空间向量与平行垂直关系

A→C、A→B.
(2)设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
??n ·A→C＝ 0
(3)联立方程组? ??n
并解答． ·A→B＝0
(4) 所求出向量中的三个坐标不是具体的值而 是比例关系，设定某个坐标为常数 ( 常数不能 为0) 便可得到平面的法向量．
变式训练 1.如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是直 角梯形，∠ ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且
D→A＝(2，0，0)，A→E＝(0，2，1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即?????nn11··DA→ →AE＝＝22yx11＋＝z01＝
，得 0
??x1＝0
?
，令
?z1＝－2y1
z1＝2，则
y1＝－1，
所以 n1＝(0，－1，2)．
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)．
∴M→N·n＝??21，0，12??·(1，－1，－1)＝0，
∴M→N⊥n . 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴MN∥平面 A1BD.
可求得 M??0，1，12??、N??21，1，1??、D(0，0，
0)、A1(1，0，1)、B(1，1，0)，
于是M→N＝??12，0，12??，D→A1＝(1，0，1)，D→B＝
(1，1，0)，
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 n·D→A1＝0 且 n·D→B＝0，
得???x＋z＝0， ?x＋y＝0，
(2)∵u＝－13v ，∴ u∥v ，即平面 α，β平行．
典题例证技法归纳Biblioteka 题型探究求平面的法向量
例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别 为A(2 ，1，0) ，B(0 ，2，3) ，C(1 ，1，3) ，试求出平面ABC 的一个法向量．
【解】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)． ∵A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)， ∴A→B＝(－2，1，3)，B→C＝(1，－1，0)．
??x2＝0
?
?z2＝－
. 2y2
令 z2＝2，得 y2＝－1，
所以 n2＝(0，－1，2)，因为 n1＝n2，
所以平面 ADE∥平面 B1C1F .
变式训练
2.如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中 ，M 、N分别是C1C、B1C1的中点．求证： MN ∥平面A1BD .
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
向量.设 n＝(x，y，z)为平面 SDC 的一个法向量，
? n ·D→C ＝12x＋y＝ 0
则
，
?? n ·D→S＝－12x＋z＝0
?y＝－12x
即
.
??z＝12x
取 x＝2，则 y＝－1，z＝1， ∴平面 SDC 的一个法向量为 (2，－1，1)．
利用空间向量证明平行关系
例2
已知正方体ABCDA 1B1C1D1的棱
则有?????nn··AB→→CB＝＝00，，即????－x－2xy＝＋0y＋. 3z＝0，
解得??x＝3z， ?x＝y.
令 z＝1，则 x＝y＝3. 故平面 ABC 的一个平面法向量为 n＝(3，3， 1)．
【名师点评】 求平面法向量的方法与步骤： (1)求平面的法向量时，要选取两相交向量，如
想一想 直线的方向向量和平面的法向量是惟一的 吗？ 提示：不惟一．
2.空间中平行关系、垂直关系的向量表示
设直线 l ，m 的方向向量分别为 a ，b ，平面 α,β的法向量分别为u，v ，则 线线平行 l∥m? a∥b? a＝kb ； 线面平行 l∥α? a⊥u? a·u＝0； 面面平行 α∥β ? u∥v ? u＝kv ； 线线垂直 l⊥m? a⊥b? a·b＝0； 线面垂直 l⊥α? a∥u? a＝ku ； 面面垂直 α⊥β ? u⊥v ? u·v ＝0.
3．2 立体几何中的向量方法
第1 课时 空间向量与平行、垂直关 系
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重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
新知初探思维启动
1. 法向量
如 图 所 示 , 直 线 l⊥α, 取方直向向线量al 的 ___________ ， 则 向法向量量a 叫 做 平 面 α 的 _________ ，给定一点 A 和一个向量 a，则 过点A，以a为法向量的平面是完全确定的．
因为 F→C 1· n1＝－ 2＋2＝ 0，所以F→C 1⊥ n1. 又因为 FC1?平面 ADE，所以 FC 1∥平面 ADE. (2)∵C→1B1＝(2，0，0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥F→C 1，n2⊥C→1B1，得
???n2· F→C 1＝ 2y2＋z2＝0，得 ??n2·C→1B1＝2x2＝0
做一做 根据下列各条件，判断相应的直线与直线、 平面与平面的位置关系：
(1) 直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1 ，－3 ，－1) ，b＝(8 ，2，2) ； (2) 平面α，β的法向量分别是u＝(1 ，3， 0), v＝(－3，－9，0) ．
解： (1)a ·b＝ 1× 8＋(－ 3)×2＋(－1)× 2＝0， ∴直线 l1，l2 垂直．
长为2，E、F分别是BB 1、DD 1的中点，求证
：
(1) FC1∥平面ADE ； (2) 平面ADE ∥平面B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F (0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C 1＝(0，2，1)，
SA＝ AB＝ BC＝1， AD＝12 ，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D??21，0，0??，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝??21，1，0??， D→S＝??－12，0，1??. 易知向量A→D＝??21，0，0??是平面 SAB 的一个法