有限元方法(课件)

第一章 有限元概貌与发展

有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有60年的历史。

它首先在本世纪40年代被提出，在50年代开始用于飞机设计。后来，该方法得到了发展并

被非常广泛地用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，

有限元已相当著名。

有限元法应用于电磁场中，最先是用结点上的插值基函数来表征该结点上的矢量电场或

磁场分量的，称为结点有限元。但是，在使用结点有限元进行电磁仿真时，会有几个严重的

问题。首先，非物理的或所谓伪解可能会出现。其次，在材料界面和导体表面强加边界条件

很不方便。再次，处理导体和介质边缘及角也很困难，这是由与这些结构相关的场的奇异性

造成的。在这些问题中，最后一个问题比其它两个问题更严重，因为它缺少通用的处理方法。

即使对前两个问题，目前的处理状况也不能完全令人满意。因此，有必要探讨其它的可能性

或其它方法，而不仅仅是改进，从而将电磁场有限元分析引入一个新的时代。

幸运的是，一种崭新的方法已经被发现。这种方法使用所谓矢量基或矢量元，它将自由

度（未知量）赋予棱边而不是单元结点。因为这个原因，它也叫棱边元（edge element ）。虽

然Whitney 早在35年前就描述过这些类型的单元，但它们在电磁学中的应用及其重要性直到

前几年才被认识到。在80年代初，Nedelec 讨论了四面体和矩形块棱边元的构造。Bossavit

和Verite 将四面体棱边元应用于三维涡流问题。Hano 独立地导出了矩形棱边元，并用于介质

加载波导的分析。Mur 和de Hoop 考虑了非均匀媒质中的电磁场问题。Van Welij 和Kameari

应用六面体棱边元进一步考虑了棱边元在涡流计算中的应用。Barton 和Cendes 将四面体棱边

元应用于三维磁场计算，同时，Crowley 提出了一种更复杂的单元类型，即所谓的协变

（covariant ）投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。在所有这些工作中，已经证明：棱边

元没有前面提到的所有缺点。因为这些缺点困惑了研究者多年，可以想象，棱边元的重要性

很快就被认识到了，因此，在过去的几年中，开展过大量的研究也获得了很多成功的应用。

棱边元分析时谐电磁场问题通常是基于矢量波动方程的，但这也常常引发一个问题:作为

电场强加条件的[]0E ε∇=i ，低频时在波动方程中不起作用。这一点使得所产生的有限元矩

阵严重病态。尽管这一缺陷并不影响基于场形式波动方程的边棱元方法在高频电磁分析中的

应用，但是在使用自适应网格剖分产生的一些小单元中，会局部的逼近静态的情况，同样会

产生病态的矩阵的。这种病态的矩阵不利于直接法的求解，并且也大大的降低了迭代法的收

敛速度。近年来发展了一种矢量标量位有限元，将边棱元与结点元相结合，能在很宽的频带

内直接强加电场散度条件，同时有效的改善有限元矩阵的性态，尤其适合于结合迭代法求解。

为了降低有限元矩阵未知量的数目，不少学者对高阶有限元也作过了大量的研究工作。

它的主要思想就是利用高阶的基函数对未知的场获得更精确的逼近，或者说在较稀疏的网格

上获得一般的线性插值基函数在稠密网格上同样的精度。但这种高阶的有限元通常也会产生

严重病态的矩阵，不利于快速求解，一直是个待解决的问题。

第二章 有限元方法入门

在本章中，我们首先回顾求解边值问题的两种经典方法，它们都包含着有限元方法的本

质。然后，应用一个筒单的例子，介绍有限元方法。最后，我们不针对任何特定问题来描述

该方法的基本步骤。

2．1 边值问题的经典方法

在本节中，我们首先定义边值问题，然后讨论边值问题求解的两种经典方法，一是里兹

(Ritz)变分方法，另一种是伽辽金(Galerkin)方法，它们构成了现代有限元方法的基础。

2．1．1 边值问题

边值问题出现在物理系统的数学模型中，它们的求解一直是数学物理中的研究主题。典

型的边值问题可用区域内的控制微分方程和包围区域边界上的边界条件来定义。微分方程可

表示

L f Φ= （2.1）

式中，L 是微分算符，f 是激励或强加函数，Φ是未知量。在电磁学中，控制微分方程包括

简单的泊松方程以及复杂的标量波动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。边界条件有简

单的狄利克雷(Dirichlet)条件和诺曼(Neumann)条件，也有复杂的阻抗和辐射边界条件，甚

至还有更复杂的高阶条件。

当然，我们希望尽可能用解析方法求解边值问题。然而，只有少数情况可得到解析解。

在电磁学中，可解析求解的问题包括无限大平行板间的静电势问题，波在矩形、圆柱和椭圆

波导中的传输问题，矩形、圆柱和球形腔内的腔体谐振问题，以及无限平板、劈、圆柱和球

对波的散射问题等等。许多实际重要的工程问题都没有解析解。为了克服这种困难，人们已

发展了各种近似方法，其中应用最广泛的是里兹方法和伽辽金方法。

2．1． 2 里兹方法

里兹方法也称为瑞利一里兹(Rayleigh-Ritz)方法，它是一种变分方法，其中边值问题

用变分表达式(也称为泛函)表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。通

过求泛函相对于其变量的极小值，可得到近似解。为了说明这种过程，首先让我们定义内积，

用尖括号表示为 ,d ∗ΩΦΨ=ΦΨΩ∫ (2．2)

式中星号表示复共轭。在这种内积定义下，如果有 ,,L L ΦΨ=ΦΨ (2. 3)

则(2．1)式中的算符是自伴的，如果有

L 0

0,00

L >Φ≠⎧ΦΦ=⎨=Φ=⎩ (2. 4) 则(2．1)式中的算符是正定的。可以证明：如果(2．1)式中算符既自伴又正定，那么，

L L (2．1)式的解可通过求下式泛函对Φ

的极小值得到： ()111,,222

F L f f Φ=ΦΦ−Φ−Φ , (2. 5) 式中，表示试探函数。 一旦确定了泛函，即可用下述步骤来求解。为简单起见，我们假设间距是实数值的，并假定(2．5)式中的Φ

Φ

可近似展开为 (2．6) {}{}{}{}1N

T T j j

j c v c v v c =Φ===∑ 式中,叫是定义在全域上的展开函数，是待定的展开系数。

{·}仍表示列向量，上标T j v j c