等积变换

等 积 变 换
天门市石河中学 谈平忠
等积变换的基本原理：
等底等高的两个三角形面积相等。 等底等高 不等底但等高的两个三角形面积的比等于底边的比 不等底但等高 等底但不等高的两个三角形面积的比等于高的比 等底但不等高
等积变换的基本图形
A
C D O
B
D
C
A
B
等积变换的基本图形
一.用等积变换作图
根据等积关系，可以使某些作图题较快 地得到解答。
这道题可以直接解答， 这道题可以直接解答，也可以把两 个阴影部分集中，连结AC 因为AB AC， 个阴影部分集中，连结AC，因为AB 平行于DC 所以△DAE的面积 DC， 的面积= 平行于DC，所以△DAE的面积=△CAE 的面积，两个阴影部分的面积就换 的面积， 成一个△ CAB的面积了 的面积了。 成一个△ CAB的面积了。
B C
有一块形状如图的耕地， 例3.有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分 有一块形状如图的耕地 成两等份， 成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的 份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？ 份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？
A
B
C
D
例4有一块形 状如图的耕地， 兄弟四人要把它 分成四等份，请 你设计一种方案 把它分成所需要 的份数．
例5四边形ABCD,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40. 又已知∠ABD+∠BDC=90度,求ABCD的面积．
如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做 △ABD关于L的对称图形△BD.连接C．
如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时, 请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．
例1.用三种方法把任意一个三角形分成四 个面积相等的三角形。
如图△ 例2.如图 ABC，过A点的中线能把三角形 如图 ， 点的中线能把三角形 分成面积相同的两部分。你能过AB边上一点 分成面积相同的两部分。你能过 边上一点 E作一条直线 ，使它也将这个三角形分成 作一条直线EF， 作一条直线 两个面积相等的部分吗？ 两个面积相等的部分吗？
D E C
A
B
D E C
F
A
H
P
G
B
M
二.用等积变换比大小
比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的面 积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。 例1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点。求△AEF是平行四边形的几分之几？ 所有空白部分占整个平行 四边形面积的分数求出来 于是阴影部分△AEF的 了,于是阴影部分△AEF的 面积所占的分数便是
A E
B
C
一模） （西城08一模）如图，梯形纸片 西城 一模 如图，梯形纸片ABCD中， 中 AD∥BC且ABDC.设AD=a,BC=b.过AD中点 ∥ 且 设 过 中点 的中点的直线可将梯形纸片ABCD面积 和BC的中点的直线可将梯形纸片 的中点的直线可将梯形纸片 面积 分成面积相等的两部分.请你再设计一种方法 请你再设计一种方法: 分成面积相等的两部分 请你再设计一种方法 只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD分割成 只须用剪子剪一次将梯形纸片 分割成 面积相等的二部分， 面积相等的二部分，画出设计的图形并简要 说明你的分割方法. 说明你的分割方法 D A 过梯形中位线中点且与 上下底相交的任意直线
如图， 的边长是a， 例2如图，已知，正方形 如图 已知，正方形ABCD的边长是 ，正 的边长是 方形CEFG 的边长为 ，且点 、C、E在一条 的边长为b，且点B、 、 在一条 方形 直线上.连结 、GE、AE，求 S∆AGE 连结AG、 、 ， 直线上 连结
G F
A
D
B
C
E
例3.如图，在四边形ABCD中，M是AB的中 点，N是CD的中点。如果四边形ABCD的面 积是20，那么BNDM的面积是多少？
x
B'
P C'
B N
C
如图， 如图，在 △ABC 中， AB = AC ， M ， N 分别是 AB ， AC 的 中点， 上的点， 中点，D ，E 为 BC 上的点， 连结 DN ，EM ． AB = 13cm ， 若 BC = 10cm ， DE = 5cm ，则图中阴影部分的面积为
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因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边 与CD对齐,如图． 图中有∠ECA=110度,所以 ∠CED=110度.易证∠CDA=40度.
四. 用等积变换证题
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的边上 任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG是AB边 上的高。证明：CG=DE＋DF。
已知：如图，以矩形 的顶点A为顶点 已知：如图，以矩形ABCD的顶点 为顶点， 的顶点 为顶点， 为角平分线作两射线， 以AD为角平分线作两射线，分别与 与CD的 为角平分线作两射线 分别与BC与 的 延长线交于点E和 ，连结EF。 延长线交于点 和F，连结 。 求证：. ∆AEF = S矩形ABCD 求证： S
F
A
D
B
C
E
又如四中这次提招中有这么一道题, △ABC,D为BC中点 过点D向AB,AC作垂线.BE=2,CF=1,EF//BC.求EF
连A,D.由等积关系易知DF=2DE 设DE=x,则DF=2x 由勾股定理易得 X=1 从而得到EF的 平方为5,算出EF.
已知矩形ABCD和点 ，当点 在图 中的位置时，则 和点P，当点P在图 中的位置时， 在图1中的位置时 已知矩形 和点 S 有结论： 有结论： △PBC = S△PAC + S△PCD 。 理由：过点P作 垂直 垂直BC，分别交AD、 于 、 理由：过点 作EF垂直 ，分别交 、BC于E、F
当点P分别在图 、 中的位置时， 当点 分别在图2、图3中的位置时，上面三 分别在图 中的位置时 个三角形的面积又有怎样的数量关系？ 个三角形的面积又有怎样的数量关系？请写 出你对上述两种情况的猜想， 出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一 种情况的猜想给予证明． 种情况的猜想给予证明．
如图， 坐标为（ ， （丽水08）.如图，在平面直角坐标系中，已知点 坐标为（2， 丽水 ） 如图 在平面直角坐标系中，已知点A坐标为 4），直线 ），直线 轴相交于点B，连结OA，抛物线 ），直线X=2与X轴相交于点 ，连结 与 轴相交于点 ，抛物线Y=X2从点 从点 O沿OA方向平移，与直线 方向平移， 交于P点 顶点M到点 到点A时停止移 沿 方向平移 与直线X=2交于 点，顶点 到点 时停止移 交于 动 所在直线的函数解析式； （1）求线段 ）求线段OA所在直线的函数解析式； 所在直线的函数解析式 的横坐标为m, （2）设抛物线顶点 的横坐标为 ）设抛物线顶点M的横坐标为 的代数式表示点P的坐标 ①用m的代数式表示点 的坐标； 的代数式表示点 的坐标； 为何值时， 最短； ②当m为何值时，线段 最短； 为何值时 线段PB最短 最短时， （3）当线段 最短时，相应的抛物线 ）当线段PB最短时 上是否存在点Q， 上是否存在点 ，使△ PMA 的面积与 的面积相等， △QMA的面积相等，若存在，请求出 的面积相等 若存在， 的坐标； 点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 的坐标 若不存在，请说明理由．
如图任意ABCD. 例2.如图任意 如图任意 求四边形EFGH与ABCD面积之比 面积之比. 求四边形 与 面积之比
连结E、D和B、D，
三.用等积变换求面积
用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。 它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目 转化为熟悉、简单的题目。 例1如图这是个直角梯形。求阴影部分的面积
A
D
M
N
C
B
分别是各边中点。 如图任意四边形 ABCD 中，M,N,P,Q 分别是各边中点。已知中间 阴影部分的面积之和是 四边形 A' B'C' D' 的面积是 x ，阴影部分的面积之和是 y ，求 y 的函数关系式。 与 x 的函数关系式。
Q A D' A' M D
两个白色的四边形 ANCQ、BPDM的面积 ANCQ、BPDM的面积 相等，故有y=x 相等，故有y=x
五.用等积变换来分割拼图
直角三角形通过怎样的剪切可以拼成一个与 之面积相等的矩形 ？任意的三角形呢？
用等积变换来分割拼图
对任意四边形，你能设计一种方案，将它分 成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等 的矩形吗？
③ ① ③ ② ④ ⑥ ⑤ ① ⑤ ② ⑥
④
用等积变换来分割拼图
分割图形的应用很多。如下图， 分割图形的应用很多。如下图，大家应该非 常熟悉了，在此不在赘述。 常熟悉了，在此不在赘述。