江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习 不等式 第2课时 算术平均数与几何平均数教学案
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第2课时 算术平均数与几何平均数
1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．
2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2
2ab （当且仅当 时 取“＝”号） 3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么
2
b
a +≥ （当且仅当a ＝
b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：
(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 例1．设a 、b ∈R +
，试比较2b a +， ab ，2
2
2b a +，b
a 112+的大小．
解：∵a、b ∈R +
，∴b a 11+≥2ab
1 即
b
a 112+≤a
b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
又42)2(222ab b a b a ++=
+≤4
2
222b a b a +++ ＝
2
2
2b a + ∴2b a +≤222b a +
当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab ≤
2
b
a + 于是b
a 112
+≤ab ≤2b a +≤22
2b a +(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．
说明：题中的
b
a 112+、a
b 、
2b a +、2
2
2b a +分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．
变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题2
22
:22a b a b
q ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则p 是q 成 立的 （ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：B.解析： a b =是2
22
22a b a b
++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
等号成立的条件.
（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222
,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤<
解：D ．解析：2222221()[()()()]0,2
S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥， 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2
2
2
2(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。 （3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=
1, y
y
x x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）
A ．a >b
B ．a C ．a ≤b D ．a ≥b 解：B 。解析：11111x y x y x y a x y x y x y x y +==+<+ ++++++++。 （4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m>0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 . 解： m b m a b a ++< ．解析:由盐的浓度变大得． 例2. 已知a ，b ，x ，y∈R + （a ，b 为常数），1=+y b x a ，求x ＋y 的最小值. 解： a ＋b ＋2ab 变式训练2：已知a ，b ，x ，y∈R + （a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y b x a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值． 解：⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩ ⎨⎧==.28b a ，． 例3. 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 解：证：(a 5 + b 5 ) (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 a 3b 2) + (b 5 a 2b 3 ) = a 3 (a 2 b 2 ) b 3 (a 2 b 2) = (a 2 b 2 ) (a 3 b 3) = (a + b)(a b)2(a 2 + ab + b 2 ) ∵a, b 都是正数，∴a + b, a 2 + ab + b 2 > 0 又∵a b ，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a 2 + ab + b 2 ) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 变式训练3：比较下列两个数的大小： （1）；与3212-- （2）5632--与； （3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明 解：（1）3212->-,（2）5632-> -