场论与张量数学基础.ppt
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8
克罗内克尔(Kronecker)符号
（1）指标表示法和符号约定
ij 符号具有以下重要性质：
ii 3 ii 11 22 33 3
ij jk ik
ij ij ii 3
置换符号 ijk
0
ijk
1
1
i、j、k 中有两个以上指标相同时 i、j、k 偶排列， 123，231，312
直角坐标的3个方向记做1、2、3， x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， i , j, k 分别计作 e1, e2 , e3,
a axi ay j azk a1e1 a2e2 a3e3
3
（1）指标表示法和符号约定
求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1 到3求和
6
（1）指标表示法和符号约定
例题1. 展开下列求和式， (1) a jkakj；(2) ti ijn j 解： (1) a jkakj a1kak1 a2kak 2 a3kak 3
a11a11 a12a21 a13a31 a21a12 a22a22 a23a32 a31a13 a32a23 a33a33 (2) t1 11n1 12n2 13n3 t2 21n1 22n2 23n3 t3 31n1 32n2 33n3
笛卡尔张量
1
§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
30
零阶张量
一个分量
31
一阶张量
32
二阶张量
三个分量 九个分量
在直角坐标系中，称笛卡儿张量； 在其他坐标系称普遍张量 。
2
（1）指标表示法和符号约定 指标表示法
i, j, k 奇排列， 213，321，132
9
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
aiai a12 a22 a32 a
aibi a1b1 a2b2 a3b3 a b aiei a1e1 a2e2 a3e3 a
4
自由指标和哑指标
例如
xi aij xj
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
7
克罗内克尔(Kronecker)符号
（1）指标表示法和符号约定
ij
0 1
i j i j
ij 符号具有以下重要性质：
ij ji
12 21,31 13 ija j ai
1 ja j 11a1 12a2 13a3 a1, 2 ja j a2, 3 ja j a3 ij与 a j 相乘，相当于把 a j 的下标 j 置换为 i。
sij s ji 则称此张量为对称张量，可表示为,
s11 s12 s13
S
sij
s12 s13
s22 s23
s23 s33
一个对称张量，只有6个独立的分量。
17
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
反对称张量 若二阶张量分量 aij 之间满足
aij a ji
则称此张量为反对称张量，可表示为
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
5
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
笛卡尔张量。
12
（2）笛卡尔张量
标量、矢量和张量 二阶张量
二阶张量有 9 个分量，二阶张量也可表示为矩阵形式，
p11 p12 p13
P
pij
p21
p22
p23
p31
p32
p33
张量可以用黑体大写字母 P 表示，也可用它的一个分量 pij 表示。
13
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算
张量相等
0
A
aij
a12
a31
a12 0 a23
a31
15
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
16
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
两个张量相等则各分量一一对应相等。设 A aij Β bij ， 若 AB
则
aij bij
若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一 个直角坐标系中也相等。
14
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量加减 设 A aij 、 B bij ，则
A B aij bij 张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同 阶的张量才 能相加减。
c1 c2 c3
（1）指标表示法和求和约定
11
（2）笛卡尔张量
标量、矢量和张量
标量是一维的量，它只需1个数来表示，如温度、密度等。
矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空 间坐标系的3个坐标轴方向的3 个分量来表示，矢量是三维的量。 三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整地 表示，如应力，变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量是低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。
ijk ij 0
10
重要公式汇总
ij a j ai ij ei ej
ijk ei ej ek
ijk ist jskt jtks
a b aibi e1 e2 e3
a b ijk aibjek a1 a2 a3
b1 b2 b3 a1 a2 a3
a b c ijk aibjck b1 来自百度文库2 b3
克罗内克尔(Kronecker)符号
（1）指标表示法和符号约定
ij 符号具有以下重要性质：
ii 3 ii 11 22 33 3
ij jk ik
ij ij ii 3
置换符号 ijk
0
ijk
1
1
i、j、k 中有两个以上指标相同时 i、j、k 偶排列， 123，231，312
直角坐标的3个方向记做1、2、3， x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， i , j, k 分别计作 e1, e2 , e3,
a axi ay j azk a1e1 a2e2 a3e3
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（1）指标表示法和符号约定
求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1 到3求和
6
（1）指标表示法和符号约定
例题1. 展开下列求和式， (1) a jkakj；(2) ti ijn j 解： (1) a jkakj a1kak1 a2kak 2 a3kak 3
a11a11 a12a21 a13a31 a21a12 a22a22 a23a32 a31a13 a32a23 a33a33 (2) t1 11n1 12n2 13n3 t2 21n1 22n2 23n3 t3 31n1 32n2 33n3
笛卡尔张量
1
§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
30
零阶张量
一个分量
31
一阶张量
32
二阶张量
三个分量 九个分量
在直角坐标系中，称笛卡儿张量； 在其他坐标系称普遍张量 。
2
（1）指标表示法和符号约定 指标表示法
i, j, k 奇排列， 213，321，132
9
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
aiai a12 a22 a32 a
aibi a1b1 a2b2 a3b3 a b aiei a1e1 a2e2 a3e3 a
4
自由指标和哑指标
例如
xi aij xj
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
7
克罗内克尔(Kronecker)符号
（1）指标表示法和符号约定
ij
0 1
i j i j
ij 符号具有以下重要性质：
ij ji
12 21,31 13 ija j ai
1 ja j 11a1 12a2 13a3 a1, 2 ja j a2, 3 ja j a3 ij与 a j 相乘，相当于把 a j 的下标 j 置换为 i。
sij s ji 则称此张量为对称张量，可表示为,
s11 s12 s13
S
sij
s12 s13
s22 s23
s23 s33
一个对称张量，只有6个独立的分量。
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（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
反对称张量 若二阶张量分量 aij 之间满足
aij a ji
则称此张量为反对称张量，可表示为
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
5
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
笛卡尔张量。
12
（2）笛卡尔张量
标量、矢量和张量 二阶张量
二阶张量有 9 个分量，二阶张量也可表示为矩阵形式，
p11 p12 p13
P
pij
p21
p22
p23
p31
p32
p33
张量可以用黑体大写字母 P 表示，也可用它的一个分量 pij 表示。
13
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算
张量相等
0
A
aij
a12
a31
a12 0 a23
a31
15
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
16
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
两个张量相等则各分量一一对应相等。设 A aij Β bij ， 若 AB
则
aij bij
若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一 个直角坐标系中也相等。
14
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量加减 设 A aij 、 B bij ，则
A B aij bij 张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同 阶的张量才 能相加减。
c1 c2 c3
（1）指标表示法和求和约定
11
（2）笛卡尔张量
标量、矢量和张量
标量是一维的量，它只需1个数来表示，如温度、密度等。
矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空 间坐标系的3个坐标轴方向的3 个分量来表示，矢量是三维的量。 三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整地 表示，如应力，变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量是低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。
ijk ij 0
10
重要公式汇总
ij a j ai ij ei ej
ijk ei ej ek
ijk ist jskt jtks
a b aibi e1 e2 e3
a b ijk aibjek a1 a2 a3
b1 b2 b3 a1 a2 a3
a b c ijk aibjck b1 来自百度文库2 b3