时，会有几个严重的问题。

首先，非物理的或所谓伪解可能会出现。

其次，在材料界面和导体表面强加边界条件很不方便。

再次，处理导体和介质边缘及角也很困难，这是由与这些结构相关的场的奇异性造成的。

在这些问题中，最后一个问题比其它两个问题更严重，因为它缺少通用的处理方法。

即使对前两个问题，目前的处理状况也不能完全令人满意。

因此，有必要探讨其它的可能性或其它方法，而不仅仅是改进，从而将电磁场有限元分析引入一个新的时代。

幸运的是，一种崭新的方法已经被发现。

这种方法使用所谓矢量基或矢量元，它将自由度（未知量）赋予棱边而不是单元结点。

因为这个原因，它也叫棱边元（edge element ）。

虽然Whitney 早在35年前就描述过这些类型的单元，但它们在电磁学中的应用及其重要性直到前几年才被认识到。

在80年代初，Nedelec 讨论了四面体和矩形块棱边元的构造。

Bossavit和Verite 将四面体棱边元应用于三维涡流问题。

Hano 独立地导出了矩形棱边元，并用于介质加载波导的分析。

Mur 和de Hoop 考虑了非均匀媒质中的电磁场问题。

Van Welij 和Kameari应用六面体棱边元进一步考虑了棱边元在涡流计算中的应用。

Barton 和Cendes 将四面体棱边元应用于三维磁场计算，同时，Crowley 提出了一种更复杂的单元类型，即所谓的协变（covariant ）投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。

在所有这些工作中，已经证明：棱边元没有前面提到的所有缺点。

因为这些缺点困惑了研究者多年，可以想象，棱边元的重要性很快就被认识到了，因此，在过去的几年中，开展过大量的研究也获得了很多成功的应用。

棱边元分析时谐电磁场问题通常是基于矢量波动方程的，但这也常常引发一个问题:作为电场强加条件的[]0E ε∇=i ，低频时在波动方程中不起作用。

这一点使得所产生的有限元矩阵严重病态。

尽管这一缺陷并不影响基于场形式波动方程的边棱元方法在高频电磁分析中的应用，但是在使用自适应网格剖分产生的一些小单元中，会局部的逼近静态的情况，同样会产生病态的矩阵的。

这种病态的矩阵不利于直接法的求解，并且也大大的降低了迭代法的收敛速度。

近年来发展了一种矢量标量位有限元，将边棱元与结点元相结合，能在很宽的频带内直接强加电场散度条件，同时有效的改善有限元矩阵的性态，尤其适合于结合迭代法求解。

为了降低有限元矩阵未知量的数目，不少学者对高阶有限元也作过了大量的研究工作。

它的主要思想就是利用高阶的基函数对未知的场获得更精确的逼近，或者说在较稀疏的网格上获得一般的线性插值基函数在稠密网格上同样的精度。

但这种高阶的有限元通常也会产生严重病态的矩阵，不利于快速求解，一直是个待解决的问题。

第二章 有限元方法入门在本章中，我们首先回顾求解边值问题的两种经典方法，它们都包含着有限元方法的本质。

然后，应用一个筒单的例子，介绍有限元方法。

最后，我们不针对任何特定问题来描述该方法的基本步骤。

2．1 边值问题的经典方法在本节中，我们首先定义边值问题，然后讨论边值问题求解的两种经典方法，一是里兹(Ritz)变分方法，另一种是伽辽金(Galerkin)方法，它们构成了现代有限元方法的基础。

2．1．1 边值问题边值问题出现在物理系统的数学模型中，它们的求解一直是数学物理中的研究主题。

典型的边值问题可用区域内的控制微分方程和包围区域边界上的边界条件来定义。

微分方程可表示L f Φ= （2.1）式中，L 是微分算符，f 是激励或强加函数，Φ是未知量。

在电磁学中，控制微分方程包括简单的泊松方程以及复杂的标量波动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。

边界条件有简单的狄利克雷(Dirichlet)条件和诺曼(Neumann)条件，也有复杂的阻抗和辐射边界条件，甚至还有更复杂的高阶条件。

当然，我们希望尽可能用解析方法求解边值问题。

然而，只有少数情况可得到解析解。

在电磁学中，可解析求解的问题包括无限大平行板间的静电势问题，波在矩形、圆柱和椭圆波导中的传输问题，矩形、圆柱和球形腔内的腔体谐振问题，以及无限平板、劈、圆柱和球对波的散射问题等等。

许多实际重要的工程问题都没有解析解。

为了克服这种困难，人们已发展了各种近似方法，其中应用最广泛的是里兹方法和伽辽金方法。

2．1． 2 里兹方法里兹方法也称为瑞利一里兹(Rayleigh-Ritz)方法，它是一种变分方法，其中边值问题用变分表达式(也称为泛函)表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。

通过求泛函相对于其变量的极小值，可得到近似解。

为了说明这种过程，首先让我们定义内积，用尖括号表示为 ,d ∗ΩΦΨ=ΦΨΩ∫ (2．2)式中星号表示复共轭。

在这种内积定义下，如果有 ,,L L ΦΨ=ΦΨ (2. 3)则(2．1)式中的算符是自伴的，如果有L 00,00L >Φ≠⎧ΦΦ=⎨=Φ=⎩ (2. 4) 则(2．1)式中的算符是正定的。

可以证明：如果(2．1)式中算符既自伴又正定，那么，L L (2．1)式的解可通过求下式泛函对Φ的极小值得到： ()111,,222F L f f Φ=ΦΦ−Φ−Φ , (2. 5) 式中，表示试探函数。

一旦确定了泛函，即可用下述步骤来求解。

为简单起见，我们假设间距是实数值的，并假定(2．5)式中的ΦΦ可近似展开为 (2．6) {}{}{}{}1NT T j jj c v c v v c =Φ===∑ 式中,叫是定义在全域上的展开函数，是待定的展开系数。

{·}仍表示列向量，上标T j v j c表示向量的转置。

将(2．6)式代入到(2．5)式中，我们得到 {}{}{}{}{}{}12T T T F c v L v d c c v fd ΩΩ=Ω−∫Ω∫ (2．7) 为了求极小，我们令其对的偏导数为零，从而得到线性代数方程蛆： ()F Φ ic {}{}{}{}()111221201,2,3,,T T i i i Nj i j j i i j F v L v d c c v Lv d v fd c c v Lv v Lv d v fd i NΩΩΩΩ=i Ω∂=Ω+Ω−∂=+Ω−Ω==∫∫∑∫∫ Ω∫ (2.8) 可将其写成下列矩阵方程 ． []{}{}S c b = (2．9) []S 的元素为(12ij i j j i S v Lv v Lv Ω=+∫)d Ω (2．10) []b 的元素为i i b v fd Ω=Ω∫ (2.11) 显然，[]S 是对称矩阵。

引用算符的自伴性质，可写成L ij S ij i j S v Lv d Ω=Ω∫ (2．12)求解矩阵方程(2．9)式，即可得到(2．1)式的近似解。

2．1．3伽辽金方法伽辽金方法属于残数加权方法类型，正如其名称所指，它通过对微分方程的残数求加权方法来得到方程的解。

假设Φ是(2. 1)式的近似解，用 Φ 代替(2．1)式中的中，得到非零的残数0r L f =Φ−≠ (2．13) Φ的最佳近似应能使残数r 在内所有点上有最小值。

残数加权方法要求 Ω 0i i R w rd Ω=Ω=∫ (2．14)这里i R 表示残数加权积分，是所选择的加权函数。

i w 在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同。

通常，这样可得到最精确的解，因而，这是建立有限元方程的常用途径。

为了更清楚地说明这种方法，我们假设方程的解可用(2．6)式中的方法表示，那么，加权函数选为1,2,3,,i iw v i N == （2．15）因此，(2．14)式变成 ({}{})1,2,3,,T i i i R v L v c v f d i N Ω=−Ω=∫ (2．16)这里同样得到了(2．9)式给出的矩阵方程组。

在此，除非算符是自伴算符，否则，矩阵 []不一定是对称的。

在算符为自伴算符的情况下，伽辽金方法与里兹方法得到相同的方程组。

L S L 顺便指出，除了选择展开函数作为加权外，也能选择其它函数作为加权。

这样可得到不同的公式。

下面作简要讨论。

1．点配置法在电磁学界，这种方法也称为点匹配法。

狄拉克(Dirac)δ函数被选为加权函数(在点，；在其它各点，)，结果，(2．14)式变成i i w =∞0i w =[{}{}]0T i i R L v c f =−在点处＝ （2.17）显然，这等价于在给定点上满足(2．1)式。

通常，选择的匹配点数等于未知量个数。

2．子域配置法在这种方法中，令加权函数在给定子域内等于1，在其它地方为零。

因而有({}{})0iT i R v c f d Ω=−∫Ω= (2．18) 式中，表示第i 个子域。

通常，所选择的子域数也等于未知量个数。

i Ω 3. 最小二乘法定义新的误差项212I r d Ω=Ω∫ (2．19) 最小二乘法就是求上式的极小值。

极小值是对近似解的未知系数求的，这相当于({}{})0T i iI Lv L v c f d c Ω∂=−∂∫Ω= (2．20) 在这种情况下，加权函数显然为。

i Lv 2．2 —个简单的例子简单讨论里兹和伽辽金方法后，我们将它们应用于简单的边值问题来说明求解过程， 然后，再用这个例子介绍有限元方法。

希望用这种方式介绍有限元方法将更加自然而不易引起混淆。

2．2．1 问题的描述这里考虑的特定问题是求两无限大平行板间的静电势Φ。

一块板位于处，;另一块板位于0x =0V Φ=x =1m 处，Φ＝lV。

两块平行板间充满了介电常数为ε(F／m)的媒质，其间的电荷密度是变化的，()(1)x x ρε=−+C／。

此问题可用泊松方程(1．16)式作数学描述，简化成二阶微分方程 3m2210d 1x x dx Φ=+<< (2.21) 其边界条件为 00x =Φ= (2.22)11x =Φ= (2.23) 此问题的精确解为 32111()623x x x Φ=++x (2.24) 对(2．21)式积分两次，然后再应用(2.22)式和(2．23)式定出积分常数，就可很容易地得到上式的解。

然而，许多实际问题没有这样简单的解。

在许多情况下，只能得到近似解。

由于这种原因，我们假设不知道这个精确解，而用里兹方法和伽辽金方法来求解。

2．2．2 用里兹方法求解如前所述，在里兹方法中，我们用泛函给出问题的公式，泛函的极小值对应于给定边界条件下的微分方程。