几何非线性静力学分析

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牛顿-拉普森求解技术 • 第一次迭代 (i=1) • 假定前面收敛增量步的解u0， P0 ，为已知的。
• 在当前增量步中，将一个小 的增量载荷P施加到结构上。
• Abaqus基于u0处的切线刚度 K0 确定位移修正c1 ；前一增 量步结束时，总载荷PTOTAL和 内力间的关系为：
K0 c1 P TOTAL I 0 .
• 如果迭代不能得到收敛的解，Abaqus执行另外的迭代，以找
到收敛的解。
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• 第二次迭代 (i=2) • 基于更新的刚度K1 ，计 算新的位移纠正 c2，且
K1c2 P TOTAL I1
• 把新的残差R2与容差进 行比较，察看在u2 处是
否得到收敛解 。
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• 该过程将一直重复，直到力的残差在允许的容差之内。 每次Biblioteka Baidu代i需要：
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非线性
非线性的来源 材料非线性
弹性塑性及材料损伤、失效等
温度、应变率引起的非线性
弹性塑性
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边界非线性
接触问题：在分析过程中边界条件变化 严重不连续形式的非线性
边界条件不连续
接触问题
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几何非线性
大绕度和大变形 大旋转 结构不稳定（屈曲） 预载荷效应
悬臂梁的大挠度
聚合物键盘罩的变形
几何非线性静力学分析
问题描述
确定图示斜板跨中的扰度
平面图
正视图
学习要点： （1）应用壳单元；（2）几何非线性
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壳单元
壳单元
3-D continuum
surface model
当结构厚度远小于其他方向尺度 （<1/10），并忽略厚度方向应力时， 可用壳单元近似模拟三维连续体。可 较精确地模拟弯曲和面内变形。
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非线性问题的求解
• 典型的非线性问题具有所有三种形式的非线性。
• 在方程中必须包括非线性项。
• 每个自由度的非线性方程是耦合的。
• 静态平衡的基本表达式为：由单元应力引起的加在节点 上的内力I，与外力 P ，必须平衡，即：
P(u ) I (u ) 0
(Eq. 3.1)
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• 为了求解非线性平衡问题，在Abaqus/Standard中使用基 于牛顿-拉普森技术的增量迭代法。
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几何特征
厚度和截面点
法线与壳面
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壳体公式
薄壳（t/l<1/15）
厚壳
区别：变形后横截面是否保持垂直于中面
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材料方向
默认材料方向
圆柱壳中默认的材料1方向
定义局部坐标系描述材料方向
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单元选择 线性、有限薄膜应变、完全积分的四边形壳单元（S4） ——考虑薄膜作用的平面弯曲问题 线性、有限薄膜应变、缩减积分的四边形壳单元（S4R） ——使用范围最普遍 线性、有限薄膜应变三边形壳单元（S3/S3R） ——可作为通用壳单元使用 厚壳（S3，S3R ，S4，S4R ， S8R ） ——考虑剪切变形，模拟复合材料、夹芯材料等 二次单元可应用于小应变薄壳（S8R） 二次单元一般不应用于接触问题
其中
• 注意：如果载荷与位移相关（比如，旋转的表面压力）， 刚度矩阵中包含载荷刚度的贡献。
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网格中的静力平衡
1. 施加规定的“载荷增量”。
2. 迭代，直到每个节点的所有节点力的和非常小。
3. 满足平衡后，更新模型状态。 4. 回到第1步，施加下一个载荷增量。
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单自由度例子
• 非线性弹簧 • 求解u(P) 或 P(u)—典型的，在分析步中，载荷从0递增到 PFINAL。 • 时间经常从0变到1。
P(ui ) I (ui ) P(ui ) I (ui ) ci 1 .... 0. (Eq. 3.3) u u
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• 略去高阶项，方程可以写为
Kici1 =P(ui ) I (ui )
I (ui ) P(ui为切线刚度。 ) Ki u u • 解的下一次近似为 ui1 ui ci1.
1. 形成切线刚度Ki。
2. 求解系统方程组，得到位移修正ci+1 。
• 修正位移的估计值： ui+1 = ui + ci+1。
3. 基于ui+1 计算内力向量Ii+1。
4. 进行平衡收敛判断：
• 是否Ri+1 在容差之内?
• 是否
# iter
ci 1
c
j 1
j
u ?
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一般每个分析步(*STEP)需要几个增量步。 每个增量步包含若干迭代步。
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• Abaqus更新模型的状态为u1 ，形成K1 并计算 I1 。
• 总载荷PTOTAL与内力 I1的差称为残差， R1: R1= PTOTAL I1.
• 如果 R1 在模型的每个自由度上都非常小 (在容差范围之内)， 结构就是平衡的。
• 默认的容差R1必须小于结构对时间平均力的0.5%。 • 位移修正值c1是否小于增量位移的1%。
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• 假定前一步载荷增量的解，u0，为已知。
• 假定在第i 次迭代之后，得到近似解ui 。设ci+1为离散平 衡方程的精确解和当前解之差（ Eq. 3.1 ），所以有：
P(ui ci1 ) I (ui ci1 ) 0.
(Eq. 3.2)
• 将方程3.2的左边在近似解ui 附近，以泰勒级数方式展 开，可以得到