数学类比推理

a,b,c与a′,b′,c′相同或相似
前提 结论
A对象
a b c
推演
d
B对象
a′b′ c′
d′
（d与d′ 相同或相 似）
像以上这样，由两类事物在某些方面相同或相似， 推演出它们在其他方面也相同或相似，像这样的
推理通常称为类比推理（简称类比法）
类比具有发现的功能
我们学过的数学知识中，还有哪些也是这 样进行类比的？
则 am+ an= ap+ aq
则 am· an= ap· aq
定义叙述上仅“差”“比”一字之差，公式上的类 似主要体现在：加 乘；乘 乘方的对应。
1.已知数列{an}是等差数列，则{a1+a2+n…+an}
是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是
等比数列，类比上述等差数列，则
是
等比数列？
形状，沉浮原理
鱼类
潜水艇
蜻蜓 外形，飞行原理
直升机
仿生学中许多发明都是类比生物机制得到的，这
种思维我们数学上称之为：类比推理
已知△ABC三边长分别是a,b,c,面积为S,求三角形
内切圆半径r;
面积法
C
由12r(a+b+c)=S
2S r=a+b+c
A
O B
你还能联想到其他类似的问题吗？ 空间四面体内切球的半径怎么求？
类比推理
中华中学 李钟全
问题情境: 春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形茅草割 破了手，他由此受到启发从而发明了锯子。
想想看，锯子的出现是鲁班受了什么启发而发明的？
茅草
锯子
相似点:功能 （前提）
形状 (联想的结论)
能割破手 能割断木头
齿形 联想
？齿形
类似与鲁班发明锯子，还有哪些发明或发现 也是这样得到的？
推演的结论未必正确，需要验证，但请你记 住：
没有大胆猜测就没有伟大发明 牛顿
已知空间四面体A-DBC，四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,体积为V，求其内切球半径R。
A
O
B
D
C
相似性（类比前提）
三角形
1.平面最简单的多边形 3条边 周长 面积
2S r=a+b+c
面积法
空间四面体
1.空间最简单的多面体 4个面 表面积 体积
? 3V
r= S1+S2+S3+S4
体积法
由13r(S1+S2+S3+S4)=V 3V
r= S1+S2+S3+S4
B
A
O D
C
这种思维所经历的步骤：
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
问题1.是否任意两类事物都可以进行这样的 联想推演呢？
wenku.baidu.com不是
问题2.能够进行这样联想推演的两类事物必 须满足什么条件？ 这两类事物在某些方面相同或相似
类比的一般模式：
的前一项的差都是一个常数，那么这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫等差数列的公差。
定义2：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与他
的前一项的比都是一个常数，那么这个数列就叫做等比
数列，这个常数叫等比数列的公比。
性质上类比
等差数列
等比数列
1.an = a1+(n-1)d (n∈N＋)
1.an = a1qn-1 (n∈N＋)
2.an = am+(n-m)d (m,n∈N＋)
2.an = amqn-m (m,n∈N＋)
3.an-1+ an+1 =2an(n≥2,n∈N+) 3.an-1·an+1 =an2 (n≥2,n∈N＋)
4.若 m,n,p,q∈N+且 m+n=p+q， 4.若 m,n,p,q∈N+且 m+n=p+q，
例2.试将平面向量与空间向量进行类比
类比的前提
平面向量
空间向量
（相同或相似 的地方）
既有大小又有方向的量
→a =（a1，a2） →b =( b1，b2)
→a +→b =（a1+ b1，a2+ b2）
→a ·→b = a1 b1+ a2 b2
→a =（a1，a2，a3） →b =( b1，b2，b3)
→a +→b =（a1+ b1，a2+ b2，a3+ b3）
→a ·→b = a1 b1+ a2 b2+ a3 b3
λ→a =（λa1，λa2）
…
λ→a =（λa1，λa2，λa3）
…
例3，类比等差数列与等比数列
问题.二者可类比的前提是什么？
定义上的相似
仅一字之差
定义1：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与他
答：数列{ n a1a2…an}是等比数列.
课堂小结:
1.什么是类比推理？ 根据两个（两类）事物之间在某些方面的相似或相 同,推演出它们在其它方面也相似或相同, 像这样 的推理通常称为类比推理.(简称：类比法)
2.类比推理的前提和模式
3.主要步骤（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质； （3）猜测新的结论。
让我们一起来重温一些数学发现的过程
例1、试根据等式的性质推演不等式的性质。
前提
等式
不等式
都是反映数的大小关系的
(1) a=ba+c=b+c
(1) a＞ba+c＞b+c
(2) a=b ac=bc
(2) a＞b ac＞bc
(3) a=ba2=b2
(3) a＞ba2＞b2
不问一：定这，样类推比演的出结的结论论未是必否正一确定，正需确要？ 验证