沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 教案
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 教案
课题 两条直线的位置关系1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系标 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式教学重 两条直线平行与垂直的判定 点教学难 点教学方 法教具准 备点到直线的距离公式 讲练结合 教材教学过 程【基础练习】1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－ 1=03.若三条直线 2x 3y 8 0, x y 1 0和 x ky k 1 0 相交于 2一点，则 k 的值等于 1 24.已知点 P1 (1，1)、P 2 (5，4)到直线 l 的距离都等于 2．直 线 l 的方程为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x3=0.5.已知 A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求ABC 的面积.简解：答案为 28 3【范例导析】【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l2 :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, l1 与 l2（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0 时， l1 ：x＋６＝０， l2 ：x＝０，∴ l1 ∥ l2 ，当ｍ＝2 时， l1 ：x＋４y＋６＝０， l2 ：３y＋２＝０∴ l1 与 l2 相交；当 m≠０且 m≠２时，由 1 m2 得 m＝－１或 m＝３，由 m 2 3m1 6 得 m＝3 m 2 2m故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 l1 与 l2 相交。
（２）m＝－１或 m＝０时 l1 ∥ l2 ，（３）当 m＝３时 l1 与 l2 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜 率是否存在.例 2.已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 l1 ： x+y+1=0 和 l2 ：x+y+6=0 截得的线段之长为 5。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 教案
课题两条直线的位置关系教学目标1.掌握两条直线平行与垂直的条件2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式教学重点两条直线平行与垂直的判定教学难点点到直线的距离公式教学方法讲练结合教具准备教材教学过程【基础练习】1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为-82.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=03.若三条直线2380,x y++=10x y--=和12x ky k+++=相交于一点，则k的值等于1 2 -4.已知点P1(1，1)、P2(5，4)到直线l的距离都等于2．直线l的方程为3x-4y+11=0或3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0或x-3=0.5.已知A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求 ABC的面积.简解：答案为28 3【范例导析】【例1】已知两条直线1l:x+m2y+6=0, 2l:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,1l与2l（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0时，1l ：x ＋６＝０，2l ：x ＝０，∴1l ∥2l ， 当ｍ＝2时，1l ：x ＋４y ＋６＝０，2l ：３y ＋２＝０ ∴1l 与2l 相交；当m ≠０且m ≠２时，由mm m 3212=-得m ＝－１或m ＝３，由mm 2621=-得m ＝3 故（１）当m ≠－１且m ≠３且m ≠０时1l 与2l 相交。
（２）m ＝－１或m ＝０时1l ∥2l ， （３）当m ＝３时1l 与2l 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.例2.已知直线l 经过点P （3，1），且被两平行直线1l ：x +y +1=0和2l ：x +y +6=0截得的线段之长为5。
求直线l 的方程。
分析：可以求出直线l 与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率解法一：:若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，此时与1l 、2l 的交点分别是A 1（3，-4）和B 1（3，-9），截得的线段AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。
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小结
本节课学习了哪些内容？
70.修养的本质如同人的性格，最终还是归结到道德情操这个问题上。——爱默生 65.只要学不死，就往死里学。 74.真正的领导者，其厉害之处不在于能指挥多少君子，而在于能驾驭多少小人。 4.一个真正想成功的人是勤奋与努力的，而不是躺在床上说大话。 100.当我们是大为谦卑的时候，便是我们最近于伟大的时候。——泰戈尔 54.所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 93.学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力。 75.一个人最大的破产是绝望，最大的资产是希望。 28.贫而懒惰乃真穷，贱而无志乃真贱。——罗丹 69.世上最重要的事，不在于我们在何处，而在于我们朝着什么方向走。 30.水不撩不知深浅，人不拼怎知输赢。 52.当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。——冯学峰 34.这个世界不是因为你能做什么，而是你该做什么。 13.你关注什么样的人，决定你将看到什么样的世界。 15.成功是碰到抵触的地方，才把它的活力解放。
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
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11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
23、惜光阴百日犹短，看众志成城拼搏第一；细安排一刻也长，比龙争虎斗谁为争锋 14、生命不是一场赛跑，而是一次旅行。比赛在乎终点，而旅行在乎沿途风景。 21、有一种失败叫做成功之母，有一种爱叫做放手，因此有一种单身叫做宁缺毋滥。 5. 要成功，先发疯，头脑简单向前冲。别再自己摸索，问路才不会迷路。宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子。付出才会杰出;为别人创造价值
，别人才愿意和你交往。每天只看目标，别老想障碍。成功需要改变，用新的方法改变过去的结果。成功的秘诀是努力，所以第一名都是练出 来的。
10、高三不再有，劝君珍惜之。一年之经历，终身之财富。 19. 大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。 4. 取其让性命生锈，不如让性命领光发烧。 3、“少壮不努力，老大徒伤悲。”这是一句熟得令人生厌的话，但是尽管大人们一再提起，多数青少年却并没有懂，甚至于听而不闻，实在可 惜。因为这一条话，不知是多少前人，在试炼多少次失败后，所凝聚的一句真理。
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努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能 无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。 而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世 的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名 着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累 你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普 么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永 大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是 问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什 是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果 取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光 孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度 世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
高二数学：11.3《两条直线位置关系》教案(3)(沪教版下)
11.3（3）两直线位置关系及其夹角公式的运用教学目标设计能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法. 会综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.教学重点及难点综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.教学用具准备多媒体设备教学过程设计例1．(1)求经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程;(2) 求过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程.解：(1)已知直线的斜率32-=k ，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为32-， 所以，所求直线的方程为：)1(324--=+x y ，即01032=++y x ． 另解：设与直线0532=++y x 平行的直线l 的方程为：032=++m y x ，l 过点)4,1(-A ，∴213(4)0m ⨯+⨯-+=，解之得10m =，所以，所求直线的方程为01032=++y x ．(2) 已知直线的斜率为2-，直线l 与已知直线垂直，∴l 的斜率为21=k ， 所以，所求直线l 的方程为)2(211-=-x y ，即02=-y x ． 另解：设与直线0102=-+y x 垂直的直线方程为20x y m -+=，∵直线l 经过点)1,2(A ，∴2210m -⨯+=，∴0m =，所以，所求直线l 的方程为02=-y x[说明] 一般地①与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为0=++m By Ax ，其中m 待定；②与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定.例2. （如右图）等腰三角形的一个腰所在直线1l 的方程是022=--y x ，底边所在直线2l 的方程是01=-+y x ，点)0,2(-在另一腰上，求这条腰所在直线3l 的方程.解：设3l 的方程为0)0()2(=-++y b x a （其中),(b a n =为一法向量，b a ,不同时为零），1l 与2l 的夹角是1θ，2l 与3l 的夹角是2θ ，由夹角公式得101cos 1=θ,又1l 、2l 、3l 所围成的三角形是等腰三角形，所以21θθ=,101|2|cos 222=++=b a ba θ025222=++⇒b ab a 即b a b a ==22或舍去b a =2(否则与直线1l 重合), ∴3l 的方程是：042=+-y x .[说明]①本题是夹角公式与平几知识的综合,采用待定系数法求直线方程;②作为几何综合题,一般需要先从其几何特点入手,找出所求的量与已知量之间的联系,再把几何问题转化为方程来解决；③本题也可以设3l 的方程为2)2(-=+=x x k y 或，再分类求解.例3、是否存在实数k ，使直线06)2(3=++-y k x 与直线02)32(=+-+y k kx 分别有如下的位置关系: (1)平行; (2)重合; (3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出k 的值；若不存在，说明理由.解：联立方程组⎩⎨⎧=+-+=++-02)32(06)2(3y k kx y k x ， 由0=D 1,921=-=⇒k k ;由10=⇒=k D x ;由10=⇒=k D y . (1) 9-=k 时,两直线平行;(2)1=k 时,重合;(3)19≠-≠k k 且时,相交;(4)由21310)32)(2(3±=⇒=-+-k k k k 时,垂直; (5)交点坐标为)96,914(+-+-k k ,显然不存在实数k ,使交点在第二象限.例4、已知直线l 满足性质:如果任意一点),(y x 在直线l 上，那么点)8,3(y x y x -+也在直线l 上，求直线l 的方程.解:由已知,点),(y x 和 )8,3(y x y x -+都在直线l 上,而当0==y x 时，083=-=+y x y x ，所以直线l 经过原点，且不能与坐标轴重合.因此可设直线l 的方程为：)0(0≠=+mn ny mx ①点)8,3(y x y x -+仍在直线l 上，0)8()3(=-++∴y x n y x m即0)3()8(=-++y n m x n m ②由题意,方程①与②表示的是同一条直线l ,所以)8()3(n m n n m m +=-,即082322=--n mn m ,解得：n m n m 2,34-=-= 所以直线l 的方程为02034=+=-y x y x 或.[说明] ①本题也可以设直线方程的一般式:0=++c by ax ①, 点)8,3(y x y x -+仍在直线l 上 0)8()3(=+-++∴c y x b y x a ②.再由直线①与②重合,求得系数c b a ,,； ②例题4，有一定难度，可以根据学生实际情况选用.课堂小结1．通过两直线的位置关系以及夹角有关知识的综合应用，深化对知识以及思想方法的理解，进一步巩固所学的知识．2．进一步体会分类讨论、数形结合等数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习.作业布置书面作业：习题11.3 B 组 ----1,2,3,4,5补充练习：1．过原点作直线l 的垂线，若垂足为(2,3)-，则直线l 的方程是 ；答：23130x y -+=2．已知直线024=-+y mx 与直线052=+-n y x 垂直，垂足为),1(p ，则p n m +-的值为 ．答：10,12,2m n p ==-=-； 203．求与直线0532=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为65的直线l 的方程.答：0132=-+y x4．已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求直线'l 的方程，使'l 与l 垂直且'l 与坐标轴围成的三角形面积为6．解 设直线'l 的方程为034=+-m y x ，令0=x ，得3m y =，令0=y ，得4m x -=， 由题意：1||||6243m m ⨯-⋅=，即1442=m ，12±=m ， 所以，所求直线l 的方程为01234=±-y x ．5.直线l 过点)2,0(-M 且与直线03:1=-+y x l 和042:2=+-y x l 分别交于点Q P ,，若M 恰为线段PQ 的中点，求直线l 的方程.解 设点),(n m P ，由中点公式，得)24,2(n m Q ---，又点Q P ,分别在1l 、2l 上，列方程组⎩⎨⎧=-----=+-02)24()2(2022n m n m ，解3,6-==n m ，0126=++∴y x 为所求. 6. 已知三角形ABC 的顶点)1,3(-A ,AB 边的中线所在的直线方程为059106=-+y x ，B ∠的平分线所在直线的方程为0104=+-y x ，求BC 边所在直线的方程.解 设点),(b a B ，则AB 的中点)21,23(-+b a P ，由B 点在其角平分线上，中点P 在AB 边的中线上，列出关于b a ,的方程组，解得：)5,10(,5,10B b a ∴==，从而得直线02576:=--y x AB ， 由题意，BC 边所在直线的斜率存在， 设)10(5:-=-x k y BC ，根据夹角公式，得,7692=-=k k 或其中76=k 舍去（否则BC 与AB 重合），所以BC 边所在直线的方程为06592=-+y x . [说明]补充练习仅供课外巩固练习选用.教学设计说明直线是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对直线的位置关系作了比较系统的研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究两直线的位置关系以及夹角的求法.为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：一、新课引入——以旧带新，提出课题帮助学生再现原有的认知结构，在“最近发展区”创设问题情景，使学生对本节课的主题有一个直观的印象，寻找新知生长点，激发学生的探究心理，顺利引入课题.二、概念形成——实例分析，探究，概括形成一般规律通过对实例的解答，图像的观察，抽象、概括出一般规律，这种运用数形结合的思想，由特殊到一般的探索过程，符合学生认知习惯，有利于培养学生抽象、概括的能力.要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向.因此，在上述探究的基础上，提出问题：两条直线的位置关系与方程组的解之间有怎样的对应关系呢？这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”.三、巩固和应用阶段数学概念是要在运用中不断领悟，通过运用与练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，通过设计不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.1、初步应用、突出内涵这里安排例1、例2都是公式的“初步应用”，目的也在于帮助学生正确运用所学的基本知识，强调运用公式的前提条件，规范解题过程.2、变式应用，提升能力设计例题时，注意学习过程的循序渐进，按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着.例3，例4，目的是在解决问题的方法上进行适当的延展，使得学生对概念的认识不断深入.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．在本节的设计中，力图使学生初步理解并能应用所学的知识，引领学生掌握研究这类问题的一般思路和方法，从而达到培养学生学习能力的目的.根据自己对“问题驱动”教学模式的认识，在教学的每一个环节均设计了问题.以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，使难点的突破水到渠成.。
11.3(3)两直线位置关系及其夹角公式的运用
11.3（3）两直线位置关系及其夹角公式的运用教学目标：1、 能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.2、 进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.3、 会综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题.教学重点及难点：综合运用两条直线的位置关系以及夹角公式解决有关问题. 教学过程：例1、已知直线l 经过两直线0832:,013:21=-+=--y x l y x l 的交点，且与直线0=-y x 的夹角为31arctan=θ，求直线l 的方程.例2、已知ABC ∆中，1,+=x y AB AC AB ：为边所在直线的方程分别，162+-=x y AC ：，求A ∠的内角平分线所在直线方程.例3、（如右图）等腰三角形的一个腰所在直线1l 的方程是022=--y x ，底边所在直线2l 的方程是01=-+y x ，点)0,2(-在另一腰上，求这条腰所在直线3l 的方程.解：设3l 的方程为0)0()2(=-++y b x a （其中),(b a n =为一法向量，b a ,不同时为零），1l 与2l 的夹角是1θ，2l 与3l 的夹角是2θ ，由夹角公式得101cos 1=θ,又1l 、2l 、3l 所围成的三角形是等腰三角形，所以21θθ=, 101|2|cos 222=++=b a ba θ025222=++⇒b ab a 即b a b a ==22或舍去b a =2(否则与直线1l 重合), ∴3l 的方程是：042=+-y x .例4、等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线.210632所在直线方程，），求，的坐标为（上，顶点AC AB A y x -=-+例5、是否存在实数k ，使直线06)2(3=++-y k x 与直线02)32(=+-+y k kx 分别有如下的位置关系: (1)平行; (2)重合; (3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出k 的值；若不存在，说明理由.解：联立方程组⎩⎨⎧=+-+=++-02)32(06)2(3y k kx y k x ， 由0=D 1,921=-=⇒k k ;由10=⇒=k D x ;由10=⇒=k D y .(1) 9-=k 时,两直线平行;(2)1=k 时,重合;(3)19≠-≠k k 且时,相交;(4)由21310)32)(2(3±=⇒=-+-k k k k 时,垂直; (5)交点坐标为)96,914(+-+-k k ,显然不存在实数k ,使交点在第二象限. 小结：。
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我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
例2
例3
小结
本节课学习了哪些内容？
26. 如果你为自己定的所有目标都已达到，那么说明你定的目标还不够远大。 19、成功没有尽头，生活没有尽头，生活中的艰难困苦对我们的考验没有尽头，在艰苦奋斗后我们所得到的收获和喜悦也没有尽头。当你完 全懂得了"成功永远没有尽头"这句话的含义时，生活之美也就向你展开了她迷人的笑容。 22. 别人看不起您，很不幸;自己看不起自己，更不幸 38. 学会冷血，只对对我好的人好。学会孤独，没有谁会把你当宝护着。 65、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 75、一个人几乎可以在任何他怀有无限热忱的事情上成功。 27. 如果你还认为自己还年轻，还可以蹉跎岁月的话，你终将一事无成，老来叹息。 23. 生活可以将就，生活也可以讲究。 79、事业的大厦如缺乏毅力的支柱，只能是空中楼阁。 44、不要过多考虑前进路上的障碍，有时“无知”也会产生绝处逢生的壮景。 67、愚蠢的人总是为昨天悔恨，为明天祈祷，可惜的是少了今天的努力。 98、如果为了安全而不和大海在一起，船就失去了存在的意义。 13. 我欲将心向明月,奈何明月照沟渠 45、坚持自已的信念，自信地付诸行动，比起一遇到挫折就放弃的人更具有优势。 13、少壮不努力，老大徒伤悲。 25、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。 11、竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。 5. 没有爱的生活就象一片荒漠，赠人玫瑰，手有余香，要“学会爱别人其实就是爱自己”，让爱如同午后阳光温暖每个人的心房。
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5. 年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。(唐刘希夷) 4 、过去不等于未来;没有失败，只有暂时停止成功;采取更大量的行动。 4. 春风吹战鼓擂，今年高考谁怕谁!懂得的不需要，不懂的没必要! 3. 十年磨剑三日锋，数载人生在其中。 10. 十年磨剑为一搏，六月试锋现真我! 8. 成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成 4. 成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒 3. 十年磨剑三日锋，数载人生在其中。 11 、等青春轻飘的烟雾把少年的欢乐袅袅曳去，之后，我们就能取得一切值得吸取的东西。 ——普希金 2. 只有强者才懂得斗争;弱者甚至失败都不够资格，而是生来就是被征服的。 18 、你比你想象中更勇敢，比你看起来更强大，也比你以为的更聪明。 20 、人生在世，最重要的不是自己处境如何，而是你如何看待自己的处境。 3. 平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 22. 不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。 12 、每一个人都拥有生命，却不是每个人都能读懂生命;每一个人都拥有头脑，却不是每个人都善用头脑。 19. 贵有恒，何须三更起五更眠;最无益，莫过一日曝十日寒。 17 、一生中你唯一需要回头的时候，是为了看自己到底走了多远。 2 、如果你想在这个世界上获得成功，当你进入某个沙龙时，你必须让你的虚荣心向别人的虚荣心致敬。 7 、很多时候想不明白，现在仍令我囚于空壳的坚守是什么。 13 、不要因为一时的失败和挫折，就忘记曾经壮志满满说过要去的远方。 10 、你要求的次数越多，你就越容易得到你想要的东西，
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
沪教版(上海)数学高二下册-11.3 两直线的夹角 课件
若0 时: 若 为钝角时:
2 于是得:cos cos
d1 y
yd1
d2
d2
l2
o
l1
d
x
2
l2
x
o
l1
1)
2)
向量推导
解:根据l1与l2的方程,取 d1 (b1, a1), d2 (b2, a2 )
为 l1与 l2的方向向量.
由向量的夹角公式得: cos d1 d2
两直线的夹角
复习巩固
平面内两直线的位置关系有哪些？
相交、平行、重合
两相交直线可以用什么量来刻画它们的 相交程度？
新知学习
一、两直线夹角定义及范围
βα
图1
图2
1.两条相交直线的夹角: 两条相交直线所成的锐角或直角.
2.如果两条直线平行或重合,我们
规定它们的夹角为 0
3.平面上两条直线夹角的范围:
0,
2
y
x
o
y
x o
二、两直线夹角公式的探究
已知两直线方程求夹角 已知两条直线：l1 : a1x b1y c1
l2 : a2x b2y c2
求两直线夹角 的大小.
0(a1,b1不同时为0) 0(a2,b2不同时为0)
探究1：
两直线 l1、l2的夹角 与方向向量 d1、d2 的夹角
之间有何关系？
解：（1）根据l1与l2的方程及两直线夹角公式可得:
cos 3 2 1 (1) 2
(1)2 32 12 22 2
因为 0，,所2 以
即直线 l1 和
4
l2 的夹角为
4
练习：求下列各组直线的夹角：
(1)l1 : 3x y 12 0,l2 : x 0; (2)l1 : y 3x 12,l2 : x y 0;
数学11.3两条直线的位置关系教案1沪教版高中二级第二学期
11.3两条直线位置关系一、教学内容分析本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解.然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式.本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法.对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题.二、教学目标设计理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.三、教学重点及难点求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.思考并回答下列问题1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.从几何特征上看：相交⇔有唯一的公共点；平行⇔没有公共点；重合⇔至少有两个公共点，进而有无数个公共点.[说明] 通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？[说明] 通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.二、学习新课关于两直线的交点、位置关系1、概念引入引例：解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+-21310362x y y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131062x y y x ． 然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？解答：由直线方程的概念，我们知道方程组（1）有唯一的解⎩⎨⎧=-=22y x ，两条直线有且只有一个公共点为)2,2(-；方程组（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点；方程组（3）无解，两条直线无公共点.[说明] ①启发学生观察，并得出如下结论：方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.2、概念形成一般地，设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）……①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②两条相交直线的交点坐标思考并回答：如何求直线1l 、2l 的交点？解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线1l 、2l 交点的求法：联立1l 与2l 的方程:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a ……(Ⅰ)，此方程组的解,即为直线1l 、2l 交点. 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系思考并回答：由方程①②如何判断直线1l 、2l 的位置关系？解答：由引例分析、归纳出：直线1l 、2l 的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线1l 、2l 的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l 、2l 的位置关系.联立1l 与2l 的方程，得方程组:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a …(Ⅰ)，此方程组的解的个数与直线1l 、2l 交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:2211b a b a D =，2211bc b c D x --=，2211c a c a D y --=.则 当02211≠=b a b a D 时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x yx ，此时1l 、2l 相交于一点，交点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D D D D y x ,. 当02211==b a b a D 且y x D D ,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时1l 、2l 没有公共点，即直线1l 与2l 平行.当0===y x D D D 时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时1l 、2l 有无数多个公共点，即直线1l 与2l 重合.[说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”；②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.⏹ 回到引例请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系.[说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D 、y x D D 、的值，判断两直线的平行、重合、相交. ②通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式.3、概念的辨析⏹ 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D .⏹ 02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件.换言之，2112b a b a =1l ∥2l ；若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l ．[说明] 引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.4、例题分析例1已知直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x ，求实数a 的值，使直线1l 与2l 平行.（补充例题）解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .21//l l ,由0=D ,∴(1)60a a +-=，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行；当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合.∴2=a 不符合，∴3a =-即为所求．[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调0=D 是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.例2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. （课本p17例2）(1)06:21=++y m x l 与023)2(:2=++-m my x m l ;(2) )3(1:11-=-x k y l 与)3(1:22+=-x k y l .[说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.例3求经过原点且经过直线022:1=+-y x l 与直线022:2=--y x l 的交点的直线方程． 解：解方程组：⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ，∴1l 与2l 的交点是)2,2(， 设经过原点的直线方程为kx y =，把点)2,2(代入，得1=k ，所以，所求的直线方程为x y =．[说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.例 4 若三条直线1l ：023=+-y x ，2l ：032=++y x ，3l ：0=+y mx ，当m 为何值时，三条直线不能构成三角形？（补充例题）解:三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.（1）若三条直线交于同一点时,解方程组⎩⎨⎧=++=+-032023y x y x , 得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即1l 与2l 的交点是（1,1--），把点（1,1--）代入直线3l 的方程得1-=m ．（2）若其中至少有两条直线平行时，由1l //2l 得：3-=m ; 由32//l l 得:2=m ，综上：当1-=m 或3-=m 或2=m 时三条直线不能构成三角形.[说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.5．问题拓展⏹ 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?1l 与2l 的一个方向向量分别是1d =),(11a b -,2d =),(22a b -;一个法向量分别是1n =),(11b a ,2n =),(22b a .则1l 与2l 有如下关系：相交⇔1d 不平行2d ⇔1d 不垂直2n ⇔02112≠-b a b a ;平行⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a ;重合⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a .⏹ 三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.若至少有一条直线的斜率不存在，则设此直线方程为1x x =,通过图示观察,易知其关系. 若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为1l :11d x k y +=，2l :22d x k y +=,则有 ①1l //2l ⇔21k k =且21d d ≠；②1l 和2l 重合⇔21k k =且21d d =；③1l 和2l 相交⇔21k k ≠.[说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.三、巩固练习练习11.3（1）[说明] 进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.四、课堂小结本课我们主要学习了哪些知识？应当注意什么？运用了那些思想方法？① 知识点：本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法，求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法.解决问题时，注意区分两条直线平行与重合满足的条件.② 数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法．[说明] 引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，反思、巩固所用到的数学方法，达到巩固知识，明确方法的目的.五、作业布置1、书面作业：习题11.3 ----2,3,4,5,6,7,8,92、思考题：设直线的方程为(21)(32)1850m x m y m ++--+=，求证：不论m 为何值，所给的直线经过一定点.解 方法一：取m=0,1得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=+-430133052y x y x y x ,把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m, 原方程均成立,即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).方法二：对于任意实数m,关于y x ,的方程(21)(32)1850m x m y m ++--+=的解都相同0)52()1832(=+-+-+⇔y x m y x 对于任意实数m 恒成立,得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-+=+-43,01832052y x y x y x 解得, 即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).[说明]①作业布置1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
两条直线的位置关系夹角 教案
两条直线的位置关系(夹角)教学目的：1. 明确理解直线1l 到2l 的角及两直线夹角的定义.1l 到2l 的角及两直线夹角的计算公式. 1l 到2l 的角及两直线夹角.教学重点：两条直线的夹角. 教学难点：夹角概念的理解. 授课类型：新授课王新敞课时安排：1课时王新敞教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入：1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 二、讲解新课：1l 到2l 的角的定义：两条直线1l 和2l 相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做1l 到2l 的角.在图中,直线1l 到2l 的角是1θ,2l 到1l 的角是2θ.1l 到2l 的角θ：0°＜θ＜1８0°.2．直线1l 到2l 的夹角定义:如图，1l 到2l 的角是1θ,2l 到1l 的角是π-1θ,当1l 与2l 相交但不垂直时, 1θ和π-1θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.补充：当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是2π.夹角α：0°＜α≤90°.说明: 1θ＞0, 2θ＞0,且1θ+2θ=π 3．直线1l 到2l 的角的公式:12121tan k k k k +-=θ.推导:设直线1l 到2l 的角θ，222111:,:b x k y l b x k y l +=+=. 如果.2,1,012121πθ=-==+则即k k k k如果0121≠+k k ,设1l ，2l 的倾斜角分别是1α和2α，则2211tan ,tan k k ==αα.由图（1）和图（2）分别可知)()(122112ααπααπθααθ-+=--=-=或)tan()](tan[tan )tan(tan 121212ααααπθααθ-=-+=-=∴或于是121212121tan tan 1tan tan tan k k k k +-=+-=ααααθ王新敞4．直线1l ，2l 的夹角公式: 12121tan k k k k +-=α王新敞根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°1l 到2l 的角取绝对值而得到1l 与2l 王新敞三、讲解X 例：例1 求直线23:,32:21-=+-=x y l x y l 的夹角(用角度制表示) 例2 求过点P （-5,3）且与直线x+2y-3=0的夹角为arctan2的直线l 的方程. 说明:上两例应用了两直线夹角公式,要求学生熟练掌握.例3 等腰三角形一腰所在直线1l 的方程是022=--y x ,底边所在直线2l 的方程是01=-+y x ,点(-2,0)在另一腰上,求这条腰所在直线3l 的方程例4 三角形的三个顶点是A (6，3)，B (9，3)，C (3，6)，求它的三个内角的度数. 四、课堂练习：1．求下列直线1l 到2l 的角与2l 到1l 的角：（1）1l ：y ＝21x ＋2；2l ：y ＝3x +7； (2)1l ：x －y ＝5；2l ：x ＋2y －3＝0王新敞2.求下列两条直线的夹角：（1）y ＝3x －1，y ＝－31x ＋４； （2）x －y ＝5；y ＝４.(3)5x －3y ＝9，6x ＋10y ＋7＝0.3．已知直线l 经过点P （2,1），且和直线5x ＋2y ＋3＝0的夹角等于45°，求直线l 的方程.五、小结 ：通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与1l 到2l 的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题王新敞六、课后作业： 七、板书设计（略）王新敞。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
谢谢大家！
4 、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了 不在生活面前屈服。--奥斯特洛夫斯基 14 、人不能有丝毫的自满心理。因为学无止境，活到老学到老，浅尝辄止或半途而废，就学不到高深的技艺。 1 、成功就是凭着勇气和努力，不断地超越自己，做最好的自己。 9 、眼泪不是我们的答案，拼搏才是我们的选择。 16 、生命的奖赏远在旅途终点，而非起点附近。我不知道要走多少步才能达到目标，踏上第一千步的时候，仍然可能遭到失败。但我不会因 此放弃，我会坚持不懈，直至成功! 16 、生命的奖赏远在旅途终点，而非起点附近。我不知道要走多少步才能达到目标，踏上第一千步的时候，仍然可能遭到失败。但我不会因 此放弃，我会坚持不懈，直至成功! 13 、不断进取，勇于面对一切困难，努力克服它，战胜它，这是生存的法则。相反，逃避是懦夫的作为，最终只能带来更多的危机。 7 、一个获得成功的人，从他的同胞那里所取得的，总是无可比拟地超过他对他们所做的贡献。 7 、居善地，心善渊，与善仁，言善信，政善治，事善能，动善时。夫唯不争，故无尤。 7 、有时不合逻辑的举动却恰恰有助于应付变化多端的事态，而正常的逻辑有时却只能将自己带进一个死胡同。这就需要我们有逆反思维。 14 、男人最大的武器是眼神，女人最大的武器是眼泪。 2 、所谓的成功并不需要你比所有的人都强，你只需要强过自己的对手或同行，就足够能显示你的价值。 17 、您得相信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走 下去，才必须勉为其难地去达到它。
19 、做任何事都要经受得挫折，要有恒心和毅力，满怀信心坚持到底。 7 、顶天立地的铮铮男儿，有着坚韧不拔的气质，忠诚和保卫国家，忠于和保护人民，吃苦在前，享乐在后，把祖国和人民的利益放在第一位 ;无条件的服从命令，听从指挥，跟着党走，一心一意;始终保持自信的战斗力，坚决果断，有第一就争，有红旗就要抗在自己的肩上;无怨无悔 ，自强不息，为国分忧，为民尽力，“一日为兵，终日为兵”。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-直线中的对称问题 教案
点 P (−2,2) ，则易求得 P 关于直线 l2： 2 x − y + 1 = 0 的对称点 P (2,0) ，将 P 的坐标代
简单点评 小结，直接 请学生回 答出所求 直线方程
二、 轴对称（轴（直线）是对称点连线段的中垂线） 1、 点线对称
例 3 求点 P (−2,2) 关于直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 对称的点的坐标。
给予充 足时间， 让学生 能够消 化并内 化
解：设 P (−2,2) 关于直线 l 的对称点为 P(a, b)
根据题意得 PP ⊥ l ，且 PP 的中点 ( a − 2 , b + 2) 在直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 上 22
2/5
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
此方法 学生容 易想到， 重点指 出垂直、 平分两 个信息
解：设 P 关于直线 l 的对称点为 P 根据题意得 PP ⊥ l ，则 PP 所在直线方程是 x + 2y + c = 0 ，又点 P (−2,2) 在直线上， 所以 c = −2 ，即 PP 所在直线方程是 x + 2y − 2 = 0 ，与已知直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 的 交点坐标是 (0,1) ，由中点公式可得 P 的坐标是 (2,0) ，即所求对称点坐标是 (2,0)
明天我们就运用对称的性质来解决相关的距离最值等问题；还有就是今后我们还要学到“轨 迹”，也可以用求轨迹的方法来解决其中的点线对称求点坐标，线线对称求直线的问题。再 有就是点点对称、点线对称是最基本的对称，以后学习曲线关于点对称或者曲线关于直线对 称，都可以转化为点点对称和点线对称，因为任何曲线都是由点构成的。
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11.3（2）两条直线的夹角
教学目标
理解直线夹角公式的推导过程，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力
教学重点及难点
理解两条直线夹角公式的推导过程，会求两条直线的夹角
教学过程
一、复习引入
1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标
（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；
（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；
（3）0524:1=+-y x l ， 032:2=--y x l ．
问题1：（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？
二、学习新课
1、概念形成
两条直线的夹角
如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？
平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因
为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为
两条直线的夹角.
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.
问题2：现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？
2、夹角公式的推导
引导学生画图分析，寻找夹角、方向向量之间的关系.
设两条直线的方程分别为
1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）
2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.
设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，
当]2,
0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(
ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.
于是得:222221212121212
1|
||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα.
即为直线1l 与2l 的夹角公式.
特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2
π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)
而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12
211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.
3、例题分析
例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：
（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；
（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；
课堂练习：求下列各组直线的夹角θ
（1）1:31l y x =-，2:340l y x +-=
（2）1:10l y x -+=，2:4l y =
（3）2:10l x y ++=，2:2l x =
例2：已知直线0942=++y x 和直线08=++ay x 的夹角是14π ，求实数a 的值.
例3：已知直线l 过点)3,2(-P ，且与直线023:0=+-y x l 的夹角为
3π，求直线l 的方程.
课堂练习：已知直线l 经过原点，且与直线1y =+的夹角为6
π，求直线l 的方程。
三、课堂小结
四、作业布置
1、书面作业：习题11.3 A 组----10,11,12。