5.4角动量算符
【精品】5.4角动量算符
【精品】5.4角动量算符角动量是量子力学中的一个重要概念，描述了物体绕某个轴旋转的性质。
在量子力学中，角动量由角动量算符表示。
5.4 角动量算符是指由两个轨道角动量算符构成的总角动量算符。
在量子力学中，角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符。
轨道角动量算符用L表示，自旋角动量算符用S表示。
轨道角动量算符具有以下性质：1. 轨道角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 轨道角动量算符的大小由量子数l确定，满足 |L| = ℏ√(l(l+1))。
3. 轨道角动量算符的z分量由量子数m确定，满足Lz = ℏm。
4. 轨道角动量算符的不确定关系为 [Lx, Ly] = iℏLz。
自旋角动量算符具有以下性质：1. 自旋角动量算符是矢量算符，具有大小和方向。
2. 自旋角动量算符的大小由自旋量子数s确定，满足 |S| = ℏ√(s(s+1))。
3. 自旋角动量算符的z分量由自旋量子数ms确定，满足 Sz =ℏms。
4. 自旋角动量算符的不确定关系为 [Sx, Sy] = iℏSz。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成。
总角动量算符J由L和S相加，即 J = L + S。
总角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
总角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
5.4角动量算符的性质：1. 5.4角动量算符的大小由量子数j确定，满足 |J| = ℏ√(j(j+1))。
2. 5.4角动量算符的z分量由量子数mj确定，满足 Jz = ℏmj。
3. 5.4角动量算符满足角动量的加法关系，即 J² = L² + S² + 2LS。
5.4角动量算符由轨道角动量算符L和自旋角动量算符S构成，描述了物体的总角动量性质。
角动量算符
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
( Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ 13
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô+ 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
转置算符 的定义
厄密共轭 算符亦可 写成：
[ d *(Oˆ )]*
讲解人：沈建其
第四章 量子力学中的力学量
本块内容广博，务必以自学为主。 自我教育，修炼成材，系大学教育目标之一。
– §1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 （§1 与§2可就所发曾谨言教程复印材料第三章学习）
§3 电子在库仑场中的运动 §4 氢原子 （用薛定谔方程再探氢原子，与Bohr半经典半量子理论思路不同） (§3和§4对照本ppt学习，学习其数学思路)
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i
对8 易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
量子力学中的角动量算符描述粒子的角动量性质
量子力学中的角动量算符描述粒子的角动量性质量子力学是研究微观世界的一门科学，其中的角动量是描述微观粒子运动的重要概念之一。
在量子力学中，角动量不再是连续的，而是以量子化的形式存在。
为了准确描述粒子的角动量性质，量子力学引入了角动量算符。
角动量算符是量子力学中的一种数学工具，用来描述粒子的自旋和轨道角动量。
自旋是粒子固有的性质，而轨道角动量则与粒子在空间中的运动有关。
角动量算符包括自旋算符和轨道角动量算符，分别记作S和L。
自旋算符S描述了粒子的自旋性质，自旋可以简单理解为粒子内部固有的旋转。
自旋算符的本征态通常用符号|s,m>表示，其中s是自旋量子数，m是自旋在特定方向上的投影。
自旋算符与自旋矩阵有关，它们的本征值代表了粒子的自旋状态。
轨道角动量算符L描述了粒子的轨道运动和角动量性质，在经典物理中，轨道角动量的大小和方向是连续变化的，而在量子力学中，它们变为用量子数来描述。
轨道角动量算符的本征值问题由角动量算符的各个分量组成，通常记作Lx、Ly和Lz。
轨道角动量算符的本征态通常用符号|l,m>表示，其中l是轨道角动量量子数，m是轨道角动量在特定方向上的投影。
自旋算符和轨道角动量算符满足一系列的关系和运算规则，比如它们之间满足对易关系，即[Sx,Sy]=iħSz。
这些关系和规则是量子力学中角动量的数学基础，通过它们可以推导出角动量的一些性质和量子态之间的变换关系。
利用角动量算符可以描述多种粒子的性质，比如电子、质子、中子等。
每种粒子都有自己特定的角动量性质，它们的角动量量子数和本征值可以通过实验测量获得。
在描述多电子系统或原子结构时，角动量算符的应用尤为重要，它可以帮助解释原子轨道、电子的自旋和轨道耦合等现象。
总结一下，量子力学中的角动量算符是用来描述粒子角动量性质的数学工具，它包括自旋算符和轨道角动量算符。
自旋算符描述了粒子的自旋性质，轨道角动量算符描述了粒子的轨道运动和角动量性质。
利用角动量算符可以推导出一系列角动量的数学关系和运算规则，并应用于多种粒子的性质描述中。
量子化学第五章 电子自旋和角动量
设
为一个体系中的任意两个角动量，
可能是两个轨道角动量或两个自旋角动量，或一个轨
道角动量一个自旋角动量。
46
量子化学 第五章
角动量量子数分别为 j1 和 j 2 ，
则
的本征值分别为:
其中
设
作用得到总角动量 ，即
47
量子化学 第五章
M 是一个向量，M＝ MxiMyjMzk
可以证明:
（i, j, k为单位矢量）
以 代表任一角动量,
、和
分别 代表 x, y, z 方向的分量.
则:
27
量子化学 第五章
上述算符间存在以下对易关系：
28
量子化学 第五章
假设： 是
共同的本征函数，
如果 j 和 mj 分别为标记 M 大小和方向的量子数。
则：
如果 M 指的是 M l ，则 j 和 mj 分别为l 和 m 。 如果 M 指的是 M s ，则 j 和 mj 分别为s 和 ms 。
量子化学 第五章
12
量子化学 第五章
(2)自旋算符的本征值
对电子而言，自旋量子数 s =1/2, 自旋磁量子 数为 ms=1/2, -1/2,
故 的本征值为
的本征值为 ms1 2 or1 2
(3)自旋算符的本征函数
用 和 分别表示向上自旋和向下自旋的状态。
13
量子化学 第五章
自旋波函数 是算符 的本征值为 的本征函数。 是算符 的本征值为 的本征函数。 是算符 的本征值为 的本征函数。
14
量子化学 第五章
(4)电子在中心力场中的运动 没有考虑电子自旋时，电子在中心力场中的运动的
定态波函数为： n ,l,m R n ,l(r)Y l,m (, )
高等量子力学 角动量算符和角动量表象 自旋表象PPT课件
ml
2l
4
1
Pl
cos
(8.72)
式中 1,1 和 2 ,2 代表两个单位矢量的方向,而 是二矢量间
的夹角.
另一个有用公式为
eikr 4
l
il jl
kr Ylm*
ek
Ylm
er
l0 ml
2l 1il jl krPl cos
(8.73)
式中
r r r 2dr 1，
r r 1 r r
r2
sindd 1 （7.59）
1
sin
（7.62）
这 样 , 空 间 的 态 矢 量 g 可 以 有 两 种 表 象 : 表 象
g g和 lm 表象 lm g .前者是连续表象而后者是离散
表象. 球谐函数
lm Ylm,
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自旋算符 S 是一个矢量厄米算符, 通常取 S 2 和 Sz 作为对易
算符完备组,讨论它们的共同本征矢量 sm .
S 2 sm ss 12 sm
Sz sm m sm
根据前面角动量的普遍讨论, 量子数 s 和 m 的可能取值如下:
s 0, 1 2, 1, 3 2, 2, m s,s 1,s 1, s 自旋与轨道角动量不同的特点是, 非复合粒子的自旋量子数 s 只能取 一个值, 例如电子 s 取1 2 ; 在基本稳定的粒子态中, 所有的轻子和
为此，引入两个算符 J 和 J ：
Ji , J j i ijk Jk
k
J J x iJ y
（8.6）
这两个算符不是厄米算符，因而它们不是物理量；但它们有很重要的作用，满足
J
J
即二者互为伴算符。它们与 J 2 和 J z 的对易关系是
角动量算符的本征值方程
角动量算符的本征值方程在量子力学中，我们知道，角动量算符x L ∧，y L ∧，z L ∧满足本征值方程:()()(),1,1,,,x lm l m l m L Y ∧+-=+θφθφθφ， (1)()()(),1,1,, ,y lm l m l m L Y ∧+-=+θφθφθφ, (2)()(),,z lm lm L Y mY ∧=θφθφ. （3）或取ˆˆˆx yL L iL ±=±,则 ()()1ˆ,,lmlm L Y ±±θϕ=θϕ, （4）而()()()2ˆ,1,lm lmL Y l l Y θϕ=+θϕ 这一节, 我们将从SO(3)群的不可约表示出发，来导出这些关系. 由§5.3节(7)式知()()()()''1212ˆ(),, (,, 1, , )ll lm m mlm m lP R f D R f m m l l l '=-='=--+∑ξξξξ, (5)其中()12,lm f ξξ取形式()12,l m l mlm f +-ξξ=其性质与球谐函数()φθ,lm Y 相同，这里不妨将其取作球谐函数，这样（5）式变为：()()'ˆ()(,)(,)ll l m lm m mm lP R Y D R Y ''=-=∑θφθφ (6)首先考虑绕x 轴转角为0∆η→的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符()0ˆˆˆ1xi L xxP R e i L ∆η→-∆η=-∆η （7） 由于绕x 轴转动η∆角，可视为欧勒角为2πα-=，ηβ∆=，2πγ=的转动，这样由§5.4节(2)式知：()()()()()()()()()∑+='+-'-'--+'-'+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-m l k kl m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 0!!!!!!!!12,,2πηπ ()m m ikm m km m l e-'+-'-'-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆22222sin 2cos πηη亦即()()()()0221 2l mk l m m x k m m kim m D R e+'='-+π'-∆η→-⨯∆η⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (8)在0→∆η时，展开式只保留η∆的零级与一级项， 则有： 20m m k '-+= 或 21m m k '-+=. (9) (1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于 0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），故0=k 或m m =', 而()()1lmm x D R = (10)(2)当+21m m k '-=, 或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0, 1k =.当0=k 时， 1=-'m m ，或1+='m m ，则由(8)式知：()()1!2)2l m m x i D R i +∆η⎫=-⎪⎝⎭∆η- (11)当1=k 时，1-=-'m m ，即1-='m m ，则由（8）式得()()1!2 )2l m m x D R i i -∆η⎫=⎪⎝⎭∆η=-(12)将（7）、（10）、（11）及（12）式代入（6）式得()()11ˆ(1),,)(,)2(,)]x lm lmlm lm i i L Y Y +-∆η-∆ηθϕ=θϕ-θφ+θφ由此得()()(),1,1ˆ,,,x lml m l m L Y +-θϕ=θϕ+θϕ （13）与(1)式完全一致.再考虑饶y 轴转角为0→∆η的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：()0ˆˆˆ1y i L y yP R ei L ∆η→-∆η=-∆η （14） 该转动的三个欧勒角分别为0=α，ηβ∆=，0=γ，将其代入§5.4节（2）式得()()()=02220,,01 cos sin 22l mkl m m k l m m km m kD +'''+---+∆η=-∆η∆η⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑在0→∆η时，()()()()()()()()()()∑+-''⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-+-'-'--+'-'+-+-=∆k k m m kl m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 22!!!!!!!!10,,0ηη （15） 在展开式中，只保留η∆的零级与一级项，则有20m m k '-+= 或 21m m k '-+=.(1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0=k 或m m ='，则()()1.lmm y D R = （16）（2）当12=-'+m m k ，或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故10==k k 或.当0=k 时， 1+='mm ，与上面同样的讨论知()1()2l m m y D R +∆η⎫=-⎪⎭（17） 当1=k 时，1-='m m . 与上面同样的讨论知()1()l m m y D R -=（18） 将（14）、（16）、（17）及（18）式代入（6）式得()()(),1,1ˆ,,,y lml m l m L Y +-θϕ=θϕ+θϕ （19）与(2)式一致.最后考虑饶z 轴转角为0→∆η的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：()0ˆˆˆ1z i L z z P R e i L ∆η→-∆η=-∆η.（20） 该转动的三个欧勒角分别为0=α，0=β，ηγ∆=. 将其代入§5.4节（2）式得()()()20,0,1.kl m m k im m m kD e '-+-∆η'∆η=-∑要使上式不等于零，02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-. 另外, 0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0=k 或m m ='. 又0→∆η时，ηη∆-≈∆-im e im 1，因此()()1lmm z D R im =-∆η. （21）将（20）与（21）式代入（6）式得()()φθφθ,,ˆ,ml lm z mY Y L = （22） 与（3）式一致.这样，由SO （3）群的不可约表示，ˆˆˆx y zL L L 、及的本征值方程很自然地得到.由（7）、（14）与（20）式知，绕单位矢量n、转角为0∆η→的无穷小转动算符为：()ˆ,1n P R i n L ∆η=-∆η⋅ （23）令mαη=∆，其中m 为一无限大的整数，α为一有限量，则ˆ,1n i n L P R m m αα⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 对于有限转角为α的转动，可以看成是转角为mαη=∆的m 次连续转动而成，所以()()ˆˆ,lim ,lim 1exp mm n n m m i n L P R P R i n L m m →∞→∞⎛⎫αα⋅⎛⎫α==-=-α⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (24) 这就是沿任意方向n 转角为α的转动算符，若假设n 的角坐标为()φθ,，则()31231ˆˆˆˆsin cos sin sin cos i i i n L L L L L =α⋅=αθϕ+θϕ+θ=α∑其中φθααcos sin 1=，φθααsin sin 2=，θααcos 3=. （25） 这样()()31ˆˆ,exp exp n i i i P R i n L i L =⎛⎫α=-α⋅=-α ⎪⎝⎭∑ （26） 由此可见，（25）式定义的321,,ααα为正则参数，这一点与三个欧拉角γβα,,是不同的，我们知道γβα,,不是正则参数.§5.7 SO(3)群表示直积的分解SO(3)群的两个不可约表示的直积仍然是SO(3)群的表示. 由§2.9节的讨论知，两个不可约表示的直积一般不再是可约的，它们可按克莱布什-戈登分解方式展开为一系列不可约表示的直和，即()()12()()()()lll l lD R D R a D R ⊕⊗=∑ （1）其中l α为不可约表示()()lD R 出现的次数，下面我们就来确定这种分解形式.1. SO(3)群表示的特征标在讨论SO(3)群表示的特征标之前，我们首先来证明下面的结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 证：设()αζR 代表绕过o 点的ζo 轴、转角为α的转动，如图1示.图1为简单起见，设ζo 轴在yoz 平面上，上述转动可通过下述步骤进行：（1） 绕ox 轴转-θ角，故ζo 与oz 轴重合，记该转动为()1()x x R R --θ=θ.（2） 绕oz 轴转α角，记该转动为()αz R .（3） 再将ζo 绕x 轴转θ角回到原处，该转动为()x R θ. 这样()()()()1x z x R R R R -ζα=θαθ （2）根据类的定义，上式中()αζR 与()αz R 属同一类，由于这里z 轴的选取是任意的，因此我们得到结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 所以它们具有相同的特征标. 这样，只要我们知道通过原点o 某一转轴转动某一角度不可约表示的特征标，也就知道了绕通过任意转轴转动相同角度的不可约表示的特征标.由§5.3节(10)式我们知道，绕z 轴转动φ角的不可约表示为：()()0,0,l im m m m m D e-φ''φ=δ （3） 这样由上面的讨论知，SU （2）群的绕通过原点o 任意轴转过φ角的不可约表示的特征标为：()21201 1i l llim il ik il l i m l k e k l m e e e e e +φ-φ-φφ-φφ=-=-=-χ==-∑∑ 1122221sin 2sin 2i l i l ii l ee ee⎛⎫⎛⎫-+φ+φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭φφ-⎛⎫+φ ⎪-⎝⎭==φ- 2. SO(3)群表示的直积的分解为了求得(1)式中直积分解的系数，我们来求表示的直积()()12()()llD R D R ⊗的特征标.12121212121122()()()()()() ()() l l l l l l l l im im m l m l D R D R D R D R ee -φ-φ=-=-⎡⎤χ=χ⊗⎣⎦⎡⎤⎡⎤=χχ⎣⎦⎣⎦=χχ=∑∑()1212122maxmin 12 l l i m m m l m l l lim l l m lem m m e-+φ=-=--φ==-==+∑∑∑∑其中21min l l l -= 21m a xl l l +=，而lim l m le-φ=-χ=∑故121212()()()()l l l l ll l l D R D R +=-⎡⎤χ⊗=χ⎣⎦∑而由（1）式知：12()()()()l l l l lD R D R a ⎡⎤χ⊗=χ⎣⎦∑比较以上两式知，1=l a , 当 121212, 1, , l l l l l l l =++--,0=l a , 其它情况.这个结果表明，在表示的直积()()12()()llD R D R ⊗中，不可约表示()()lD R （121212, 1, , l l l l l l l =++--）仅出现一次，即表示的直积有如下分解()()()()121212121()()()()()lll l l l l lD R D R DR D R D R ++--⊗=⊕⊕⊕亦即()()()121212()()(). (4)l l l l ll l l D R D R D R +⊕=+⊗=∑如131()()()(1)222()()()()D R D R D R D R ⊗=⊕.()()()()()12321()()()()()D R D R D R D R D R ⊗=⊕⊕.§5.8 角动量的耦合与C-G 函数角动量的耦合是物理学中的一个重要问题，本节将利用前面得到的转动群的不可约表示来讨论角动量的耦合, 求得耦合系数，即C-G 系数.由前面的讨论我们可以看出，球谐函数()φθ,lm Y 按SO(3)群的不可约表示()()lD R 变换，在一般情况下，考虑到变量r ，函数()()(),lm l lm r R r Y ψ=θφ也应按SO(3)群的不可约表示()()lD R 变换，亦即()()()()()ˆjjjmm m jm m jP R r D R r '''=-ψ=ψ∑(1)其中, , 1,, m m j j j '=--+ 共12+j 个取值. 这里按习惯将角动量量子数用符号j 表示，这里的()jm r ψ是2ˆj 与z j ˆ的本征函数，即()()()()()2ˆ1ˆjm jm z jm jm j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨ψ=ψ⎪⎩ （2）考虑两个粒子系统，如核外的两个电子，每个电子均在各向同性的中心场中运动，其波函数分别为()111j m r ψ与()222j m r ψ，它们分别按SO(3)群的不可约表示()()lD R 变换，即()()()()()()111111111111111ˆj jj m j m m m j m m j r P R r D R r '''=-'ψ=ψ=ψ∑（3） 其中 11111, , 1, , m m j j j '=--+.()()()()()()222222222222222ˆj jj m j m m m j m m j r P R r D R r '''=-'ψ=ψ=ψ∑（4） 其中22222, , 1, , m m j j j '=--+.而()()()()()111111112111111111ˆ1ˆj m j m z j m j m j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨ψ=ψ⎪⎩, ()()()()()222222222222222222ˆ1ˆj m j m z j m j m j r j j r j r m r ⎧ψ=+ψ⎪⎨ψ=ψ⎪⎩. 两个电子组成的耦合系统的波函数为：()()()11221122, 1212,j m j m j m j m r r r r ψ=ψψ （5） 在()3SO R ∈的转动变换下，有()()()()()()()()()()11221122121111222212, 121212ˆ, j m j m j m j m j j m m j m m m j m m m P R r r r r D R r D R r ''''''ψ''=ψψ=ψψ∑∑()()()()()()12112222122212, j j j m j m m m m m m m D R D R r r ''''''⎡⎤=⊗ψψ⎣⎦∑ （6） 因此，耦合系统的波函数1122, 12(, )j m j m r r ψ按SO(3)群表示的直积()()12()()jjD R D R ⊗变换，而由§5.7节的讨论知，直积()()12()()jjD R D R ⊗是可约的，因此1122, 12(, )j m j m r r ψ不是按SO(3)群的不可约表示变换，因此1122, 12(, )j m j m r r ψ不是总角动量2ˆj 与z j ˆ的本征函数.下面我们来讨论一下，如何由()111j m r ψ与()222j m r ψ来构成总角动量2ˆj 与z j ˆ的本征函数.由§5.7节(4)式知，表示的直积可约化成准对角矩阵，121212()(1)()()()()()j j j j j j D R D R N R D R --+-⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1020(7)其中10与20代表零矩阵元. 这样()()()121212, =, 1,j j m jm j j m m N R D R j j j j j j j j ''''=δ'--++， （8）这表明存在矩阵C ，使得()()()()()C R N C R D R D j j 121-=⊗ （9） 因为()R N 与()()()()R D R D j j 21⊗都是幺正的，所以C 应为幺正矩阵，即+C C -=. 而(9)式的矩阵元可以写成：()()()()()()()1211221,2121212, , ,jjm m m m j j j j m m j m j m jm jm m m m m j jD R D R CN R C ''+''''''''=∑∑()()()12121222*(), , (8)j jj jj jm m m m m jm m m m mjC D R C '''''∑∑式 （10）这里的()1212, j jjm m m C 是jm 行，21m m 列矩阵，其中121212, 1, , j j j j j j j =--++，1111, 1, , m j j j =--+， 2222, 1,, m j j j =--+.利用变换矩阵C 可将()()121221++j j 个线性无关的波函数1122, 12(, )j m j m r r ψ线性组合成另一组()()121221++j j 个线性无关的函数： ()121211221212,,12(, )(, )j jjm m m jmj m j m m m r r C r r +ψ=ψ∑ （11）利用C 变换矩阵的幺正性，即()()121212121122+,,j jj jm m jm jm m m m m m m jmC C ''''=δδ∑可得(11)式的逆变换为：()12112212,12, 12(, )(, )j jj m j m jm m m jm jmr r C r r ψ=ψ∑ （12）不难证明由(11)式表示的函数12(, )jm r r ψ按SO(3)群的不可约表示()()jD R 变换，因为()()()121211221212,, 12ˆ(, )ˆ (, )jm j jm m jm j m j m m m P R r r C P R r r +ψ=ψ∑()()()()()121212112212121212, , 12, , (6)(, )j j j j m m jm j m j m m m m m m m m m C D R D R r r +''''''⎡⎤⊗ψ⎣⎦∑式()()()()()()121212121212121212,, ,, 12 (12)(, )j j j j m m jmm m m m j m m m m m j jj m m m j m C D R D R C r r +''''''''''''⎡⎤⊗⨯⎣⎦ψ∑∑式()()()(){}1212, (, )j j j m j m jmj m C D R D R C r r +''''''⎡⎤=⊗ψ⎣⎦∑()12()12 (9)(, )(8) ()(, )j m jmj m j m j m m jm m NR r r D R r r '''''''''ψψ∑∑式式 可见12(, )jm r r ψ按不可约表示()()R D j 变换，因此按（11）式组合得到的12(, )jm r r ψ是总角动量2ˆj 与z j ˆ的本征函数.(11)式中由1122, 12(, )j m j m r r ψ到12( )jm r r ψ的变换系数()1212, j jm m jm C +称为克莱布什-戈登(Clibushi-Gordan)系数或维格纳(Wigner)系数或矢量耦合系数，简称为C-G 函数，通常取该系数为实数，所以()12121212(), ,1122==j j j j m m jm jm m m C C j m j m jm + （13）下面我们来求C-G 系数的具体形式.设z R 为绕z 轴转角为α的旋转，由§5.3节(10)式知()()αδim m m m m z j e R D -''= （14）用()zR P ˆ作用于(11)两端，得 ()()()121211221212, , 12ˆˆ(, )(, )j j z jm m m jm z j m j m m m P R r r C P R r r +ψ=ψ∑ （15）由于()()()121212ˆ(, )(, ) (14) (, )j z jm m m z jm m im jm P R r r D R r r e r r '''-αψ=ψψ∑式又由(6)式知：()()()()()()1122121122221222, 1212, ˆ()(, )z j m j m j j z z j m j m m m m m m m P R r r D R D R r r ''''''ψ⎡⎤=⊗ψψ⎣⎦∑ 而 121212121122121122()()()(), ()[()()]()() (14)j j j j z z m m m m m m z m m z i m m m m m m D R D R D R D R e''''-+α''⊗=δδ式这样1211221122(), 12, 12ˆ()(, )=(, )i m m z j m j m j m j m P R r r e r r -+αψψ 故(15)式变为()()12121211221212,12(, )(, )j ji m m im jm m m jm j m j m m m e r r C er r +-+α-αψ=ψ∑ （16）再利用（11）式得()121211221212,, 12(, )=(, )j jim im jm m m jm j m j m m m e r r e C r r +-α-αψψ∑由于1122,12(, )j m j m r r ψ线性无关，所以21m m m +=. （17） 这样()()2121212121,,,m m m j j m m j j j m m jm C C +=δ （18）将其代人(10)式，得()()()()()()()1212121211221212121212(),,,j j j j j jj jj m m m m j m m m m m m j m m j j j D R D R C D R C +''''''++=-=∑ （19） 由§4.4节(10)式知：两不可约表示的矩阵元满足正交性()()()()()121122*,,,,,jjm m m m GD D W d d d ''αβγαβγαβγαβγ=⎰1212121(,,)m m m m j j j W d d d l ''αβγαβγδδδ⎰（20）三个欧勒角的变化范围分别为： 0()2, 0.≤αγ≤π≤β≤π 权重因子(,,)sin W αβγ=β，所以2(,,)8W d d d αβγαβγ=π⎰（21） 1j l 为表示的维数，对于表示()()R D j 1，1211+=j l j .用()1212*(),j m m m m D R ''++乘（19）式两边并对欧勒角加权积分，利用正交关系(20)得()()()()()1211221212*(),21,,,,,,sin 8j j j m m m m m m m m D D D d d d ''''++αβγαβγαβγβαβγπ⎰ ()()12121212, , 121j j j j j m m j m m C C j ''=+ （22）为了确定()1212, j jj m m C ，在上式中令11j m ='，22j m -='，并由§5.4节（2）（3）与（4）式知：1212121212121212*(),12121212222[()()](,,))! ()!11 (cos )(sin ) 22j j j m m kkj m m j j kj j m m k ij j m mD e -+++-+----+-α++γαβγ=-β-β∑(22)()111111111()(,,)11 (cos )(sin )22j j m i j m m j j m De-α+γ+-αβγ=β-β （24）()()22222222222()(,,)111 (cos )(sin )22j m j j m i j m j m j m De +---α+γ-+αβγ=-β-β （25）将（23）（24）（25）三式代人（22）式并注意()()()112211, 11j m k--=-=,得:()()()()()()()()()()1212121212122111122222!2!!!!!18!!!!j j j m m j m m j j j j j j j m j m j m j m ⎡⎤++--+--+⨯⎢⎥π+-+-⎣⎦()()()()221212121211!!!!k j m Rk j m m k j j j k j j m m k ++-⨯++--+----+∑211122+2222211(cos )(sin )sin 22j j m k j m kd d d +--+βββαβγ⎰ ()()12121212, , 121j j j j j j j j m m C C j -=+ （26） 利用积分()222111!!(cos )(sin )sin 8221!a b a b d d d a b βββαβγ=π++⎰ 则()()()211122222222211112111cos sin sin 822+!!1!j j m k j m kd d d j j m k j m k j j j ++--+⎛⎫⎛⎫βββαβγ⎪ ⎪π⎝⎭⎝⎭+--+=+++⎰代入（26）式得:()()()()()()()()()()()1212121212121211112222211!2!2!!!!!!!!!j j j j j j j m m j m m j j j j j j j m j m j m j m +⨯+++⎡⎤++--+--+⨯⎢⎥+-+-⎣⎦()()()()()()22211112121212!!1!!!!k j m kj j m k j m k k j m m k j j j k j j m m k ++++--+-++--+----+∑()()12121212, , j jj jj j j j m m C C -= (27)在上式中再令11j m =，22j m -=，得:()()()()()()()()()()12112212121212121221!1!!! 1!!!j j j j j kkj j j j c j j j j j j j j j k k j j j k j j j k -++-=⨯+++-+++--+---+-∑再利用恒等式()()()()()()()()()!!!2!2!!!!!121211*********j j j j j j j j k j j j k j j j k k j j j j j j kk-+-+=-+---+-+++--∑这样()()()()()121212()12, 1212212!2!1!!j j j j j j j j Cj j j j j j -⎡⎤+=⎢⎥++-+-⎣⎦(28) 代入(27) 式得()()()()()()()()()()()()1212121212121212,1211112222!!!!!21=1!!!!!j j j m m j j j j j j j j j j m m j m m j C j j j j m j m j m j m ⎡⎤+--++-++--+⨯⎢⎥++++-+-⎣⎦()()()()()()22211112121212+!!1!!!!k j m kj j m k j m k k j m m k j j j k j j m m k +++--+-++--+----+∑将其代入(18)式, 最后得C-G 系数为:()()()()()()()()()()()()121212121212,1211112222!!!!!211!!!!!j j jm m m j j j j j j j j j j m j m j C j j j j m j m j m j m ⎡⎤+--++-+-+=⨯⎢⎥++++-+-⎣⎦()()()()()()2221111212+!!1!!!!k j m kj j m k j m k k j m k j j j k j j m k +++--+-+--+---+∑. (29)表1与表2分别给出了11212, j jm m m C⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1121, j jm m m C 的C-G 系数.表1 11212, j jm m m C⎛⎫ ⎪⎝⎭系数表2 ()1121, j jm m m C 系数例如11212, j jm m m C⎛⎫⎪⎝⎭, 112j j =+, 212=m .111112111222j j m m C⎛⎫⎪⎝⎭++，()()()12111111111111111111111111111!!!!!222222222222=1111111!!!!!222222j j j j j j j m j m j j j j m j m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-++--++++--+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1111111111111!!221111111!!!!222222k kj m k j m k k j m k j j k j m k +⎛⎫+++--+ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-+----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()()()()()()()()()()()()()121111111111111111111111111112!1!0!1!!2222!!!1!0!1!!!1! 0!1!1!1!1!0!!!j j m j m j j j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m ⎡⎤++-+=⨯⎢⎥++-⎣⎦⎡⎤++-+-+-+⎢⎥++--+-⎣⎦()()1211111111121j m j m j m j ⎛⎫++=--+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭==再例如 ()112,1, j jm m m C , 11+=j j , 12=m .()1111,111, 1j j m m C ++ ()()()()()()()()()121111111111111111111!11!11!11!11!23111!!!2!0!j j j j j j j m j m j j j j m j m ⎡⎤++-+-++--++++--+=⨯⎢⎥+++++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()111111111111!!1!11!11!11!kkj m k j m k k j m k j j k j m k +++--+-+++-+-+-----∑()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12111111111111111111111111111111111112!2!0!2!!2323!!!2!0!2!!1!1!!2! 0!2!2!2!1!1!1!1!2!0!!!j j m j m j j j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m ⎡⎤++-+=⨯⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦⎡⎤++-++-++-+-+⎢⎥++--++--+-⎢⎥⎣⎦()()()()()()12111111111111111111(1)(2)(21)(22)11 112122j m j m j j j m j m j m j m j m j m ⎛⎫++++=⨯⎪++⎝⎭⎡⎤-----+-+-+-+⎢⎥⎣⎦()()()()21111122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=j j m j m j C-G 系数有下列性质()()()()()1212121221121221, , , 11j j j j j j j j j j j j jm m m j m m m jm m m C C C +-+----=-=-()()11122112, 221121j m j jj mm mj C j ---⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭（30）例如：()()()()()()2212122111(), 01212!!1!!!!k j m j j j m m m kj j m k j m k C C k j m k j j j k j j m k +----+--++=----+--++∑ (31)其中： ()()()()()()()()()()()2122221111212121210!!!!!112!!!!!⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++++-+-++--+=m j m j m j m j j j j j m j m j j j j j j j j j j C与求和无关，且在12, , m m m 变号情况下，其值不变. 令12j j j k k '-+-=，则12k j j j k '=-+-, (31)式求和项变为：()()()()()()122211211212!!1!!!!j j j m k k j m k j j m k j j j k k j j m k j m k '-+--'''-+++--''''-+---++-∑而()()()()122122221222241111j j j m k j j j j j m k j j j k j m'''-+----+---+-++-=-=-- 这样()()12221212(), 011j j jk j m j j j m m m kC C +-++---=--⨯∑()()()()()21111212!!!!!!j j m k j m k k j m k j j j k j j m k ++--++--+---+()()121212,=1j j j j j jm m m C +--.其它性质亦可用同样方法予以证明.例1：现在我们利用两波函数的耦合公式()12121211221211221212()12, 12, 12()()()()()j j j j jm m m jmj m j m jm m m j m j m m m m m r r Cr r C r r +ψ=ψψ=ψψ∑∑ （32）及表1所给的C-G 函数来讨论两电子的合成自旋波函数，为此采用惯用的符号⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01α, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10β (33)分别代表自旋向上⎪⎭⎫ ⎝⎛=21z S 与自旋向下⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21z S 的自旋波函数，用m j ,代表合成的自旋波函数.由于电子的自旋为2121==j j ，则合成的总自旋为1, 0j =. 当1=j 时，1, 0, 1m =-. 当0=j 时，0=m . 考虑到21m m m +=，则由表1可得121122, jm m m C⎛⎫ ⎪⎝⎭系数，如表3示.表3 121122, jm m m C ⎛⎫ ⎪⎝⎭函数这样由（32）、（33）两式及上表可得：()()()()()()[]()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==211,12121210,1211,1ββαββααα ()()()()[]2121210,0αββα-=以上合成波函数在量子力学中我们早就熟悉.§ 5.9 张量算符1.算符的变换我们先看一下坐标转动时，算符的变换规则.设有算符()r Fˆ，作用在波函数()r ψ后可得到另一波函数()r φ，即 ()()()r r r F φψ=ˆ（1）设在坐标转动R 下的算符为()R Pˆ，用()R P ˆ作用在上式两边得： ()()()()()r R Pr r F R P φψˆˆˆ= 求：()()()()()()()r R Pr R P R P r F R P φψˆˆˆˆˆ1=- 令()()()()R P r F R P r F1ˆˆˆˆ-=' （2） 且注意到：()()()r R r R P 1ˆ-=φφ ()()()r R r R P 1ˆ-=ψψ则上式变为：()()()rR r R r F 11ˆ--='φψ(3)又由（1）式知：()()()rR r R r F 11ˆ--='φψ(4)因此：()()()()()r R F R P r F R P r F11ˆˆˆˆˆ--==' (5)2. 矢量算符如果算符F ˆ有三个分量iF ˆ()3,2,1=i ，在坐标转动变换下，它按如下规则变换()()F R R P F R P Fˆˆˆˆˆ11--==' (6) 或()()∑∑==='--jjji jj ij i i F R F R R P F R P F ˆˆˆˆˆˆ11()3,2,1,=j i(7)则该Fˆ为矢量算符. 例1.算符ii x e ∂∂=∇ 是矢量算符（3,2,1=i ）分别对应于x ，y ，z ）是矢量算符.因为此时ii x F ∂∂=ˆ，在坐标经R 变换后， Rrr ='或∑='jj ij i x R x（8） 而()()r F R r F x R x x x x j j ji i j j ji jj i j i '=⇒'∂∂='∂∂∂'∂=∂∂∑∑∑ˆˆ)8(式 （9）又由算符变换性质（5）知()()()()()()()()r F R P r F R P r R F R P r R F R P ii ˆˆˆˆˆˆˆˆ1111='⇒='---- （10）（9）+（10）得()()()()()r F R R P r F R P r F j jji i i ˆˆˆˆˆ1∑=='-因此按矢量算符的定义（6）或（7）知，iix e ∂∂=∇是矢量算符. 3.二阶张量算符如果算符F ˆ有9个分量ij F ˆ()3,2,1,=j i ，而且ijF ˆ的变换性质为： ()()()()kl kllj ki kkl ljk ik ij ij F R R F R R R P r F R P r F ˆˆˆˆˆˆ111∑∑∑==='---（11）则称Fˆ为二阶张量算符. 由于()klij lj ki R R R R ⊗=，所以ijF ˆ是按直积R R ⊗变换的. 4. 高阶张量算符如个指数n ijk F ˆ的变换性质为： ()()∑'''''''''-=k j i k j i k k j j ii ijk F R R RR P F R P ˆˆˆˆ1 （12）则称k j i F '''ˆ为n 阶张量算符，n 是F ˆ下脚标的数目，显然矢量算符可以看成是一阶张量算符. 5.不可约张量算符设有算符()l mT ˆl l l m ,,1, +--=，共有12+l 个分量，它们在坐标转动R 下，按下式变换()()()()()()()l m llm lmm l ml m T R D R P T R P T '-='-∑=='ˆˆˆˆˆ1（13）也就是说，()l m T ˆ的12+l 个分量按SO （3）群的不可约表示()()R D l 变换，则称()l mT ˆ为l -阶不可约张量算符. 当0=l 时，即为零阶不可约张量算符，它只有一个分量()00ˆT ，称为标量算符，其表示矩阵()10=D ，即标量算符在坐标转动下不变. 当1=l 时，即为1阶不可约张量算符，它有三个分量，其变换关系为：()()()()()()1111ˆˆˆˆm llm mm mT R D R P T R P '-='-∑=()1,0,1,-='m m（14）前面我们曾介绍过矢量算符满足变换关系()()()()r F R R P r F R P j jji i ˆˆˆˆ1∑=-()3,2,1,=j i（15）而由前面§5.4节的讨论知：()()R D l 与R 等阶，即()()11-=M R MD R 或()()∑'-''=mm mi m m m j ji M R D M R 11（16） 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-0,2,211,0,00,2,211i iM⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0,1,02,0,221,0,21i i M（17）将（16）代入（15）得：()()()()∑'-''-=m jm jm i m m m j i F M R D M R P F R P ˆˆˆˆ111 上式两边同乘in M 并对求和得：()()()()∑∑∑''-'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛mjm jm j imi in m m ii in F M M M R D R P F M R P ˆˆˆˆ111 利用M 矩阵的正交性nm imi in M M δ=∑-1，上式变为：()()()()∑∑∑'''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛m j jm j m m ii in F M R D R P F M R P ˆˆˆˆ11将上式与（14）式比较知：()∑'''=m m m m l m F M T ˆˆ（18） 亦即：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+-=-21113102111ˆˆ21ˆˆˆˆˆ21ˆF i F T F T F i F T （19）由此可见，任一矢量算符的分量可组合成一阶不可约张量算符. 在前面§5.6节中我们曾得绕任意方向n绕角为α的转动算符为()()ταα ⋅-=n i R P ne x p ,ˆ若取n沿z 轴，转角0→∆=ηα，则()()zz z L i L i R P ˆ1ˆe x p ,ˆηαηαη∆-≈∆-=∆ （20） 而此时()()()()m i m m l m m l m m eD R D ηδη∆-'''=∆=,0,0 （21）将（20）与（21）两式代入（13）式得：()()()()()()l mm l m m z l m z T D R P T R P '''-∑∆=∆∆ˆ,0,0,ˆˆ,ˆ1ηηη 亦即：()()()()()l ml m z l m z T m i T L i T L i ˆˆˆ1ˆˆ1ηηη∆-=∆+∆- 由此可得：()[]()l ml m z T m T L ˆˆ,ˆ= （22）结合§5.6节的结果，同样的方法可以证明.()[]()()[]()l m l m T m l m l T L 121ˆ1ˆ,ˆ±±+±=（23）其中yx L i L L ˆˆˆ±=±. 下面我们再讨论一下，不可约张量算符对按()3SO 群不可约变换的函数作用.设22m j ψ是按不可约表示()2j D变换的函数，不可约张量算符()11ˆj mT 作用在22m j ψ上后，在转动变换下有：()()()()()()22112211ˆˆˆˆˆˆ1m m j j m j j m R P R P T R P T R P ψ=ψ-()()()()()221222111111ˆm j m j m m m j m j m m R D T R D '''''ψ=∑∑ ()()()()()222111222111ˆm j m m j m j m m j m m T R D R D '''''ψ=∑()()[]()222111212121ˆm j m m j m m m m m j j T D D '''''ψ⊗=∑（24）由此可见，()()121221++j j 个函数()2211ˆm j j mT ψ按()3SO 群的表示直积()()21j j D D ⊗变换，则由前面§5.8节的讨论知，()2211ˆm j j m T ψ不是角动量2ˆJ 与z J ˆ的本征函数，利用C-G 函数，可将()2211ˆm j j m T ψ线形组合为： ()()∑ψ=2122112121ˆ,m m m j j m j j m m jm jm T C ψ（25）其中,,,1,212121j j j j j j j ++--= j j j m ,,1, +--=，则jm ψ将构成总角动量2ˆJ 与zJ ˆ的本征函数，其本征值方程为： ()()∑ψ=2122112121ˆˆˆ,m m m j j m z j j m m jm jmz T J C J ψ()()()()()∑ψ+=212211112121ˆˆˆ1,22m m m j j m z j m j j m m jm T m J T C 式()()()∑ψ+=2122112121ˆ,21m m m j j m j j m m jm T C m m()()∑ψ=2122112121ˆ,m m m j j m j j m m jm T C m()()∑ψ=2122112121ˆ,m m m j j m j j m m jm T C m亦即jmjm z m J ψψ=ˆ（26）由（23）式，用同样的方法可以证明()()()[]1211ˆˆ±+±=±jm jm y x m j m j J i J ψψ（27）6维格纳-艾卡特（Wigner-Echart ）定理现在我们来计算一下不可约张量算符()11ˆj m T 在态222m j Nψ和态Njm ψ之间的矩阵元，这里的2N 与N 代表除22m j 或jm 外的其它量子数，由于算符()R P ˆ的正交性有：()()()()()()()()2221122211ˆˆˆˆ,ˆˆ,1m j N j m Njm m j N j m Njm R P R P T R P R P T ψψ=ψψ-()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ=∑∑∑''''''''*'m m m j N j m m j m j m m m m Nj j m m R D T R D R D 22222211111ˆ,()()()()()()()()∑''''''''*'ψψ=2122211222111ˆ,m m m m j N j m m Nj j m m j m m j mm T R D R D R D （28）又由前面§5.8节()9'式知()()()()()()()()∑∑'''''''''''=m m j j j m m m j j m m j j m m m j j mm j m m C R D C R D R D 21212121222111,,()()()()∑+-=''+'''+'+''''+''=21212121212121212121,,,j j j j j j j m m m m j j m m m m j j m m m m j C R D C （29） 将（29）代入（28）式得：()()()()()()∑'''''''+'''''+''=ψψ2121212121212122211,,ˆ,m m m j j m m j j m m m m j j j m m m m j m j N j m NjmR D C C T ()()()222112121ˆ,,m j Nj m m Nj j m m m m T D ''''+'+'ψψ*上式两边对欧勒角γβα,,加权重βsin 积分，并利用不可约表示正交性得()()()()∑'''''+'''''+''=ψψ2121212121212122211,,ˆ,m m m j j j m m m m j j j m m m m j m j N j m NjmC C T()()222112121ˆ,121,,m j N j m m Nj m m m m m m j j T j ''''+'+'''ψψ*+=δδδ()()212121212121212121,,,,12m m m m m m j j m m m m j m m m j j m m m jm j C C '+''''''''+'++∑+*=δδ()()22211ˆ,m j N j m m Nj T '''*ψψ(30)由（30）式知，求和部分仅与j N N ,,2，2j 有关，而与21,,m m m 无关，为简单起见，将求和部分记为：22j NjN T 称为不可约张量算符的约化矩阵，则（30）式可写成：()()()()122212122211ˆˆ,,j j NjN j j m m jm jm N j mNjm T C T =ψψ （31）上式就是维格纳-艾卡特定理的数学形式，说明一个不可约张量算符在角动量本征态之间的矩阵元等于一个C-G 函数与其约化矩阵的直积.由该定理可以看出，不可约张量算符的矩阵元与其中出现的C-G 函数有相同的选择定则，即只有当()j j j 21∆，212121,,1,j j j j j j j ++--=（32） 以及21m m m += （33）时不可约张量算符的矩阵元才不为零. 例1. 角动量算符的矩阵元前面在§5.6节中，我们曾经得到角动量算符的矩阵元为：()()()()φθφθ,1,ˆ1±±±+±=lm lm Y m l m l Y L yx L i L L ˆˆˆ±=± ()33' 下面我们由不可约张量算符来导出这些矩阵元.由本节（19）式知，zy x L L L ˆ,ˆ,ˆ可以组合成一阶不可约张量算符为：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+-=-yx z y x L i L T L T L i L T ˆˆ21ˆˆˆˆˆ21ˆ111011（34）前面得到的维格纳-艾卡特定理知：()()()()1,1,122212211ˆll l m m lm m l m lm T C Y TY=（35）为了确定约化矩阵元()12ll T ，在上式中取01=m ，则有：()()()()()1222222222111,10,21ˆˆˆll l m lm mm ll m l z lmm l m lm T C m Y L YY TY===δδ故得：()()222212,10,21ˆmm ll l m lm ll C m T δδ=而由前面§5.8节的讨论知：()()()()()()21,21,222211122211,0,1,10,mm ll C l m lm ll l m lm l l m C C l m mlm δ+-=-=-+-+表知故()()()()2212111ˆ2211ll ll l l lll l l l T δδ+-=+-=-+ 代入（35）式得：()()()()()()1ˆ,1,,1,21211+-=l l C Y T Y l mm lm lm m lm φθφθ （36）则()()()()()()1ˆ,11,,11,221+-=l l C Y T Y l mlm lm lm φθφθ 而()()()()()()1,21,1,1,1,11,2221211+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=-=m m l m lm l l l m lm l l m l m l C C δ ()()()1,21222121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=m m l l m l m l δ 故()()()()()()1,2122,11,22121ˆ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=m m lm lm m l m l Y T Y δφθφθ 由于()()+-=+-=L L i L T y x ˆ21ˆˆ21ˆ11，故 ()()()[]()φθφθ,121,1ˆ++-++=lm lm Y m l m l Y L 与()33'式一致. 再由（35）式得：()()()()()()1ˆ,11,,11,221+-=--l l C Y T Y l mlm lm lm φθφθ 而()()()()()()1,21,1,1,1,11,2221211---+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=-=m m l m lm l l l m lm l l m l m l C C δ()()()1,21222121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--=m m l l m l m l δ 故()()()()()()1,2122,11,22121ˆ--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=m m lm lm m l m l Y T Y δφθφθ 由。
量子化学第五章 电子自旋和角动量
后由著名的斯特恩—盖拉赫实验证实。斯特恩 是美国人，因为第一个发现电子自旋现象获得了 1946年的诺贝尔物理学奖。
4
量子化学 第五章
斯恩特-盖拉赫实验 装置参见右图, 一
束碱金属原子经过一个 不均匀磁场后射向屏幕， 实验发现原子束一分为 二，射向屏幕。
分析：实验体系中的原子肯定有两种不同的磁 矩，才会因与外磁场作用能不同，而导致分裂。
20
量子化学 第五章
比较(2)和(5)，可知 2＝ 1，则＝1
代入(1)和(4)，则有：
显然，在 (1 ,2, ,i, ,j, n)状态下,
的本征值为 +1或 -1.
P i j(1 ,2 , ,i, ,j, n ) (1 ,2 , ,i, ,j, n ) 称 (1 ,2, ,i, ,j, n)为对称波函数。 P i j(1 ,2 , ,i, ,j, n ) (1 ,2 , ,i, ,j, n )
不是一条谱线，而是两条靠得很近的谱线。
同样，钠的原子光谱 3p3s 跃迁的 D 线也是
两条靠得很近的谱线。 谱线的分裂一定是始态和终态存在着能级的差异。
3
量子状态和能级。 故双线光谱结构不可能因轨道运动不同而引起，
一定存在着电子的其它运动。 1925年,乌伦贝克和哥德斯密脱提出电子具有
设
为一个体系中的任意两个角动量，
可能是两个轨道角动量或两个自旋角动量，或一个轨
道角动量一个自旋角动量。
46
量子化学 第五章
角动量量子数分别为 j1 和 j 2 ，
则
的本征值分别为:
其中
设
作用得到总角动量 ，即
47
量子化学 第五章
M 是一个向量，M＝ MxiMyjMzk
动量算符和角动量算符
周期性边界条件
在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
y
rA
L 2
,
y,
z
A’ o
rA
L 2
,
y,
z
A
x
ce i [
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
ce i
[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
z
L
由此得：
ei
pxL
1
于是有：
1
px L
2nx
px
2nx
§3.2 动量算符和角动量算符
1.动量算符 2.角动量算符
1.动量算符
（1）动量算符 （2）动量本征方程 （3）求解动量本征方程 （4）归一化系数的确定 （5）箱归一化
（1）动量算符
pˆ i
pˆ x
i
d dx
pˆ y
i
d dy
pˆ z
i
d dz
（2）动量本征方程
i
p
(r )
p
p
(r )
Ylm ( , ) (1)m Yl*m ( , )
m 1,2,3,,l
m的取值受的限制。对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。即当 确定后，尚有(2 +1)个磁量 子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这 种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。
对于任意函数f (r, θ, φ)（其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）有
天津大学《量子化学》角动量
4 2
2
1
Y2,1
15 sin cos exp( i) 8
2
2
1 Y2,2 4
15 sin2 exp( 2i) 2
角动量的阶梯算符法 (The Ladder-operator method for
angular momentum)
➢ 本节产生用算符的对易规则来推导角动量的 本征值。该方法不必知道算符的具体表达式， 因此其结论适用于任何满足角动量对易规则 的算符。
Mˆ Mˆ zY Mˆ bY
由于 Mˆ Mˆ z Mˆ z Mˆ Mˆ
所以 Mˆ zMˆ Mˆ Y bMˆ Y
变形 Mˆ z Mˆ Y b Mˆ Y
➢
结论：如果Y是
Mˆ
的具有本征值b的本征函
z
数，则
Mˆ
Y仍是
Mˆ
的本征函数，本征值为
z
(b+ħ)。
➢ 将升算符重复作用k次，则有
所以 c ll 12,l 0,1,2,
m l,l 1,l 2,,1,0,1,,l
本征函数
Sl,m
2l 1 2
l l
m m
!1/ !
2
Pl
m
cos
(Pauling & Wilson, Introduction to Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1935)
所以
Mˆ x, Mˆ y iMˆ z
同理可证 Mˆ y , Mˆ z iMˆ x Mˆ z , Mˆ x iMˆ y
b) 角动量平方算符 Mˆ 2与角动量分量算符之间的
对易关系式
Mˆ 2, Mˆ x
Mˆ
高等量子力学角动量算符和角动量表象自旋表象
在量子力学中，波函数可以在不同的表 象之间进行转换。对于角动量表象和坐 标表象之间的转换，可以通过傅里叶变
换或拉普拉斯变换实现。
在进行表象转换时，需要注意不同表象 之间基函数的正交性和完备性，以及转 换过程中可能出现的数学困难和物理意
义的变化。
在实际应用中，可以根据具体问题的需 要选择合适的表象进行描述和计算，以
未来发展趋势预测
要点一
发展新的理论和方法
随着科学技术的不断进步和计算能力 的不断提高，未来有望发展出更为精 确和高效的理论和方法来处理角动量 和自旋相关的问题。例如，基于量子 计算机的新型算法和模拟方法有望在 解决复杂多体问题方面取得突破。
要点二
拓展应用领域
角动量和自旋作为量子力学中的基本 概念和工具，在各个领域都有着广泛 的应用前景。未来有望将角动量和自 旋的理论和方法拓展到更多的领域， 如量子信息、量子计算、量子模拟等 前沿领域。
自旋算符定义及性质描述
自旋算符定义
自旋算符是用于描述粒子自旋状态的算符，包括自旋角动量算符和其分量算符。
自旋算符性质
自旋算符满足角动量算符的一般性质，如对易关系、本征值问题等。此外，自旋 算符还具有一些特殊性质，如自旋量子数的取值只能是整数或半整数。
自旋算符在量子力学中地位和作用
描述粒子内禀属性
角动量性质
角动量是守恒的，即在没有外力矩作 用的情况下，物体的角动量保持不变 。此外，角动量具有叠加性，多个物 体的角动量可以相加。
量子力学中角动量重要性
描述微观粒子状态
在量子力学中，角动量是描述微观粒子状态的重要物理量之一，它与粒子的自 旋、轨道运动等密切相关。
解释原子光谱
角动量的量子化假设成功解释了原子光谱的规律性，为量子力学的发展奠定了 基础。
量子力学中的角动量和角动量算符
量子力学中的角动量和角动量算符量子力学是一门研究微观世界的学科，其理论框架是由一系列的数学工具和基本原理构成的。
其中，角动量是量子力学中一个重要的概念之一。
本文将深入探讨量子力学中的角动量和角动量算符。
一、经典力学中的角动量在深入讨论量子力学中的角动量之前，我们首先要回顾一下经典力学中的角动量。
在经典力学中，角动量是描述物体旋转运动的物理量。
它的大小等于物体的转动惯量乘以角速度，即L=Iω。
根据角动量公式，我们可以得知，当物体的转动惯量变大或角速度增大时，其角动量也会随之增大。
二、角动量的量子化然而，在量子力学中，角动量与经典力学有所不同。
根据量子力学的原理，物理量是以量子的形式存在的，即具有能级的离散取值。
角动量便是其中之一。
量子力学中的角动量是由波函数描述的，而波函数是角动量算符的本征函数。
三、角动量算符在量子力学中，角动量算符用J表示，可以分为轨道角动量算符L和自旋角动量算符S两部分。
轨道角动量算符L与物体的形状和运动有关，描述的是物体的转动运动；而自旋角动量则是描述粒子自身的性质，与其内在特性有关。
这两者的和即为总角动量算符J。
四、角动量算符的本征函数和本征值由于角动量算符是具有量子性质的，所以它的本征函数和本征值是量子力学研究中的重要问题之一。
角动量算符的本征函数可以用球谐函数表示，它们具有特定的轨道和角动量量子数。
这些本征函数对应的本征值则是角动量的取值。
五、角动量的算符性质角动量算符具有一些特殊的代数性质，比如它们之间的对易关系和升降算符。
对易关系给出了角动量算符之间的相互关系，如[Lx,Ly]=iħLz。
而升降算符则可以用来改变角动量的量子态。
这些性质使得我们可以更好地研究和描述量子力学中的角动量现象。
六、角动量的应用角动量在量子力学中具有广泛的应用。
例如，我们可以通过角动量算符来描述原子、分子和固体中的电子的运动状态。
此外，角动量还可以用于解释和预测粒子的自旋现象，如自旋磁矩和自旋共振等。
量子力学中的角动量与角动量算符
量子力学中的角动量与角动量算符角动量是描述物体旋转运动的物理量，它在量子力学中起着至关重要的作用。
量子力学中的角动量与经典力学中的角动量有所不同，其运动规律由角动量算符来描述。
一、角动量的基本概念在量子力学中，角动量是由角动量算符来表示的，它是描述粒子旋转运动的物理量。
角动量算符可以分为轨道角动量算符和自旋角动量算符两部分。
1. 轨道角动量算符轨道角动量算符由位置和动量算符通过矢量叉积得到，表示为L= r × p。
其中，r为位置矢量，p为动量矢量。
轨道角动量算符包括三个分量：Lx、Ly和Lz。
它们满足角动量的对易关系：[Lx, Ly] = iħLz，[Ly, Lz] = iħLx，[Lz, Lx] = iħLy，其中ħ为普朗克常数除以2π。
2. 自旋角动量算符自旋是粒子的内禀属性，不同于轨道角动量由粒子的运动决定。
自旋角动量算符表示粒子的自旋，通常用S来表示，包括三个分量：Sx、Sy和Sz。
自旋角动量算符的对易关系与轨道角动量相似，均满足：[Sx, Sy] = iħSz，[Sy, Sz] = iħSx，[Sz, Sx] = iħSy。
二、角动量的量子化角动量的量子化是指角动量在量子力学中具有离散的取值。
轨道角动量和自旋角动量的量子化规律不同。
1. 轨道角动量的量子化轨道角动量的量子化是由角动量算符的本征值问题引出的。
根据角动量算符的对易关系，可以得到角动量算符的共同本征函数，并通过求解薛定谔方程得到它们的本征值。
进一步讨论可以得到轨道角动量的量子化条件：L^2 = l(l+1) ħ^2，Lz = mħ，其中l为角量子数，m为磁量子数。
角量子数决定了角动量的大小，磁量子数决定了角动量在空间中的方向。
2. 自旋角动量的量子化自旋角动量的量子化是由自旋角动量算符的性质引出的。
自旋算符的本征值满足：S^2 = s(s+1) ħ^2，Sz = msħ，其中s为自旋量子数，ms 为自旋在空间中的方向。
动量算符角动量算符
所以，角动量平方算符的本征值是l(l 1) 2 ，本征 函数是式(20)所属的球谐函数 Ylm ( , ) ：
2 2 ˆ L Y ( , )( l l 1 ) Y ( , ) ( 2 4 ) l m l m
本征方程(24)是式(18)的简化表示。
６、角动量 z 分量算符 L ˆ z 的本征值方程
Lˆ 2
本征值是 (2 l 1) 度简并的。
９、球谐函数的例子：
Y 1 ,1
1 s 态 : Y p 态 : 0 0 4
3 s i n e i 8 3 cos 4 3 s i n e i 8
Y 1 ,0 Y 1, 1
分量式为
ˆ ˆz zp ˆy (y z ) L p i (y z ) x y i z y z y ˆ ˆ ˆ L p x ) i (z x ) ( 1 3 ) y zp x x z (z i x z x z ˆ ˆ ˆ L p p y ) i (x y ) z x y y x (x i y x y x
2 2 2 ,p ,p 相邻两个分立值的差： p x y z L L L p , pd p , pd p , 当 L 时， pd 分立 x x y y z z
值
连续谱。
引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化 为１，归一化常数 C
1 L
3 2
，即
1 i 3 e x pp r ( 1 0 ) p 2 L L L L 1 2 2 2 ( r )p ( r ) d d xd yd z 1 证： 3 L L L p 2 2 2 L 这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件 归一化方法，称为箱归一化。
角动量概念
●４、 (m) 的值
( j m)( j m 1) jm 1 (m) ( j m)( j m 1) , 同样地， jm 1 j x jm ( j m)( j m 1) 2 jm 1 j x jm ( j m)( j m 1) 2 i jm 1 j y jm ( j m)( j m 1) 2 i jm - 1 jy jm ( j m)( j m 1) 2
m' j z j j j z m m' j m
带入j z的本征方程， (m'-m 1) m' j m 0 同样地，只有当 (m' m 1)，矩阵元才可能不为零 。
' m' j m ' m 'm 1 m 1 j m
)
j j z ij y [ j z , j ] j , (其中 j j z ij y
新算符的引入，性质，对易关系
●定义 J J x iJ y ●
以J 、J 代替J x、J y
●对易关系
j j j j 2jz
●角动量平方算符的重新表示 j j j j 2( j 2 jz )
— — * — —
0,
m(m 1) ( m- 1)(m- 1 1) 0
— —
— —
角动量算符本征值的推导
●
(续) m m，
— — — —
又，m j - m j-1 1 m- m 正整数 即， m 正整数 / 2, 定义： m j，（j取值为非负半整数）
角动量算符矩阵举例
量子力学中的角动量算符
量子力学中的角动量算符在量子力学中，角动量是一个非常重要的物理量。
它描述了粒子的旋转运动和自旋状态。
为了描述和计算量子系统中的角动量，我们使用角动量算符。
本文将介绍量子力学中的角动量算符以及其相关特性。
一、角动量算符的定义角动量算符是量子力学中用来描述角动量的数学表达式。
对于自然界中的粒子，其角动量算符由三个互相独立的分量组成：Lx、Ly和Lz。
它们分别对应了角动量在x、y和z方向上的投影。
这些算符可以写成以下形式：Lx = yLz - zLyLy = zLx - xLzLz = xLy - yLx其中，x、y和z是坐标系中的轴。
二、角动量算符的性质角动量算符具有一些重要的性质，其中一些是经典力学中角动量的推广，而另一些则是由量子力学的性质决定的。
1. 对易关系角动量算符满足对易关系，即：[Lx, Ly] = iħLz[Ly, Lz] = iħLx[Lz, Lx] = iħLy其中ħ是普朗克常量的约化版本。
2. 共同本征态角动量算符有一组共同的本征态，即轨道角动量的本征态和自旋的本征态。
这些本征态由量子数来标记，分别是轨道角动量量子数l、角动量的z分量量子数m以及自旋量子数s。
对于每一个量子数组合，都对应着一个特定的本征态。
3. 角动量的取值范围轨道角动量的量子数l可以取零或正整数值，如0、1、2等，而z分量量子数m的取值范围为-l到l的整数，例如l为1时，m可以是-1、0或1。
自旋量子数s只能取0或1/2。
这些量子数的取值范围决定了角动量算符的本征值。
三、角动量算符的应用角动量算符在量子力学中的应用非常广泛。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 角动量的量子数通过角动量算符，我们可以得到一些重要的物理量，如角动量的大小和方向。
通过计算角动量算符的本征值，可以确定量子系统的角动量取值。
2. 角动量的叠加当将两个或多个角动量相加时，我们需要使用角动量算符来描述。
通过对角动量算符的叠加，可以得到合成系统的总角动量。
动量算符和角动量算符
Lˆ+
=
Lˆx
+ iLˆy
=
ih(−ieiϕ
∂ ∂θ
+ ctgθeiϕ
∂) ∂ϕ
( )( ) ( ) Lˆ+ Lˆ− = Lˆx + iLˆ y Lˆx − iLˆ y = Lˆ2x + Lˆ2y − i Lˆx Lˆ y − Lˆ y Lˆx = Lˆ2 − Lˆ2Z − i(ihLˆz )
所以
见p88 [Lˆx , Lˆ y ] = ihLˆz
[lˆα , pˆ β ] = ihεαβγ pˆγ
——注意到笛卡尔尔坐标 x 、 y 、 z 和球极坐标 r、θ、ϕ 之间的关系：
x = r sinθ cosϕ ， y = r sinθ sinϕ ，z = r cosθ
4
r 2 = x2 + y 2 + z 2 ， cosθ = z ， tgϕ = y
其中α , β = x, y, z 或1, 2,3
证明：
[xα , lˆβ ] = ihεαβγ xγ
或
[lˆα , xβ ] = ihεαβγ xγ
α, β = x, y, z
[ pˆα , lˆβ ] = ihεαβγ pˆγ 或 [lˆα , lvˆ 2 ] = 0
②在球坐标系中角动量算符的对易关系
=
c exp⎢⎣⎡hi
(1 2
pxl
+
py
y
+
pz z)⎥⎦⎤
或
exp⎜⎛ ⎝
i h
p
x
l
⎟⎞ ⎠
=1
因
exp⎜⎛ ⎝
i h
p
x
l
⎟⎞ ⎠
动量算符和角动量算符
− i pv⋅rr h
i pv⋅rr h
=
A* A
∫ ∫ ∫ ∴ ψ *pψ pdτ = A 2 dτ = A2 dτ = ∞
——趋于发散（此波函数不是平方可积，因而不能按这种方式归一化，否则，归一化因子
A 只能为零，这显然没有意义）。
b．归一化为 δ 函数
ψp
=
i pv ⋅rr
Ae h
ψ = A e *
可取任意实数值，即动量算符的本征值
i hpv
pr ⋅ rr)
3.2-2
组成连续谱，相应的本征函数为(3.2-1)式所表示的
ψ pv (rv) ，这正是自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数。
2)．动量算符本征函数的归一化 a．理想的平面波的归一化问题
Q
ω
= ψ *pψ p
=
A e Ae *
§3.2 动量算符和角动量算符 1．动量算符和本征方程 1). 动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ =−ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
m ≤ l 那么其中一个解就有限了，这样的解是符合要求的。
Θ是
Θ = Bplm (ρ)
l = 0, 1, 2,L m = l, l −1, L, − l
这里 plm (cosθ ) 是边带的勒让德（Legendre）函数
7
m
plm (ρ ) = (1 − ρ 2 ) 2
5.4 角动量
刚体的角动量 L =∑（Δmi vi ）ri = ∑ Δmi ri2ω
i i
矢量式
M 合外力矩 dL dt
L = Jω
M 合外力矩 J
• 质点系角动量守恒有两种情况：
(1) J 不变，刚体，L2 = L1，ω2=ω1 物体间碰撞打击等。 (2) J 变，非刚体，J2ω2= J1ω1 花样滑冰，体操，跳 水等体育运动。
L = r m v sinθ = m lim (r Δs Δt Δ t→0 r sinθΔs = r⊥Δs
∴ L = m lim (2
Δ t→0
sinθ)
r⊥
θ
r
= 2ΔS阴 Δt
ΔS阴
) = 2 m dS (掠面速度)
dt
L dS 万有引力是有心力 ∴ =常量 = dt 2 m
质点系角动量定理质点系对某一固定点o的角动量积分合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增加角动量的增加质点系角动量定理角动量定理质点系角动量守恒定律常矢量合外力矩合外力矩为零为零质点系质点系的的总角动量守恒
第 四 节 角动量守恒定律
一 质点角动量定理
(1) 质点对固定点O的角动量
φ
L
O
m P 大小: L = r m v sinφ 方向: 右手判断。
l
m2v1l m2v2l J0
1 J m1l 2 3
3m2 (v1 v2 ) 0 m1l
m2
1
v2 A
M f J 1 M f m1 gl 2
3g 2l
0 0 t 0 2m2 (v1 v2 ) t m1 g
例4 证明行星运动的开普勒第二定律：行星与太 阳之间的连线，在相等时间内扫过的面积相等。 dS阴影 行星 C dt 证明：行星对太阳O的角动量的大小 太阳
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∫ sin θ dθ dϕ θ , ϕ
θ ,ϕ = 1 ，
r ' = ∫ dr r δ ( r − r ') ，而将 ∫ r 2 dr r r = 1 右乘 r ' 有： r ' = ∫ r 2 dr r r r ' ，
r r' = 1 δ ( r − r ') 。 r2
r (after expansion, to move PS −1 to right, PS to left) 。我们将指数算符作用到任一函数 ϕ (r ) ，则有
r r r r PS (r × ∇) z PS −1ϕ (r ) = PS (r × ∇) z ϕ ( Sr ) ，
r r r r 令 r ' = Sr ，所以 r = S - 1r ' ， ∇ = S −1∇ ' ，于是有
PR (ω ,γ ) = e
r
，
r ˆ 其中算符 L 是轨道角动量算符 x 表象的形式。
2. Hilbert 空间的极坐标基矢 在前面我们使用 Hilbert 空间是 x, y, z 方向一维运动的 Hilbert 空间的直积空间，其基矢
r r r r r = x y z ，它的完全性关系为 ∫ dr r r = 1 ，而正交归一性关系为
i r − γω ⋅ L r r l PR (ω , γ ) lm = e h lm = ∑ lm ' Dm ' m (ω , γ ) ， m' r
r r 若令 ω = 3 ，则
i r r − γ Lz l l − im 'γ PR (3, γ ) = e h ， Dm ， ' m (3, γ ) = Dm ' m (0, 0, γ ) = δ m ' m e
则
e
i − γ Lz h
lm = e− imγ lm ，
Lz lm = mh lm ，
两边对 γ 求导后且令 γ 等于零，则有：
所以 lm 为 Lz 的本征矢，其本征值为 mh 。
r r 若取 ω 为 2 ， γ = β ，则有：
e
i − β Ly h
l lm = ∑ lm ' Dm ' m (0, β , 0) ， m'
l 对 β 角求导后令 β = 0 ，则有（利用前面得到 Dm ' m (0, β , 0) 的表示，只有 n = 0 ， m ' = m - 1 ；
n = 1 ， m ' = m + 1 有意义） 1 Ly lm = ih(− (l − m)(l + m + 1) lm + 1 + (l + m)(l − m + 1) lm − 1 ) ， 2 i ∵ Lz Ly - Ly Lz = - ihLx ， ∴ Lx lm = ( Lz Ly - Ly Lz ) lm ， h h 计算可以得到： Lx lm = ( (l − m)(l + m + 1) lm + 1 + (l + m)(l − m + 1) lm − 1 ) ， 2
r r r PR r = Rr ， r 是一组基矢，既然 PR 对它作用有确定结果，那么 PR 就是个确定的算D l ( R) 的一组表示基矢，而 D l ( R) 在函数空 间的表示基矢为
l l fm (r ,θ , ϕ ) = f l (r ) f m (θ , ϕ ) = f l (r )Ylm (θ , ϕ ) ，
[ Li , Aj ] = ih ∑ ε ijk Ak ， （ ε ijk 为单位反对称张量） r 这个式子对任一矢量算符都成立， 而 L 本身也是矢量算符， 所以 [ Li , L j ] = ih ∑ ε ijk Lk ， 因此，
k k
r r r 它为角动量算符，在 Hilbert 空间中： L = r × p 。 r 下面讨论 L 的各分量对 lm 的作用：由于
4
高等量子力学讲义（研究生用）
§5.4 角动量算符
河北师范大学
r r =r r ，
r r ˆ θ ,ϕ = r ˆ (θ , ϕ ) θ , ϕ ， r
r ˆ 为 r 与 θ , ϕ 的直积，即若 显然矢量 r
r r r r r r = r (r , θ , ϕ ) r ，
则
r r = r θ ,ϕ ，
r r r r 由 ∫ dr r r = 1 可得： 由此有 ∫ r 2 dr r r ∫ sin θ dθ dϕ θ , ϕ θ , ϕ = 1 ， ∫ dr r θ , ϕ r θ , ϕ = 1 ，
令算符 L± = Lx ± iLy ，则有
L± lm = (l m m)(l ± m + 1)h l , m ± 1 ，
因此 L± 为 lm 的上升和下降算符，它使态矢量 m 值加 1 或减 1。而
r r L2 = L ⋅ L = ( Lx + iLy )( Lx − iLy ) − hLz + Lz 2 ，
PR (0,0,γ ) = e −γ ( r ×∇ ) z 。
r
r 对一般情况的三维位形空间矢量的转动， 我们讨论 R 为绕任一单位矢量 ω 转 γ 角的 PR r r r 显示，设 S 将 z 轴转到 ω 方向，则有 ω = Sz ，满足这样的转动矩阵有无穷多个，其表达式
有如下形式：
⎛ ω1 ⎞ ⎛ × × ω1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ω2 ⎟ = ⎜ × × ω2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ω ⎟ ⎜× × ω ⎟ ⎜ 1 ⎟ 3 ⎠⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
r r r r r r PS (r × ∇) z PS −1ϕ (r ) = PS ( S −1r '× S −1∇ ') z ϕ (r ') = PS [ S −1 (r '× ∇ ')]z ϕ (r ')
1
高等量子力学讲义（研究生用）
§5.4 角动量算符
河北师范大学
刘建军
r r r r r r r r r = PS ∑ S z−α1 (r '× ∇ ')α ϕ (r ') = PS ∑ Sα z (r '× ∇ ')α ϕ (r ') = PS ∑ ωα (r '× ∇ ')α ϕ (r ') = PS ω ⋅ (r '× ∇ ')ϕ (r ')
比较两式得：
r r 1 ˆ −r ˆ ') 。 δ (θ −θ ')δ (ϕ −ϕ ') ，或 θ , ϕ θ ', ϕ ' = δ (r sin θ r 对 Hilbert 空间任一矢量 ψ ，它在位置表象中为 r ψ ，而对位形空间选取坐标不同，
同样的方法可得： θ , ϕ θ ', ϕ ' = 又可以有不同形式，即 x, y, z ψ = ψ ( x, y, z ) ， r , θ , ϕ ψ = ψ (r , θ , ϕ ) 。 现 在 Hilbert 空 间 中 除 了 熟 悉 X , Y , Z 算 符 是 一 组 算 符 完 备 组 ， 它 们 的 本 征 矢 是
河北师范大学
刘建军
r r r r r 代入变换式略去 δγ 2 以上小量，则有（ A 为任意矢量算符， A = iAx + jAy + kAz ，据上页后式）
Lz Ax - Ax Lz = ihAy ， Lz Ay - Ay Lz = - ihAx ， Lz Az - Az Lz = 0 。
同样可对 x 轴和 y 轴转动无穷小角度，得到类似方程，则有
表示基矢的一般形式为： fl lm = fl lm ，而 ∴
fl = ∫ r 2 dr r r fl = ∫ r 2 dr r f l (r ) ，
fl lm = ∫ r 2 dr rlm f l (r ) 。
现在只讨论转动问题，因此只需讨论其中的 lm 部分，应有
l PR lm = ∑ lm ' Dm ' m ( R) ， m'
−γ ∂ ∂ϕ
∂
因此：
PR (0,0,γ ) = e
，
( x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ )
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = − r sin ϕ sin θ + r sin θ cos ϕ =x −y , ∂ϕ ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x 即： r ∂ = (r × ∇) z ， ∂ϕ 则
r r r ' r = δ ( rr − rr ') = δ ( x − x ')δ ( y − y ')δ ( z − z ') 。 r r r r r ˆ =r ˆ (θ , ϕ ) ，单位矢径 r ˆ ，其中 r ˆ 的方向由 θ , ϕ 角表征。相应 若我们取球坐标，则 r = rr
的算符和本征矢为 r r ˆ， r = rr
2
高等量子力学讲义（研究生用）
§5.4 角动量算符
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r r ˆ 算符完备组的共同本征矢 r = x y z 构成一组基矢外，我们还可选 r 和 r
r r ˆ = r θ , ϕ = r , θ , ϕ 为一组基矢。 r = r r
3. Hilbert 空间中轨道角动量算符 在转动算符 R(α , β , γ ) 的表示矩阵 D l ( R) 中讨论 l 为整数的情况，我们希望在 Hilbert 空 间中找一组表示基矢。 当三维位形空间一切矢量发生转动时，则态矢量也发生变换， ψ ' = PR ψ ，且有：