复合材料力学Lecture-4

纤维
s
s
方形
s
d
d
三角形
s
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
对方形排列，总面积A=s2，纤维面积
Af
=π d2 4
纤维的体积含量为：
Vf
=
Af
/
A
=
π
⎛ ⎜
d
2
⎞ ⎟
4⎝s⎠
最大值在s=d时出现： V f max = π / 4 = 0.785 (4.5)
类似，三角形排列的纤维体积含量为：
Vf
=
由前一章可知，单向复合材料是横观各向同性的， 共有5个独立的弹性常数，称为等效弹性常数，如果 将它们都一一确定，单层板的弹性问题也就完全解 决。
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
解决的方法分为宏观力学（Macromechanics）与细 观力学（Micromechanics）两类 。
宏观力学的方法是分别针对不同的单向复合材料， 直接进行实验测定材料的5个等效弹性常数。
+ Vmε
m yy
=
V
f
(
σ
f yy
Ef
)
+
Vm
σ (
E
m yy
m
)
=
⎜⎛ ⎜⎝
Vf Ef
+
Vm Em
⎟⎟⎠⎞σ
yy
即,
1 E yy
= Vf Ef
+
Vm Em
(4.9)
4.3.3 面内剪应力
根据加载条件和基本假设，有：
σ xx
=
σ
f xx
=
σ
m xx
=0
σ
yy
=
σ
f yy
=
σ
m yy
=
0
σ xy
=
σ
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
4.1 引言
第一章曾指出，单向复合材料（简称为单层板）是 复合材料力学研究的主要对象，因为其它纤维增强 复合材料可以分解成一系列单向复合材料的组合。
本章讨论单向复合材料的弹性问题，就是如何确定 其线弹性本构方程。
由于任何一种材料的线弹性本构方程皆可用Hooke 定律描述，问题就转化为如何确定弹性阶段的柔度 矩阵。
Exx
=Vf
E
f xx
+
Vm
E
m xx
(4.7)
再根据横向应变基本方程，导出：
ε yy
=
−ν xyε xx
=
V
f
ε
f yy
+
Vmε
m yy
= Vf
(−ν
f xy
ε
f xx
)
+
Vm
(−ν
m xy
ε
m xx
)
=
−(V
f
ν
f xy
+
Vmν
m xy
)ε
xx
从而，
ν xy
=
V
f
ν
f xy
+
Vmν
m xy
(4.8)
虽然ROM公式简单，且对E11和ν12的计算精度较高，但 对E22、G12和G23的计算值与实验值相比偏低。 许多其他细观力学模型，主要目的在于改进E22、G12 和G23的预报精度。
4.5 Chamis模型公式
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
4.5.1 Hopkins和Chamis公式
他们认为，ROM公式对E22、G12和G23的计算精 度偏低可能是因为没有考虑不同的纤维排列几何 形状的影响。
4.2 基本假设、特征体元、均值化
4.2.1 基本假设
复合材料细观力学理论建立在以下基本假设之上：
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
（1）纤维均匀地分布在整个基体之中； （2）纤维与基体之间有理想的界面结合； （3）复合材料中的孔隙与气泡体积忽略不计。
此外，本课程中采用张量记法，整型英文字母下标 如i、j表示哑元，单下标如σi表示矢量σ的第i个分 量，双下标如Aij则表示矩阵A的第i行、第j列元素。
（2）可以通过调整组份材料以及它们的几何结构实 现对复合材料力学性能的最优设计。
当然，细观力学理论与宏观力学理论相比也有其不 足之处：1）计算公式复杂，2）分析精度一般要低 些。
但是，考虑到复合材料的实验数据往往具有很大的 离散性，细观力学理论的计算结果尤其对弹性性能 的计算结果一般都具有足够的精度，能够满足工程 应用的要求。
π
⎛
d
2
⎞
⎜⎟
2 3⎝s⎠
最大值
：
Vf
max
=
π 2
3
=
0.907
(4.6)
4.4 混合率(ROM)公式
混合法或称为混合律 (rule of mixture)公式是复合 材料领域广为人知、使用很久、形式可能最为简 单的细观力学公式。
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
混合率公式建立在以下的三个 假设之上：
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
令V’、V’f 、V’m、V’v分别表示特 征体元、纤维、基体、孔隙的体
积。对应力取平均后，得到：
1
1⎡
⎤
∫ ∫ ∫ ∫ σ i
=
V
'
V
σ
'
i
dV
=
V
'
⎢ ⎢⎣V
'
f
σ
i
dV
+ σ i dV
V 'm
+ σ i dV ⎥
V 'v
⎥⎦
∫ ∫ =
⎛ ⎜⎜ ⎝
V' V
f
(4.11.4) (4.11.5)
例4.1：CF/环氧单向复合材料, Vf=0.6, 组成材料性能参 数见下表，求等效弹性常数。
材料 纤维 基体 单层板
E11(GPa) E22(GPa) ν12
207
17.5 0.27
3.5
3.5 0.35
125.6 6.73 0.302
G12(GPa) G23(GPa)
(4.14.5)
细观力学的方法则是根据组份材料（纤维和基体） 的性能参数，应用细观力学理论计算得到复合材料 的宏观力学性能。
因此，宏观力学的分析方法基于复合材料本身的性 能参数，细观力学的分析方法则基于组份材料的性 能参数。
细观力学理论与宏观力学理论相比的优点：
（1）只需要纤维和基体的性能参数，省时、省钱；
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
m i
=
[
S
i
m j
]{σ
m j
}
(4.3.2)
{εi}=[Sij]{σj}
(4.4)
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
[Si
f j
],
[
S
i
m j
]
和
[Sij] 分别是纤维、基体和复合材料
的柔度
和
[Si
m j
]
导出
[Sij]
4.3 最大纤维体积含量
纤维体积含量是影响复合材料力学性能的一个重要 参数，其最大值与纤维在复合材料中的排列方式有 关。
在空间（三维）问题中，哑元如σi中i的变化范围为 1至6，可以取它们中的任何一个数；在平面问题 中，哑元如σi中i的变化范围则是1至3。
实型英文字母或阿拉伯数字下标如σxx、σ11表实元。
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
4.2.2 特征体元
虽然材料力学的开篇假设为“连续、均匀”，但实际 材料都不是均匀的，都比须在有限体积的单元体上 取平均后方可定义一点的应力和应变：
4.4.2 横向加载
此时，仅沿y方向施加单一应力σyy。根据假设（1）和 （3），有：
σ xx
=
σ
f xx
=
σ
m xx
=0
σ yy
=
σ
f yy
=
σ
m yy
≠
0
σ xy
=
σ
f xy
=
σ
m xy
=
0
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
利用横向应变方程，导出：
ε yy
= σ yy E yy
=
Vfε
f yy
Em
/
E2f2
)
⎟ ⎠
(4.13)
A (基体) B (纤维)
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
这就是原始的Hopkins和Chamis计算E22的公式。类 似，他们还导出了计算G12和G23的公式。
4.5.2 Chamis简化公式
Chamis后来发现，(4.12)的计算精度比(4.13)更好。 据此，他总结了一套简化公式：
18.5
7
1.3
1.3
2.94
2.54
第四章、单层板弹性理论 复合材料力学
解：（1） E11=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)
（2） ν12=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302 （3） E22=3.5/[1-0.6(1-3.5/17.5)]=6.73(GPa) （4） G12=1.3/[1-0.6(1-1.3/18.5)]=2.94(GPa) （5） G23=1.3/[1-0.6(1-1.3/7)]=2.54(GPa)
'
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 V'
f
V
'
σ
f
i
dV
⎞ ⎟ ⎟ ⎠