【专题训练】数列(等差、等比) 知识点总结及题型归纳
数列大题知识点归纳总结
数列大题知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，数列大题是考察数列相关知识的一种形式。
本文将对数列的相关知识点进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
常用的表示方法为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，第n项的值等于首项加上项数减1再乘以公差。
在计算等差数列时，可以利用常用公式：等差数列前n项和Sn=n/2(a1+an)，等差数列的前n项和等于项数乘以首项和末项的和再除以2。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。
常用的表示方法为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，第n项的值等于首项乘以公比的n-1次方。
在计算等比数列时，可以利用常用公式：等比数列前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，等比数列的前n项和等于首项乘以1减去公比的n 次方，再除以1减去公比。
三、求和公式在一般的数列中，求解前n项和的问题较为复杂。
但对于等差数列和等比数列，可以利用求和公式快速计算前n项和。
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，等差数列的前n项和等于项数乘以首项和末项的和再除以2。
等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，等比数列的前n项和等于首项乘以1减去公比的n次方，再除以1减去公比。
四、常用性质在数列的研究中，常用的一些性质也很重要。
1. 首项与末项之和等于相邻两项之和的一半。
即a1+an=an-1+an。
2. 首项与末项之和等于中间任意两项之和的一半。
即a1+an=ak+ak+1。
3. 对于等差数列，如果求出了它的前n项和Sn，那么其后m项和Sm等于Sn减去前m项的和。
即Sm=Sn-(S1+S2+...+Sm-1)。
4. 对于等比数列，如果求出了它的前n项和Sn，那么其后m项和Sm等于Sn乘以公比的m次方减去1，再除以公比减去1。
等差数列与等比数列例题和知识点梳理
等差数列及其前n 项和 等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示 充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二 教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三 易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列． 例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根． 例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。
等差等比数列练习题xue以及基础知识点
20、已知 为等比数列， ，求 通项式。
21、数列 的前 项和记为
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求
22、已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或 ，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“ ”④四数成等比数列，可设四数为“ ”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.
①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A）4（B）3（C）2（D）1
8、数列1 ,前n项和为（）
（A） （B） （C） （D）
9、若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，且满足 ，则 的值为（）
[例1]解答下述问题：
（Ⅰ）已知 成等差数列，求证：
（1） 成等差数列；
（2） 成等比数列.
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.
（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
，求项数n.
（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
高中数学必修5：等差数列与等比数列的综合问题 知识点及经典例题(含答案)
等差与等比数列的综合问题【知识概述】一、两种数列综合考查有以下几种命题方式：1.嵌套式：将一种数列嵌套在另外一种数列中作为一个知识点进行考查；2.拼盘式：在一个综合问题中，将两种数列像一个拼盘一样拼在一起，来综合考查这两种数列的各种概念与性质3.引申式：将等差数列或者等比数列进行引申，将它与其他的数学知识产生联系，从而在考查数列知识的同时考查数学的其他相关知识二、等差数列与等比数列在一定情况下可以互相转换1.若{}n a 为等差数列{}(0,1)n a a a a ⇔>≠为等比数列；2.若{}n a 为等比数列{log }(0,1)a n a a a ⇔>≠为等差数列.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a = .2．[难度] 中设{}n a 为等差数列，{}n b 是各项都是正数的等比数列，111a b ==, 243a a b +=，243b b a =，求及{}n b 的前10项的和10S 及10T .3．[难度] 中设{}n a 是等差数列，1()2n a n b =，已知b 1＋b 2＋b 3＝821，b 1b 2b 3＝81. （1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）求等差数列{a n }的通项a n .【经典例题】{}n a例1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37,S =且1233,3,4a a a ++构成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln ,1,2n n b a n +==…, 求数列{}n b 的前n 项和n T .例2．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设 2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n c +< n c .例3．已知等差数列的公差d 不为0，设，（1）若 ，求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求q 的值；（3）若.例4．已知数列{}n a 中，112a =,点*1(,2)()n n n a a n +-∈N 在直线y x =上. （1）令11n n nb a a +=--,求证数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设n S ，n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,是否存在实数λ使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列？ 若存在，试求出λ，若不存在,则说明理由.【本课总结】}{n a 121-+++=n n n q a q a a S *1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=-- 15,1,131===S a q }{n a 3211,,,S S S d a 且=*2222,1)1(2)1(1,1N n q q dq T q S q q n n n∈--=+--±≠）证明（1.等差和等比数列是两个基本的数列模型，是高考的重点和热点，将两种数列综合在一起进行考查是常见的命题形式，难度低中等，但若是在等差、等比数列的基础上引申和创新的问题，则一般难度较大，对考生的观察理解能力和灵活利用所学知识分析和解决问题的能力要求较高，命题的规律则通常是以一种类型数列为主导，兼顾另一种数列的相关知识，如中项公式等，目的是从基本量的角度给出确定数列的条件.解决等差数列与等比数列综合问题的关键，是能够熟练、准确和综合的运用相关的知识.注重总结常见问题的题型特征和命题规律以及相应的解题方法，并能比较深刻的理解和掌握问题中所蕴含的数学思想方法.2.请同学们体会如何将两种特殊数列进行综合，如何把他与其它的知识进行综合，不同的综合方式构成了不同难度的试题形式，当等差数列和等比数列综合的时候，要对这两个数列的基本知识进行很好的把握，把问题做适当的分解，便可以获得恰当的解题方法【活学活用】1．[难度] 中公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 .2. [难度] 中已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项;（2）求数列{}2n a 的前n 项和n S3. [难度] 难已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a =，2716a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：*312123()2222n n n b b b b a n =++++∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S。
等差、等比分类复习总结
等差、等比数列分类复习知识回顾1.等差、等比数列： 等差数列等比数列定义常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+常数）为(}{1q a a P G a nn n =⇔⋅+ 通项公式 n a =1(1)()m a n d a n m d +-=+- 1dn a d =+-k n k n n q a q a a --==11求和公式n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qq a a q q a q na s n n n中项公式A=2ba + 推广：2n a =m n m n a a +-+ ab G =2．推广：m n m n n a a a +-⨯=2性质1 若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+若m n p q +=+，则q p n m a a a a =．2 }{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P ． }{n k 成等比数列（其中N k n ∈），则}{n k a 成G.P ．3 n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列． n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列．4)(11n m nm a a n a a d nm n ≠--=--=11a a q n n =- ， mn mn a a q =- )(n m ≠ 2.判断等差数列的方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--；②211-++=n n n a a a (2≥n )；③b kn a n +=(k n ,为常数). 3.判断等比数列的方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ；②112-+⋅=n n na a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a )；③n n cq a =(q c ,为非零常数)； 4.数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n5.在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：①当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值.②当1a <0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使m s 取最小值.解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想应用.等差数列练习1．若,b a ≠数列b x x a ,,,21和数列b y y y a ,,,,321都是等差数列，则=--1212y y x x （ ）A ．43 B ．32 C ．1 D ．34 2．在等差数列{}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++ ＝ （ ）A ．40B ．45C ．50D ．553．等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为 （ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-4．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为 （ ）A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 205．已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是（ ）A ．(－∞,－2)B ．[－715, －2] C ．(－2, +∞) D ．(—715,－2) 6．在等差数列}{n a 中，若30,240,1849===-n n a S S ，则n 的值为 （ ）A ．18 B17． C ．16 D ．157．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ 等于（ ）A ．－20．5B ．－21．5C ．－1221D ．－208．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于 （ ） A ．22 B ．21 C ．19 D ．189．等差数列{}n a 中，若ｍ＞1且2110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则ｍ的值是 （ ）A ． 10B ． 19C ．20D ．3810．等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 11．设{n a }与{n b }是两等差数列,它们的前n 项和分别为n S 和n T ,若3413-+=n n T S n n ,则=nn b a ___； 12．已知}{n a 是等差数列,且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则k = .13．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则=++2tan 2tan 32tan 2tanCA C A . 14．在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= .15．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，542,30n a a -==(n ≥5，*n N ∈)，n S =336，则n 的值是 . 16．己知}{n a 为等差数列,122,3a a ==,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 17．数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。
数列的知识点大题总结
数列的知识点大题总结一、数列的概念和分类1. 数列的概念数列是指按一定规律排列的一组数。
在数列中，每个数都有其特定的位置，这些位置往往由自然数来表示，如1、2、3、4等。
2. 数列的分类根据数列的规律和性质的不同，可以将数列分为等差数列、等比数列和其他特殊类型的数列。
（1）等差数列等差数列指的是数列中任意相邻两项的差都相等的数列，这个公差可以是正数、负数或零。
例如：1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
（2）等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比值都相等的数列，这个比值可以是正数、负数或零。
例如：2，6，18，54就是一个比值为3的等比数列。
（3）特殊类型数列特殊类型数列指的是除了等差数列和等比数列以外的数列，如递减数列、递增数列、周期数列等。
二、数列的常用记号与符号1. 数列的一般形式数列一般用字母a表示，同时用n表示这个数列中的第n项。
即数列的一般形式可以表示为{a1, a2, a3, …, an}。
2. 数列的通项公式数列的通项公式指的是用代数式表示数列中任意一项的公式，通常用an或者Un表示数列中第n项。
例如：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d；等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 数列的前n项和数列的前n项和指的是数列中前n个数项的和，通常用Sn表示。
其计算公式为Sn = a1 +a2 + a3 + … + an。
三、数列的性质和公式1. 等差数列的性质（1）公差的性质：在等差数列中，任意两项的公差相等。
（2）通项公式：等差数列的通项公式有通用的形式，即an = a1 + (n-1)d；（3）前n项和的公式：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)。
2. 等比数列的性质（1）公比的性质：在等比数列中，任意两项的比值相等。
（2）通项公式：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)；（3）前n项和的公式：等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
高中数列知识点归纳总结及例题
高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。
通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。
1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。
其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。
数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。
1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。
解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。
下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。
2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，a1为首项，an为末项，n为项数。
(word完整版)等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档
A 、等差数列知识点及经典例题一、数列由n a 与n S 的关系求n a由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。
〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。
分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。
解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{1nS }是等差数列； （2）求n a 的表达式。
分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g →1n S 与11n S -的关系→结论； （2）由1nS 的关系式→n S 的关系式→n a 解答：（1）等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =11a =2为首项，以2为公差的等差数列。
(完整版)等差等比数列知识点总结
等差等比数列知识点总结1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即a n a n 1 d (d 为常数)(n 2)；2. 等差中项:(1)如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:或2A a b3. 等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，可以得到等差数列的通项公式为：a n 4 n 1 d推广：a n a m(n m)d.a n a m 从而dn m4. 等差数列的前n项和公式：n(a1 a n) n(n 1) , d 2 , 1 2S n na1 d n 佝d)n An Bn2 2 2 2(其中A、B是常数，所以当d M 0时，S是关于n的二次式且常数项为0) 5. 等差数列的判定方法(1)定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d (常数n N ) a n是等差数列.(2)等差中项：数列a n是等差数列2a n a n-1 a n 1 (n 2)2a n 1a n a n 2 .(3)数列a n是等差数列a n kn b (其屮k, b是常数)。
(4)数列a n是等差数列S n An2Bn,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法定义法：若a n a n 1d或a n1 a n d(常数n N) a n是等差数列.(2 ) 等差中项数列a n 2a n a n-1 a n i(n 2) 2a n 1 a n a n 27.等差数列的性质:（1）当m n p q 时,则有a m a n a p a q ，特别地，当m n 2p 时，则有⑵ 若｛a n ｝是等差数列，则S n ,S 2n 5,务 S ?n ，…也成等差数列和，S n 是前n 项的和 1.当项数为偶数2n 时,a na n 12、当项数为奇数2n 1时，则（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项） 1、 等比数列的定义：旦q q 0 n 2,且*n N ，q 称为公比a n 12、通项公式：n 1a n aga 〔 n n1q A B a-i q 0,A B0，首项:a 1 ；公比：qq推广：a nn mn ma m qqa nq n ma mV am3、 等比中项：（1）如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数）a m a n2a p .（3）设数列a n 是等差数列,d 为公差，S 奇是奇数项的和, S 偶是偶数项项的n a ia 2n 1a2n 1— nana 2nn a 2a 2n2na n 1na n 1 na nn a n 1 a n =ndS 2n 1S 奇S 偶（2n1） a n+1S 奇 S 偶 a n+1S 奇 （n 1応+1S 偶n a n+1a i a 3a 5a 2 a 4 a 6 na n na n 1S奇为等比数列6等比数列的证明方法:7、等比数列的性质:(3)若｛a n ｝为等比数列，则数列S n ，S 2n S n ，务 dn,，成等比数列 (4)在等比数列｛a n ｝中，当项数为2n(n N *)时，§奇-S 禺q(2)数列a n 是等比数列 2 ana n 1 a n 14、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S nna i(2)当 q 1 时，S.a, 1a 〔 a 〔A AB n A'B n A' ( A,B,A',B'为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n,都有amqa n 或 也 q(q 为常数，a n 0){a n }a n(2)等比中项:2 ana n 1a n 1 ( a n 1 a n 1 0) ｛a n ｝为等比数列(3)通项公式：a nA B n A B 0｛a n ｝为等比数列依据定义：若-a ^ qa n 1q 0 n 2,且 nN 或a n 1 qa n ｛a n ｝为等比数列(1) 若 m n s t(m,n,s,t N )，贝U a n a m a s a t 。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
专题5-1 等差等比性质综合(14题型+解题攻略)-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式含答案
【变式1-1】（2019秋·河南洛阳·高三统考）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若9n n S S -=（n N *Î且9n <），有以下结论：①90S =；②50a =；③{}n a 为递增数列；④90a =．则正确的结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（2019春·上海杨浦·高三复旦附中校考）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：①若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n ÎN ，0n S >②若对一切*n ÎN ，0n S >，则数列{}n a 为递增数列③若存在*m N Î，使得0m S =，则存在*k ÎN ，使得0k a =④若存在*k ÎN ，使得0k a =，则存在*m N Î，使得0m S =其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1.nn na b a +=若对任意的*n ÎN ，都有6n b b ³成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]6,5--B ．()6,5--C ．[]5,4--D ．()5,4--题型02等比数列单调性【解题攻略】函数图象法：求出数列{}n a 的前n 项和()n S f n =，利用函数()y f x =的图象性质来研究n S 的最大最小值问题.【典例1-1】无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2nn S =，则下列结论中正确的有（ ）A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为递增数列【典例1-2】等比数列{}n a 的公比为q ，则“1q >”是“对于任意正整数n ，都有1n n a a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【变式1-1】已知数列{}n a 满足12a =，12(N )n n a a n *+=Î，设()()*N n n b n a n l =-×Î，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数l 的取值范围是（ ）A ．()3-¥，B ．()3+¥，C ．(]3-¥，D ．[)3+¥，【变式1-2】.数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1-3】数列{an }满足an +1＝2an +1，a 1＝1，若bn ＝l an ﹣n 2+4n 为单调递增数列，则l 的取值范围为（ ）A ．18l ＞B ．14l ＞C ．38l ＞D ．12l ＞题型03等差数列不等式正负分界【解题攻略】邻项变号法：若当n m £时，0n a ³，当1n m ³+时，0n a £，则数列{}n S 中，m S 最大；若当n m £时，0n a £，当1n m ³+时，0n a ³，则数列{}n S 中，m S 最小.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()552sin 2350a a +--=，()201820182sin 2370a a +--=，则下列结论正确的是（ ）A ．20222022S =，且52018a a >B ．20222022S =-，且52018a a <C ．20224044S =-，且52018a a >D ．20224044S =，且52018a a <【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，100S >，60a <，则选项不正确的是（ ）A ．数列n n S a ìüíýîþ的最小项为第6项B ．2445d -<<-C ．50a >D ．0n S >时，n 的最大值为5【变式1-1】（2021·全国·高三专题练习）设数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若113S £，410S ³，515S £，则4a 的最大值为A ．3B ．4C ．7-D ．5-【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（ ）A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=££Î,C ．当110S >时，5n S S ³D ．当110S <时，5n S S ³【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和.若20200S <，20210S >，则下列判断错误的是（ ）A ．数列{}n a 递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项和最小D ．10110a >题型04等比数列“1”比较型不等式【解题攻略】等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：1.若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ，特别地，若p ＋q ＝2k ，则a p ·a q ＝a k 22.如果等比数列是正项递增数列，则若p ＋q >m ＋n ，则a p ·a q >a m ·a n.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；② 2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④【典例1-2】（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n项积为n T ，且11a >，202120221a a >，20212022101a a -<-，则下列结论正确的是（ ）A ．1q >B ．2021202210S S ->C ．2022T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a --<，则下列选项错误的是（ ）A ．01q <<B ．202020211S S +>C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >【变式1-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ）A ．681a a >B ．01q <<C ．1q >D ．n T 没有最大值【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，并且满足条件()()178781,1,110a a a a a >>--<，则下列结论正确的是（ ）A ．791a a >B ．01q <<C ．6879a a a a +<+D ．n S 的最大值为8S 题型05等差数列“高斯”性质【解题攻略】.一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q Î+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ìüíýîþ为等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）已知等差数列{}n a 满足225910a a +=，则12345a a a a a ++++的最大值为（ ）A ．55B ．20C ．25D ．100【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N+=+Î，则下列判断正确的是（ ）A ．22p pS p a =×B ．p q m na a a a >C ．1111p q m na a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+【变式1-1】（2022秋·山东临沂·高三校考期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63a =，则11S =（ ）A ．22B ．33C ．44D ．55【变式1-2】（2023秋·高三课时练习）在等差数列{}n a 中，91110a a +=，则数列{}n a 的前19项之和为（ ）A ．98B ．95C ．93D ．90【变式1-3】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考）在等差数列{}n a 中，若31730a a +=，则91011a a a ++=（ ）A ．30B ．40C ．45D ．60.题型06 等比数列“高斯”性质【解题攻略】等比数列“高斯技巧”（1)“高斯”技巧：若p ＋q ＝m ＋n ，则ap·aq ＝am·an ，特别地，若p ＋q ＝2k ，则ap·aq ＝ak2； (2)“跳项”等比：数列an ，an ＋k ，an ＋2k ，an ＋3k ，…为等比数列，公比为qk.(3)“和项”等比：数列Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 仍成等比数列，其公比为__qn__.【典例1-1】（2023秋·山西太原·高三统考）已知数列{}n a 为等比数列，且3542a a a ×=，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若44b a =，则7S =（ ）A ．7B ．14C ．62D ．72【典例1-2】（2023春·内蒙古通辽·高三校联考开学考试）已知等比数列{}n a 满足：24682820,8a a a a a a +++=×=，则24681111a a a a +++的值为（ ）A ．20B ．10C ．5D ．52【变式1-1】（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且3781a a =，则313539log log log a a a ++=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式1-2】（2022秋·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知方程()()22880x mx x nx -+-+=的四个根组成以1为首项的等比数列，则m n -=（ ）A ．32B ．32或23C ．32±D ．3±【变式1-3】（2023秋·甘肃·高三校考阶段练习）若等比数列{}n a 中的5a ，2019a 是方程2430x x -+=的两个根，则31323332023log log log log a a a a ++++L 等于（ ）A ．20243B ．1011C ．20232D ．1012题型07等差中项比值型【解题攻略】双数列等差中项比值转化型{}n a 、{}n b 均为等差数列且其前n 项和为n S 、nT则2121=n n n n a S b T --.【典例1-1】（2023春·新疆伊犁·高三校考）设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，若337n n S nT n =+，则66a b =（ ）A ．1720B ．1120C ．3340D ．1217【典例1-2】（2023春·江西吉安·高三永丰县永丰中学校考）等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 与n T ，若2835n n S nT n =+，则293a ab +=（ ）A ．127B ．3217C ．167D ．2【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（ ）A ．3B ．6C ．327D ．8013【变式1-2】（2023春·新疆·高三八一中学校考）若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n A B 满足()71427n n A n n B n *+=Î+N ，则1111a b =（ ）A ．141107B ．43C ．74D ．7871【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，()0,n n n T S T ¹，且()()1723n n n S n T +=+，则66a b 的值为（ ）A ．657B ．253C ．10713D ．10112题型08 等比中项比值型【典例1-1】已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1113810a a a a +=+（ ）A ．27B ．3C ．1或3D ．1或27【典例1-2】已知等比数列{}n a 中，14a ，312a ，23a 成等差数列．则2018202020172019a a a a --=（ ）A ．4或1﹣B ．4C ．1-D ．4﹣【变式1-1】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且7104a a =，则612S S =（ ）A ．910B ．1617C ．1716D ．817【变式1-2】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ）A ．13B ．43C ．3D ．4【变式1-3】已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a aa +=+（ ）A ．12+B ．12-C ．322+D ．322-题型09整数型比值【解题攻略】整数型比值，可以通过分离常数，因式分解，整除等知识点来构造求解【典例1-1】已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比151,22q éö-Î÷ê÷ëø，若211,a d b d ==，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则实数q =（ ）A ．4B ．2C ．12D ．14【典例1-2】（2023春·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为Sn 和Tn ，且n n S T =2703n n ++，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式1-1】（2022春·安徽安庆·高三安庆市第七中学校考阶段练习）已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 且()()1723n n n S n T +=+，则使nna b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．6C ．4D ．5【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n A ，n B ，且1n n A n B n =+，则使n n a b l ³恒成立的实数l 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．1D ．2题型10 等差等比函数性质：恒成立求参【典例1-1】（2020·江苏·高三专题练习）已知{}n a 是公比不为1的等比数列，数列{}n b 满足：2a ，nb a ，2na 成等比数列，2221n n n c b b +=，若数列{}n c 的前n 项和n T l ³对任意的*n ÎN 恒成立，则l 的最大值为A ．13B ．16C ．115D ．215【典例1-2】（2020·全国·高三专题练习）已知{}n a 为递增的等差数列，23a =且1342,1,1a a a -+构成等比数列.若*n N "Î，数列11{}n n a a +的前n 项和n T M <恒成立，则M 的最小值为A ．16B ．14C ．13D ．12【变式1-1】（2021秋·山西朔州·高三校考阶段练习）等比数列{}n a 的前n 项和1132+=×+n n S c （c 为常数），若23n a n S l £+恒成立，则实数l 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【变式1-2】（2023秋·辽宁·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=.设()232n n b n n a =--×，若对于任意的N n *Î，n b l £恒成立，则实数l 的取值范围为【变式1-3】（2023秋·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）在数列{}n a 中，14a =，132n n a a +=-，若对于任意的*n ÎN ，()125n k a n -³-恒成立，则实数k 的最小值为 ．题型11等差等比函数性质：奇偶型讨论【解题攻略】奇偶型讨论：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
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一、等差数列及其前n 项和等差数列的常用性质：如果等差数列{a n }的首相时，公差为d ，那么1a （1）通项公式：=_____________________=___________________；n a （2）前n 项和=__________________=_______________________；n S （3）_______________；若,则________________________；+=m n a a n m l k +=+（4）若{a n }是等差数列，公差为d ，则{k a n }也是等差数列，公差为__________； 也{}n a 2是等差数列，公差为___________；（5）若{a n }，{b n }是等差数列，公差分别为则{a n+b n }也是等差数列，公差为21,d d _______________；（6）在等差数列{a n }中，若，则存在最______ 值，若，则0,01<>d a n S 0,01>< d a 存在最_____ 值。
n S （7）公差不为0的等差数列{a n }的前n 项的和为，则仍成等差数n S n n n n n S S S S S 232,,--列，其公差为__________。
（8）若{a n }是等差数列，前n 项的和为，则也是等差数列，公差为n S ⎭⎫⎩⎨⎧n S n ____________。
题型一 等差数列的基本运算1. 在等差数列{a n }中，。
3,131-==a a （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }的前k 项和，求k 的值。
35-=k Sk ＝________。
（2）已知为等差数列的前n 项的和，，，则的值为n S {}n a 254,a a +=721S =7a _________________。
（3）等差数列{a n }中，，若，则数列的前5项和为15,652==a a n n a b 2={}n b ___________。
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(3)8A 、等差数列知识点及经典例题一、数列由a n 与S n 的关系求a n由S n 求a n 时，要分n=1和n > 2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段1例〗根据下列条件，确定数列a n 的通项公式。
⑴⑷=1 .屮I =3%+2孑 (2 ) a\ = 1,4+i = C n+ 1) Ofl ?分析：(1)可用构造等比数列法求解； (2)可转化后利用累乘法求解； (3)将无理问题有理化，而后利用a n 与S n 的关系求解。
丁耳初=3兔+ 2,二％知+ 1=3(弘+1八二詈异=3工丽临为等比数列拾比+二為+ 1 = 2 * 3" 1 , A ^ = 2 * 3^-1.E^H =(n+> •-=服得 S T =(A ±^!当 42 时=5一5-='為f "(為尸O(2) ■!.片・1一亠「・| ^一 J ........................ 「 「亠记.故"—<-累乘可得，函数的形式表示为a nS (n 1) Si S n 1 (n 2)解答：(1)—（cud- a, i+4）（弼―a™- I〉，二（召+為丨）（的—编| —4） = QrTcin>0,「*爲+ 4 i>CbA O H —I —4=0,即％—久1=4, 化数列为等差数列，"差d=4.丁尸<«> +2）又a» = S* =-------- g ----- »A a. -2»•:%=2十4（川一1〉=如一2・一二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，a n a n 1 d（常数）（n 2），第二种是利用等差中项，即2a.务1 %i（n 2）。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
数列知识点归纳及习题总结
等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点N2cab+ =定义:nn n n n n a aa a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项：abc 成等比数列ac b =⇒2基本概念推广m n m n q a a -⋅=前n 项和=n S )1(11)1()1(111≠--=--=q qqa a qq a q n a n n 等比数列与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--⋅===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差则nk n a a a ,...,21成等比基本性质 当101>>q a 或1001<<<q a 时 {}n a 为递增数列当101><q a 或1001<<>q a 时 {}n a 为递减数列当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括 （一）．一般数列数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{a n }的通项公式a n ；数列的前n 项和公式S n ； 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn（二）等差数列 1．等差数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
即：成等比数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n d a a ⇔≠≠≥=--2．等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
等差数列与等比数列知识点复习总结
等差数列与等比数列知识点复习总结的公比计算方法：①后一项除以前一项：q = an+1an②前两项之比：q = a2a1③前一项与后一项的平方根之比：q = √(an+1an3、等比数列an的通项式：①ana1q^(n-1)②anamq^(n-m)③anb*q^n （b为常数）4、等比数列an的性质：①两项性质：若m+n=p+q，则 a manapaq②等比中项性质：若x,A,y成等比数列，则 2A = x+y③下标成等比数列的项仍成等比数列。
若数列an是等比数列，公比为q，则数列akak+mak+2mak+3m仍构成等比数列，公比为q^m。
5、等比数列an的前n项和：Sna1q^n-1)/(q-1)等比数列前n项和性质：①首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)②首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)③特别地，首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=(1-q^n)/(1-q)6、等比数列前n项和性质：①首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)②首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)③特别地，首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=(1-q^n)/(1-q)等差数列前n项和性质：①片段和性质：等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n。
即a1+a2+。
+am，am+1+am+2+。
+a2m，a2m+1+a2m+2+。
+a3m也成等差数列，公差为md。
②若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别是An,Bn，则a1+b1,a2+b2.an+bn也成等差数列，公差为d1+d2.其它性质：（任何数列都适用）①Sn与Sn-1之间的关系：an=Sn-Sn-1(n=1),a1=S1②S2n-1与S2n之间的关系：an=1/2(S2n-S2n-1)(n≥2)③通项公式：an=S(n)-S(n-1)④题型：已知Sn与n的关系，求数列的通项公式an；已知Sn与an的关系，求数列的通项公式an。
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
高二数学必修五_第二章_等差等比数列练习题以及基础知识点总结_经典版
等差等比数列基础知识点（一）知识归纳: 1. 概念与公式：①等差数列: 1°.定义: 若数列 称等差数列； 2°.通项公式:3°.前n 项和公式: 公式:②等比数列：1°.定义若数列 （常数）, 则 称等比数列； 2°.通项公式:3°.前n 项和公式: 当q=1时 2. 简单性质:1°.若 是等差数列, 则 2°.若 是等比数列, 则 ②中项及性质:1°.设a, A, b 成等差数列, 则A 称a 、b 的等差中项, 且 2°.设a,G ,b 成等比数列, 则G 称a 、b 的等比中项, 且 ③设p 、q 、r 、s 为正整数, 且 一、 1°.若 是等差数列, 则 二、 2°.若 是等比数列，则三、 选择题1.在等差数列 中, ,且 , , 成等比数列, 则 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a2.已知 成等比数列, 且 分别为 与 、 与 的等差中项, 则 的值为 （ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 3.若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 , 且满足 , 则 的值为 （ ） （A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）874.已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60二、填空题5.各项都是正数的等比数列 , 公比 ,成等差数列, 则公比 = 6、已知等差数列 , 公差 , 成等比数列, 则 = 7、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =四、 解答题8、已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等, 且都等于 , , , ,求 。
等比数列等差数列知识点归纳总结
等比数列等差数列知识点归纳总结等比数列和等差数列是数学中常见且重要的概念之一。
在解决各种数学问题和应用中，它们都有着广泛的应用。
本文将对等比数列和等差数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这两个数列的特点和应用。
一、等差数列等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差保持恒定。
具体来说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d其中，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的常用术语包括首项、公差、通项公式和项数等。
1. 首项（a₁）：等差数列的第一项称为首项。
2. 公差（d）：等差数列中相邻两项的差称为公差。
公差可以是正数、负数或零。
3. 通项公式：等差数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。
在通项公式中，n表示项数。
4. 项数：等差数列包含的项的个数称为项数。
等差数列的主要特点是任意两项之差相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。
一些常见的应用包括求和公式、平均数问题、等差数列的图像和几何问题等。
二、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比保持恒定。
具体来说，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ * r^(n-1)其中，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
等比数列的常用术语包括首项、公比、通项公式和项数等。
1. 首项（a₁）：等比数列的第一项称为首项。
2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比称为公比。
公比可以是正数、负数或零，但不能为1。
3. 通项公式：等比数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。
在通项公式中，n表示项数。
4. 项数：等比数列包含的项的个数称为项数。
等比数列的主要特点是任意两项之比相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。
一些常见的应用包括求和公式、计算几何问题和金融领域的应用等。
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基本量法求数列的通项公式11.复习 等差数列(1)定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常．数．，那么这个数列就叫等差数列, 1(2)n n a a d n --=≥d a a n n =1--d a a n n =2-1--（由定义，累加法推得通项公式）…… d a a =12-(2)通项公式1(1)n a a n d =+-(3)性质: 在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；(4)前项和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=等比数列(1)定义 : 如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，1n a +：(0)n a q q =≠ (2)通项公式11-⋅=n n q a a(3)性质:在等比数列{}n a 中，q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中(4)前项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例1（2015年全国卷I ） n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，（1）求{}n a 的通项公式：变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9 （1）求数列{a n }的通项公式；变式2：已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；例2已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n n S a n =-.（1） 证明数列{1n a +}是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式；变式1：（湖北省黄冈中学2019届高三数学模拟试题1）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；变式3：已知数列{}n a ，{}n b ，其中1,511-==b a ，且满足)3(2111---=n n n b a a ，)3(2111----=n n n b a b ，2*,≥∈n N n .（1）求证：数列{}n n b a -为等比数列，并求数列{a n }、{b n }的通项公式；例3 .已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； 变式（浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项．数列{}n b的通项公式nn b =Νn *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；数列（等差、等比）知识点清单一、数列的概念1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
2.通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
练习：根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）9，99，999，9999…(2)8, 88, 888, 8888…(3)0.8, 0.88, 0.888, 0.8888…3.数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)nn n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥ 4.数列的单调性 二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A += 即：212+++=n n n a a a（mn m n na a a+-+=2）题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n ma a n m d =+-，nma a d n m-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22nn n a a n n S na d +-==+n d a ）（2n 2112-+=。
(),(2为常数B A Bn An S n +=⇒{}n a 是等差数列 ) 递推公式：2)(2)()1(1n a a n a a S m n m n n--+=+= 题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1nn S a S a +=奇偶；（2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1S n S n =-奇偶。
题型七.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。
题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k b kn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=⇒{}n a 是等差数列题型九.数列最值 （1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即： 若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩。
题型十.利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠。
递推关系与通项公式 mn m n n n n n q a a q a a a a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111q等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件. 等比数列的基本性质，1.（1）q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中（2）)(2*+--∈⋅==N n a a a aa q m n m n n mn mn ， （3）{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列.2.前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n3.若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等比数列.如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 4.等比数列的判定法 （1）定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； （2）中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列； （3）通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a n n ,({}n a 为等比数列； （4）前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。
⇒-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。
5.利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．四、求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 （2）累加法累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑（3）累乘法适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a af f f n a a a +===L L ，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏（4）待定系数法 （5）递推公式中既有n S 把已知关系通过11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求解。