第一章 偏微分方程定解问题

4.
2u t 2
a2
2u x 2
0
变换
x at x at
解为：
u g(x at) h(x at)
2u 0
8
例 验证 u(x,t) f (x at) g(x at) 是方程
2u t 2
a2
2u x2
0 的解，其中f,g是任意两个二阶
连续可微函数，a为正常数。
解： u af (x at) ag(x at)
u x
源自文库
u
3u x3
0;
(u )2 (u )2 0; x y
2u u 2u u t2 x x2 0.
一阶线性 三阶拟线性 一阶非线性 二阶拟线性
回顾二： 三类典型偏微分方程
☆波动方程：
2u t 2
a2
2u x2
f
(x,t)
琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡
等
☆热传导方程： u a2u f (x, y, z,t) t
数学物理方程主要内容
三种基本问题
初值问题 边值问题 混合问题
三种基本方程、 五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
通解法 行波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法
叠加原理 齐次化原理
贝塞尔函数 勒让德函数
一些常见符号
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
iˆ ˆj kˆ x y z
或：ux (a, t) 0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
T u k u
x xa
xa
或
u x
k T
u
xa
0
B、热传导方程的边界条件 (设S为给定区域V 的边界) (1) 第一类（Dirichlet）边界条件
nv
u |s f (t) 当f (t) 0(齐次边界条件)
热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
☆调和方程： 2u f 或 u f
空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
第一章 偏微分方程定解问题
✓1.2 定解问题及其适定性 • 通解和特解 • 定解条件 • 定解问题及其适定性
✓1.6 叠加原理和齐次化原理（冲量原理）
1.2.1 通解与特解
• 定解问题：泛定方程加上适当的定解条件就构成一个定 解问题，即定解问题=泛定方程+定解条件。
1.2.2 定解条件
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M ,t) |t0 (M )
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
拉普拉斯算子 2 2 2 2
x2 y2 z 2
平面上的拉普拉斯算子 2u 2u 2u
x2 y 2
回顾一：偏微分方程的一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和
(3) 混合问题=泛定方程+初始条件+边界条件： 既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
定解问题
泛定方程
演化方程 稳定方程
线性边界条件 边界条件
波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类边界条件 第二类 第三类
非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程； (4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和 变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
思考 判断下列方程类型：
u 2xy u 0;
x
y
u t
hu k
u n S
hu1
S
当u1=0（第三类齐次边界条件）， 当u1 0（第三类非齐次边界条件）
定解问题的概念
1、定解问题
(1) 初始问题（Cauchy问题）=泛定方程+初始条件： 只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题=泛定方程+边界条件： 没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
本
概 念
• 初始条件：用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。
• 边界条件：用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。 注：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数 的阶数有关。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。
• 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a,t) 0
(2)自由端：弹性杆x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u
0 x xa
➢ 多项式称解： u x2 y2
什么是定解问题？
• 泛定方程：描述某类物理现象共同规律的数学表达 式— —偏微分方程（比如，波动方程、热传导方程、拉普拉
斯方程等等）。 注--它的解可含任意函数，因而不能用 来确定或反映一个真实的物理过程。
• 定解条件：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件，
基
一般包括初始条件与边界条件 。
举例（设未知函数为二元函数）
1. u 0 x
解为： u f ( y)
f 为任意函数
2. u a u 0 t x
x
t
1
a
(
)
作变量代换
x x at
a u 0
解为：u f (x at)
f 为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
2u
3.
0
xt
解为： u g(x) h(t)
dS u1
u
(2) 第二类（Neumann）边界条件
VS
k u q(t ) n s
当q(t) 0（齐次，表示绝热）
热场
(3) 第三类（Robin）边界条件 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
h(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
h 热交换系数；u1 周围介质的温度, k为热传导系数
t
2u t 2
a2
f
(x
at )
a 2 g ( x
at )
u f (x at) g(x at) x
2u x2
f (x at) g(x at)
故
2u t 2
a2
2u x2
,
移项即证。
特解
例：二维Laplace方程 2u 0 的一些特解：
➢
中心对称解： u
ln
1 r
(r
0)
➢ 周期称解： u ex sin y