最大和最小问题

最大与最小问题

知识背景

人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等等问题。这类求最大值、最小值的问题，亦称极值问题，是一类重要的典型问题，我们在实际生产和生活中都会经常遇到。在本讲义的学习中，我们经常要用到以下几个重要结论﹕

1.两个数的和一定，那么当这两个数的差愈小时，它们的积就愈大。

2.三个数a、b、c，如果a+b+c是定值时，只有当a=b=c 时，a b c的积才能最大，三个

数越接近，积越大。

3.两个数的积是定值时，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。

在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。

在周界相等的封闭平而图形中，以圆的面积最大。

在棱长的和是定值的长方形中，以长、宽、高都相等的长方体(即正方体)的体积最大。在所有表面积是定值的几何体中，球体的体积最大。

重点难点

本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一个变量的最大值或最小值。如何根据题意，灵活运用不同的方法，求出表达的形式，再求出最值 (最大值或最小值)，或直接求出最值是本讲的重点。最值问题亦称极值问题，解决这类问题要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的情况或数字开始，找出规律，探索问题，进而寻求答案。

学法指导

最大和最小都是在某一固定范围内比较的结果。固定的范围就是一个定值，抓住这个「定值」就抓住了解题的关键。解决极值问题的策略，常常因题而异，归纳起来主要有以下四个「突破口」：

从极端情况入手；

用枚举比较入手；

由分析推理入手；

凭构造方程入手。

例题练习

例1.一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？﹝1987年北京巿第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题﹞

从最坏的情况考虑，开第一把钥需要试3次

从最坏的情况考虑，开第二把钥需要试2次

从最坏的情况考虑，开第三把钥需要试1次

开第四把钥，剩下1锁1钥匙，不必尝试，必然成功！

要试的次数是：3＋2＋1＝6

例2.只有1和它本身为约数﹡的数叫质数，例如2, 3, 5, 7, 11 ……都是质数。设一个长方形的长和宽均为质数个单位，并且周长是36个单位，这长方形的面积最多可以是多少个平方单位

2a＋2b＝36 a＋b＝18 长方形的面积：ab

ab愈接近的时候长方形的面积便会愈大经试验知a＝11，b＝7

或a＝ 7，b＝11这长方形的面积最多可以是：11×7＝77(平方单位)

例3.把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几？﹝1986年北京巿第一届“华杯赛”复赛刊赛﹞

要想把自然数分成几个较小的自然数的和,再求出这些数的最大乘积

必须考虑下列几个原则˙第一类分成若干个3相加

˙第二类分成若干个3和两个2相加

˙第三类分成若干个3和一个2相加

依上述的步骤处理便可得到最大的乘积

14＝3＋3＋3＋3＋2

此时最大的乘积为162

例4.51个同学投票选一名班长，不得弃权。统计其中40张选票的结果是：甲得18票，乙得12票，丙得10票。甲至少再得_______以得票数最多当选班长。﹝

未统计的票数有：51－40＝11(票)

乙如果再得：18－12＝6(票)

便与甲得票相同，此时余下：11－6＝5(票)，甲只要在余下的5票中

取得过半数，即3票，能保证以得票数最多当选班长、

例5.一个三位数除以43，商是a，余数是b ﹝a、b都是整数﹞，求a+b的最大值是多少？解：余数最大只能是42。要使商最大，三位数最大是999。

999÷43=23 (10)

这时a+b=23+10=33

所以可以考虑商为22，余数为42

A+B=22+42=64

例6.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。那么得分最少的选手至少得______分，至多得______分。﹝每位选手的得分都是整数﹞

得分最少的选手至少得：

404－90－89－88－87＝50(分) 得分最少的选手至多得：

(404－90－1－2－3)÷4＝77(分)

例7.有一个天秤，只有5克和30克砝码各一个，现在要把300克盐分成三等份，问最少需要用天秤称多少次？

5克砝码＋30克砝码＝35克盐

65克盐＝30克砝码＋35克盐

65克盐＋35克盐＝100克盐

剩下的盐也是100克！

例9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中的每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重

7克。请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为130克。

写出你的取法：需要多少个砝码？其中3克、5克和7克的砝码各有几个？

130克＝3克×2＋5克×1＋7克×17

130克＝3克×1＋5克×3＋7克×16

130克＝5克×5＋7克×15

20个 3克、5克和7克的砝码顺序有2个、1个及17个；

3克、5克和7克的砝码顺序有1个、3个及16个；

或 5克和7克的砝码顺序有5个及15个

例10.有34个偶数的平均数，如果保留一位小数，得数是15.9，如果保留二位小数，得数最小是_________。

显而易见，15.9是商数，希望商数取两位小数时是最小

可考虑一位小数的答案15.9

是由15.85进位而来

此时，被除数是15.85×34＝538.9

34个偶数之和应是偶数

故被除数是540

如果保留二位小数，

34个偶数的平均数的得数最小是：

540÷34＝15.88

例11“123456789101112．．．．．．484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字(先后顺序不变)组成最大的多位数，这个最大的多位数是_____ 。“123456789101112．．．484950”

共有数字：9＋2×(50－10＋1)

＝91 (个)

从中划去80个数字

剩下的数字有：91－80＝11(个)

组成一个11位数

题目要求这个11位数是最大的

当然要尽量保留数字9

这个多位数有5个9

5个9形影不离连在一起

就不能组成一个11位数

所以最右边的9不能保留

4个9之后也不能取8

否则这个数就不是11位数

4个9之后如果是7

刚好组成一个11位数

因此，所求的最大11位数是

99997484950