沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 教案

11.3（2）两条直线的夹角
教学目标
理解直线夹角公式的推导过程，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力
教学重点及难点
理解两条直线夹角公式的推导过程，会求两条直线的夹角
教学过程
一、复习引入
1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标
（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；
（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；
（3）0524:1=+-y x l ， 032:2=--y x l ．
问题1：（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？
二、学习新课
1、概念形成
两条直线的夹角
如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？
平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因
为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为
两条直线的夹角.
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.
问题2：现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？
2、夹角公式的推导
引导学生画图分析，寻找夹角、方向向量之间的关系.
设两条直线的方程分别为
1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）
2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.
设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，
当]2,
0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(
ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.
于是得:222221212121212
1|
||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα.
即为直线1l 与2l 的夹角公式.
特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2
π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)
而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12
211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.
3、例题分析
例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：
（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；
（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；
课堂练习：求下列各组直线的夹角θ
（1）1:31l y x =-，2:340l y x +-=
（2）1:10l y x -+=，2:4l y =
（3）2:10l x y ++=，2:2l x =
例2：已知直线0942=++y x 和直线08=++ay x 的夹角是14π ，求实数a 的值.
例3：已知直线l 过点)3,2(-P ，且与直线023:0=+-y x l 的夹角为
3π，求直线l 的方程.
课堂练习：已知直线l 经过原点，且与直线1y =+的夹角为6
π，求直线l 的方程。

三、课堂小结
四、作业布置
1、书面作业：习题11.3 A 组----10,11,12。