均值不等式 含答案

课时作业15 均值不等式

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．已知5x ＋3

y

＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( )

A ．15

B ．6

C ．60

D ．1

【答案】 C

【解析】 ∵5x ＋3

y ＝1≥2

15xy

，

∴xy ≥60，

当且仅当3x ＝5y 时取等号．

2．函数f (x )＝x ＋4

x

＋3在(－∞，－2]上( )

A ．无最大值，有最小值7

B ．无最大值，有最小值－1

C ．有最大值7，有最小值－1

D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D

【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4

x

＋3

＝－⎣

⎢

⎢⎡⎦

⎥⎥

⎤－x

＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4x ＋3≤－2－x

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫－4x ＋3

＝－1，当且仅当－x ＝－4

x

，即x ＝－2时，取等号，

∴f (x )有最大值－1，无最小值．

3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4

y

≥m 恒成

立的实数m 的取值范围是____________．

【答案】 ⎝

⎛⎦⎥⎥

⎤－∞，94

【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54

＋214＝9

4

. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10

x ＋1

(x >－1)的最小值．

【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．

【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.

所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1

＝

x ＋1

2

＋5x ＋1＋4

x ＋1

＝(x ＋1)＋4

x ＋1

＋5≥2

x ＋1

·4x ＋1

＋5＝9 当且仅当x ＋1＝4

x ＋1

，即x ＝1时，等号成立．

∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10

x ＋1

(x >－1)，取得最小值为9.

【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c

mx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝

mx ＋n

ax 2

＋bx ＋c

(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．设x >0，则y ＝3－3x －1

x

的最大值是( )

A ．3

B ．3－3 2

C ．3－2 3

D ．－1

【答案】 C

【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1

x

)≤3－2

3x ·1x

＝3－2 3.

当且仅当3x ＝1x ，即x ＝3

3时取“＝”．

2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1

lg x ≥2

B ．当x >0时，x ＋

1x

≥2

C ．当x ≥2时，x ＋1

x

的最小值为2

D ．当0

x

无最大值

【答案】 B

【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋

1

lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝5

2；D 中当0

y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝3

2

.

3．如果a ，b 满足0

2，a,2ab ，a 2＋b 2中值最

大的是( )

A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2

【答案】 D

【解析】 方法一：∵02a ，∴a <1

2，

又a 2＋b 2≥2ab ，

∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <1

4，

∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2

>12

.

方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝5

9，

∵59>12>49>1

3

，∴a 2＋b 2最大． 4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A

【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，

∴(a －c )⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c

≥2＋2

b －

c a －b ·a －b

b －c

＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c

.