复合材料力学Lecture-4

(4.14.5)
(4.11.4) (4.11.5)
例4.1：CF/环氧单向复合材料, Vf=0.6, 组成材料性能参 数见下表，求等效弹性常数。
材料 纤维 基体 单层板
E11(GPa) E22(GPa) ν12
207
17.5 0.27
3.5
3.5 0.35
125.6 6.73 0.302
G12(GPa) G23(GPa)
V 'm
+ ε i dV ⎥
V 'v
⎥⎦
=
V
f
ε
f i
+
Vm
ε
m i
+
Vv
ε
v i
（孔隙处有应变）
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
以下只讨论平均应力和平均应变，可将横杠略去。 再应用基本假设(3)，得到复合材料的两个基本方程：
{σ
i
}
=
V
f
{σ
f i
}
+
Vm
{σ
m i
}
(4.1)
{ε
i
}
=
V
f
E11 = V f E1f1 + Vm E m
ν12
=
V
fν
f 12
+ Vmν
m
Em
E22
=
1−Vf
(1 −
Em
/
E
f 22
)
G12
= 1−Vf
Gm (1 − G m
/ G1f2 )
Gm G23 = 1 − V f (1 − G m / G2f3 )
(4.11.1) (4.11.2) (4.11.3)
Exx
=Vf
E
f xx
+
Vm
E
m xx
(4.7)
再根据横向应变基本方程，导出：
ε yy
=
−ν xyε xx
=
V
f
ε
f yy
+
Vmε
m yy
= Vf
(−ν
f xy
ε
f xx
)
+
Vm
(−ν
m xy
ε
m xx
)
=
−(V
f
ν
f xy
+
Vmν
m xy
)ε
xx
从而，
ν xy
=
V
f
ν
f xy
+
Vmν
m xy
(4.8)
纤维
s
s
方形
s
d
d
三角形
s
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
对方形排列，总面积A=s2，纤维面积
Af
=π d2 4
纤维的体积含量为：
Vf
=
Af
/
A
=
π
⎛ ⎜
d
2
⎞ ⎟
4⎝s⎠
最大值在s=d时出现： V f max = π / 4 = 0.785 (4.5)
类似，三角形排列的纤维体积含量为：
Vf
=
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
4.1 引言
第一章曾指出，单向复合材料（简称为单层板）是 复合材料力学研究的主要对象，因为其它纤维增强 复合材料可以分解成一系列单向复合材料的组合。
本章讨论单向复合材料的弹性问题，就是如何确定 其线弹性本构方程。
由于任何一种材料的线弹性本构方程皆可用Hooke 定律描述，问题就转化为如何确定弹性阶段的柔度 矩阵。
π
⎛
d
2
⎞
⎜⎟
2 3⎝s⎠
最大值
：
Vf
max
=
π 2
3
=
0.907
(4.6)
4.4 混合率(ROM)公式
混合法或称为混合律 (rule of mixture)公式是复合 材料领域广为人知、使用很久、形式可能最为简 单的细观力学公式。
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
混合率公式建立在以下的三个 假设之上：
由前一章可知，单向复合材料是横观各向同性的， 共有5个独立的弹性常数，称为等效弹性常数，如果 将它们都一一确定，单层板的弹性问题也就完全解 决。
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
解决的方法分为宏观力学（Macromechanics）与细 观力学（Micromechanics）两类 。
宏观力学的方法是分别针对不同的单向复合材料， 直接进行实验测定材料的5个等效弹性常数。
在空间（三维）问题中，哑元如σi中i的变化范围为 1至6，可以取它们中的任何一个数；在平面问题 中，哑元如σi中i的变化范围则是1至3。
实型英文字母或阿拉伯数字下标如σxx、σ11表实元。
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
4.2.2 特征体元
虽然材料力学的开篇假设为“连续、均匀”，但实际 材料都不是均匀的，都比须在有限体积的单元体上 取平均后方可定义一点的应力和应变：
0
σ yy
=
σ
f yy
=
σ
m yy
=0
σ xy
=
σ
f xy
=
σ
m xy
=
0
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
应用关于轴向应力的基本方程，得到：
σ xx
=
Exxε xx
=
V
f
σ
f xx
+
Vmσ
m xx
=Vf
E
xfxε
f xx
+
Vm
E
m xx
ε
m xx
=
(V f
E
f xx
+
Vm
E
m xx
)ε
xx
即,
E11 = V f E1f1 + Vm E m
(4.14.1)
ν12
=
V
fν
f 12
+ Vmν
m
Em E22 = E33 = 1− V f (1− E m / E2f2 )
G12 = G13 = 1−
Gm V f (1− Gm / G1f2 )
(4.14.2) (4.14.3) (4.14.4)
Gm G23 = 1− V f (1− Gm / G2f3 )
+ Vmε
m yy
=
V
f
(
σ
f yy
Ef
)
+
Vm
σ (
E
m yy
m
)
=
⎜⎛ ⎜⎝
Vf Ef
+
Vm Em
⎟⎟⎠⎞σ
yy
即,
1 E yy
= Vf Ef
+
Vm Em
(4.9)
4.3.3 面内剪应力
根据加载条件和基本假设，有：
σ xx
=
σ
f xx
=
σ
m xx
=0
σ
yy
=
σ
f yy
=
σ
m yy
=
0
σ xy
=
σ
'
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 V'
f
V
'
σ
f
i
dV
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
V 'm V'
⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 V 'm
⎞
σ
i
dV
Baidu Nhomakorabea⎟ ⎟
V 'm
⎠
= Vf σ if
+
Vm
σ
m i
（孔隙处无应力）
同样，对应变取平均后，就有：
1
1⎡
⎤
∫ ∫ ∫ ∫ εi
=
V
'
V
ε
'
i
dV
=
V
'
⎢ ⎢⎣V
'
f
ε
i
dV
+ ε i dV
（1）施加简单外载时纤维和基体 中仅有相对应的内应力产 生，其它应力分量为0；
（2）轴向外力下纤维和基体中轴 向应变相同；
（3）其他简单外力下纤维和基体中的内应力相等。
4.4.1 轴向加载
仅仅沿特征体元的轴向加单向应力σxx。根据假设 （1）、（2）和加载条件，有：
ε xx
=
ε
f xx
=
ε
m xx
≠
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
令V’、V’f 、V’m、V’v分别表示特 征体元、纤维、基体、孔隙的体
积。对应力取平均后，得到：
1
1⎡
⎤
∫ ∫ ∫ ∫ σ i
=
V
'
V
σ
'
i
dV
=
V
'
⎢ ⎢⎣V
'
f
σ
i
dV
+ σ i dV
V 'm
+ σ i dV ⎥
V 'v
⎥⎦
∫ ∫ =
⎛ ⎜⎜ ⎝
V' V
f
Em
/
E2f2
)
⎟ ⎠
(4.13)
A (基体) B (纤维)
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
这就是原始的Hopkins和Chamis计算E22的公式。类 似，他们还导出了计算G12和G23的公式。
4.5.2 Chamis简化公式
Chamis后来发现，(4.12)的计算精度比(4.13)更好。 据此，他总结了一套简化公式：
基体
纤维
0.5mm
单向复合材料
考虑方形排列，将 纤维直径用一个等 效的方形面积代 替，有：s f = π / 4d
方形
三角形
理想的纤维排列几何形状
(a)
(b)
(c)
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
根据条件Vf=Af/A=(πd2/4)/(s2)，得到：
π
s=
d
4V f
将公式(4.9)应用到上述图(c)中的中间块B，就有：
（2）可以通过调整组份材料以及它们的几何结构实 现对复合材料力学性能的最优设计。
当然，细观力学理论与宏观力学理论相比也有其不 足之处：1）计算公式复杂，2）分析精度一般要低 些。
但是，考虑到复合材料的实验数据往往具有很大的 离散性，细观力学理论的计算结果尤其对弹性性能 的计算结果一般都具有足够的精度，能够满足工程 应用的要求。
虽然ROM公式简单，且对E11和ν12的计算精度较高，但 对E22、G12和G23的计算值与实验值相比偏低。 许多其他细观力学模型，主要目的在于改进E22、G12 和G23的预报精度。
4.5 Chamis模型公式
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
4.5.1 Hopkins和Chamis公式
他们认为，ROM公式对E22、G12和G23的计算精 度偏低可能是因为没有考虑不同的纤维排列几何 形状的影响。
细观力学的方法则是根据组份材料（纤维和基体） 的性能参数，应用细观力学理论计算得到复合材料 的宏观力学性能。
因此，宏观力学的分析方法基于复合材料本身的性 能参数，细观力学的分析方法则基于组份材料的性 能参数。
细观力学理论与宏观力学理论相比的优点：
（1）只需要纤维和基体的性能参数，省时、省钱；
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
4.2 基本假设、特征体元、均值化
4.2.1 基本假设
复合材料细观力学理论建立在以下基本假设之上：
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
（1）纤维均匀地分布在整个基体之中； （2）纤维与基体之间有理想的界面结合； （3）复合材料中的孔隙与气泡体积忽略不计。
此外，本课程中采用张量记法，整型英文字母下标 如i、j表示哑元，单下标如σi表示矢量σ的第i个分 量，双下标如Aij则表示矩阵A的第i行、第j列元素。
f xy
=
σ
m xy
≠
0
该加载条件类似横向受力，
ε xy
= σ xy Gxy
=
V
f
ε
f xy
+
Vmε
m xy
=
V
f
(
σ
f xy
Gf
)
+
Vm
(σGxmmy
)
=
⎜⎛ ⎜⎝
Vf Gf
+
Vm Gm
⎟⎟⎠⎞σ
xy
得到：
1 Gxy
= Vf Gf
+
Vm Gm
(4.10)
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
4.4.4 混合法公式
{ε
f i
}
+
Vm
{ε
m i
}
(4.2)
推导这两个方程时除了假定体积V’、V’f和V’m不变 外，再没用其它任何假设。因此，任何复合材料
细观力学理论模型都须满足这两个基本方程。
其他连续介质力学控制方程相对特征体元取平均 后皆保持不变，如:
{ } ε if
=
[Si
f j
]{σ
f j
}
(4.3.1)
{ } ε
m i
=
[
S
i
m j
]{σ
m j
}
(4.3.2)
{εi}=[Sij]{σj}
(4.4)
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
[Si
f j
],
[
S
i
m j
]
和
[Sij] 分别是纤维、基体和复合材料
的柔度矩阵。我们的目的就是根据已知的
[
Si
f j
]
和
[Si
m j
]
导出
[Sij]
4.3 最大纤维体积含量
纤维体积含量是影响复合材料力学性能的一个重要 参数，其最大值与纤维在复合材料中的排列方式有 关。
1
∫ σ i = V ' σ idV , V'
1
∫ εi = V ' εidV V'
对各向同性材料，无论单元体的体积多大，其平均 应力与原始应力的形式一样，因此，单元体的选取 可以是任意的，只要体积足够小。
复合材料本征上是非均匀的，其单元体的选取不 可任意，必须要能够由这些单元体的重复排列构 成复合材料。
1 EByy
=
(sf / s) E2f2
+
(sm E
/ s)
m
即,
EByy = 1−
Em V f (1− E m / E2f2 )
(4.12)
假想上述B块为一根等效纤
维， 根据ROM公式，得到：
Eyy = EByy
sf s
+ Em
sm s
⎛ = E m ⎜(1−
⎜ ⎝
Vf )+1−
Vf
⎞ ⎟
Vf
(1 −
第四章、单层板弹性理论
基体
复合材料力学
纤维
不可如此
取单元体
0.5mm
简而言之，所取的单元体内必须同时含有纤维和 基体材料，并且单元体中的纤维含量必须要与复 合材料的纤维含量相同。
具备这一特征并且体积最小的单元体，称为复合 材料的特征体元（Representative Volume Element, 即RVE）。
18.5
7
1.3
1.3
2.94
2.54
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
解：（1） E11=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)
（2） ν12=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302 （3） E22=3.5/[1-0.6(1-3.5/17.5)]=6.73(GPa) （4） G12=1.3/[1-0.6(1-1.3/18.5)]=2.94(GPa) （5） G23=1.3/[1-0.6(1-1.3/7)]=2.54(GPa)
4.4.2 横向加载
此时，仅沿y方向施加单一应力σyy。根据假设（1）和 （3），有：
σ xx
=
σ
f xx
=
σ
m xx
=0
σ yy
=
σ
f yy
=
σ
m yy
≠
0
σ xy
=
σ
f xy
=
σ
m xy
=
0
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
利用横向应变方程，导出：
ε yy
= σ yy E yy
=
Vfε
f yy
注意，整个复合材料必须要能够由特征体元的重 复叠加得到。
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
最简单的特征体元是同心圆柱，根据纤维直径与纤 维体积含量可确定基体外圆柱的直径。
基体
纤维
0.5mm
单向复合材料
特征体元
因此，复合材料中的特征体元就相当于各向同性材 料中的一个几何点。
4.2.3 均值化
所谓“均值化”，就是将特征体元上的应力和应变平 均后定义为一点的应力和应变。