数学类比推理
类比推理根据两个或两类对象之间在某些方面的相似
证明： 在△ABC中， 因为CD⊥AB，AC＞ BC 所以AD>BD,
A 于是∠ACD＞∠ BCD。
错因：偷换概念
C
DB
17
2、下列几种推理过程是演绎推理的是（ A）
A、5和2 可2 以比较大小；
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质； C、东升高中高二级有15个班，1班有51人，2班有
53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人； D、预测股票走势图。
大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使 用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行 为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额 没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
8
三、演绎推理的特点:
1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的 的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结 论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般 到特殊的推理；
5
一、演绎推理的定义:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情 况下的结论，这种推理称为演绎推理．
二、演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式；
M……P（M是P) S……M (S是M) S……P (S是P)
大前提---已知的一般原理； 小前提---所研究的特殊对象； 结论---据一般原理，对特殊 对象做出的判断．
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络， 沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便 向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹 念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而 且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不 是犯罪呢？
高二数学选修课件时类比推理
的联系和相似的性质，如对数运算法则、指数方程的解法等。
03
三角函数与反三角函数的类比
三角函数和反三角函数是数学中的重要内容，它们之间有着相似的性质
和图像特征，如周期性、振幅、相位等概念。
03 类比推理在解题中应用举 例
选择题中应用
题目类型识别
通过类比推理，识别题目类型，从而 选择相应的解题方法。例如，对于与 已知题目类似的题目，可以借鉴已知 题目的解题思路和方法。
误区三
机械类比。将不同领域的对象进 行简单的机械类比，忽略它们之 间的内在联系和逻辑关系，导致 推理结果不合理。避免方法：在 类比时注重逻辑性和内在联系， 确保类比的逻辑性和科学性。
拓展延伸：类比推理在其他学科中应用
物理学中的应用
化学中的应用
通过类比已知物理现象和规律，发现新的 物理现象和规律；借助类比推理解决复杂 的物理问题。
判断
在识别出相似关系后，需要进一步判断这种相似关系是否足 以支持类比推理的结论。这需要对相似关系的本质和程度进 行深入分析，以确定类比推理的可行性和可靠性。
相似性与差异性分析
相似性分析
在类比推理中，相似性分析是关键步骤之一。它涉及对两个或多个对象的共同特征和属性进行比较和 归纳，以确定它们之间的相似程度。相似性分析有助于我们找到对象之间的内在联系和规律。
误区警示及避免方法
误区一
过度泛化。将不同领域的对象进 行类比时，容易忽略它们之间的 本质差异，导致错误的推理结果 。避免方法：在类比前深入分析 对象的本质属性和特征，确保类 比的合理性。
误区二
忽视细节。在类比过程中，容易 忽略一些重要的细节差异，导致 推理结果不准确。避免方法：在 类比时关注细节，特别是那些可 能对推理结果产生重要影响的细 节。
类比推理在数学教学中的应用
类比推理在数学教学中的应用引言：数学是一门既复杂又抽象的学科，对于学生来说，学习数学不仅需要掌握各种定理和公式，还需要培养逻辑思维能力和推理能力。
而类比推理作为一种思维模式，可以在数学教学中发挥重要作用。
本文将探讨类比推理在数学教学中的应用，并分析其对学生学习数学的促进作用。
一、引导学生建立概念在数学教学中，引导学生建立正确的数学概念是非常重要的。
而类比推理可以通过将数学概念与日常生活中的事物进行类比，帮助学生更好地理解和记忆数学概念。
例如，在教授平行线的概念时，可以通过比喻两条铁轨永远不会相交来帮助学生理解平行线的特性。
二、提高解决问题的能力解决数学问题需要学生具备较强的逻辑推理能力。
而类比推理可以训练学生的逻辑思维，帮助他们更好地分析和解决问题。
例如，在解决代数方程时，可以通过类比将方程看作一个谜题，通过逻辑推理来找到谜底。
这样的类比可以帮助学生理解方程的求解过程，提高他们解决问题的能力。
三、拓宽数学思维数学思维是一种独特的思维方式，需要学生具备抽象思维和逻辑思维能力。
而类比推理可以拓宽学生的数学思维，使他们能够将数学与其他学科和实际生活相联系。
例如，在教授三角函数时，可以通过类比将三角函数与音乐中的频率和振幅进行类比，帮助学生理解三角函数的性质和应用。
四、培养创新思维数学是一门需要创新思维的学科，需要学生具备发现问题和解决问题的能力。
而类比推理可以培养学生的创新思维，帮助他们发现问题的本质和寻找解决问题的新方法。
例如，在教授几何问题时，可以通过类比将几何问题与拼图游戏进行类比，鼓励学生寻找不同的解题方法和思路。
五、激发学生兴趣数学教学中常常会遇到学生对数学缺乏兴趣的问题。
而类比推理可以通过将数学与学生感兴趣的领域进行类比，激发学生对数学的兴趣。
例如，在教授数列时，可以通过类比将数列与电影中的时间线进行类比，帮助学生理解数列的规律和性质，从而提高他们对数学的兴趣。
总结：类比推理在数学教学中的应用有助于引导学生建立概念、提高解决问题的能力、拓宽数学思维、培养创新思维和激发学生兴趣。
类比推理在高中数学中的应用
类比推理在高中数学中的应用类比推理是一种推理方法，通过对已知事物与未知事物的相似之处进行比较，从而推断出未知事物的性质和特征。
在高中数学中，类比推理有着广泛的应用，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
下面我将为大家介绍一些在高中数学中的类比推理应用。
一、类比推理在几何中的应用在几何学中，类比推理可以帮助我们推理和证明图形的性质和关系。
我们可以通过观察三角形、四边形等各种图形的特点和性质，找出它们之间的共性，并应用到解题中。
1. 类比推理做题示例：已知正方形ABCD的边长为a，点E是AC的中点，连接DE交BC于F，请推导出△DEF 和□BCFE的性质。
解析：根据正方形的性质，我们知道正方形的对角线相等，即AC=BD=√2a。
因为E是AC的中点，所以AE=EC=a/2。
根据类比推理，我们可以推知ED=AE=a/2。
又因为三角形DEF的两边DE和EF相等，所以DEF是一个等腰三角形。
根据类比推理，我们可以推知正方形BCFE也是一个等腰四边形。
二、类比推理在代数中的应用在代数中，类比推理可以帮助我们推断和解决各种代数问题。
我们可以通过观察一些已知的方程和等式的模式，推导出其他的方程和等式。
2. 类比推理做题示例：已知a^2 + b^2 = 25，c^2 + d^2 = 20，请推导出(a + b)^2和(c + d)^2的值。
解析：将(a + b)^2展开得到 a^2 + 2ab + b^2。
根据已知条件a^2 + b^2 = 25，我们可以将其代入到(a + b)^2中，得到：(a + b)^2 = 25 + 2ab。
3. 类比推理做题示例：已知某班级男生的身高服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm。
如果我们随机选择一个男生，他的身高超过175cm的概率是多少？解析：根据正态分布的性质，我们知道约68%的数据位于均值的一个标准差范围内。
所以，身高超过175cm的男生概率为：(100% - 68%)/2 = 16%。
正数零负数类比推理
正数、零、负数类比推理如下：
1. 性质：
* 正数大于零，零大于负数。
这是三种数的基础性质之一，反映了它们的数量大小关系。
2. 运算：
* 加法：正数加正数等于正数，零加正数等于该正数，负数加负数可能等于零，也可能大于或小于正数。
* 减法：正数减去负数等于正数，负数减去正数小于零，零不能减。
* 乘法：正数乘以正数大于零，负数乘以正数小于零，正数乘以零等于零。
3. 应用类比：
* 在数学问题中，我们可以通过类比正数、零和负数的特性来解决问题。
例如，在解方程或求函数值等问题中，我们需要运用这些数的性质和运算规则。
综上所述，正数、零、负数是数学中非常重要的基础概念，理解它们的性质、运算和应用类比对于后续的数学学习至关重要。
以下是一些具体的例子来说明如何进行类比：
1. 在比较数值大小方面，我们可以类比正数来比较零和负数的数值大小。
例如，我们知道正数大于零，而零又大于负数，那么我们可以推断出零可能大于或等于负数。
2. 在进行加减运算时，我们可以类比正数的特性来理解零和负数的加减法规则。
例如，我们知道正数加上任何数都等于原来的数加上这个数的相反数，那么我们可以推断出零加上任何负数都等于这个负数的绝对值。
3. 在解决数学问题时，我们可以通过类比正数的特性来寻找解决零和负数问题的策略。
例如，在解方程或求函数值等问题中，我们可以运用正数的性质和运算规则来找到问题的解。
总的来说，正数、零、负数的类比推理可以帮助我们更好地理解这些数的特性和应用，从而更好地解决数学问题。
小学数学教学中的类比推理训练
小学数学教学中的类比推理训练一、问题的提出数学是一门逻辑性、系统性强、思维严谨的科学。
在小学数学教学中，类比推理训练是培养学生思维能力和创新精神的重要手段。
所谓类比推理，就是根据两个或两类对象在一系列属性上相同或相似，从已知的属性推测另一个或另一类对象也具有同样的属性。
它是一种基本的思维形式，也是科学研究中最常见的思维方法之一。
因此，在小学数学教学中，有意识地对学生进行类比推理训练，有助于培养学生的观察力、想象力和逻辑思维能力，提高他们的创新意识和创新能力。
二、小学数学教学中类比推理训练的意义1.有助于培养学生的数学思维品质类比推理在小学数学中的应用可以使学生逐步掌握知识的内在规律，促进学生逻辑思维能力和空间想象能力的发展。
在运用类比推理时，学生不仅要知道怎样去类比，而且要会寻找两类事物之间的内在联系和规律性，使他们的数学思维品质得到优化。
2.有助于提高学生的数学素养在小学数学教学中，通过类比推理训练，可以使学生掌握数学知识的内在联系，形成良好的认知结构，提高他们的数学素养。
同时，通过类比推理训练，还可以培养学生的探索精神和创新意识，为他们的终身学习和发展奠定基础。
三、小学数学教学中类比推理训练的实施策略1.创设情境，激发兴趣在小学数学教学中，教师要根据教学内容和学生实际，创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
例如，可以通过实物演示、故事导入、游戏活动等方式，引导学生观察、思考、分析问题，从而发现规律、解决问题。
2.突出重点，培养思维在类比推理训练中，教师要突出教学重点，引导学生从具体事物出发，逐步培养学生的思维能力。
例如，可以通过比较两个或两类事物的异同点，引导学生发现规律；可以通过问题探究、合作学习等方式，引导学生独立思考、合作探究，培养他们的创新意识和合作精神。
3.注重方法指导，提高能力在小学数学教学中，教师要注重方法指导，帮助学生掌握类比推理的方法和技巧。
例如，可以通过比较、分析、综合、抽象、概括等方法，引导学生发现事物的规律和本质；可以通过举一反三、变式训练等方式，帮助学生灵活运用所学知识解决实际问题。
数学中的类比推理名词解释
数学中的类比推理名词解释数学作为一门精确的科学，涉及到诸多概念和原理。
在数学的推理过程中，类比推理是一种常见且重要的思维方式。
类比推理指的是通过将一个问题与另一个看似不相关的问题进行比较，从而找到解决问题的思路和方法。
在数学中，类比推理常常被用来解决复杂的问题，推动数学发展的进程。
类比推理的基本原理是通过对两个不同的问题进行比较和分析，找到问题之间的共同特征，从而推断出解决问题的方法。
这种推理方式可以帮助数学家解决很多看似无解的问题。
通过找到问题之间的类比，数学家可以从一个问题的解决思路中得到启示，进而应用到另一个问题上。
举个例子来说，假设有一个关于几何形状的问题需要解答。
我们可以通过将该问题与一个类似的几何问题进行对比，来寻找解决方案。
通过比较两个问题的共同特征，我们可以找到相似之处，从而推断出解决当前问题的方法。
在类比推理中，比较的两个问题通常有着相似的结构和性质。
通过将问题与已知的数学原理或定理进行对比，数学家可以将问题转化为一个更为简单的形式，并且利用已知的数学知识进行推导和解答。
这种思维方式在解决复杂问题时十分有用，能够帮助数学家发现问题中的规律和逻辑。
类比推理在数学中的应用广泛且重要。
它不仅仅能够帮助数学家解决问题，还能够推动数学的发展。
通过将不同领域的知识进行类比和整合，数学家可以探索出新的数学理论和方法。
这种跨学科的类比推理为数学的创新和发展提供了源源不断的动力。
除了在解决问题中的应用外，类比推理还被广泛应用于数学教育中。
通过引入类比推理的概念和方法，教师可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
通过将数学问题与生活中的实际情境进行类比，学生可以更加深入地理解数学概念和原理，提高数学思维的灵活性和创造性。
然而，尽管类比推理在数学中具有重要的作用，但它也存在一些风险和限制。
类比推理是一种启发式的推理方式，不一定能够得到正确的解答。
有时候，问题之间的类比关系可能并不明显，或者存在一些隐藏的差异，这就需要数学家具备辨别和分析问题的能力，以免陷入类比推理的误区。
高中数学实践中类比推理的应用
高中数学实践中类比推理的应用【摘要】在高中数学实践中，类比推理具有重要的作用。
本文首先介绍了类比推理在数学实践中的重要性，阐明了其在数学学习中的作用。
接着探讨了类比推理在代数学习中的应用，分析了其在几何学习和概率论学习中的具体应用。
同时深入研究了类比推理在数学建模中的应用，探讨了不同数学领域中类比推理的异同之处。
总结了类比推理在高中数学实践中的重要性，并展望了未来类比推理在数学教学中的发展方向。
通过本文的分析，读者可以更深入地了解类比推理在数学学习中的重要性，以及其在不同数学领域中的应用，为未来的数学教学提供了新的思路和方法。
【关键词】高中数学实践、类比推理、代数、几何、概率论、数学建模、异同比较、重要性、发展方向。
1. 引言1.1 介绍高中数学实践中类比推理的重要性在高中数学实践中，类比推理扮演着重要的角色。
类比推理是指通过发现事物之间的相似性，从而推断它们可能存在着相似的性质或关系。
在数学学习中，类比推理可以帮助学生更好地理解抽象概念，发现问题之间的联系，解决复杂的数学难题。
类比推理可以帮助学生在代数学习中建立起对代数结构的直观认识。
通过比较不同数学对象之间的相似之处，学生可以更好地理解代数运算规律，加深对代数概念的理解。
通过比较不同代数方程式的结构和解法，学生可以更好地掌握代数方程式的求解方法。
在几何学习中，类比推理也能帮助学生更好地理解几何形状和性质。
通过比较不同几何形状之间的相似性和差异性，学生可以更好地理解几何定理和性质，提高几何问题的解决能力。
高中数学实践中类比推理的重要性不可忽视。
它不仅可以帮助学生更深入地理解数学知识，还可以培养他们的逻辑推理能力和问题解决能力。
在未来的数学教学中，应该更加重视类比推理在学生学习中的应用，促进学生对数学的综合理解和应用能力的提升。
1.2 阐明类比推理在数学实践中的作用类比推理在数学实践中起着至关重要的作用。
通过类比推理，我们可以将已有的数学知识和思维方式应用到新的问题中，从而帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题。
类比推理解题技巧
类比推理解题技巧引言在解题过程中，类比推理是一种常用的思维方式，它能够帮助我们将已有的知识和经验应用到新的问题上。
类比推理解题技巧是一种能够提高解题效率和准确性的方法。
本文将介绍类比推理解题技巧的基本原理和具体操作方法。
1. 类比推理的基本原理类比推理是基于相似性原理的一种推理方式，它通过找到两个问题之间的相似之处，从已知问题中获得解决未知问题的线索。
类比推理的基本原理可以概括为以下三个步骤：1.1. 发现相似性在解题过程中，首先需要发现两个问题之间的相似之处。
相似之处可以是问题的结构、特征、关系等方面的相似性。
1.2. 迁移知识和经验在发现相似性的基础上，可以将已有的知识和经验应用到新的问题上。
通过迁移已有的解决方案和方法，可以快速地解决新的问题。
1.3. 检验和修正在应用已有的解决方案和方法之后，需要对结果进行检验和修正。
如果结果符合预期，那么可以得出结论；如果结果不符合预期，那么需要重新检查和修正解决方案。
2. 类比推理解题的具体操作方法在实际解题过程中，可以按照以下步骤进行类比推理解题：2.1. 理解和分析问题首先需要理解和分析问题，找出问题的关键要素、特征和关系。
这些关键要素、特征和关系将成为类比推理的基础。
2.2. 寻找相似性在理解和分析问题的基础上，需要寻找两个问题之间的相似之处。
可以通过比较问题的结构、特征、关系等方面，找到相似性所在。
2.3. 迁移知识和经验在找到相似性之后，可以将已有的知识和经验迁移到新的问题上。
可以尝试将已有的解决方案和方法应用到新的问题上，以寻找解决新问题的线索。
2.4. 检验和修正在应用已有的解决方案和方法之后，需要对结果进行检验和修正。
如果结果符合预期，可以得出结论；如果结果不符合预期，需要重新检查和修正解决方案。
3. 类比推理解题的应用场景类比推理解题技巧可以应用于各种问题的解决过程中，特别适用于以下场景：3.1. 数学题在解决数学题的过程中，类比推理可以帮助找到两个数学问题之间的相似之处，从已知问题中获得解决未知问题的线索。
类比推理在数学教学中的应用原则与方法
解题研究２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀类比推理在数学教学中的应用原则与方法◉江苏省南通市小海中学㊀张㊀程㊀㊀类比推理是结合两类不同事物的类似特征,根据已知事物的特征,推导出另一类事物特征的一种方法．这种方法推导出来的结论不一定准确,但存在一定的合理性,可利用证明或反例来确定其可靠性．简而言之,这是一种由特殊到特殊的推理形式,基本范式如下:A 的性质有:a １,a ２,a ３ ,a n ,a ᶄ;B 的性质有:b １,b ２, ,b n ．其中,a i 和b i (i ＝１,２,３, ,n )类似或相同．据此可推断B 具有b ᶄ的性质,b ᶄ与a ᶄ相似或相同[１]．类比推理作为科学研究的重要方法之一,也适用于初中数学概念㊁解题等的教学中．掌握好这种思维,能有效地帮助学生通过已知获得未知,实现思维的创新．１应用原则１．１参与性原则新课标明确提出学生才是课堂的主人．随着新课改的推进与深入,学生已然成为当前数学课堂中的主体,教师只是起引导作用．想要提高教学效率,首先需调动学生参与教学活动的积极性,鼓励学生主动㊁自主地参与到类比推理过程中,为更好地获得新知奠定基础．１．２过程性原则教师不能将眼光局限于类比推理的结论,而应关注学生在类比推理过程中思维的发展历程,只有领悟到数学思想方法,才能从真正意义上实现思维的进步．为了启迪学生的思维,教师可将自己的思维过程暴露出来供学生参考,让学生从中看到类比推理的逻辑关系,从而促进自身学习能力的发展．２应用方法２．１引入概念概念是数学学习的基础,也是知识学习的首要环节,它的重要性不言而喻．随着新课改的推进,教师的教学观念也逐渐发生了转化,概念教学由原来静态的文字形式转化成动态的教学模式,常见的有结合学生的生活素材或原有的认知结构进行概念的引入．新课标特别强调数学与生活的关系,要求教师结合学生的生活实际进行教学．其实,不少数学概念在学生的实际生活里都能找到它的原型．为此,教师可在充分了解概念内涵与外延的基础上,结合学情,利用与学生生活相关的情境,帮助学生抽象概念．案例１㊀ 平面直角坐标系 的教学平面直角坐标系是一个比较抽象的概念,若运用传统的 讲解＋练习 方式,很难让学生产生形象㊁深刻的认识．为此,笔者结合学生的生活,采取了以下类比推理的方法来引出概念．第一步:展示一张１８排１８座的电影票,要求学生说说寻找该座位的具体方法．初中学生都有看电影的生活经历,根据电影票寻找座位是一件简单且有趣的事,学生很快就能表达清楚寻找座位的方法．问题㊀为什么电影票上要运用几排几座来表示每个人的具体位置呢?学生经过交流与分析,一致认为这么编排的作用就在于让观众快速找到一对一的位置,避免出现拥挤或座位重复的情况,同时还利于售票工作的开展．第二步:将电影院的座位抽象成点,一个座位用一个点表示,并在此基础上渗透平面直角坐标系的概念．学生很快就能根据对电影院座位的直观感受及电影院座位的特点,类比推理出平面直角坐标系的基本特征．此过程,教师通过一张电影票引出座位,再引入本节课的教学主题 平面直角坐标系的概念 ,学生根据自己熟悉的生活素材,很快就能抓住本节课的重点,并对此产生直观㊁形象㊁深刻的认识,使得概念教学更加生动㊁有效．２．２辅助解题解题能力体现了学生数学综合水平与素养．类比推理是一种重要的解题方法,它能帮助学生突破思维障碍,找到解题思路,使得原本模糊的问题变得条理清晰,亦可将原本复杂的问题,变得简洁．初中阶段的数学解题涉及到的内容比较多,如几何㊁函数㊁方程等问题,均需用到类比推理法．２５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀为此,笔者针对如何更好地将类比推理法应用于解题教学中,作了大量实践与研究,颇有收获．实践证明,类比推理应用于解题教学中,能有效地激活学生的思维,可为提高课堂教学效率奠定基础．案例２㊀ 二次函数 的教学二次函数 是初中阶段令不少学生头疼的一个章节,本章内容多且复杂,既是中考的重点,也是难点．中考试卷中常以综合类问题呈现,对学生知识基础与思维能力的要求比较高,历年学生的失分现象都比较严重．问题㊀在平面直角坐标系中,抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 过点A (－２,－４),O (０,０),B (２,０)．(１)求该抛物线的解析式;(２)若M 为该抛物线对称轴上的一点,则AM ＋O M 的最小值是多少?分析:本题的第(１)问比较容易,只要将A ,O ,B 三点坐标代入抛物线解析式,即可通过解方程获得结果．第(２)问对于学生而言有点难度,学生思维的障碍点在于求最小值的方法．因此,笔者引导学生类比之前求最短距离的问题,作对称点,根据两点间线段最短,将对称点与另一个点相连,此时与对称轴产生的交点就是所要找的点,再应用勾股定理,很快就能获得AM ＋O M 的最小值．解:(１)将A ,O ,B 三点坐标代入y ＝a x ２＋b x ＋c 中,得y ＝－１２x ２＋x ．(２)抛物线y ＝－１２x ２＋x 的对称轴是直线x ＝１,而点O ,B 关于直线x ＝１对称,因此连接A B ,与直线x ＝１相交于点M ,则M 为待求的点,此时AM ＋O M 的值最小．过点A 作A N 垂直x 轴于点N ,在R t әA B N中,由A N ＝B N ＝４,得A B ＝A N ２＋B N ２＝４２．所以O M ＋AM 的最小值是４２．随着与求最短距离问题的类比,本题的解题思路愈发清晰．若一味地从题目本身去思考,则很难突破思维障碍,从而导致解题失败．由此可见,类比推理在解题教学中具有无可替代的重要作用．作为教师,应利用好类比推理方法,将它渗透于解题过程中,启发学生的思维,培养学生的创新意识．２．３引发猜想类比猜想是指应用类比推理法,将两个数学研究对象或问题中存在的相似之处进行比较,推测出事物的基本属性,获得新的命题或方法．解题中,不论从命题的本身来说,还是从解题的思路方法来看,类比推理都能引发学生的猜想,从中获得命题的引申与推广的基本动力[２]．最常见的类比猜想有:①根据命题相似的条件,猜想结论的相似性;②根据命题相似的形式,猜想推理方法的相似性．在应用类比推理法求解问题时,应注重辅助问题的引入,辅助问题作为类比的参照,是引发猜想㊁形成解题思路的重要载体,从辅助问题上可预见到问题的答案．案例３㊀ 轴对称图形 的教学教师若从理论的角度再三强调轴对称图形的概念与性质,学生也很难从本质上掌握其内涵．而引导学生一起动手操作,则能引发学生的共鸣,很容易抽象出轴对称㊁对称轴与轴对称图形的概念．边操作,边结合理论,既能突出教学重点,又能促进学生产生知识的正迁移[３]．在了解轴对称图形的基础上,对等边三角形㊁等腰三角形㊁正方形㊁长方形㊁圆等图形的性质进行类比猜想,并通过实际操作来验证这种猜想．活动中,教师鼓励学生畅所欲言,积极参与实验与探究,在亲历图形性质的抽象过程中获得相应的结论．如此,既展现了 做中学 的教育理念,又充分展现了体验㊁发展 的教育思想．从学生感知到数学定理的形成,需经历一个类比推理㊁猜想㊁验证的过程,而每个环节无不透露出数学学科的严谨性与思维的周密性．通过活动的开展,学生亲历操作㊁推理与验证的过程,有效地培养了学生的推理能力与创新意识,同时也让学生深刻体会到数学与生活的实际关系:数学来自生活,高于生活,为生活服务．综上可知,教学中教师应结合教学内容与学情,巧妙地创设一些类比推理的机会,以推进学生思维的发展,让学生体会到数学学习带来的成就感,从而增强学习兴趣,提高学习效率．总之,类比推理作为一种历经时代考验的科学思维方法,可将旧知灵活地应用到新知中,使得学生快速熟悉并接纳新事物,尤其是面对灵活多变的数学问题,类比推理法的应用,能有效地打开学生的思维,促进学生创新意识的形成与发展．参考文献:[１]郎淑雷．类比推理:数学发现的有效方法[J ]．安庆:安庆师范学院学报(自然科学版),２００７(３):１１９Ｇ１２１．[２]曹才翰,章建跃．数学教育心理学[M ]．北京:北京师范大学出版社,２００６．[３]李小英．类比迁移对数学问题解决的研究综述[J ]．考试周刊,２０１０(８):６６Ｇ６７．Z ３５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
类比推理的三种方法
类比推理的三种方法引言类比推理是一种常见的思维方式，通过将不同事物之间的相似性进行比较，从而推理出它们之间的关系。
类比推理在日常生活和学习中都起着重要的作用，能够帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍类比推理的三种方法：形式类比、模型类比和推理类比，并对每种方法进行详细阐述。
一、形式类比形式类比是一种基于结构和关系的类比推理方法。
它通过比较事物之间的结构和组成关系，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。
形式类比常常用于逻辑推理、数学问题和编程等领域。
形式类比的特点•重点关注事物的结构和组成关系•忽略事物的具体内容和特征•强调事物之间的相似性和规律性形式类比的应用场景•解决逻辑问题：形式类比能够帮助我们找出逻辑问题中的共性和规律，从而解决类似的问题。
•设计算法和数据结构：形式类比可以帮助程序员设计更加高效和灵活的算法和数据结构，提高程序的性能和可维护性。
二、模型类比模型类比是一种基于事物共享特征的类比推理方法。
它通过比较事物的特征和属性，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。
模型类比常常用于科学研究、复杂系统分析和创新思维等领域。
模型类比的特点•关注事物的功能和属性•忽略事物的具体结构和关系•强调事物之间的功能和用途模型类比的应用场景•科学研究：模型类比能够帮助科学家发现事物之间的相似之处，并构建模型来解释自然现象。
•创新思维：模型类比可以激发创新思维，帮助人们从不同领域的模型中获取灵感，解决问题和提出新的观点。
三、推理类比推理类比是一种基于推理和推断的类比推理方法。
它通过比较事物之间的关系和交互方式，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。
推理类比常常用于认知科学、人工智能和哲学等领域。
推理类比的特点•关注事物之间的关系和交互方式•通过推理和推断找出事物之间的共性和规律•强调事物之间的关联和因果关系推理类比的应用场景•认知科学：推理类比能够帮助人们了解人类认知的机制和模式，推断思维的过程和规律。
类比推理
类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上(这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现)也相同的一种推理。
据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。
又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。
惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
类比推理的结构，可表示如下：A有属性a、b、c、d B有属性a、b、c 所以，B有属性d类比推理的客观根据是什么呢?在客观现实里，事物的各个属性并不是孤立的，而是相互联系和相互制约的。
因此，如果两个事物在一系列属性上相同或相似，那么，它们在另一些属性上也可能相同或相似。
类比推理的结论是否可靠呢?这要看进行类比的两个或两类事物所具有的共同属性与类推属性之间是否有必然的联系。
如果有，用类比推理所得到的认识就是可靠的，否则就是不可靠的。
由此可见，类比推理的结论只具有或然性，即可能真，也可能假。
类比推理尽管其前提是真实的，也不能保证结论的真实性。
这是因为，A和B毕竟是两个对象，它们尽管在一系列属性上是相同的，但仍存在着差异性，这种差异性有时就表现为A对象具有某属性，而B对象不具有某属性。
如何提高类比推理的结论的可靠性呢?第一，前提中确认的相同属性愈多，那么结论的可靠程度也就愈大；第二，前提中确认的相同属性愈是本质的，相同属性与要推出的属性之间愈是相关的，那么结论的可靠程度也就愈大。
要特别注意，不能将两个或两类本质不同的事物，按其表陎的相似来机械地加以比较而得出某种结论，否则就要犯机械类比的错误。
例如，基督教神学家们就曾用机械类比来"证明"上帝的存在。
在他们看来，孙宙是由许多部分构成的一个和谐的整体，正如同钟表是由许多部分构成的和谐整体一样，而钟表有一个创造者，所以，孙宙也有一个创造者--上帝。
数学类比推理的例子
数学类比推理的例子数学类比推理的例子篇1类比推理是由特殊性前提推出特殊性结论的推理：两个或两类事物，有若干相同属性，由此推出它们还有其他属性相同。
公式：A有a、b、c、d；B有a、b、c；所以，B可能也有d。
类比推理的前提与结论之间没有蕴含关系，结论不是必然的。
数学中有一条定理：三角形两边之和大于第三边。
这个数学原理被一位社会科学家成功地运用到社会科学领域。
他认为，历史上如果三个割据势力并存，就形成三足鼎立，这是一种比较稳定的结构。
如果强者侵犯了弱者，被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来。
结盟之后，两边之和大于第三边，稳定的三足结构就不会被破坏。
只有当强者的力量超过了两个弱者之和，三国鼎立的局面才会结束。
——前提：三角形有三条边，两边之和大于第三边，具有稳定性，其中一条边延长至大于（或等于）另两边之和，三角形不复存在；三国时期有三个国家，其中两国联合的力量大于第三国。
结论：三国之间形成鼎立局面，其中一国的力量大于（或等于）另两国联合的力量，三国鼎立的局面就不复存在。
数学类比推理的例子篇2类比推理是依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。
类比不同于比较，类比是在比较基础上进行的推理，而比较是认识两类事物异同的一种方法。
类比与归纳也有不同之处，类比是从特殊到特殊的推理，而归纳是从特殊到一般的推理。
它们也有相同之处，就是它们的结论都是具有或然性，时真时假，有待验证。
说了这么多，那么类比推理在小学数学中到底有哪些应用呢？其实，在概念、性质、法则、定律、图形等知识教学中，都会用到类比推理。
如：百分数意义与分数意义进行类比教学；小数乘法与整数乘法进行类比教学；分数和小数运算律与整数运算律进行类比教学；体积、面积、长度之间的类比教学；等等。
可谓运用相当广泛。
【数学】1.1.2 类比推理 课件(北师大版选修2-2)
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
3
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
6
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
单位元
a+0=a
通过例1，练习1你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
11
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出 空间中四面体性质的猜想．
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
类比推理在数学的概念界定
类比推理在数学的概念界定
类比推理是一种基于相似性和类似模式的推理方法，它在数学领域的概念界定中具有重要的作用。
在数学中，类比推理是通过找到不同的数学对象之间的共同之处，从而建立它们之间的联系和相似性，并进而推导出新的数学结论和概念。
在数学的概念界定中，类比推理可以帮助我们理解和定义新的数学概念。
当我们遇到一个新的数学概念时，我们可以通过将它与已知的概念进行类比，找到它们之间的共同点和相似性，从而推导出新的定义。
例如，在定义实数之前，我们可以通过类比推理将它们与有理数进行比较。
通过找到实数和有理数之间的共同点（例如，都可以表示为无限循环小数），我们可以得出实数的新定义。
类比推理还可以帮助我们推导出新的数学定理和公式。
当我们在解决一个数学问题时，我们可以通过类比推理将它与已知的问题进行比较，找到它们之间的相似性和联系，从而得到新的定理和公式。
例如，在证明三角函数的和角公式时，我们可以通过类比推理将它与已知的三角函数的差角公式进行比较，从而得到新的结果。
此外，类比推理还可以帮助我们发现数学中的模式和规律。
数学中充满了各种模式和规律，通过类比推理，我们可以发现这些模式和规律，并进一步探索它们的性质和应用。
例如，在研究斐波那契数列时，我们可以通过类比推理将它与黄金分割比进行比较，从而揭示出它们之间的关系和规律。
总而言之，类比推理在数学的概念界定中扮演着重要的角色。
通过找到数学对象之间的相似性和联系，我们可以建立新的数学概念和定理，并进一步发现数学中的模式和规律。
类比推理不仅有助于我们深入理解数学的本质，也为我们探索数学的前沿和应用提供了新的思路和方法。
巧用类比推理,强化高中数学教学
巧用类比推理，强化高中数学教学
类比推理是指通过比较两个或多个事物的相似之处，从而推断出它们之间的相似性质或关系。
在高中数学教学中，巧用类比推理可以使学生更加深入地理解概念和原理，提高学习效果。
以下是几个巧用类比推理加强高中数学教学的例子：
1. 集合与向量的类比
可以将集合和向量进行类比，因为它们都具有类似的概念和性质，比如元素、交集、并集、子集、向量的加法和数量乘法等。
引导学生比较两者之间的相似之处，从而更好地理解向量的性质和运算。
2. 函数与曲线的类比
可以将函数和曲线进行类比，因为它们都反映了变量之间的关系，在数学中都有重要的地位。
通过将函数图像与曲线进行对比，可以帮助学生更好地理解函数性质和方程的解法。
3. 应用题与数学模型的类比
可以将解决实际问题的应用题和建立数学模型进行类比，因为它们都涉及实际问题的转化和求解。
引导学生通过分析和归纳实际问题的特征，建立相应的数学模型，从而解决实际问题。
4. 三角函数与周期函数的类比
可以将三角函数和周期函数进行类比，因为它们都具有周期性的特点，而且三角函数也可以用周期函数来表示。
引导学生比较两者之间周期的性质和运算规律，从而更好地理解三角函数的性质和应用。
总之，通过巧用类比推理，可以帮助学生更好地理解数学概念和原理，提高数学思维和创新能力。
数学类比推理
上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤） 上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤） ？（步骤
定义： 定义：这种由两类对象具有某些类似的特征和其 中一类对象的某些已知特征， 中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比） 类比推理（ 具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。 特点： 、是由特殊到特殊的推理。 特点：1、是由特殊到特殊的推理。 2、类比推理具有猜测性，不一定可靠。 、类比推理具有猜测性，不一定可靠。
b =( b1,b2 )
a =( a1,a2,a3 ), a+b= a–b= λa= a·b= a∥b ∥ a⊥b ⊥ |a|= cos〈a ,b 〉= 〈
b =( b1,b2,b3 )
猜一猜: 猜一猜
回顾等差数列的性质 １.an = am+ (n-m)d 2. 等差数列｛an｝, 等差数列｛ 若 k+l=p+q 则 ak + al = ap + aq
小结: 小结
【类比推理】 类比推理】
由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些特征， 类对象的某些特征，推出另一类对象也具有 这些特征。 这些特征。 主要步骤（1）找出两类对象之间的相似 主要步骤（ ） 性或一致性； 性或一致性； （2）用一类对象的性质去推测 ） 另一类对象的性质， 另一类对象的性质，得出 一个明确的结论。 一个明确的结论。
内切圆
【例3】如图，利用类比推测球的有关性质 】如图，
圆 圆心与弦（非直径） 圆心与弦（非直径） 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的 两条弦长相等 圆的周长C= π d 2 圆的周长 圆的面积S= π r 圆的面积
2
球
类比推理在数学解题中的“六类”
．BCBD图2 AO类比推理在数学解题中的“六类”著名数学家波利亚曾指出：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似”类比是从已经解决的问题和已经获得的知识出发，提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移，它是由特殊到特殊的推理．类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征、明确的类比关系，所以运用类比的关键是确定类比对象，而确定类比对象的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象．不能让类比仅仅停留在叙述方法或结构形式等外层表象上，还需要对数学结论的运算变形、思想方法、思维策略、推理过程等深入层面寻求内在关联，开展多角度、全方位的类比探析活动．由于类比推理的逻辑根据是不充分的，带有或然性，具有猜测性，不一定可靠，不能作为一种严格的数学方法，因此还须经过严格的逻辑论证，才能确认其猜测结论的正确性．本文由问题出发，从定义生成类比、属性关系类比、降维减元类比、结构形式类比、思想方法类比、无限有限类比等六个不同角度层面，针对如何进行类比推理，做些分类探究解析的有益尝试，培养学生运用类比进行合情推理的能力． 一、定义生成类比问题1：若定义集合A 与B 的运算：A B?{,x B x A B }挝锨或且x x A ,试写出()哪A B A 成立的等式．探究：一个抽象的集合问题，利用已有的集合知识，借助于韦恩图，通过类比问题，进行探索，可发现一些含有新定义集合运算关系的等式．若记A B C ?，如图1中阴影部分所示，则类比得C A{x x C ,x A x C A }?挝锨或且＝B ，所以A B A B 哪（）＝．问题2：试指出三角形在空间的类比探究：上，两条直线不能围成一个有限的封闭图形，然而三条直线可以围成一个三角形；在空间里三个平面不能围成一个有限的封闭几何体，然而四个平面可以围成一个四面体．因此，四面体可以看成三角形在空间的类比．例如：由三角形的三条内角平分线相交于一点，这就是三角形内切圆的圆心，即生成内心.我们类比猜测：四面体的六个内二面角的平分面也相交于一点，而且这就是四面体内切球的球心，即不妨也称之为生成内心（如图2）同样地可否类比猜测：四面体的生成外心、垂心、重心等等． ②、从直接生成的角度去考虑，棱锥可以看成三角形在空间的类比，如果三角形可以看成将线段（所在直线）外的一点与DABCAB图3CE D线段上的各点用线段相连所生成的平面图形，那么棱锥就可以看成将多边形（所在平面）外的一点与多边形上各点用线段相连所生成的空间图形．（如图3）． 二、属性关系类比问题3：过双曲线2222x y 1a b-=(a 0,b 0)>>的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，设PM MF,PN NF =l =m u u r u u r u u r u u r （如图4），则l +m 为定值222a b．试写出关于椭圆的相似结论，并加以证明．探究：探索圆锥曲线中的定值问题，可考虑特殊位置，利用特殊方法进行投石问路，找到定值．对于双曲线，当该直线过原点这个特殊位置时，直线与x 轴重合，则点P(0,0)，M(a,0)-,N(a,0),PM (a,0),PN (a,0)=-=u u r u u r ,MF (c a,0)=+u u r,NF (c a,0)=-u u r ,由题设可得a (c a)a (c a)ì-=l +ïïíï=m -ïî，其中222c a b -=.于是a a c a c a l +m=-+=+-222222a 2a c a b=-（定值）．由于椭圆与双曲线有很多相类似的属性关系，因此，可类比双曲线的这一结论以及获得的这个定值的特殊方法，寻找其中变与不变的规律．同理，对于椭圆也得到l +m=222222a 2a c a b=--（定值），其中222a cb -=．关于椭圆的相似结论：过椭圆2222x y1a b+=(a b 0)>>的右焦点F(c,0)的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，设PM MF,PN NF =l =m u u r u u r u u r u u r （如图5）.则l +m 为定值222a b-．现用一般方法给出严格证明如下：设此直线方程为y k(x c)=-（斜率k 存在），则点P(0,kc)-．设两交点1122M (x ,y ),N (x ,y )，得1111P M (x ,yk c ),M F (c x ,y )=+=--u uru ur，由P M M F =l uu r uu r 得1111x (c x )y kc y ì=l -ïïíï+=-l ïî，11x c x \l =-．同理：22m=-x c x ，则1212x x c x c x l +m=+--121221212c (x x )2xx c c (x x )xx +-=-++ ①，由2222y k(x c)x y 1ab ì=-ïïïíï+=ïïîABC C 1 A 1B 1D 1图6O ABC 1A 1B 1O图7消去y ,整理得22222222222(a k +b )x 2a k cx a k c a b 0-+-=，当0D >时，由韦达定理得22122222a k cx x a k b +=+，2222212222a k c ab x x a k b -=+将此两式代入①得2222222222222222222222222222a k c 2(a k c a b )c a k b a k b 2a k c a k c a b c c a k b a k b -?++l +m=--?++222222a b (c a )b=-222a b =-（定值），得证． 三、降维减元类比问题4：在四面体ABCD 内部有一点O ，使得AO 、BO 、CO 、DO 与 四面体的四个面BCD 、CDA 、DAB 、ABC 分别交于1111A B C D 、、、 四点，且满足1111AO BO CO DOk A O B O C O D O====（如图6），试求k 的可能值．探究：在三维空间，立体几何中的四面体，可以降到二维或一维空间，与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，对应地，体积与面积类比，面积与线段长类比等．于是，原问题经降维减元类比可以从“在三角形内部有一点O ，使得直线AO 、BO 、CO 与三角形的三条边BC 、CA 、AB 分别交于111A B C 、、三点，且满足111AO BO COk A O B O C O===（如图7）．试求k 的可能值．”的推理过程探求解题途径．在平面几何中，因为同底三角形的面积比为对应的高之比，等于相似比，所以ABC 11OBC 111S A A AO A O AO 1k 1S A O A O A O +===+=+V V ，ABC 1OCA 1S B Bk 1S B O==+V V ，ABC 1OAB 1S C Ck 1S C O==+V V ，于是A B CO B CO C A 3S (k 1)(S S S)=+++V V VV ．得3k 1=+，故k 2=．根据上述利用面积关系求解思路推理的启发，在空间四面体中，可转化为利用体积关系进行类比来推理．在四面体中，因为同底四面体的体积比为对应的高之比，等于相似比，所以ABCD 11OBCD 111V A A AO A O AO k 1V A O A O A O +====+，ABCD 1OCDA 1V B Bk 1V B O==+，ABCD 1ODAB 1V C C k 1V C O ==+，ABCD 1OABC 1V D Dk 1V D O==+，于是ABCD OBCD OCDA ODAB OABC 4V (k 1)(V V V V )=++++，得4k 1=+，故k 3=．四、结构形式类比问题5：任给7个实数x k (k=1,2,3,…,7),能否求证其中有两个实数x i 、x j ,满足不等式i ji jx x 01x x -＃+． 探究：此问题若从待证不等式出发，转化为不等式组求证，容易陷入复杂的分类与讨论之中，即第一类讨论任给7个实数中有某两个实数相等，结论显然成立；第二类讨论7个实数互不相等，则难以下手．但经过联想观察可发现：i j i jx x 1x x -+与两角差的正切公式()tan tan tan 1tan tan a -ba -b =+a b在结构形式上极为相似．因此，可以作适当的代换k k x tan =a （k＝1,2,3…,7），与正切公式()i j tan a -ai j i jtan tan 1tan tan a -a =+a a 作类比问题探究．令k k x tan =a （k＝1,2,3…,7），k ,22骣p p ÷ça ?÷ç÷ç桫.则原问题转化为求证：其中存在两个实数i j ,,22骣p p ÷ça a ?÷ç÷ç桫，满足ij 0tan()3 -a是否成立．注意到tan00=，tan 63p =，正切函数y tanx =在,22骣p p ÷ç-÷ç÷ç桫上是递增函数，故将区间,22骣p p ÷ç-÷ç÷ç桫等分成6个子区间,23纟p p çú--ççúèû，,36纟p pçú--ççúèû，,06纟p çú-ççúèû，0,6纟p çúççúèû，,63纟p p çúççúèû，,32骣p p ÷ç÷ç÷ç桫，由抽屉原理知，7个实数k a 中必有2个实数i j ,a a （不妨设i j a 砤）同属于某一个子区间内，而又因为每一个子区间的长度均为6p，则ij 06p-a，因此，其中存在两个实数i j ,,22骣p p ÷ça a ?÷ç÷ç桫，满足ij 0tan() -a成立．五、思想方法类比问题6：先阅读下列不等式的证法.再解决后面的问题：若12a ,a R Î，12a a 1+=，则22121a a 2+． 证明：构造函数2212f(x)(x a )(x a )=-+-． 因为对一切x R Î，恒有f(x)0³，即2221212f (x )2x 2(a a)x aa =-+++222122x 2x a a 0=-++ 对一切x R Î恒成立．所以221248(a a )0D =-+ ，从而得22121a a 2+． 现若12n a ,a ,,a R 鬃孜，12n a a a 1++鬃?=，请写出上述结论的推广，并加以证明．探究：由于函数与不等式有着深刻的内在联系，研究不等式通常需用函数的性质作为工具．已知这个不等式的证法是构造函数的方法，利用二次函数的性质并结合判别式，实现函数与不等式的转化思想.现在只是从二元()12a ,a 推广到n 元()12n a ,a ,,a 鬃 的情形，所以结论的推广和证明完全可以类比上述构造二次函数，与不等式转化的思想方法获得解决． 结论推广：若12n a ,a ,,a R 鬃孜 ，12n a a a 1++鬃?= ，则22212n 1a a a n++鬃? ． 证明：构造函数22212n f(x)(x a )(x a )(x a )=-+-+鬃?-222212n 12n nx 2(a a a )x a a a =-++鬃?+++鬃?222212n nx 2x a a a =-+++鬃? 因为对一切x R Î，恒有f(x)0³，所以22212n 44n(a a a )0D =-++鬃? ，从而证得：22212n 1a a a n++鬃? ． 六、无限有限类比 问题7：试求2n 11n¥=å. 探究：在不能运用极限方法求无限和的时候，我们可以通过无限和与有限和进行类比，寻找求解思路.设2n 次代数方程24n 2n012n a a x a x (1)a x 0-+-鬃?-=①有2n 个不同的根1122n n c ,c ,c ,c ,,c ,c --鬃?，则24n2n012n a a x a x (1)a x -+-鬃?-=222022212nx x x a (1)(1)(1)c c c --鬃?，比较等式两边2x 的系数得：n102k 1k1a a c ==å②，已知函数sinx 的展开式357x x x s i n xx 3!5!7!=-+-+鬃 ，且方程sinx 0=有无穷多个根为0,,2,3,眕眕眕鬃 ，它们也是无穷次方程357x x x x 03!5!7!-+-+鬃? 的根，则方程246x x x 103!5!7!-+-+鬃?③有无穷多个根为,2,3,眕眕眕鬃 ．上面的方程③左边有无穷多项，它并非代数方程，但把它当作方程①看待，运用②式进行无限与有限的类比．246sinx x x x 1x 3!5!7!=-+-+鬃?Q22222222x x x x (1)(1)(1)(1)(2)(3)(n )---鬃?鬃p p p p ，2222111113!(2)(3)(n )\=+++鬃?+鬃 p p p p ，从而有2222211116123n p =+++鬃?鬃 ，故22n 11n 6¥=p =å．由于这一结论建立在无限与有限类比之上，因此它只是一个大胆的猜想，为了验证这一猜想的可靠性，我们是可以运用复数的棣莫佛定理给予严格证明的（限于篇幅，证明从略）．总之，形神兼备的类比，其基本模式是：若A对象具有属性a、b、c、d，且B对象具有属性a、b、c，猜想：B对象具有属性d。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.an = am+(n-m)d (m,n∈N＋)
2.an = amqn-m (m,n∈N＋)
3.an-1+ an+1 =2an(n≥2,n∈N+) 3.an-1·an+1 =an2 (n≥2,n∈N＋)
4.若 m,n,p,q∈N+且 m+n=p+q， 4.若 m,n,p,q∈N+且 m+n=p+q，
则 am+ an= ap+ aq
则 am· an= ap· aq
定义叙述上仅“差”“比”一字之差，公式上的类 似主要体现在：加 乘；乘 乘方的对应。
1.已知数列{an}是等差数列，则{a1+a2+n…+an}
是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是
等比数列，类比上述等差数列，则
是
等比数列？
形状，沉浮原理
鱼类
潜水艇
蜻蜓 外形，飞行原理
直升机
仿生学中许多发明都是类比生物机制得到的，这
种思维我们数学上称之为：类比推理
已知△ABC三边长分别是a,b,c,面积为S,求三角形
内切圆半径r;
面积法
C
由12r(a+b+c)=S
2S r=a+b+c
A
O B
你还能联想到其他类似的问题吗？ 空间四面体内切球的半径怎么求？
已知空间四面体A-DBC，四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,体积为V，求其内切球半径R。
A
O
B
D
C
相似性（类比前提）
三角形
1.平面最简单的多边形 3条边 周长 面积
2S r=a+b+c
面积法
空间四面体
1.空间最简单的多面体 4个面 表面积 体积
? 3V
r= S1+S2+S3+S4
体积法
推演的结论未必正确，需要验证，但请你记 住：
没有大胆猜测就没有伟大发明 牛顿
答：数列{ n a1a2…an}是等比数列.
课堂小结:
1.什么是类比推理？ 根据两个（两类）事物之间在某些方面的相似或相 同,推演出它们在其它方面也相似或相同, 像这样 的推理通常称为类比推理.(简称：类比法)
2.类比推理的前提和模式
3.主要步骤（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质； （3）猜测新的结论。
a,b,c与a′,b′,c′相同或相似
前提 结论
A对象
a b c
推演
d
B对象
a′b′ c′
d′
（d与d′ 相同或相 似）
像以上这样，由两类事物在某些方面相同或相似， 推演出它们在其他方面也相同或相似，像这样的
推理通常称为类比推理（简称类比法）
类比具有发现的功能
我们学过的数学知识中，还有哪些也是这 样进行类比的？
→a +→b =（a1+ b1，a2+ b2，a3+ b3）
→a ·→b = a1 b1+ a2 b2+ a3 b3
λ→a =（λa1，λa2）
…
λ→a =（λa1，λa2，λa3）
…
例3，类比等差数列与等比数列
问题.二者可类比的前提是什么？
定义上的相似
仅一字之差
定义1：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与他
类比推理
中华中学 李钟全
问题情境: 春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形茅草割 破了手，他由此受到启发从而发明了锯子。
想想看，锯子的出现是鲁班受了什么启发而发明的？
茅草
锯子
相似点:功能 （前提）
形状 (联想的结论)
能割破手 能割断木头
齿形 联想
？齿形
类似与鲁班发明锯子，还有哪些发明或发现 也是这样得到的？
例2.试将平面向量与空间向量进行类比
类比的前提
平面向量
空间向量
（相同或相似 的地方）
既有大小又有方向的量
→a =（a1，a2） →b =( b1，b2)
→a +→b =（a1+ b1，a2+ b2）
→a ·→b = a1 b1+ a2 b2
→a =（a1，a2，a3） →b =( b1，b2，b3)
的前一项的差都是一个常数，那么这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫等差数列的公差。
定义2：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与他
的前一项的比都是一个常数，那么这个数列就叫做等比
数列，这个常数叫等比数列的公比。
性质上类比
等差数列等比数列源自1.an = a1+(n-1)d (n∈N＋)
1.an = a1qn-1 (n∈N＋)
让我们一起来重温一些数学发现的过程
例1、试根据等式的性质推演不等式的性质。
前提
等式
不等式
都是反映数的大小关系的
(1) a=ba+c=b+c
(1) a＞ba+c＞b+c
(2) a=b ac=bc
(2) a＞b ac＞bc
(3) a=ba2=b2
(3) a＞ba2＞b2
不问一：定这，样类推比演的出结的结论论未是必否正一确定，正需确要？ 验证
由13r(S1+S2+S3+S4)=V 3V
r= S1+S2+S3+S4
B
A
O D
C
这种思维所经历的步骤：
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
问题1.是否任意两类事物都可以进行这样的 联想推演呢？
不是
问题2.能够进行这样联想推演的两类事物必 须满足什么条件？ 这两类事物在某些方面相同或相似
类比的一般模式：