最新圆锥曲线部分二级结论的应用-(学生版)
圆锥曲线二级结论的应用：直观理解与数学技能的提升
圆锥曲线二级结论的应用：直观理解与数学技能的提升在数学中应用圆锥曲线的二级结论，可以帮助我们更高效地解决问题、减少计算量，并增强对几何图形的直观理解。
以下是几种在数学中应用圆锥曲线二级结论的实例：1.2.焦点与准线性质的应用：3.在解决与焦点和准线相关的问题时，这些性质可以直接使用。
例如，在求椭圆上的点到两焦点距离之和时，可以直接应用这一性质，而不必每次都从头开始计算。
4.5.6.弦长公式的应用：7.对于圆锥曲线上的弦长问题，利用相应的弦长公式可以迅速得出答案。
在解决几何问题时，如果知道某些特定条件下的弦长公式，可以大大减少计算复杂度。
8.9.10.切线性质的应用：11.切线的性质在求导数和曲线的几何特征时非常有用。
通过计算导数来找出切线的斜率，进而利用切线方程研究曲线的局部性质。
12.13.14.面积与周长公式的应用：15.当需要计算圆锥曲线围成的图形的面积或周长时，直接使用相应的公式可以迅速得出答案。
这在几何和微积分问题中特别常见。
16.17.18.离心率与半轴长的应用：19.在解决与圆锥曲线的形状和尺寸有关的问题时，离心率和半轴长是两个关键参数。
它们可以帮助我们理解曲线的“扁平”程度或“张开”程度，从而更容易地识别和分析几何图形。
20.21.22.渐近线与包络线的应用：23.在涉及渐近线和包络线的问题中，利用这些性质可以帮助我们更好地理解曲线的长期行为，特别是在处理无穷大或无穷小时的行为。
24.25.26.对称性与极值点的应用：27.在解决与对称性和极值点相关的问题时，这些性质可以用来验证解的正确性或找到潜在的解。
28.29.30.焦点三角形性质的应用：31.在处理涉及焦点和弦的问题时，焦点三角形的性质可以用来简化计算，特别是当弦经过圆锥曲线的焦点时。
32.在数学中，圆锥曲线的二级结论不仅帮助我们解决实际问题，还提供了直观理解几何图形和性质的工具。
通过不断练习和应用这些结论，可以加深对圆锥曲线理论的理解，并提升数学技能。
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。
这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。
以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。
证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。
利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。
切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。
证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。
求出该点处的导数即为切线的斜率。
利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。
离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。
证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。
对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。
以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。
2023年高考数学三轮复习圆锥曲线中的二级结论及应用(解析版)
查补易混易错点07圆锥曲线中的二级结论及应用圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。
1设P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1.2设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.3.设A ，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P 是曲线上与A ，B 不重合的任意一点，则k AP ·k BP ＝e 2－1.4.设圆锥曲线以M (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦AB 所在的直线的斜率为k .（1）圆锥曲线为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.（2）圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则k AB ＝b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.（3）圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则k AB ＝p y 0.5.过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则椭圆的离心率等于1(1)cos λλα-+.6.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.7.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.1.已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为()A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1【答案】B【解析】由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2，即54＝b 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.于A ，B 两点，已知AF →＝3FB →，则k ＝()A ．1 B.2 C.3D ．2【答案】B【解析】∵λ＝3，由结论可得，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.4.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为()A ．5B ．6 C.163 D.203【答案】C 【解析】因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.6.已知双曲线C ：()105x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且123F PF ∠=，则12F PF △的面积为（）．【答案】C【解析】由()22105x y k k -=>，b =123F PF π∠=，由结论可知122tan 2F PF b S θ==△7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A ，B 两点，若AP 与BP 的斜率之积为－1，则椭圆的离心率为（）【解析】k AP ·k BP ＝－12，e 2－1＝－12，∴e 2＝12，e ＝22.8.在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________；(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________．【答案】(1)33(2)6－22【解析】(1)由结论得S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，即S △PF 1F 2＝33.（2）由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.9.(2022·荆州模拟)已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2＝π3时，则△PF 1F 2的面积为________．【答案】33【解析】由结论可得：S ＝b 2tan θ2，可得S ＝1·tan π6＝33.标原点，则|AB|为【答案】12【解析】易知2p＝3，由结论可得知|AB|＝2psin2α，所以|AB|＝3sin230°＝12.15.设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过F且倾斜角为6π的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是数学中的一个重要分支，研究圆锥曲线的性质和特点对于解决实际问题具有重要意义。
在研究圆锥曲线的过程中，我们常常会遇到一些二级结论，它们对于理解和应用圆锥曲线的知识起到了关键的作用。
本文将介绍一些圆锥曲线常用的二级结论，并探讨其应用。
一、椭圆的二级结论椭圆是圆锥曲线中的一种。
通过对椭圆的研究，我们可以得到以下几个常用的二级结论：1. 椭圆的离心率范围为0到1，离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，则椭圆越扁平。
这个结论告诉我们椭圆的形状是由其离心率确定的。
当离心率接近于0时，可以认为椭圆近似于一个圆；而当离心率接近于1时，椭圆则会变得更加扁平。
2. 椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和是一个常数，等于长轴的长度。
这个结论称为椭圆的焦点定理，它表明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数。
这个常数即为椭圆的长轴的长度。
这个结论在许多实际问题中都有着重要的应用，比如卫星轨道的设计等。
3. 椭圆的切线与其法线垂直。
这个结论告诉我们椭圆上任意一点的切线和法线是垂直的。
利用这个性质，我们可以求解椭圆上某一点的切线方程和法线方程，进而研究椭圆曲线的切线和法线的性质。
二、双曲线的二级结论双曲线是圆锥曲线中的另一种。
通过对双曲线的研究，我们可以得到以下几个常用的二级结论：1. 双曲线的离心率范围大于1，离心率越大，则双曲线越扁平。
这个结论与椭圆的结论类似，不同之处在于双曲线的离心率始终大于1。
离心率越大，双曲线越扁平。
2. 双曲线的两个焦点至双曲线上任意一点的距离之差是一个常数，等于双曲线的距离。
这个结论称为双曲线的焦点定理，它表明双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个常数。
这个常数等于双曲线的距离。
3. 双曲线上的切线和法线不垂直。
与椭圆不同的是，双曲线上的切线和法线不垂直。
这个性质给了我们研究双曲线其他性质的线索。
三、抛物线的二级结论抛物线是圆锥曲线中的另一种。
圆锥曲线常用的二级结论和椭圆与双曲线对偶结论
圆锥曲线常用的二级结论：
1.零点定理：设F1，F2为椭圆E的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1 + PF2 = 2a（a
为椭圆长轴的一半）;对于双曲线，PF1 - PF2 = 2a，其中a为双曲线的长轴的一半。
2.切线定理：设点P（x0，y0）在曲线C上，则C在点P处的切线方程为F_x（x0，y0）
x + F_y（x0，y0）y = F（x0，y0），其中F（x，y）为曲线C的方程，F_x和F_y为它的偏导数。
3.法线定理：设点P（x0，y0）在曲线C上，则C在点P处的法线方程为F_y（x0，y0）
x - F_x（x0，y0）y = F_y（x0，y0）x0 - F_x（x0，y0）y0。
4.离心率计算公式：设椭圆E的长轴为a，短轴为b，则椭圆的离心率为e = √（a² - b²）
/ a。
5.弦长定理：对于椭圆E，设以焦点F1，F2为端点的弦所对应的直角顶点为P，则弦PF1
+ PF2的长度等于椭圆长轴的长度;对于双曲线，弦PF1 - PF2的长度等于双曲线长轴的长度。
椭圆与双曲线的对偶结论：
1.椭圆E的对称中心为它所包围的正方形的中心，长、短半轴分别为正方形的对角线之
一和另外一边。
2.椭圆的纵轴端点为它所包围正方形的中心连通它上下角的一条直线，椭圆的焦点在这
条直线上。
3.双曲线的渐近线为对应椭圆的渐近线的转置。
4.对于椭圆E的焦点F和双曲线H的焦距f，有e² = 1 + f² / b²。
把椭圆的参数a，b
换成双曲线的参数a，b，即可得到双曲线的离心率计算公式。
高中数学：圆锥曲线192条“超强”二级结论，衡水学生人手一份
高中数学：圆锥曲线192条“超强”二级结论，衡水学生人手
一份
最近有高三的同学给我留言说，数学考试看见问题没思路，找不到解题的突破口，感觉平时记忆的公式与定理无用武之地！该怎么办呢？
如果你也有这样的情况，接下往下看，这个问题出现主要有2个原因，一是刷题量不够，对题型把握不准确！二是平时刷题时不善于分析、总结！什么意思呢？
数学是一个严谨的学科，每道题每一句话都在告诉我们有用的信息，能否解题的关键在于你能否读懂隐藏的含义。
举个例子：圆锥曲线问题中出现
过圆x2 + y2 = a2 上任意不同两点A, B 作圆的切线, 如果切线垂直且相交于P
那么我们就能知道它的隐藏意思是：动点P 的轨迹为圆：x2 + y2 = 2a2 ，知道了这个，那么对于不需要步骤的选择题，我们就可以直接选出答案。
所以我们平时要善于总结这些隐藏的含义！积累得多了，考试对待小题就不会没思路了！下面是我给大家整理的《高中数学圆锥曲线192条结论》帮你看出隐藏条件，考试直接用！
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希望以上的总结能帮助大家。
圆锥曲线二级结论应用
圆锥曲线二级结论应用在学校的教室里，阳光透过窗户洒在课桌上，我正对着圆锥曲线的题目愁眉苦脸。
圆锥曲线就像是数学世界里的一群调皮捣蛋的小怪兽，总是让我头疼不已。
我的同桌，那个数学小天才小明，却一脸轻松自在。
他看我对着题目唉声叹气，忍不住凑了过来。
“怎么啦？又被圆锥曲线困住啦？”他挑了挑眉毛，眼睛里带着一丝调侃。
我无奈地叹了口气，指着题目说：“你看，这圆锥曲线的题，每次都要从头开始推导，计算量好大啊，感觉像在黑暗中摸索，找不到捷径。
”小明笑了笑，拍了拍我的肩膀说：“嘿，这你就不知道了吧。
圆锥曲线有很多二级结论，就像是隐藏的宝藏，要是能掌握并且运用它们，那可就像拥有了魔法一样，解题速度蹭蹭蹭就上去了。
”我瞪大了眼睛，好奇地问：“二级结论？那是什么呀？听起来好神秘。
”小明拿起笔，在纸上画了一个椭圆。
“你看啊，就拿椭圆来说。
有一个二级结论是关于椭圆上一点到焦点和准线的距离关系的。
如果我们知道这个结论，在遇到某些求距离或者离心率的题目时，就不用再按照常规方法一步一步推导了。
这就好比你要去一个地方，本来要绕很多路，但是有了这个结论就像给你开了一条直达的小道。
”他一边说，一边在纸上快速地写着公式和推导过程，我看着他那自信的样子，心里既羡慕又佩服。
“那双曲线和抛物线呢？也有这样的‘宝藏’吗？”我迫不及待地追问。
“当然有啦！”小明兴奋地提高了音量，“对于双曲线，有关于渐近线的二级结论。
你想啊，渐近线就像是双曲线的两条无形的边界，这个结论可以让我们快速判断双曲线的很多性质。
就好像双曲线是一艘船，渐近线就是它航行的轨道界限，知道了这个界限，关于这艘‘船’的很多问题就好解决了。
”说到抛物线，小明更是滔滔不绝。
“抛物线的二级结论在解决焦点弦问题的时候超级有用。
你可以把焦点弦想象成一把特殊的钥匙，而二级结论就是打开这把钥匙相关问题的锁的密码。
有了这个密码，原本复杂的计算就变得简单多了。
”我听着小明的讲解，感觉眼前仿佛打开了一扇新的大门。
圆锥曲线部分二级结论的应用-(学生版)
圆锥曲线部分二级结论的应用一、单选题1 •已知抛物线C:y2 =4x ,点D 2,0 ,E 4,0 ,M是抛物线C异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N ,连接MD , ND并分别延长交拋物线C于点P,Q，连接PQ ,若直线MN , PQ的斜率存在且分别为kι,k2,则邑=（），kιA. 4B. 3C. 2D. 12 22 .如图，设椭圆E :笃y^ =1 （a b 0）的右顶点为A ,右焦点为F，B为椭a b圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C ,若直线BF平分线段AC于M , 则椭圆E 的离心率是（）112 1A. B. C. D.—2 3 3 42 2X y3•已知F1∖F2是双曲线2 - 2=1（a 0,b 0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与a b双曲线的一条渐近线交于点M ,与双曲线交于点N ,且M、N均在第一象限，当直22线MR//ON时，双曲线的离心率为 e ,若函数f X =x 2x ,,则f e =（）XA. 1B. 3C. 2D. 54 •已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2 , P是它们的一个交点，且∙F1PF2 ,记31椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则丄的最大值是（）ee2A. 2 3B. - 3C. 2D. 33 35 .已知抛物线C : X2 =4y ,直线丨：y - T , PA, PB为抛物线C的两条切线，切点分别为代B ,则“点P在丨上”是“ PA _ PB ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 26 •已知A, B 分别为双曲线 C:笃-当=1 （ a ■ 0 , b ■ 0）的左、右顶点，点 P 为 a b 双曲线C 在第一象限图形上的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2,P 代PB, PO 的斜率分别为k 1,k 2,k 3 ,则k ιL k 2_ k 3的取值范围为（）2 4 4 1 A.B.C.D.—35728 •设双曲线C 的中心为点O ,若直线I I 和J 相交于点O ,直线I I 交双曲线于A 、Bl , 直线l 2交双曲线于A 2、B 2 ,且使AB l l = AB 2则称l 1和l 2为“ WW 直线对”.现有所 成的角为60°的“ WW 直线对”只有2对，且在右支上存在一点2 29 .设点P 为双曲线X 2-y 2 =1 （ a 0 , b 0）上一点，F 1, F 2分别是左右焦点,a b2 S - S = S 3则双曲线的离心率为（）A. 2B. -3C. 4D. 22 210 •已知直线y =χ∙1与双曲线 令-∕=1（a0,b 0）交于A,B 两点，且线段AB 的a b中点M 的横坐标为1 ,则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C. 2D.11 •已知双曲线 一— 的右顶点为，以为圆心，半径为一的圆与 双曲线 的某条渐近线交于两点，若-，则双曲线 的离心率的取值范围为（）A. 0,—B. (0√3 )C.I 9丿7 •设抛物线 2y =2x 的焦点为 F ,与抛物线的准线相较于点 C , BF03,3 D. 0,8M .3,0的直线与抛物线相交于 A,B 两点,=2 ,则. BCF 与 ACF 的面积之S BCF =()SACF则该双曲线的离心率的取值范围是（ A. 1,2B. 3,9) D. 2,31P ,使 PF 1 =2 PF 2 ,I 是APF I F 2的内心，若=IPF I ,IPF 2 ,IF 1F 2 的面积 S 1, S 2l S 3满足12 .已知是椭圆一一和双曲线一一的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为,则下列关系正确的是( )A. B.C. D.13 •椭圆—- 上存在个不同的点,椭圆的右焦点为,若数列是公差大于-的等差数列，则的最大值疋A. 13B. 14C. 15D. 162 2 2 2XV VX14 .连接双曲线—2=1和22 2=1（其中a,b 0 ）的四个顶点的四边形面积a b ba为S ,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则'的最小值为（）S lA. 42B. 2C. 43D. 315 •已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，点F2关于渐近线的对称点P恰好落在以F1为圆心、OR为半径的圆上，则双曲线的离心率为（16 .已知抛物线y2 =2px ,直线丨过抛物线焦点，且与抛物线交于 A , B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.不确定2 217 .椭圆V T =1（a b 0）上一点A.关于原点的对称点为B, F为其右焦点，若a bΓππ7AF _ BF ,设.ABF =〉，且，，则该椭圆离心率的取值范围为（）_12 4A. B. C. D.A. 3B. 3C. 2D. 、218.已知双曲线C : x 2 — y 2=1( a ■ 0 , b 0)的顶点a,0到渐近线y = X 的 a b a距离为-,则双曲线C 的离心率是()2A. 2B. 3C. 4D. 519 •已知点R(X 1,y ι ), P 2(X 2,y 2 ), P3(X 3,y 3 ), R(X 4,y 4 ), R(X 5,y 5 ),R X e , y θ是抛物线 C:y 2 =2px ( P 0 )上的点，F 是抛物线 C 的焦点，若RF +∣P 2F + PF I+∣P 4F. + R 5F' + RF =36 ,且为 +x ； +x +4x ⅛x ^⅛x =24 ,则抛物线C 的方程为()2 2 2 2A. y=4xB. y =8xC. y =12xD. y=16x.2 . 3 2 A.B.C.—3332 2X V21 .已知双曲线 C ：r 2=1 ( a 0,b0 )的右焦点为F ,以双曲线C 的实轴为a bK直径的圆’11与双曲线的渐近线在第一象限交于点 P ,若k FP - - -，则双曲线C 的渐近a线方程为()A. y = XB. y = 2xC. y = 3xD. y = 4x2 222.已知斜率为3的直线丨与双曲线C: JX ^--V 2a 0,b 0交于A lB 两点，若点a bP 6,2 , 是 AB 的中点，则双曲线 C 的离心率等于(A. ,2B. .3C. 2D. 2、2二、填空题2 223 •若R 0(x 0, y 0)在椭圆 令 y ^ = 1( a >b >0)外，则过P)作椭圆的两条切线的切点为a b20.已知A , B 是椭圆E ：2 2 X y22 = 1ab(a > b > 0)的左、右顶点,M 是E 上不同于A ,B 的任意一点，若直线 4AM BM的斜率之积为=,则E 的离心率为(2 2bP l, P2,则切点弦PP2所在直线方程是学+缨=1.那么对于双曲线则有如下命题：a b2 2V V若F b(X0, y o)在双曲线—2= l(a>0, b>0)外，则过R作双曲线的两条切线的切点a b为P, F2,则切点弦PF2所在的直线方程是 _________ .2 224.已知F i、F2分别为双曲线笃一爲=1 ( a 0 , b 0)的左、右焦点，点a bP为双曲线右支上一点，M为APF i F2的内心，满足S MPF^ S MPF^ ■ S-MF1F2,若该双曲线的离心率为3,则一______________ (注: S-MPF1、S-MPF2、S-MF1F2分别为. MPF1、.:MPF2、MF1F2的面积).25 •设抛物线y2 =2x的焦点为F ,过点M 、、3,0的直线与抛物线相交于A, B两点，与抛物线的准线相交于点 C , BF∣=2 ,贝U心BCF与心ACF的面积之比S^CF =S出CF 26.设抛物线y2=2px ( P 0)的焦点为F ,准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点，分别过A,B作l的垂线，垂足C,D.若AF =2 BF ,且三角形CDF的面积为√2 ,则P的值为 ______________ .227 •已知抛物线y =2 PX的准线方程为X - -1 ,焦点为F, A, B,C为抛物线上不同的三点，FATFBTFC成等差数列，且点B在X轴「F方，右FA + F^+ FC = 0 ,则直线AC的方程为__________ .28 .已知双曲线的方程为一一，其左、右焦点分别是，已知点坐标，满足PF1 ∙MF1 F2F√∙MF1双曲线上点PF1F2F129 .给出下列命题：①设抛物线y2=8x的准线与X轴交于点Q ,若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线I的斜率的取值范围为∣-1,11；②A, B是抛物y2 =2px(p 0)上的两点，且OA —OB ,则IA B两点的横坐标之积22③斜率为1的直线I 与椭圆 y 2 =1相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为 把你认为正确的命题的序号填在横线上 ____________ •30•已知抛物线y 2 =2px(p 0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1, I 2,11与抛物线交于P ) Q 两点，∣2与抛物线交于M, N 两点，设∣1的斜率为k •若某同学已正确求得 弦PQ 的中垂线在 y 轴上的截距为 空,则弦MN 的中垂线在 y 轴上的截距k k 3为 ______________ •31 .如图，已知抛物线的方程为X 2 =2 Py(P 0),过点A 0,-1作直线I 与抛物线相B 的坐标为 0,1 , 连接BP l BQ ,设QB l BP 与X 轴分别相交于33 •若等轴双曲线 的左、右顶点分别为椭圆—— 的左、右焦点，点是双曲线上异于 的点，直线的斜率分别为，则________2 234 •已知''为椭圆 —11的两个焦点，过J 的直线交椭圆于 A 、B 两点，若25 16ImI 屮】恥】2,则期I = ________________Ti iX i =—35 •过抛物线’ 的焦点'的直线交抛物线于两点，且i '在直线上的射影分别是，则MFw 的大小为 _____________________________交于P,Q 两点，点 上，且位于 轴的两侧，O 是坐标原点，若 为 ________ .,则点A 到动直线MN 的最大距离的大小等于.M , N 在抛物线C。
二级结论在圆锥曲线解题中的应用赏
2
2
43
C.
3
B.
2
)
。
的左 焦 点 为 F
',连 接 AF
',
图1
因 为 以 AB 为 直 径 的 圆
BF
',
,所 以
恰好 经 过 双 曲 线 的 右 焦 点 F (
c,
0)
2
S△AF'F =2
a ,且 ∠F
'AF =
π
,根 据 双 曲 线 焦
2
则两焦半径
B 两点,
1
1
2
p
, p
,
长为
且有
+
= ,
1-c
o
sθ 1+c
o
sθ
|
AF| |
BF| p
2
p
p 。
|
AB|= 2 ,
S△AOB =
2
s
i
nθ
s
i
nθ
2
例 5
2
2
x
y
已 知 椭 圆 Γ: 2 + 2 =1(
a>
a
b
的长轴 是 短 轴 的 2 倍,过 右 焦 点 F 且
b>0)
斜率为k(
的直线与椭圆 Γ 相交于 A ,
2 4
解析:
由对称弦结论知 kPA ·kPA =e2 1
22Biblioteka 的左、右 焦 点,B、
C 分别为椭
)
。
那么直线 PA1 的斜率的取值范围是(
=
b
a
2
3
3
λ-1
。又 λ=3,由 e=
圆锥曲线中常用的二级结论+课件-2024届高三数学二轮复习
b4 a2
+
4c2
=
16 ，
将 c2 = a2 + b2 代入上式化简可得 b2 = 4a − a2 = − a − 2 2 + 4 ，
∴ 当 a = 2 时， b2 取得最大值，最大值为4，
∴ c2 = 4 + 4 = 8 ， ∴ a = 2 ， c = 2 2 ，
∴
双曲线的离心率
e
=
c a
=
2.
.
3.过抛物线 y2 = 2px p > 0 的焦点 F 且倾斜角为 θ 的直线交抛物线于 A ， B 两点，
则两焦半径长分别为 p ， p ， 1
1−cos θ 1+cos θ AF
+
1 BF
= 2，
p
AB
=
2p sin2θ
，
S△AOB
=
p2 2sin
θ
.
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
3
一、圆锥曲线的通径
1.椭圆通径:过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为
2b2 a
.
2.双曲线通径:过焦点且与实轴垂直的弦，通径长为
2b2 a
.
3.抛物线通径:过焦点且与其对称轴垂直的弦，通径长为 2p .
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
∠NGA = ∠NGB .
3.已知抛物线 y2 = 2px p > 0 ,过抛物线对称轴上任意一点 N a, 0 的一条弦端点
A , B 与对应点 G −a, 0 的连线所成的角被对称轴平分，即 ∠OGA = ∠OGB .
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论高中数学圆锥曲线常用的二级结论在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，而其中有一些常用的二级结论，能够帮助我们更高效地解决相关问题。
首先，我们来谈谈椭圆中的常用二级结论。
对于椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），有这样一个结论：过椭圆焦点的弦长公式。
假设弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛a^2c^2\cos^2\theta}＼）。
这个结论在求解与椭圆弦长相关的问题时非常有用。
再看双曲线，对于双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\），也有一个类似的过焦点弦长公式。
若弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛｜a^2 c^2\cos^2\theta|｝＼）。
接着说抛物线，以抛物线\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\））为例。
有这样一个结论：抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
假设点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线上，那么点\（P\）到焦点的距离就是\（x_0 ＋＼frac{p}｛2}＼）。
还有一个与抛物线相关的重要结论：若直线与抛物线相交于两点\（A(x_1, y_1)＼），＼（B(x_2, y_2)＼），且直线的方程为\（y ＝ kx＋ b\），联立抛物线方程可得\（k^2x^2 ＋（2kb 2p)x ＋ b^2 ＝ 0\），则\（x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{2p 2kb}｛k^2}＼），＼（x_1x_2 ＝＼frac{b^2}｛k^2}＼）。
接下来，我们深入探讨一下椭圆中与焦点三角形有关的结论。
焦点三角形是指以椭圆的两个焦点\（F_1\），＼（F_2\）以及椭圆上一点\（P\）所构成的三角形。
圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总(学生版)
圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总题型1圆锥曲线通径二级结论题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论题型1圆锥曲线通径二级结论椭圆，双曲线的通径长AB=2b2 a.1(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F c,0的弦中最短弦长是()A.2b2a B.2a2bC.2c2aD.2c2b【变式训练】1(2021秋·河北邯郸·高三校考阶段练习)已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()A.53B.32C.22D.332(2023秋·四川内江·高三期末)椭圆x24+y23=1的焦点为F1、F2，点M在椭圆上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.65B.3 C.113D.37113(2022·全国·高三专题练习)过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y216-x29=1的通径长是()A.94B.92C.9D.104(2022·全国·高三专题练习)抛物线y2=4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为．5(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C 相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p=．6(2023·全国·高三专题练习)过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且AB=23，则这样直线的条数为()A.0B.1C.2D.3题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论1．F1 , F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF2的周长为4a．2.F1, F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF1的周长为4a．注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．1(2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F1，过F1的直线交椭圆于A , B两点，求△ABF2的周长．【变式训练】1在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1作直线l交C于A,B两点，且ΔABF2的周长为16，那么C的方程为．2椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()A.33B.13C.23D.633(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为43，离心率为12，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长为()A.4B.5C.16D.324(2020下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ,B 两点，交y 轴于点C ，若F 1，C 是线段AB 的三等分点，△F 2AB 的周长为45，则椭圆E 的标准方程为()A.x 25+y 24=1B.x 25+y 23=1C.x 25+y 22=1D.x 25+y 2=15(2014·全国·高考真题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A ,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为()A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1C.x 212+y 28=1D.x 212+y 24=16古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，其面积为43π，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于点A ，B 且△F 2AB 的周长为16，则椭圆C 的方程为()A.y 216+x 23=1 B.y 216+x 212=1C.x 216+y 212=1D.x 216+y 23=17(2014·安徽·高考真题)设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y b 22=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|(1)若|AB |=4,ΔABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B =35，求椭圆E 的离心率.8(2022·全国·高三专题练习)已知直线l 经过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点(1，0)，交椭圆C 于点A ，B ，点F 为椭圆C 的左焦点，△ABF 的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆C 于点M ，N ，MN 2=4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点P 在定直线上．题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)同支问题：F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线同支于A , B 两点，且AB =m ，则△ABF 2的周长为4a +2m ．证明：由双曲线的第一定义知，AF 2 -AF 1 =2a ①，BF 2 -BF 1 =2a ②，又AF 1 +BF 1 =m ③，由①②③，得AF 2 +BF 2 =4a +m , ∴AB +AF 2 +BF 2 =4a +2m ，即△ABF 2的周长为4a +2m ．1(2022·全国·高三专题练习)椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.52如图双曲线C:x2-y23=1的焦点为F1､F2，过左焦点F1倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点．(1)求弦长AB的值；(2)求△ABF2的周长．3已知双曲线的左、右焦点分别为F1､F2，在左支上F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.54如果F1、F2分别是双曲线x216-y29=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则ΔABF2的周长是5(2022·全国·高三专题练习)若F1,F2分别是双曲线x2m-y27=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=4，△ABF2的周长是20，则m=．6已知双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为π6的弦AB ．求：(1)AB 的长；(2)△F 2AB 的周长．7已知双曲线C 经过点P 3,2 ，它的两条渐近线分别为x +3y =0和x -3y =0.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左､右焦点分别为F 1､F 2，过左焦点F 1作直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，求△ABF 2周长的取值范围.题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)双曲线异支焦点弦三角形周长【结论3】如图，F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线C 右支、左支分别交于A , B 两点，且AB =m ，则焦点弦三角形F 1AB 的周长：C ΔF 1AB =m +m m +2b 2a．证明：令AF 2 =u , BF 2 =v ，则AF 1 =2a +u , BF 1 =v -2a ，ΔF 1AB 的半周长s =v ，由秦九韶-海伦公式得S ΔFAB =s s -AB s -AF 1 s -BF 1 =2a m -2a uv ．又cos ∠AF 2F 1=cos ∠BF 2F 1，由余弦定理推论，得u 2+4c 2-2a +u 22u ⋅2c =v 2+4c 2-v -2a 22v ⋅2c ，∴b 2-au u =b 2+av v , ∴b 2u -b 2v =2a , ∴uv =b 2v -u 2a =b 2m 2a ，将u =v -m 代入uv =b 2m2a，得v -m v =b 2m 2a ，解这个关于v 的一元二次方程，得v =12m +m m +2b 2a ．又ΔF 1AB 的半周长s =v ，因此异支焦点弦三角形F 1AB 的周长C ΔF 1AB =m +m m +2b 2a．1(2021·浙江·统考一模)如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若AB ∶BF 2∶ AF 2 =3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.2B.15C.13D.3【变式训练】1(2021下·安徽安庆·高三校联考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若△ABF 2为边长为4的等边三角形，则△AF 1F 2的面积为()A.23B.33C.43D.632(2021·高三课时练习)已知双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M 0,2 ，则△PFM 的周长的最小值为()A.2+42B.4+22C.32D.26+33已知F 1、F 2分别是双曲线x 23-y 26=1的左右焦点，过右焦点F 2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点．(Ⅰ)求线段AB 的长；(Ⅱ)求△AF 1B 的周长．题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，不妨设AF >BF ，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线半通径为p =b 2a，则AF =p 1-e cos θ , BF =p 1-e cos θ+π =p 1+e cos θ , ∴AB =AF +BF =2p1-e 2cos 2θ，即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：AF =p 1-e cos θ , BF =p 1+e cos θ , ∴AB =2p1-e 2cos 2θ①.二级结论2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F 1 , F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2p 1-e 2cos 2θp =b 2a；(2)F 1 , F 2为椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的上、下焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2sin 2θ=2p 1-e 2sin 2θp =b 2a．说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为椭圆的通径，通径长AB =2b 2a．圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p =2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB =2p1-e 2cos 2θ焦点在x 轴上2p1-e 2sin 2θ焦点在y 轴上．1(2022·全国·高三专题练习)如图，F 1 , F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，求弦长AB ．【变式训练】1经过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB的长.2(2022上·全国·高二专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为33，过椭圆的右焦点且斜率为12的直线与椭圆交于A ，B 两点，则△AOB (其中O 为原点)的形状为.3(2022上·全国·高三专题练习)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2，斜率为12的直线l 过左焦点F 1且交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为e ∈12,34，则线段AB 的长度的取值范围是4(2022·全国·高三专题练习)过椭圆3x 2+4y 2=48椭圆的左焦点引直线交椭圆于A ，B 两点，|AB |=7，求直线方程．5(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 29+y 28=1的左右焦点分别为F 1 , F 2，若过点P 0，-2 及F 1 的直线交椭圆于A ，B 两点，求△ABF 2的面积.6(2023·四川广安·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点F 与椭圆x 225+y 216=1的右焦点重合．斜率为k k >0 直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若AF =3BF ，则直线l 的方程是()A.3x -y -33=0B.43x -4y -33=0C.3x -y -9=0D.x -3y -3=0题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与双曲线C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ =2p 1-e 2cos 2θ p =b 2a ．(2)F 1 , F 2为双曲线C :y 2a2-x 2b 2=1a >0 , b >0 的上、下焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与双曲线C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2sin 2θ =2p 1-e 2sin 2θ p =b 2a ．说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为双曲线的通径，通径长2p =2b 2a．圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p =2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB =2p1-e 2cos 2θ焦点在x 轴上2p1-e 2sin 2θ焦点在y 轴上．1(2022·全国·高三专题练习)设双曲线x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 ，其中两焦点坐标为F 1-c ,0 F 2c ,0 ，过F 1的直线l 的倾斜角为θ，交双曲线于A ，B 两点，求弦长AB ．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 24-y 28=1的右焦点F 作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．2(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为150°直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．3(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 24-y 28=1的右焦点F 作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．4(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长AB ．5(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线x 23-y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，若过点P (0，-2)及F 1的直线交双曲线于A ，B 两点，求△ABF 2的面积题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：1.抛物线的焦点弦长：AB =2psin 2θ焦点在x 轴上2pcos 2θ焦点在y 轴上．2.过抛物线y 2=2px (p >0)焦点的直线交抛物线于A ,B 两点，则：y A y B =-p 2,x A x B =p 24.(焦点在y 轴上的性质对比给出.)引伸：M (a ,0)(a >0)在抛物线y 2=2px (p >0)的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点.A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y 1,y 2=-2pa (定值).3.|AB |=2p sin 2α(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=x 1+x 2+p (焦点在cos θ =λ-1λ+1 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为2p )最短.4.AF =λBF ，则有cos θ|=|λ-1λ+1|,AF =p 1-cos θ，BF =p 1+cos θ(θ为直线与焦点所在轴的夹角).1(2022·全国·高三专题练习)如图，抛物线y 2=2px p >0 与过焦点F p2,0的直线l 相交于A ,B 两点，若l 的倾斜角为θ，求弦长AB ．【变式训练】1(2020·山东·统考高考真题)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =．2已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2，直线l 1与C 交于A ,B 两点，直线l 2与C 交于D ,E 两点，则AB +DE 的最小值为()A.16B.14C.12D.103(2021上·江西·高三校联考阶段练习)过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 作倾斜角为θθ≠π2的直线，交抛物线于A ,B 两点，当θ=π3时，以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T 0,3 .(1)求抛物线的方程；(2)试问在x 轴上是否存在异于F 点的定点P ，使得FA ⋅PB =FB ⋅PA 成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.4(2020·四川遂宁·统考二模)过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 作直线交抛物线于M ，N 两点(M ，N 的横坐标不相等)，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若MN =40，则HF =()A.14B.16C.18D.205设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A , B 两点.若|AF |=3|BF |，则l 的方程为()A.y =x -1或y =-x +1B.y =33(X -1)或y =-33(x -1)C.y =3(x -1)或y =-3(x -1)D.y =22(x -1)或y =-22(x -1)6(2022·全国·高三专题练习)已知点F 和直线l 是离心率为e 的双曲线C 的焦点和对应准线，焦准距(焦点到对应准线的距离)为p ．过点F 的弦AB 与曲线C 的焦点所在的轴的夹角为θ0°<θ≤90° ，则有．题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论一．椭圆的焦半径及其应用：1.焦半径公式：Px 0，y 0是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1 , F 2是左、右焦点，e 椭圆的离心率是则,PF 1=a +ex 0,PF 2=a -ex 0，Px 0，y 0是椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1 , F 2是上、下焦点，e 椭圆的离心率是则,PF 1=a -ey 0,PF 2=a +ey 0，2.椭圆的坐标式焦点弦长公式：(1)椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点弦长公式：AB =2a +e x A +x B (过左焦点)；AB =2a -e x A +x B (过右焦点)，即AB =2a -e x A +x B ；(2)椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的焦点弦长公式：AB =2a -e y A +y B (过上焦点)；AB =2a +e y A +y B (过下焦点)，即AB =2a -e y A +y B ．二．双曲线的焦半径及其应用：1:定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.2.当点P 在双曲线上时的焦半径公式，(其中F 1 为左焦点，F 2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中a 是实半轴长，e 是离心率，x 0是P 点的横坐标.当焦点在x 轴，P 在左支时：PF 1=-(ex 0+a ),PF 2=-(ex 0-a ).当焦点在x 轴，P 在右支时：PF 1=ex 0+a ,PF 2=ex 0-a .当焦点在y 轴:P 在上支时：PF 1=ey 0+a ,PF 2=ey 0-a当焦点在y轴:P在下支时：PF1=-(ey0+a),PF2=-(ey0-a)三．双曲线的坐标式焦点弦长公式：(1)双曲线x2a2-y2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：同支弦AB=e x A+x B-2a=2ab21+k2a2k2-b2；异支弦AB=2a-e x A+x B=2ab21+k2b2-a2k2，统一为：AB=e x A+x B-2a =2ab21+k2a2k2-b2；(2)双曲线y2a2-x2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：同支弦AB=e y A+y B-2a；异支弦AB=2a-e y A+y B，统一为：AB=e y A+y B-2a．1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，若过左焦点的直线交椭圆于A , B两点，求AB．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x22+y21=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P0,-2及F1的直线交椭圆于A，B两点，求AB．2(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x249+y213=1，若过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B两点的横坐标之和是-7，求AB．3(2022·全国·高三专题练习)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其中两焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论抛物线的坐标式焦点弦长公式：(1)抛物线y2=2px p>0的焦点弦长公式：AB=p+x A+x B；(2)抛物线y2=-2px p>0的焦点弦长公式：AB=p-x A+x B；(3)抛物线x2=2py p>0的焦点弦长公式：AB=p+y A+y B；(4)抛物线x2=-2py p>0的焦点弦长公式：AB=p-y A+y B．1(2021·河北·高三专题练习)过抛物线y2=2px p>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=.【变式训练】1(2023·北京·人大附中校考三模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，AB=10，AB的中点横坐标为4，则p=．2(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，则过点F且斜率为3的直线l截抛物线C所得弦长为()A.223B.163C.193D.833题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．【变式训练】1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，经过F 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆相交于不同两点A ,B ，已知AF =2FB．(1)求椭圆的离心率；(2)若|AB |=154，求椭圆方程．4(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.322(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为433，过左焦点F 且斜率为k >0的直线交C 的两支于A ,B 两点．若|FA |=3|FB |，则k =．3(多选)(2022·辽宁沈阳·统考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2的直线与双曲线右支交于P ，Q 两点，且PF 1 =2PF 2 ，下列说法正确的是()A.PF 2 与双曲线的实轴长相等B.e ∈1,3C.若P 在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为y =±4xD.若PF 1 =QF 2 ，则直线PQ 的斜率为±424(2021·四川成都·石室中学校考三模)已知直线经过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 并交抛物线于A ，B 两点，则AF =4，且在抛物线的准线上的一点C 满足CB =2BF，则p =.5(2020·全国·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (3,1)，且左、右顶点分别为A 1,A 2，左焦点为F 1，上、下两个顶点分别为B 1,B 2,0为坐标原点，△A 1B 1F 1与△OA 2B 2面积的比值为3-63．(1)求C 的标准方程；(2)过F 1且斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点，点D 在y 轴上，且满足PD =QD ，已知E (0,-2)，求△EPQ 与△A 2OD 面积比值的最小值．6(2021·江西新余·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=a 2,F 1(-1,0),F 2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 1且倾斜角为α∈0,π2的动直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，交圆O 于P ,Q 两点(如图所示)，当α=π4时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 和椭圆C 的方程(2)若点M 是圆O 上一点，求当AF 2,BF 2,AB 成等差数列时，△MPQ 面积的最大值．7(2020·安徽蚌埠·统考一模)已知M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点，F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，且F 1F 2 =2，∠F 1MF 2=π3，△F 1MF 2的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过椭圆C 右焦点F 2，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ (O 为坐标原点)交椭圆于P ，记△AOQ 的面积为S 1，△BPQ 的面积为S 2，若S 2=3S 1，求直线l 的方程．8(2010·全国·高考真题)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C于点D ，且BF =2FD，则C 的离心率为9(2010·全国·高考真题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点．若AF =3FB，则k =()A.1B.2C.3D.210(2009·全国·高考真题)已知双曲线C :χ2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.65B.75C.85D.9511(2023·全国·统考高考真题)(多选)设O 为坐标原点，直线y =-3x -1 过抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则()．A.p =2B.MN =83C.以MN 为直径的圆与l 相切D.△OMN 为等腰三角形。
圆锥曲线中二级结论的应用 解析版
圆锥曲线中二级结论的应用圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．知识导图考点分类讲解 焦点弦问题1.已知F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与椭圆(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为椭圆的离心率，p 为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p =a 2c -c =b 2c.(1)椭圆焦半径公式：|AF 1|=ep 1-e ·cos α，|BF 1|=ep 1+e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.(3)焦点三角形的面积公式：P 为椭圆上异于长轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2·tan θ2.2.已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与双曲线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为双曲线离心率，p 为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p =c -a 2c =b 2c.图1 图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF 1|=ep 1+e ·cos α，|BF 1|=ep 1-e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF 1|=ep e ·cos α+1，|BF 1|=ep e ·cos α-1，1|AF 1|-1|BF 1|=2ep.(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.若直线与双曲线交于两支，则|AB |=||AF 1|-|BF 1||=2epe 2·cos 2α-1.(3)焦点三角形的面积公式：P 为双曲线上异于实轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2tan θ2.3.已知直线l 过焦点F 与抛物线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AFx =α，e 为抛物线离心率，p 为抛物线的焦点到对应准线的距离．(1)抛物线焦半径公式：|AF |=ep 1-e ·cos α=p 1-cos α，|BF |=ep 1+e ·cos α=p 1+cos α，1|AF |+1|BF |=2ep =2p.(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB |=|AF |+|BF |=2ep 1-e 2·cos 2α=2psin 2α.4.焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F 的直线交曲线于A ，B 两点，直线AB 的倾斜角为α，AF =λFB ，则曲线的离心率满足等式|e cos α|=λ-1λ+1 .易错提醒 (1)要注意公式中α的含义．(2)公式中的加减符号易混淆．(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．1(23-24高三上·北京海淀·阶段练习)已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，A ，B 两点在C 上，AF =2，BF =5，则直线AB 斜率的最小值和最大值分别是()A.-23，23B.-23，2 C.-2，23D.-2，2【答案】D【分析】利用焦半径公式求得A ，B 两点坐标，从而得到直线AB 斜率的情况，由此得解.【详解】由题意知F 1,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则由AF =2，得x 1+1=2，得x 1=1，代入C ：y 2=4x ，得y 1=±2，所以A 1,2 或A 1,-2 ；由BF =5，得x 2+1=5，得x 2=4，代入C ：y 2=4x ，得y 2=±4，所以B 4,4 或B 4,-4 ；所以直线AB 斜率有4-24-1=23,4+24-1=2,-4-24-1=-2,-4+24-1=-23四种情况，则直线AB 斜率的最小值为-2，最大值为2.故选：D .2(22-23高三上·四川广安·阶段练习)双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为y =-3x ，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F 2的距离最小值为3，则双曲线方程为()A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.x 29-y 23=1D.x 23-y 29=1【答案】B【分析】求出双曲线左支上的点到F 2的距离最小值，可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程.【详解】双曲线左支上一点为P x 0,y 0 ，则x 0≤-a ，且y 20=b 2x 20a2-b 2，则PF 2 =x 0-c2+y 20=x 20-2cx 0+c 2+b 2x 20a2-b 2=c 2x 20a2-2cx 0+a 2=a -ca x 0≥a +c ，则a +c =3，由已知可得b a =3a +c =3b 2=c 2-a 2，解得a =1b =3c =2，因此，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：B .3(2024·江苏·一模)已知抛物线E ：x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 1交E 于点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，E 在B 处的切线为l 2，过A 作与l 2平行的直线l 3，交E 于另一点C x 3,y 3 ，记l 3与y 轴的交点为D ，则()A.y 1y 2=1B.x 1+x 3=3x 2C.AF =DFD.△ABC 面积的最小值为16【答案】ACD【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线l 1的方程为y =kx +1，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出y 1y 2=1；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到x 1+x 3=2x 2；C 选项，求出D 0,y 1+2 ，DF =y 1+1，结合焦半径公式求出AF =y 1+1，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到S △ABC =2S △ABM ，表达出S △ABM ，利用基本不等式求出最小值，从而得到△ABC 面积最小值.【详解】A 选项，由题意得F 0,1 ，准线方程为y =-1，直线l 1的斜率存在，故设直线l 1的方程为y =kx +1，联立x 2=4y ，得x 2-4k -4=0，x 1x 2=-4，故y 1y 2=116x 21x 22=1，A 正确；B 选项，y =12x ，直线l 2的斜率为12x 2，故直线l 3的方程为y -y 1=x 22x -x 1 ，即y =x 22x +y 1+2，联立x 2=4y ，得x 2-2x 2x -2y 1+2 =0，故x 1+x 3=2x 2，所以B 错误；C 选项，由直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，令x =0得y =x22-x 1 +y 1，又x 1x 2=-4，所以y =y 1+2，故D 0,y 1+2 ，故DF =y 1+1，又由焦半径公式得AF =y 1+1，所以C 正确；D 选项，不妨设x 1<x 2，过B 向l 3作垂线交l 3于M ，根据B 选项知，x 1+x 3=2x 2，故S △ABC =2S △ABM ，根据直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，当x =x 2时，y =x 22x 2-x 1 +y 1=x 222+y 1-x 1x 22=x 222+y 1+2，故M x 2,x 222+y 1+2，故BM =x 222+y 1+2-y 2=x 222+x 214-x 224=x 214+164x 21+2=14x 1+4x 12，故S △ABM =12x 1-x 2 ⋅14⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 1⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 13≥182x 1⋅4x 13=8，当且仅当x 1=4x 1，即x 1=2时，等号成立，故△ABC 的面积最小值为16，D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．4已知双曲线x 2-y 2=2，点F 1，F 2为其左、右焦点，点P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为()A.2B.22C.3D.23【答案】 D【解析】方法一 设θ=∠F 1PF 2=60°，则S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin θ，而cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，且||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，所以|PF 1||PF 2|=2b 21-cos θ，故S △F 1PF 2=b 2sin θ1-cos θ=2 3.方法二 双曲线焦点三角形的面积S △F 1PF 2=b 2tan θ2=2 3.考点二等角的性质1.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过长轴上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应的点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA =∠OGB (如图1)．图1 图2 图32.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，过实轴所在直线上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA =∠NGB (如图2)．3.已知抛物线y 2=2px (p >0)，过抛物线对称轴上任意一点N (a ,0)的一条弦的端点A ，B 与对应点G (-a ,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA =∠OGB (如图3)．规律方法 根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．1(23-24高三上·天津南开·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆方程；(2)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(3)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x28+y24=1(2)面积最大值为22，直线PQ:x+y+6=0或x-y+6=0(3)存在，S-463,0【分析】(1)由焦距是4求出c，将-2,2代入椭圆方程求出a,b，得到答案；(2)根据题意设直线PQ:x=my-6，与椭圆方程联立可得y1+y2,y1y2，由S△OPQ=12×OT×y1-y2，代入运算化简，利用不等式求出△OPQ面积的最大值；(3)根据题意有k PS+k QS=0，转化为2my1y2-6+sy1+y2=0，由第二问代入运算得解.【详解】(1)由题意，c=2，将点-2,2代入椭圆方程得a2-b2=44a2+2b2=1 ，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)根据题意知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ:x=my-6，P x1,y1，Q x2,y2，联立x=my-6x28+y24=1，消去x整理得m2+2y2-26my-2=0，∴y1+y2=26mm2+2，y1y2=-2m2+2，且Δ=32m2+16>0，∴S△OPQ=S△OTP+S△OTQ=12×OT×y1-y2=62×y1+y22-4y1y2=26×2m2+1m2+2，令t=2m2+1，t≥1，∴S△OPQ=46tt2+3=46t+3t≤4623=22，当且仅当t=3t，即t=3，即m=±1时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为22，此时直线PQ的方程为x+y+6=0或x-y+6=0.(3)在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST ，理由如下：因为∠PST =∠QST ，所以k PS +k QS =0，即y 1x 1-s +y 2x 2-s=0，整理得y 1x 2-s +y 2x 1-s =0，即y 1my 2-6-s +y 2my 1-6-s =0，即2my 1y 2-6+s y 1+y 2 =0，则2m ×-2m 2+2-6+s×26m m 2+2=0，又m ≠0，解得s =-463，所以在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST .2(2024·云南昆明·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a2-y 23=1a >0 的右焦点为F 2c ,0 ，一条渐近线方程为y =23cx ．(1)求双曲线E 的方程；(2)是否存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，15x ±5y -215=0．【分析】(1)根据渐近线方程和c 2=a 2+b 2求a ,c 的值，即可得到双曲线E 的方程；(2)假设存在直线l ，由∠F 1AB =∠F 1BA 得F 1A =F 1B ，取AB 的中点M ，则k F 1M ⋅k MF 2=-1，进而得x 20+y 20=4；又利用x 21-y 213=1x 22-y 223=1得y 20=3x 20-6x 0，于是联立方程组可得M 的坐标，从而得到直线l 的斜率并得出直线l 的方程.【详解】(1)因为双曲线E 的一条渐近线方程为y =23c x ，所以b a =23c，又b 2=3，因此c =2a ，又a 2+b 2=c 2，a =1，c =2；则E 的方程为x 2-y 23=1．(2)假设存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点为M x 0,y 0 ，又F 1-2,0 ,F 22,0 ，由∠F 1AB =∠F 1BA 可知△F 1AB 为等腰三角形，F 1A =F 1B ，且直线l 不与x 轴重合，于是F 1M ⊥AB ，即F 1M ⊥MF 2，因此k F 1M ⋅k MF 2=-1，y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=-1，x 20+y 20=4(Ⅰ)点A ,B 在双曲线E 上，所以x 21-y 213=1①x 22-y 223=1②，①-②化简整理得：y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，y 0x 0⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，即k OM ⋅k AB =3，可得y 0x 0⋅y 0x 0-2=3，y 20=3x 20-6x 0(Ⅱ)联立(Ⅰ)(Ⅱ)得：x 20+y 20=4y 20=3x 20-6x 0 ，2x 20-3x 0-2=0，x 0-2 2x 0+1 =0，解得x 0=2y 0=0 (舍去)，x 0=-12y 0=±152适合题意，则M -12,±152 ；由k OM ⋅k AB =3得k AB =3×±115=±155，所以直线l 的方程为：y =±155x -2 ，即15x ±5y -215=0．3(23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试)已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24+y 23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P 4,0 ，交抛物线D 于A 、B 两点，坐标原点O 为PQ 中点，求证：∠AQP =∠BQP ；(3)是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析(3)存在，x =3【分析】(1)由题意，设抛物线方程y 2=2px (p >0),由a 2-b 2=4-3=1，得c =1.由此能求出抛物线D 的方程；(2)设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ,故当l ⊥x 轴时由抛物线的对称性知∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，由此能够证明∠AQP =∠BQP .(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，故|EG |2=|MG |2-|ME |2，由此能够推出存在直线m ：x =3满足题意．【详解】(1)由题意，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)．由a 2-b 2=4-3=1，得c =1．∴抛物线的焦点为1,0 ，∴p =2．∴抛物线D 的方程为y 2=4x (2)证明：设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，则x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2x 1x 2=16则k AQ =y 1x 1+4=k x 1-4 x 1+4，k BQ =y 2x 2+4=k x 2-4 x 2+4k AQ +k BQ =k x 1-4 x 1+4+k x 2-4 x 2+4=2k x 1x 2-16x 1+4 x 2+4=0则∠AQP =∠BQP ，综上证知，∠AQP =∠BQP ，(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，∴|EG |2=|MG |2-|ME |2，即EG 2=MA 2-ME 2=x 1-42+y 214-x 1+42-t2 =14y 21+x 1-4 2+x 1+4 24+t x 1+4 -t 2=x 1-4x 1+t (x 1+4)-t 2=t -3 x 1+4t -t 2，当t =3时，|EG |2=3，此时直线m 被以AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值2 3.因此存在直线m ：x =3满足题意.4椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为26.(1)求椭圆C 的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解 (1)∵e=2 2，e2=c2a2=12，∴a2=2c2=b2+c2，∴b2=c2，a2=2b2，椭圆方程化为x22b2+y2b2=1，由题意知，椭圆过点6，1，∴6 2b2+1b2=1，解得b2=4，a2=8，∴椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，由x2+2y2=8，y=kx+1，得(2k2+1)x2+4kx-6=0，Δ=16k2+24(2k2+1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-62k2+1，假设存在定点Q(0，t)(t≠1)符合题意，∵∠PQA=∠PQB，∴k QA=-k QB，∴k QA+k QB=y1-tx1+y2-tx2=x2y1+x1y2-t(x1+x2)x1x2=x2(kx1+1)+x1(kx2+1)-t(x1+x2)x1x2=2kx1x2+(1-t)(x1+x2)x1x2=2k+(1-t)-4k-6=2k(4-t)3=0，∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4-t =0，即t =4，∴Q (0,4)，当直线l 的斜率不存在时，A ，B (不妨设点A 在x 轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，-2)，显然此时∠PQA =∠PQB ，综上，存在定点Q (0,4)满足题意．考点三切线、切点弦方程1.已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2+y 0yb 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0yb 2=1.2.若点P (x 0，y 0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P (x 0，y 0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程是椭圆中x 0x a 2+y 0y b 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0y b2=1.规律方法 运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．1(2024·湖北·二模)如图，O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=2x 的焦点，过F 的直线交抛物线于A ,B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE =EF ；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：|AD |2=AO ⋅AG ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线和抛物线方程求得D -12,y 2 ，E 0,y 22，即可得DE =EF ，得证；(2)写出过点B 的l 的垂线方程，解得交点G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2 ，再由相似比即可得y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 ，即证得|AD |2=AO ⋅AG .【详解】(1)易知抛物线焦点F 12,0，准线方程为x =-12；设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x =my +12y 2=2x得y 2-2my -1=0，可得Δ=4m 2+4>0y 1+y 2=2m y 1y 2=-1，所以y 1=-1y 2；不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，对于y =-2x ,y =-12x；可得l 的斜率为-12x 2-1y 22=1y 2所以l 的方程为y -y 2=1y 2x -x 2 ，即为y =1y 2x +y 22.令x =0得E 0,y 22直线OA 的方程为y =y 1x 1x =2y 1x =-2y 2x ，令x =-12得D -12,y 2 ．又F 12,0 ，所以DE =EF即DE =EF 得证．(2)方法1：由(1)中l 的斜率为1y 2可得过点B 的l 的垂线斜率为-y 2，所以过点B 的l 的垂线的方程为y -y 2=-y 2x -x 2 ，即y =-y 2x +y 21+y 222，如下图所示：联立y =-y 2x +y 21+y 222y =-2y 2x，解得G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2要证明|AD |2=AO ⋅AG ，因为A ,O ,D ,G 四点共线，只需证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 (*)．∵y 2-y 1 2=y 2+1y 22=1+y 222y 22，y 1 ⋅y G -y 1 =-1y 2y 2y 22+2 -y 1 =1+y 22 2y 22．所以(*)成立，|AD |2=AO ⋅AG 得证.方法2：由D -12,y 2 ,B x 2,y 2 知DB 与x 轴平行，∴AF AB=AO AD①又DF 的斜率为-y 2,BG 的斜率也为-y 2，所以DF 与BG 平行，∴AF AB=AD AG②，由①②得∴AO AD=AD AG，即|AD |2=AO ⋅AG 得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到y =-y 2x +y 21+y 222 y =-2y 2x，解出点G 的坐标，从而转化为证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 即可.2(2024高三·全国·专题练习)已知点P 是抛物线x 2=4y 上一个动点，过点作圆x 2+(y -4)2=1的两条切线，切点分别为M 、N ，则线段MN 长度的最小值为．【答案】333/1333【分析】设P x 0,x 204 ，由圆的切线方程可得MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，结合点到直线的距离公式以及二次函数的性质可求得MN 的最小值.【详解】圆x 2+(y -4)2=1的圆心C 0,4 ，半径r =1．设P x 0,x 204 ，故MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，弦心距d =1x 20+x 204-42=1x 4016-x 20+16，当x 20=8时，d 取得最大值为36，则MN 取得最小值12-362=333．故答案为：333.3(2023·锦州模拟)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点0，2 ，且离心率为63.F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：x =3上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF .(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM ，△BFM 的面积分别为S 1和S 2，当|S 1-S 2|取最大值时，求直线AB 的方程．【解析】(1)证明 如图，由题意可得b =2，c a =63，又因为a2=b2+c2，所以a2=6，b2=2，椭圆E的方程为x26+y22=1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为x1x6+y1y2=1，同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为x2x6+y2y2=1.因为点P在直线P A，PB上，所以x12+y1y02=1，x22+y2y02=1，所以直线AB的方程为x2+y0y2=1，则直线AB过定点M(2,0)．(2)解 设直线AB的方程为x=ty+2，联立方程x=ty+2，x26+y22=1，得(t2+3)y2+4ty-2=0，故y1+y2=-4tt2+3，y1y2=-2t2+3，|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=8|t| t2+3=8 |t|+3|t|≤823=433，当且仅当|t|=3|t|，即t=±3时取等号，此时直线AB的方程为x=±3y+2.4过点Q(-1，-1)作已知直线l：y=14x+1的平行线，交双曲线x24-y2=1于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线P A，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．【解析】证明 (1)直线MN的方程为y=14(x-3)．代入双曲线方程x24-y2=1，得3x2+6x-25=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，故x1+x2=-2.于是，y1+y2=14(x1+x2-6)=-2.故Q(-1，-1)是线段MN的中点．(2)双曲线x24-y2=1过点M，N的切线方程分别为l1：x14x-y1y=1，l2：x24x-y2y=1.两式相加并将x1+x2=-2，y1+y2=-2代入得y=14x+1.这说明，直线l1，l2的交点在直线l：y=14x+1上，即三条直线l，l1，l2相交于同一点．(3)设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则P A，PB的方程分别为x3 4x-y3y=1和x44x-y4y=1.因为点P在两条直线上，所以x34x0-y3y0=1，x44x0-y4y0=1.这表明，点A，B都在直线x04x-y0y=1上，即直线AB的方程为x04x-y0y=1.又y0=x04+1，代入整理得x04(x-y)-(y+1)=0，显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(-1，-1)都在直线AB上．强化训练一、单选题1(2024·山东济南·一模)与抛物线x2=2y和圆x2+(y+1)2=1都相切的直线的条数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线x2=2y相切的切点坐标为t,1 2 t2，由y=12x2，求导得y =x，因此抛物线x2=2y在点t,1 2 t2处的切线方程为y-12t2=t(x-t)，即tx-y-12t2=0，依题意，此切线与圆x 2+(y +1)2=1相切，于是1-12t 2t 2+1=1，解得t =0或t =±22，所以所求切线条数为3.故选：D2(2024·广东·模拟预测)抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则AF +4BF 的最小值为()A.6 B.7C.8D.9【答案】D【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知F 1,0 ，设l AB :x =ky +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立直线AB 与抛物线方程y 2=4x x =ky +1 ⇒y 2-4ky -4=0⇒y 1y 2=-4，所以x 1x 2=y 214⋅y 224=1，而AF +4BF =x 1+1+4x 2+1 =x 1+4x 2+5≥2x 1⋅4x 2+5=9.当且仅当x 1=2,x 2=12时取得等号.故选：D3(2022·河南·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y =2x ，过双曲线C 的右焦点F 2作倾斜角为π3的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为36，则双曲线C 的标准方程为()A.x 22-y 24=1B.x 24-y 22=1C.x 2-y 22=1 D.x 22-y 2=1【答案】C【分析】由题意可得b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，可得直线l 为y =3(x -3a )，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和△AF 1B 的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，所以b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a 2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，所以直线l 为y =tanπ3(x -3a )=3(x -3a )，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由x 2a 2-y 22a2=1y =3(x -3a )，得x 2-63ax +11a 2=0，则x 1+x 2=63a ,x 1x 2=11a 2，所以AB =1+3⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2108a 2-44a 2=16a ，因为AF 1 =AF 2 +2a ，BF 1 =BF 2 +2a ，所以AF 1 +BF 1 =AF 2 +BF 2 +4a =AB +4a =20a ，因为△AF 1B 的周长为36，所以AF 1 +BF 1 +AB =36，所以20a +16a =36，得a =1，所以双曲线方程为x 2-y 22=1，故选：C4(2023·河南·二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2-y 23=1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，则下列结论：①C 的离心率为2；②C 的焦点弦最短为6；③动点P 到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P 在双曲线C 的左支上时，PF 1 PF 2 2的最大值为14．其中正确的个数是()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.【详解】由题意可得e =41=2，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2<6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为y =±3x ，设点P x 0,y 0 ，则3x 02-y 02=3，且到两条双曲线的距离之积为3x 0-y 02⋅3x 0+y 0 2=3x 02-y 024=34是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上任意一点P x 0,y 0 及双曲线的左右焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，则PF 1 =x 0+c2+y 02=x 0+c2+b2x 02a 2-1=c 2a 2x 02+2cx 0+a 2=a +ex 0，同理PF 2 =a -ex 0 ，所以PF 1 =a +ex 0 ,PF 2 =a -ex 0 ，此即为双曲线的焦半径公式.设点P x 0,y 0 x 0≤-1 ，由双曲线的焦半径公式可得PF 1 =1+2x 0 =-1-2x 0,PF 2 =1-2x 0，故PF 1 PF 22=-1+2x 01-2x 02=11-2x 0 -211-2x 02，其中1-2x 0≥3，则11-2x 0∈0,13，由二次函数的性质可得其最大值为18，当且仅当11-2x 0=14，即x 0=-1.5时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B5(2024·全国·一模)新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示(水滴角可看作液、固、气三相交点处气-液两相界面的切线与液-固两相交线所成的角)，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液-固两相交线)的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2，则()附：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1．A.θ1<θ2B.θ1=θ2C.θ1>θ2D.θ1和θ2的大小关系无法确定【答案】A【分析】理解题意，根据测量水滴角的圆法和椭圆法,以及运用圆和椭圆的切线方程的表示即可得出结论.【详解】由题意知，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2；由题意可知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R ，如图1，则有R 2=(R -1)2+4,解得R =52，所以tan θ1=2R -1=43；若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，如图2，切点坐标为-2,b -1 ，则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 上一点-2,b -1 处的切线方程为-2x a 2+b -1 y b 2=1 ，此时椭圆的切线方程的斜率设为k 2，则k 2=tan θ2=2b 2a 2b -1；将切点坐标为-2,b -1 代入切线方程-2x a 2+b -1 y b 2=1 可得4a 2+b -1 2b 2=1 ，解得4b 2a2=2b -1，所以tan θ2=2b 2a 2b -1=122b -1b -1=122+1b -1 ；因为短半轴b <R =52,所以tan θ2=122+1b -1>43=tan θ1即tan θ2>tan θ1，所以θ1<θ2.故选：A .6(23-24高二上·北京东城·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.13,23B.12,1C.13,23∪23,1 D.13,12∪12,1 【答案】D【分析】分等腰三角形PF 1F 2以F 1F 2为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点P 为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点P ，使得PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，设点P x ,y 在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于a 、c 的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.【详解】如下图所示：(1)当点P 与椭圆短轴的顶点重合时，△PF 1F 2是以F 1F 2为底边的等腰三角形，此时，有2个满足条件的等腰△PF 1F 2；(2)当△PF 1F 2构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F2P 为底边为例，则PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，此时点P 在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点P ，使得△PF 1F 2是以F 1F 2为一腰的等腰三角形，不妨设点P x ,y 在第一象限，则y 2=b 2-b 2a2x 2，其中0<x <a ，则PF 1 =x +c2+y 2=x 2+2cx +c 2+b 2-b 2a 2x 2=c 2a 2x 2+2cx +a 2=c a x +a =2c ，或PF 2 =x -c 2+y 2=x 2-2cx +c 2+b 2-b 2a2x 2=c 2a 2x 2-2cx +a 2=a -c a x =2c ，由c a x +a =2c 可得x =2ac -a 2c ，所以，0<2ac -a 2c <a ，解得12<e =c a <1，由a -c a x =2c 可得x =a 2-2ac c ，所以，0<a 2-2ac c <a ，解得13<e =c a <12，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是13,12 ∪12,1 .故选：D .【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7(23-24高三下·重庆·开学考试)设F 为抛物线C :x 2=2y 的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若∠FPT =30°，则直线NF 的斜率为()A.-2 B.-3C.-12D.-33【答案】D【分析】设P 点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知F 0,12 ,y =x 22⇒y=x ，设P a ,a 22，则C 在点P 处的切线方程为y =a x -a +a 22⇒y =ax -a 22，所以N a 2,0 ,T 0,-a 22 ，显然N 为TP 中点，由抛物线定义可知PF =a 22+12=FT ，即△FPT 为以F 为顶点的等腰三角形，所以FN ⊥PT ，即∠FNO =∠FPT =30°，所以直线NF 的斜率为tan 180°-30° =-33.故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设P 点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.8(2024·四川南充·二模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2．过点F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A 在x 轴的上方)，则下列说法中正确的有( )个．①AF 1 =32+cos θ②1AF 1 +1BF 1=43③若点M 与点B 关于x 轴对称，则△AMF 1的面积为9sin2θ7-cos2θ④当θ=π3时，△ABF 2内切圆的面积为12π25A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，求出y A +y B ，y A y B ，设△ABF 2内切圆的半径为r ，由S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 求出r ，即可判断④.【详解】在△AF 1F 2中，由余弦定理AF 1 2+F 1F 2 2-2AF 1 ⋅F 1F 2 ⋅cos θ=AF 2 2，即AF 1 2+4c 2-4c AF 1 ⋅cos θ=2a -AF 1 2，整理得AF 1 =b 2a -c ⋅cos θ，同理可得BF 1 =b 2a +c ⋅cos θ，所以AB =AF 1 +BF 1 =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ，1AF 1 +1BF 1 =a -c ⋅cos θb 2+a +c ⋅cos θb 2=2ab 2，对于椭圆C :x 24+y 23=1，则a =2、b =3、c =1，所以AF 1 =32-cos θ，BF 1 =32+cos θ，故①错误；1AF 1 +1BF 1 =2a b 2=43，故②正确；所以AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ=124-cos 2θ，S △AMF 1=AF 1 ABS △ABM ，又S △ABM =12BM x A -x B =BF 1 sin θ⋅AB ⋅cos θ=32+cos θ⋅sin θ⋅12cos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅12sin θcos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅6sin2θ4-1+cos2θ2=32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ，又AF 1 AB=32-cos θ124-cos 2θ=2+cos θ4，所以S △AMF 1=2+cos θ4×32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ =9sin2θ7-cos2θ，故③错误；当θ=π3时直线l 的方程为x =33y -1，由x =33y -1x 24+y23=1，消去x 整理得5y 2-23y -9=0，显然Δ>0，所以y A +y B =235，y A y B =-95，又AF 1 =2，BF 1 =65，则AF 2 =2a -AF 1 =2，BF 2 =2a -BF 1 =145，设△ABF 2内切圆的半径为r ，则S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 ，所以22352+4×95=r 2+65+2+145 ，解得r =235，所以△ABF 2内切圆的面积S =πr 2=π×2352=12π25，故④正确；故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式(倾斜角形式)，利用结论直接解决问题.二、多选题9(2024·河南·一模)已知双曲线E :x 2a2-y 224=1a >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 1F 2 =10，过F 1的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2=π2，则()A.E的渐近线方程为y=±26xB.3PF1=4PF2C.直线l的斜率为±43D.P的坐标为75,245或75,-245【答案】ABD【分析】利用双曲线的焦距求出a的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出PF1、PF2的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点P的坐标，可判断D选项.【详解】对于A选项，F1F2=2a2+24=10，且a>0，解得a=1，又因为b=26，故双曲线E的渐近线方程为y=±bax=±26x，A对；对于B选项，因为点P在右支上，则PF1-PF2=2a=2，①又因为∠F1PF2=π2，则PF12+PF22=F1F22=100，②联立①②可得PF1=8，PF2=6，所以，3PF1=4PF2，B对；对于C选项，若点P在第一象限，则直线l的斜率为k PF1=tan∠PF1F2=PF2PF1=68=34，若点P在第四象限，由对称性可知，直线l的斜率为k PF1=-34.综上所述，直线l的斜率为±34，C错；对于D选项，设点P x,y，则x≥1，且x2-y224=1，可得y2=24x2-24，所以，PF1=x+52+y2=x2+10x+25+24x2-24=25x2+10x+1=5x+1=8，解得x=75，则y2=24×752-24=24225，可得y=±245，即点P75,±245，D对.故选：ABD.10(23-24高三上·福建泉州·阶段练习)已知椭圆x29+y2=1与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点F1,F2，设它们在第一象限的交点为P ，且PF 1 ⋅PF 2=0，则()A.双曲线的实轴长为27B.双曲线的离心率为2147C.双曲线的渐近线方程为y =±73x D.双曲线在P 点处切线的斜率为377【答案】ABD【分析】A 选项，求出椭圆的焦点坐标，设左焦点为F 1，故PF 1 +PF 2 =6，由向量数量积为0得到向量垂直，进而由勾股定理求出PF 1 ⋅PF 2 =2，求出PF 1 -PF 2 =27，得到A 正确；B 选项，由离心率公式直接求解；C 选项，求出b =1，由双曲线渐近线公式进行求解；D 选项，设出P 点处切线方程，联立双曲线方程，由根的判别式等于0求出切线斜率.【详解】A 选项，由题意得椭圆x 29+y 2=1的焦点坐标为±22,0 ，设左焦点为F 1，则F 1-22,0 ，PF 1 +PF 2 =6，因为PF 1 ⋅PF 2 =0，所以PF 1 ⊥PF 2 ，由勾股定理得PF 1 2+PF 2 2=F 1F 2 2=32，PF 1 +PF 2 =6两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =36，故PF 1 ⋅PF 2 =2，则PF 1 -PF 2 =PF 12+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 =27，故2a =27，解得a =7，双曲线的实轴长为27，A 正确；B 选项，因为c =22，所以双曲线的离心率为c a =227=2147，B 正确；C 选项，因为b =c 2-a 2=8-7=1，故双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±77x ，C 错误；D 选项，联立x 29+y 2=1与x 27-y 2=1，可得x =±3144，y =±24，故P 3144,24，当过P 点的直线斜率不存在时，不是双曲线的切线，舍去，设在P 点处切线方程为y -24=k x -3144，联立x 27-y 2=1得x 2-724+k x -31442=7，化简得1-7k 2 x 2-72k 2-21142k 2 x -4418k 2+217k 4-638=0，由Δ=0得72k 2-21142k 2 2-41-7k 2 -4418k 2+217k 4-638=0，解得k =377，故双曲线在P 点处切线的斜率为377，D 正确.故选：ABD11(23-24高三上·湖北武汉·期末)已知P x P ,y P ，Q x Q ,y Q 是曲线C :6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0上不同的两点，O 为坐标原点，则()A.x 2Q +y 2Q 的最小值为1B.4≤x P -12+y 2P +x P +12+y 2P ≤6C.若直线y =k x -3 与曲线C 有公共点，则k ∈-33,33D.对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直【答案】AD【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据几何意义判断A ，举出反例判断B ，数形结合判断C ，根据图形特征以及切线概念判断D .【详解】当y 2+6x -3≥0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0，化简为x 24+y 23=1，轨迹为椭圆.将y 2=3-34x 2代入y 2+6x -3≥0，则0≤x ≤8，则此时0≤x ≤2，即此部分为椭圆的一半.同理当y 2+6x -3<0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21-y 2+6x -3 =0，化简为x -1 2+y 2=4.将y 2=4-x -1 2代入y 2+6x -3<0，则x <0或x >8，则此时-1≤x <0，即此部分为圆的一部分.作出曲线的图形如下：对于A ，x 2Q +y 2Q 最小值表示曲线上一点到原点的最小距离的平方，当x ≥0时，x 2Q +y 2Q 最小值为3，当y =±3时取得，当x <0时，x 2Q +y 2Q 最小值为1，当y =0时取得，则x 2Q +y 2Q 最小值为1，故A 正确；对于B ，当x P =-1,y P =0时，x P -1 2+y 2P +x P +12+y 2P =2，显然B 选项错误；对于C ，直线y =k x -3 经过定点3,0 ，当k =33时，直线经过椭圆下顶点，如图，显然，存在k >33，使得直线与曲线有两个公共点，故C 错误；对于D ，如图，对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，则曲线C 在P 点处的切线斜率可以取任何非零实数，曲线C 在椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：(1)几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；(2)坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.三、填空题12(23-24高二上·福建泉州·期中)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)焦距为10，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上且AF 2⊥x 轴，△AF 1F 2的面积为454，点P 为双曲线右支上的任意一点，则1PF 1 -1PF 2的取值范围是【答案】-89,0 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.【详解】由题意可知F1-5,0 ,F 25,0 ,A 5,y A ，。
圆锥曲线中二级结论的应用
1
椭圆上异于 A ， B 两点，若 AP 与 BP 的斜率之积为－ ，则椭圆的离心
2
2
率为
.
2
1
2
1
1
1
2
2
2
∵ kAP ·kBP ＝－ ，∴－ 2 ＝－ ，即 e －1＝－ ，∴ e ＝ ，∴ e ＝ .
2
2
2
2
2
2. (1)如图，已知点 A ， B 为双曲线实轴端点， P 是双曲线上异于 A ， B
−1
的离心率等于
.
(+1)cos
2
2
(2)倾斜角为α的直线 l 过焦点 F 与双曲线 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)相交于
A ， B 两点.
则焦点弦长 ＝
2 2
2 ＋2 sin2 −2
.
3. 过抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点 F 且倾斜角为θ的直线交抛物线于 A ，
2
B 两点，则 △ ＝
.
2sin
跟踪训练
2
4. 经过椭圆 ＋ y 2＝1的左焦点 F 1作倾斜角为60°的直线 l ，直线 l 与椭
2
8 2
圆相交于 A ， B 两点，则线段 AB 的长为
.
7
焦点弦长
2 2
2× 2×1
2 2
8 2
＝ 2 2 2
＝
＝3 ＝
.
2
2
7
( − )sin ＋
1 ＝ −
则ቊ
即ቐ
−21 = 2，
＝ − 1.
1
将①及 c ＝
2
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9(2 −4)
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圆锥曲线部分二级结论的应用一、单选题1．已知抛物线2:4C y x =，点()()2,0,4,0,D E M 是抛物线C 异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接,MD ND 并分别延长交拋物线C 于点,P Q ，连接PQ ，若直线,MN PQ 的斜率存在且分别为12,k k ，则21k k =（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 12．如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ）A.12 B. 13 C. 23 D. 143．已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M N 、均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222,f x x x x=+-，则()f e =（） A. 1 B.3 C. 2 D. 54．已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ， P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e 的最大值是（ ）A.B. C. 2 D. 3 5．已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y =-， ,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，则“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6．已知,A B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >， 0b >）的左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限图形上的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，,,PA PB PO 的斜率分别为123,,k k k ，则123k k k 的取值范围为（ ）A. 0,9⎛⎝⎭B. (C. (D. ()0,8 7．设抛物线22y x =的焦点为F，过点)M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相较于点C ， 2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之BCFACFS S ∆∆=（ ） A.23 B. 45 C. 47 D. 128．设双曲线C 的中心为点O ，若直线1l 和2l 相交于点O ，直线1l 交双曲线于11A B 、，直线2l 交双曲线于22A B 、，且使1122A B A B =则称1l 和2l 为“WW 直线对”.现有所成的角为60°的“WW 直线对”只有2对，且在右支上存在一点P ，使122PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ()1,2B. [)3,9 C. 3,32⎛⎤⎥⎝⎦D. (]2,3 9．设点P 为双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）上一点， 12,F F 分别是左右焦点，I 是12PF F ∆的内心，若1IPF ∆， 2IPF ∆， 12IF F ∆的面积123,,S S S 满足()1232S S S -=，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.3 C.4 D. 210．已知直线1y x =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C. 2 D. 511．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，半径为的圆与双曲线的某条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D.12．已知是椭圆和双曲线的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为, 则下列关系正确的是 （ ）A. B.C. D.13．椭圆上存在个不同的点，椭圆的右焦点为，若数列是公差大于的等差数列，则的最大值是 A. 13 B. 14 C. 15 D. 1614．连接双曲线22221x y a b -=和22221y x b a-=（其中,0a b >）的四个顶点的四边形面积为1S ，连接四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S 的最小值为（ ） A.2 B. 2 C.3 D. 315．已知12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点2F 关于渐近线的对称点P 恰好落在以1F 为圆心、1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.3 C. 2 D.216．已知抛物线22y px =，直线l 过抛物线焦点，且与抛物线交于A ， B 两点，以线段AB 为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定17．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A.关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设,ABF α∠=且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A. 2⎫⎪⎪⎣⎭B. 26⎣⎦C. 6⎫⎪⎪⎣⎭D. 23⎣⎦18．已知双曲线C ： 22221x y a b -=（0a >， 0b >）的顶点(),0a 到渐近线b y x a=的距离为2b，则双曲线C 的离心率是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 519．已知点()111,P x y ， ()222,P x y ， ()333,P x y ， ()444,P x y ， ()555,P x y ，()666,P x y 是抛物线2:2C y px =（0p >）上的点， F 是抛物线C 的焦点，若12345636PF P F P F P F P F P F +++++=，且12345624x x x x x x +++++=，则抛物线C 的方程为（ ）A. 24y x = B. 28y x = C. 212y x = D. 216y x =20．已知A ，B 是椭圆E ： 22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为（ ）A.3 B. 3 C. 23D. 3 21．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，以双曲线C 的实轴为直径的圆Ω与双曲线的渐近线在第一象限交于点P ，若FP bk a=-，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. 2y x =±C. 3y x =±D. 4y x =±22．已知斜率为3的直线l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若点()6,2P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A. B. C. 2 D.二、填空题23．若P 0(x 0，y 0)在椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是0022xx yy a b+＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线2222x y a b-＝1(a ＞0，b ＞0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是______．24．已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点， M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ=__________（注： 1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．25．设抛物线22y x =的焦点为F ，过点()3,0M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ， 2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=__________． 26．设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足,C D .若2AF BF =，且三角形CDF 的面积为2，则p 的值为___________.27．已知抛物线22y px =的准线方程为1x =-，焦点为,,,F A B C 为抛物线上不同的三点， ,,FA FB FC 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=，则直线AC 的方程为 ． 28．已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，已知点坐标，双曲线上点满足12112111F F MF F F PF MF PF •=•，则__________．29．给出下列命题：①设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为[]1,1-；②A B ，是抛物22(0)y px p =>上的两点，且OB OA ⊥，则A B 、两点的横坐标之积42p ；③斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A B 、两点，则AB 的最大值为5104．把你认为正确的命题的序号填在横线上_________ ．30．已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12, l l ，1l 与抛物线交于, P Q 两点，2l 与抛物线交于, M N 两点，设1l 的斜率为k ．若某同学已正确求得弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p pk k +，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为 ．31．如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点()0,1A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为()0,1，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于．32．已知点在抛物线的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于轴的两侧，O 是坐标原点，若，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．33．若等轴双曲线的左、右顶点分别为椭圆的左、右焦点，点是双曲线上异于的点，直线的斜率分别为，则________34．已知为椭圆2212516x y +=的两个焦点，过的直线交椭圆于A B 、两点，若，则=__________ ．35．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且在直线上的射影分别是，则的大小为________________①利用主体结构钢筋作避雷引下线工程量计算：计算利用主体结构钢筋作避雷引下线工程量时，应按设计要求计算，当设计要求利用其中两根主筋时，工程量应按被利用主筋总长度计。