重庆大学版电磁场教材习题答案习题(第2章)

第二章习题答案

2-2 真空中有一长度为l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为τ。试计算P 点的电场强度： （1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l 远处； （2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l 远处。 解：

（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角φ无关，这样z '处取的元电荷

z q 'd d τ＝，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：

R 2

0e R

4πεz d τE d

'=

其两个分量：

θπετρρcos 2

0R

4z e E d dE '

=∙=d （1） ()θπετsin 2

0z z R

4e E d dE z d '-=-∙=

（2） 又

θρθ

ρ

tan ',cos ==

z R

所以：

θθρd dz 2sec '= （3）

式（3）分别代入式（1）（2）得：

θρ

πεθ

τρd 04dE cos =

； θρπεθτd sin 0z 4dE -

= 'sin 'sin cos θρ

πετ

θθρπετθρπεθ

τ

θρ000

004E 22d 2=⎰

∴＝＝‘ （4）

又 2l 4

2l 2

l +='θsin （5）

式（5）代入式（4）得：

l

55E 00πετ

ρπετρ22=∴

＝

由于对称性，在z 方向 z E 分量互相抵消，故有0=z E

ρρρπετ

e l

5e E e E 0z z 2E =

+=∴

ρ

y

图2-2长直线电荷周围的电场

（2）建立如图所示的坐标系

在x 处取元电荷dx dq τ=则它在P 点产生的电场强度为

R

20e R

4x d E d πετ'=

其在x 方向的分量为：

2

0x R 4x d dE πετ'

=

又 x l R -=

2

02

0x x l 4x d R

4x d dE )

-(''

=

'

=

∴

πετπετ

()l 3x l 4x l 4x d E 02

l 2

l 2

l 2

l 020x πετ

πετπετ='-⨯=''

=

--⎰

∴∴

∴////1)-( x 0x x x e l

3e E E

πετ=

=∴

2-3 真空中有一密度为m C n /2π的无限长线电荷沿y 轴放置，另有密度分别为2/1.0m C n 和2/1.0m C n -的无限大带电平面分别位于z=3m 和z=-4m 处。试求p 点（1，-7，2）的电场强度E 。

2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示，试写出电位),θϕr （和电

场),(θr E

的表达式。

解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得：

x

2

021

0121r 4q r 4q p πεπεϕϕϕ+

=

+=)(

又 2

12

2

1)c o s 2(θrc c r r -+= ， 212

2

2)

cos 2(θrd d r r -+=

()()θθθθθθe c e c r e c e c e r c r r r r r 1 sin cos sin cos +-=--=-=

()()θθθθθθe d e d r e d e d e r d r r r r r 2 sin cos sin cos +-=--=-=

2

1

2202

21

2201

2

0210121rc 2c r 4q rc 2c r 4q r 4q r 4q p )cos ()cos (θπεθπεπεπεϕϕϕ-++

-+=

+

=

+=∴)(

3

2

02

2301r 4r q r 4r q p E πεπε

+=11)( [][]⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++-+-++-=23

22r 22322r 10rd 2d r e d e d r q rc 2c r e c e c r q 4)()()()(1θθθθθθπεθθcos sin cos cos sin cos

θθθθθπεθθθθπεe rc 2c r d q rc 2c r c q 41e rd 2d r d r q rc 2c r c r q 4123222232210r 23222232210 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎣⎡-++-++⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎣⎡-+-+-+-=)()

()()()()(cos sin cos sin cos cos cos cos

2-5解，

(1) 由静电感应的性质和电荷守恒原理，充电到U 0后将电源拆去，各极板带电情况如图（1）所示 03213

33U d

E d E d E U AB

=++=

d

U

E E E 0321===

;3

301U

d E U U U DB CD AC ====

题图2-4

2r

1r

C

(1)