第14讲 麦克斯韦方程组(II)

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本构关系

对于色散媒质，当一个包含多个频率的信号在其中传播时， 由于不同频率信号的传播速度不相同，从而引起信号的失 真。
D 0 E P 0 E 0 e * E 0 E 0 e (t ) E ( )d
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Review
B l Ei dl S t dS
D L H d dl S t dS
B t
D t
Ei
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左旋
右旋
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时变电磁场边界条件

电场切向边界条件 • 考虑麦克斯韦方程组推广的法拉第电磁感应定律
B L E dl S t ds

积分回路上的积分结果 ˆl ) E llˆ lˆ ( E E )l E dl E ( l 1 2 2 1
l

ˆ n ˆn ˆ ( E2 E1 )l b ˆ ( E2 E1 )l b 面积分结果
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时变电磁场边界条件

磁场法向边界条件
• 由磁通连续性原理
ˆ ( B2 B1 ) 0 n
B1n B2 n
• 由本构关系可知
1H1n 2 H 2n
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时变电磁场边界条件
电磁场与电磁波
Field and Wave Electromagnetics
主讲：史琰
Review
Maxwell通过深入的分析，研究并创新地提出了位移电 流，最后完成电磁大综合，而且预言了电磁波的存在，其速 度为光速c，给出了光和电磁统一学说 ：Maxwell方程组。 D D 全电流定律 H dl J ds t H J t S l B B E d l ds 法拉第电磁 t E l S 感应定律 t Bn ˆ ds 0 磁通连续性原理 B 0 S ˆ ds dv 高斯定理 D D n V S 微分形式 积分形式
t
B 0 ( H M ) 0 H 0 m * H 0 H 0 m (t ) H ( )d
t
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洛仑兹力


电荷(运动或静止)激发电磁场，电磁场反过来对电荷有作用 力。 当空间同时存在电场和磁场时，以恒速v 运动的点电荷q所 受的力为
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本构关系

ε：介电常数 μ：磁导率 σ：电导率
• σ=0为理想介质； • σ=∞为理想导体； • 电导率介于二者之间称为电介质；

真空中：ε= ε0，μ= μ0，σ=0 介质性质：
• • • • 线性(linear)介质：介质参数与场强大小无关 各向同性(isotropic)介质：介质参数与场强方向无关 均匀(homogeneous)介质：介质参数与位臵无关 色散(dispersive)介质：介质参数与场强频率有关
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Maxwell方程组的逻辑关系
D H J t J t

D
D 0 ( H ) ( J ) t J ( D) 0 t
F q ( E v B)

如果电荷是连续分布的，其密度为ρ，则电荷系统所受的电 磁场力密度为
f ( E v B) E J B
• 洛仑兹力公式
• 近代物理学实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的 带电粒子都是适应的。
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若分界面上无自由面电荷
D1n D2 n
1E1n 2 E2 n
• 分界面上有自由面电荷，电位移矢量D 法向分量Dn不 连续，有一等于面电荷密度ρS的突变； • 分界面上无自由面电荷，则电位移矢量D 法向分量Dn 连续； • 分界面两侧的电场强度矢量的法向分量En一般不连续。
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0 H y t E0 sin(t z )
ˆx a E x Ex
ˆy H a
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ˆy a y 0
E0
ˆz a H 0 z t 0
Hx 0 Hz 0
9
0
cos(t z )
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A F
t n
A At An
(t n ) ( At An ) Ft Fn
F Ft Fn
(t At )n (t An )t ( n At )t ( n An ) Ft Fn
t At Fn t An n At Ft

切向分量边界条件
μ2ε2σ2 h
△l
n
b l
μ1ε1σ1
• n：由媒质 2 指向媒质 1的界面法向单位矢量 • l：Δl中点处分界面的切向单位矢量 • b：垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系的单位矢量
ˆn ˆ lˆ b
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时变电磁场边界条件

法向分量边界条件
• 两种相Baidu Nhomakorabea介质分界面的任一横截面
n F2 h
F1
△S
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时变电磁场边界条件

电场法向边界条件
• 电通量

S
ˆ ) D2 n ˆS ( D2 D1 ) n ˆS D dS D1 (Sn
Hd
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“平衡”电磁波也正是这种“平衡”的产物
麦克斯韦小传




麦克斯韦(James Clerk Maxwell 1831～1879)英国 物理学家 16岁进入爱丁堡大学，后转入剑桥大学研习数学， 毕业后留校任职。1871年受聘为剑桥大学的实验 物理学教授，负责筹建该校的第一所物理学实验 室——卡文迪许实验室，1874年建成后担任主任。 1879年11月5日在剑桥逝世，终年只有49岁。 爱因斯坦在自传中说：“在我求学的时代，最吸引人的题目就 是麦克斯韦的理论”，“狭义相对论起源于麦克斯韦的电磁场 方程”。1931年，在纪念麦克斯韦诞生100周年时，爱因斯坦把 麦克斯韦的电磁场贡献评价为“自牛顿时代”以来物理学所经 历的最深刻最有成效的变化。” 一位著名的现代物理学家曾感叹说：“麦克斯韦的思想是太不 平常了，甚至像亥姆霍兹和波耳兹曼这样有异常才能的人，为 了理解它，也花了几年的力气。”
Q dV lim hS S S
V h 0
• 如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的 总电荷为 • 由高斯定理
ˆ ( D2 D1 ) S n
D2 n D1n S
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时变电磁场边界条件
本构关系

麦克斯韦方程组中含有5个矢量，1个标量，即一共16个标
量

独立的标量方程只有7个 麦克斯韦方程无法完全确定四个电磁场矢量 需要另有9个独立的标量方程来约束电磁场

本构方程

描述电磁介质与场矢量之间的本构(constitutive)关系 本构方程与麦克斯韦方程构成自身一致的方程组
B B ˆ bhl 0 S t ds lim h 0 t
• 切向边界条件
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本构关系

表征媒质宏观电磁特性的本构关系为
D 0E P
B 0 ( H M ) J E

对于各向同性的线性媒质
D E B H J E
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D H J t D 0 ( H ) ( J ) t J ( D) 0 t J t
D

麦克斯韦方程组的两个旋度方程以及电流连续性 方程可构成时变电磁场一组独立的方程，该组方 程中共含有七个独立的标量方程。
时变电磁场边界条件



麦克斯韦方程组的微分形式只适用于场矢量的各个分量处 处可微的区域 对于实际的区域，会有很多结构引起电磁场场量的不连续 性，需要通过边界条件来确定分界面上的电磁场特性： • 不同介质的分界面上会存在束缚面电荷、面电流 • 分界面上也可能存在自由面电荷、面电流 • 在这些面电荷、面电流的影响下，场矢量在分界面可 能不连续 边界条件是描述场矢量越过分界面时场量变化规律的一组 方程，由积分方程形式的麦克斯韦方程组得到。

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Maxwell方程组的逻辑关系

例1 已知在无源的自由空间中 E a ˆ x E0 cos(t z )
其中E0、β为常数，求 H 。

[解] 区域无源，即所研究区域内没有场源电流和电荷：

J = 0, ρ= 0
ˆ y E0 sin t z a ˆx H x a ˆy H y a ˆz H z ) 0 ( a t

F 可以是任意一个场矢 (E, D, H, B) 第一项在法向方向，称为法向分量 第二项垂直于法向方向，称为切向分量 任意一个矢量都可以分解成为法向分量和切向分量 的合成矢量
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时变电磁场边界条件

矢量分解(II)
B E t B 0 ( E ) ( ) t ( B) 0 t
B 0

麦克斯韦方程组并非相互独立的四个方程

只有三个独立的方程
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Maxwell方程组的逻辑关系
麦克斯韦方程是描述电磁普遍规律的数学描述，已被证明 适用于任何情况的电流连续性方程亦可通过Maxwell方程 得到(电流连续性方程隐含在麦克斯韦方程组中) 。 场源 J 和ρ 之间不是互相独立。 在实际工程中，通常采用给定场源 J 的条件下求解电磁场。
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时变电磁场边界条件

矢量分解(I)
• 取界面法向单位矢为n • 该点处场矢为F
ˆ (n ˆ F) n ˆ (n ˆ F ) F (n ˆn ˆ) n
ˆ ˆ (n ˆ F) n ˆ (n ˆ F ) Fn n ˆ Ft F n t
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第16讲 麦克斯韦方程组(II)

Maxwell方程组的逻辑关系 本构关系 时变电磁场的边界条件


坡印亭能量定理
电磁位
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Maxwell方程组的逻辑关系