等比数列的应用学案

等比数列的应用学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第8课时等比数列的应用

1.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质.

2.能应用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题.

前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要.

问题1:等比数列通项公式的性质

(1)对任意的m,n∈N+,a n=a m·,q=.

(2)若m+n=p+q,则,特别地,若m+n=2p,

则.

(3)a m,a m+k,a m+2k,a m+3k,…仍是等比数列,公比为.

(4)①数列{a n}是等比数列,则数列{pa n}(p≠0,p是常数)也是等比数列,公比为.

②若{a n}为等比数列,公比为q,则{a2n}也是等比数列,公比为.

③若{a n}为等比数列,公比为q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是等比数列,公比

为.

④若{a n}、{b n}是等比数列,则{a n b n}也是等比数列,公比是两等比数列公比之.

问题2:等比数列的前n项和的简单性质

(1)数列S m,S2m-S m,S3m-S2m,…也是等比数列,且公比为(q≠1).

(2)当q≠1时,S n=Aq n+B(其中A+B=).

(3)S n+m=S m+q m S n(q为公比).

问题3:等比数列的判定方法

(1)定义法:若=q(q为非零常数且n≥2),则{a n}是等比数列;

(2)等比中项法:若a n≠0且=(n∈N+),则{a n}是等比数列;

(3)通项公式法:若a n=c·(c,q均是不为0的常数,n∈N+),则{a n}是等比数列;

(4)前n项和公式法:若S n=k·q n+(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{a n}是等比数列.

问题4:等比数列的单调性

(1)当a1>0,q>1时,等比数列{a n}是递数列;

(2)当a1<0,0

(3)当a1>0,0

(4)当a1<0,q>1时,等比数列{a n}是递数列;

(5)当q<0时,等比数列{a n}是数列;当q=1时,等比数列{a n}是

数列.

1.数列9,99,999,9999,…的前n项和等于().

A.10n-1

B.-n

C.(10n-1)

D.(10n-1)+n

2.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a2013=3S2012+2014,a2012=3S2011+2014,则公比q等于().

A.4

B.1或4

C.2

D.1或2

3.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=6,S4=30,则S6=.

4.已知数列{a n}的通项a n=2·3n,求由其奇数项所组成的数列的前n项和S n.

S m,S2m-S m,S3m-S2m,…也是等比数列的应用

在等比数列{a n}中,S2=7,S6=91,求S4.

等比数列的证明

数列{a n}满足:a1=1,a2=,a n+2=a n+1-a n(n∈N+).

(1)记d n=a n+1-a n,求证:{d n}是等比数列.

(2)求数列{a n}的通项公式.

数列单调性的判断

已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和为14,且a1,a3,a7恰为等比数列{b n}的前三项.

(1)分别求数列{a n},{b n}的前n项和S n,T n;

(2)记数列{a n b n}的前n项和为K n,设c n=,求证:c n+1>c n(n∈N+).

在等比数列{a n}中,已知S n=48,S2n=60,求S3n.

在{a n}中,a1=1,a n+1=,试求数列{a n}的通项a n.

已知函数f(x)=-x2+7x,数列{a n}的前n项和为S n,点P n(n,S n)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图像上.

(1)求数列{a n}的通项公式及S n的最大值;

(2)令b n=,其中n∈N+,求{nb n}的前n项和T n.

1.在等比数列中,a n>0且a n+2=a n+3a n+1,则公比q等于().

A. B. C.3 D.-3

2.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3等于().

A.1∶2

B.2∶3

C.3∶4

D.1∶3

3.一个等比数列{a n}共有2n+1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则

=.

a n+

1

4.一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.

(2009年·辽宁卷)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则等于().

A.2

B.

C.

D.3

考题变式(我来改编):

第8课时 等比数列的应用

知识体系梳理

问题1:(1)q n-m

(2)a m ·a n =a p ·a q a m ·a n = (3)q k (4)①q ②q 2 ③q 2

④积

问题2:(1)q m (2)0 问题3:(1)

(2)a n ·a n+2 (3)q n (4)-k

问题4:(1)增 (2)增 (3)减 (4)减 (5)摆动 常

基础学习交流

1.B 由题意得a n =10n -1,∴S n =a 1+a 2+…+a n =(10-1)+(102-1)+…+(10n -1)=(10+102+…+10n )-n=

-n.

2.A 由a 2013=3S 2012+2014与a 2012=3S 2011+2014相减得,a 2013-a 2012=3a 2012,即q=4,故选A .

3.126 在等比数列{a n }中,S 2、S 4-S 2、S 6-S 4成等比数列,∵S 2=6,S 4-S 2=24,∴S 6-

S 4==96,∴S 6=S 4+96=126. 4.解:由a n =2·3n 得

==3,又a 1=6,

∴{a n }是等比数列,其公比为q=3,首项a 1=6,

∴{a n }的奇数项也成等比数列,公比为q 2=9,首项为a 1=6, ∴S n =

=(9n -1).