黄金分割教案

黄金分割教案

1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；

2.能对黄金分割进行简单运用.（重点、难点）

一、情景导入

生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，下图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？

二、合作探究

探究点一：黄金分割的有关概念

已知M 是线段AB 的黄金分割点，MA 是被分线段AB 中较长的线段，且MA ＝5

－1，求原线段AB 的长.

解析：由于M 是黄金分割点，根据黄金比＝较长线段原线段＝5－1

2，可求出原线段长.

解：因为M 是线段AB 的黄金分割点，且MA >MB ， 所以MA

AB ＝5－12，

所以AB ＝

25－1·MA ＝2

5－1

×（5－1）＝2. 方法总结：把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比

值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.

已知线段AB ＝6，点C 为线段AB 的黄金分割点，求下列各式的值： （1）AC －BC ；（2）AC ·BC .

解析：黄金分割点是线段上一个点，这个点把线段分成一长一短两部分，由题意可知较长的线段是原线段的

5－1

2

，并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解：若AC ＞BC ，如图，则AC ＝5－12AB ＝5－1

2

×6＝35－3，所以BC ＝AB －AC ＝6－（35－3）＝9－3 5.

（1）AC －BC ＝35－3－（9－35）＝35－3－9＋35＝65－12； （2）AC ·BC ＝（35－3）×（9－35）＝275－45－27＋95＝365－72.

若AC ＜BC ，如图

.

（1）AC －BC ＝12－65； （2）AC ·BC ＝365－72. 易错提醒：注意一条线段有两个黄金分割点，因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近时，要分情况讨论.

探究点二：黄金分割的应用

在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越

给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的

身高为1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？

解析：想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度.

解：设肚脐到脚底的距离为x m ，根据题意，得x

1.60＝0.60，解得x ＝0.96.

设穿上y m 高的高跟鞋看起来会更美，则y ＋0.96

1.60＋y

＝0.618.

解得y ≈0.075，而0.075m ＝7.5cm.

故她应该穿约为7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美.

易错提醒：要准确理解黄金分割的概念，较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.

三、板书设计

黄

金

分

割⎩⎪⎨⎪⎧定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC

和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB 被点

C 黄金分割黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段＝5－1

2

：1

第4课时 黄金分割

教学目标

（一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义.

2.会找一条线段的黄金分割点.

3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.

（二）能力训练要求

通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.

（三）情感与价值观要求 理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.

教学重点

了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点

找黄金分割点和画黄金矩形. 教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.

Ⅱ.讲授新课

［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算

AB AC 、AC

BC

,它们的值相等吗？ ［生］相等.

［师］所以AC

BC

AB AC =

. 1.黄金分割的定义

一般地，点C 把线段AB 分成两条线段

AC 和BC ，如果

AC

BC

AB AC =

,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫

做黄金比.其中AB

AC

≈0.618.

2. 计算黄金比.

解：由AC AB =BC

AC

，得∴AC 2=AB ·BC.

设AB =1,AC =x ,则BC =1- x. ∴x 2=1×（1－x ） ∴x 2+ x －1=0 解这个方程，得 x 1=-1+√52或x 2=-1-√5

2

（不合题意，舍去），

所以，黄金比AC AB =√5-1

2≈0.618。

3.作一条线段的黄金分割点.

如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：

（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =

2

1AB . （2）连接DA ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.

［师］你知道为什么吗？

若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC 、BC 间须

满足AC

BC AB AC =

.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1.

证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =2

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