第五章 期缴保费2

P1(m) x： 20 P120 x：
m =1.032, P： = 0.04, 计 P： ) 算 x(20 x 20
退还保费保单的净保费 1）不计利息退还过去已缴净保费的累积； ）不计利息退还过去已缴净保费的累积； 2）以规定的利息累积退还过去已缴净保费部分. ）以规定的利息累积退还过去已缴净保费部分 年定期寿险， 例. 对(x)的n年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除 的 年定期寿险 如果被保险人在保险期内死亡， 了赔付1万元外 退还过去已缴净保费的累积。 万元外， 了赔付 万元外，退还过去已缴净保费的累积。假设保险赔付 发生在死亡年末，保险费每年年初缴付一次， 年付清 年付清， 发生在死亡年末，保险费每年年初缴付一次，n年付清，计算 下列情形的年缴均衡净保费。 下列情形的年缴均衡净保费。 （1）退还的保费部分不计利息； ）退还的保费部分不计利息； 的利率j复利累积 （2）退还的保费部分以不同于预定利率 的利率 复利累积； ）退还的保费部分以不同于预定利率i的利率 复利累积； （3）退还的保费部分以保单预定利率复利累积 ）退还的保费部分以保单预定利率复利累积.
x:n
损失变量的方差
2i +i2 i2 2 i 1 2 2 2 Var(L) =[ − 2 ]⋅ Ax + ( ) [ Ax −(Ax ) ] 2δ δ δ 1− Ax
证明： 证明：
t 1−vk+1 Var(L) =Var v − P(A ) x d s−1 P(A ) k+1 x =Var (v + )v d
i
δ
特别， 特别，h=n
P( Ax：) = n
1 = ⋅ P1n + P：(UDD) x： xn
i
δ
完全连续净均衡净保费的厘定 完全连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付）， 完全连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付）， 保费缴纳也连续的情况。 保费缴纳也连续的情况。 1.终身寿险年缴净保费 终身寿险年缴净保费 死亡即刻赔付（ 单位元），每年连续缴纳 元保费。 单位元），每年连续缴纳P元保费 死亡即刻赔付（1单位元），每年连续缴纳 元保费。 亏损变量L 亏损变量
期缴净保费的厘定原则 特点 1.采用生存年金的方式缴纳保费 采用生存年金的方式缴纳保费; 采用生存年金的方式缴纳保费 2.满足净均衡原理 满足净均衡原理 保险人潜在亏损L均值为零 保险人潜在亏损 均值为零 L=赔付金支出现值 净保费收入现值 赔付金支出现值-净保费收入现值 赔付金支出现值 E（趸缴净保费现值）=E（期缴净保费现值） （趸缴净保费现值） （期缴净保费现值） 等时间间隔缴纳的等额净保费，称为均衡净保费 等时间间隔缴纳的等额净保费，称为均衡净保费.
2i +i i 2 i 1 2 2 Var(L) =[ − 2 ]⋅ Ax + ( ) [ Ax −(Ax )2 ] 2δ δ δ 1− Ax
2 2
2.定期寿险年缴净保费 定期寿险年缴净保费 h年缴清 年缴清
h P( A ) = 1 x： n 1 Ax： n
&& h ax：
1 Ax： n
= ⋅h P1n (UDD) x：
P 20 例.设 P :20 = 0.042,20 P = 0.0299, A = 0.6099, 求： 35： 设 35 35 55
1
半连续净均衡净保费的厘定 半连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付）， 半连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付）， 保费缴纳离散的情况。 保费缴纳离散的情况。 1.终身寿险年缴净保费 终身寿险年缴净保费 死亡即刻赔付（ 单位元），每年年初缴纳 元保费。 单位元），每年年初缴纳P元保费 死亡即刻赔付（1单位元），每年年初缴纳 元保费。 潜在亏损变量L 潜在亏损变量
i
δ
特别，h=n 特别，
P(A ) =
1 x： n
&& n ax：
= ⋅ P1n (UDD) x：
i
δ
3.两全保险年缴净保费 两全保险年缴净保费 h年缴清 年缴清
h P( A：) = xn
Ax： n && h ax： Ax： n && n ax：
1 = ⋅h P1n +h P：(UDD) x： xn
(1)P ;(2)Var(L). 60
一个为期两年的两全寿险，保险给付金为1000元，此保 例. 一个为期两年的两全寿险，保险给付金为 元 险有两种缴费方案（两种方案等价）： 险有两种缴费方案（两种方案等价）： 方案一：第一年年初缴费600元，第二年年初缴费 方案一：第一年年初缴费 元 第二年年初缴费400元； 元 方案二：每年年初缴费P； 方案二：每年年初缴费 ； 已知d=0.05，计算年缴保费 。 已知 ，计算年缴保费P。
&& L = vT (x) − P(Ax ) ⋅ aK(x)+1
Ax P(Ax ) = && ax
某人在2006年1月1日买了一份 年定期寿险，死亡即 日买了一份10年定期寿险 例.某人在 某人在 年 月 日买了一份 年定期寿险， 刻给付10000元，保费为前 年每年年初缴费 年每年年初缴费500元。假定 刻给付 元 保费为前5年每年年初缴费 元 此人在2008年6月30日死亡，求保险公司的损失在签单日 日死亡， 此人在 年 月 日死亡 的现值。（ 。（i=0.025） 的现值。（ ） 例.已知 i = 0.025,n Ex = 0.5, A :n = 0.75,死亡在每一年内服从 已知 x 均匀分布， 均匀分布，求1000P( A ) 。
Ax Mx P= = x && ax Nx
潜在亏损变量L的方差 潜在亏损变量 的方差
2 P 2 2 Ax −(Ax )2 2 x Var(L) = (1+ ) [ Ax −(Ax ) ] = && d (d ⋅ ax )2
h年缴清 年缴清
Ax hP = x && h ax：
2.定期寿险年缴净保费 定期寿险年缴净保费 h年缴清 年缴清
常见险种净均衡保费公式： 常见险种净均衡保费公式：P106:表5-1 表
补充练习1.已知 x 补充练习 已知 A = 0.190, 2 A = 0.064, d = 0.057 x 计算保险金额为 1元的终身寿险在全离散式下保险损 元的终身寿险在全离散式下保险损 的标准差。 失L的标准差。 的标准差 补充练习2.已知 && 补充练习 已知 ax = 2, i = 0.05，假定死亡在年内服从均 匀分布， 匀分布，试计算( A ) P x 练3.已知 P( A ) = 0.04,20 P(A ) = 0.03, A = 0.60, 已知 40 60 40:20 求 P( A1 ) 40:20
ax
&& m ax：
某人在30岁时投保了 岁开始的终身生存年金， 岁时投保了60岁开始的终身生存年金 例. 某人在 岁时投保了 岁开始的终身生存年金，年金 的支付款为每年初24000元，保费的缴付期限是 年， 的支付款为每年初 元 保费的缴付期限是15年 计算其年缴净保费(精算表达式 精算表达式)。 计算其年缴净保费 精算表达式 。
第二节 期缴毛保费
毛保费的构成 保单的销售价格称为毛保费。 保单的销售价格称为毛保费。 净保费加上附加保费就是总保费或毛保费。 净保费加上附加保费就是总保费或毛保费。 附加保费分为经营费用和安全附加费。 附加保费分为经营费用和安全附加费。 经营费用：指保险公司支出的除了保险责任范围内的保险 经营费用： 金给付外， 金给付外，其他维持保险公司正常运作的所有费用支出的 Hale Waihona Puke Baidu称。常分为投资费用和安全附加费用。 统称。常分为投资费用和安全附加费用。 投资费用：包括与投资相关的分析、购买、 投资费用：包括与投资相关的分析、购买、销售及服务成 本。 安全附加费用： 安全附加费用：指有足够把握保证所收取的保费足够覆盖 真实赔付而收取的一笔安全附加金，保证在预定死亡率、 真实赔付而收取的一笔安全附加金，保证在预定死亡率、 利率和费用率等假设条件下偏离预期值时的补偿需要。 利率和费用率等假设条件下偏离预期值时的补偿需要。
Var(L) = (1+
P(Ax )
δ
Ax −(Ax )2 )2 ( 2 Ax −(Ax )2 ) = (δ ⋅ ax )2
2
一个完全连续的终身寿险， 例.一个完全连续的终身寿险，死亡给付为 。已知： 一个完全连续的终身寿险 死亡给付为1。已知：
µ = 0.03,δ = 0.06, 求保险人潜在亏损变量的方差 求保险人潜在亏损变量的方差Var(L)。 。
一年多次缴费的净保费 每年分m次等额缴费的年缴净保费 每年分 次等额缴费的年缴净保费
P
(m)
A = (m) && ax
Ax Ax P x = (m) ≈ = m−1 m−1 && ax && ax − 1− (P + d) x 2m 2m
1.终身寿险 终身寿险
P
(m) x
P
(m) x
>P x
年龄为30岁者 签发保险金额为20万元的终身寿险保 岁者， 例. 年龄为 岁者，签发保险金额为 万元的终身寿险保 死亡年末支付），生存期间每月初等额支付， ），生存期间每月初等额支付 单（死亡年末支付），生存期间每月初等额支付，求每 月缴付的均衡净保费。已知， 月缴付的均衡净保费。已知， = 0.06, A = 0.4. d 30 例. 已知 i = 0.05, ax =1.68,被保险人在每一个分数年内 && 死亡服从均匀分布， 死亡服从均匀分布，求 P(4) ( A ) x 例. 设
特别，h=n 特别，
P： = xn
Ax： n && n ax：
4.延期生存年金年缴净保费 延期生存年金年缴净保费 生存年付赔付（ 单位元 单位元） 生存年付赔付（1单位元） h年缴清 年缴清
h
P(mn ax ) = |
mn |
ax
&& h ax：
特别， 特别，m=h
P(mn ax ) = |
mn |
P1n = h x：
特别， 特别，h=n
A1： xn && h ax： A1： xn && n ax：
P1n = x：
3.两全保险年缴净保费 两全保险年缴净保费 h年缴清 年缴清
h P： = xn
A： xn && h ax：
=
1 A +A1
xn ：
xn ：
&& h ax：
1 =h P1n +h P： x： xn
定义：保险人分期缴纳这笔保费，此时保费称为期缴保费。 定义：保险人分期缴纳这笔保费，此时保费称为期缴保费。 分类： ）只覆盖赔付风险的期缴净保费； 分类：1）只覆盖赔付风险的期缴净保费； 2）既覆盖赔付风险又包括经营费用的期缴毛保费； ）既覆盖赔付风险又包括经营费用的期缴毛保费；
第一节 期缴净保费
L = vt − P(Ax ) ⋅ at
Ax P(Ax ) = ax
平价关系
1 1) = P( Ax ) +δ; ax
Axδ 2)P(Ax ) = . (1− Ax )
假定寿命服从w=110的均匀分布，常数利息力δ = 0.05, 的均匀分布， 例. 假定寿命服从 的均匀分布 对于完全连续的终身寿险， 对于完全连续的终身寿险，求1000P( A ). 40 损失变量L的方差 损失变量 的方差
均衡净保费和生存年金关系 1 (1) = P + d x && ax
d ⋅ Ax (2)P = x 1− Ax
1 (3) = P： + d xn && n ax：
假设由某寿险公司的经验生命表可得： 例.假设由某寿险公司的经验生命表可得： 假设由某寿险公司的经验生命表可得
&& A = 0.4097, 2 A = 0.2153, a60 =10, i = 0.025求： 60 60
完全离散净均衡年保费的厘定 保险金给付离散， 保险金给付离散，保费缴纳也离散 1.终身寿险年缴净保费 终身寿险年缴净保费 死亡年付赔付（ 单位元），每年年初缴纳 元保费。 单位元），每年年初缴纳P元保费 死亡年付赔付（1单位元），每年年初缴纳 元保费。 潜在亏损变量L 潜在亏损变量
&& L = vK+1 − P ⋅ aK+1 x
记变量： 记变量：
Zs = v
s−1
P(Ax ) + , Zk = vk+1 d
2 Var(L) =Var(Zs )E(Zk ) + E2 (Zs )Var(Zk )
1 E(Zs ) = δ 1− Ax
i
2i +i2 Var(Zs ) = 2δ
2 Var(L) =Var(Zs )E(Zk ) + E2 (Zs )Var(Zk )
的从x+n起每年 单位元生存年金，保险费在 年内 起每年1单位元生存年金 例. 对(x)的从 的从 起每年 单位元生存年金，保险费在n年内 每年缴付一次，如果被保险人在n年内死亡 年内死亡， 每年缴付一次，如果被保险人在 年内死亡，则退还过去已 缴净保费的累积(以保单预定利率复利累积 以保单预定利率复利累积)， 缴净保费的累积 以保单预定利率复利累积 ，计算年缴净保 费。