图形滚动与弧长
弧度角与弧长公式
弧度角与弧长公式
弧度角与弧长公式是用来计算圆或椭圆中两个弧之间的角度大小和
弧长大小的推导公式。
它是计算机图形学和机械设计的一个重要概念。
下面将介绍弧度角与弧长公式的基本内容：
一、弧度角公式
1. 弧度角大小公式：根据圆心角定义，意思是圆心角指圆弧上任一点
和圆心连结的两个切线所成的角。
它的计算公式是：弧度角大小=2π×
角度/360°；
2. 弧度角和圆周长公式：又称弦长公式，即得出当曲线弧度变化时，
弧长随之变化的关系。
它的计算公式是：弧度长度= π*r*弧度角/180。
二、弧度长度公式
1. 弧长的定义：弧长是指沿椭圆弧或者圆弧的距离，它的计算公式是：弧长=PI*短半径*弧度角/180。
2. 弧度长度与圆周长关系：同圆，弧长也随着圆周长的增加而增加，
它的计算公式是：弧长=圆周长*(弧度角/360)。
总结：弧度角与弧长公式是用来计算圆或椭圆中两个弧之间的角度大
小和弧长大小的推导公式。
它的一般公式有弧度角大小公式：弧度角
大小=2π×角度/360°；弧度角和圆周长公式：弧度长度= π*r*弧度角/180；弧长的定义：弧长=PI*短半径*弧度角/180；弧度长度与圆周长关系：
弧长=圆周长*(弧度角/360)。
此外，在应用时要注意到弧度角之间的单
位变换（从度转换成弧度），否则计算结果会有偏差。
圆的周长和弧长
第十四讲 圆的周长和弧长【知识点1】1． 正方形周长公式 正方形周长=4边长 2． 圆周长公式用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么C=πd 或C=2πr ． 本节的学习要求3． 圆周长公式的运用已知圆周长求直径的方法：d=πc【典型例题1】一个正方形的周长和一个圆的周长相等．正方形的边长是12.56厘米,那么圆的直径是多少？ 解析：C 正方形=12.56×4=50.24（厘米） 因为C 圆=πd所以d=πc=50.24÷3.14=16（厘米）答：圆的直径是16厘米．点评：本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。
要求出圆的直径求必须知道圆的周长，利用圆的周长和正方形的周长相等就能求出圆的周长． 【基本习题限时训练】1．判断题（正确的在括号内填入“√”，错误的在括号内填上“×”）． （1） 圆的半径扩大4倍，圆的周长也扩大4倍． （ ）（2） 如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等． （ ）（3） 一个圆的周长是同圆直径的3.14倍． （ ） （4） 圆的两个半径和在一起就是圆的直径． （ ） （5） 任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比． （ ） 2．小华和小军沿着一个直径是500米的圆形湖边同时从同一点相背而行．小华每分钟行81米，小军每分钟行76米．两人经过多少分钟相遇？【拓展题1】小坚和小刚同时从A 出发，以相同的速度步行去B ．小坚走图中大圆弧的路径，小刚走三段小圆弧．AB 是大圆的直径．问谁先到达目的地B ？【拓展题2】将三根直径为a 的圆柱形钢管用铁丝捆扎，现设计了两种方案，如图所示，•请你探索，宜采用哪一种方案．【点评】本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。
图（1）是有两个半圆，可以拼成完整的一个圆，图（2）是有三个31圆，可以拼成完整的一个圆。
【知识点2】 1、圆周长公式用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么C=πd 或C=2πr ． 2、路程、速度、时间的等量关系 时间=路程÷速度 【典型例题2】一种汽车轮胎的外直径是1米，它每分钟可以转动400周．这辆汽车通过一座长5.652千米的大桥需要多少分钟？解析： C 圆=πd=1×3.14=3.14（米） 3.14×400=1256（米）=1.256（千米） 5.652÷1.256=4.5（分钟）答：这辆汽车通过一座长5.652千米的大桥需要4.5分钟． 点评：本题主要考查对圆周长计算公式的理解和运用。
初中数学论文：浅析中考几何图形滚动问题的求解.doc
线长为 （结果保留准确值）.浅析中考几何图形滚动问题的求解摘要：图形的旋转是新课标的重要内容，当几何图形旋转中心沿着一定轨迹进行运 动就产生了滚动问题，它既有利于考查学生的动手操作能力和空间思维能力，又培养了 学生的创新意识和综合运用知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点。
几何图形可 以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一 个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还 可以是扇形。
本文着重探讨近几年中考数学题目中几何图形上点在无滑动翻滚过程中经 过路线长的解法规律，及滚动过程图形位置变化规律。
关健词：无滑动翻滚路线长规律浅析中考几何图形滚动问题的求解纵观近几年中考数学试题，我们发现关于几何图形滚动的问题还真不少，几何图形 可以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另 一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆， 还可以是扇形。
如何求解中考几何图形滚动的这些问题？下面通过举例加以分析解决。
一、滚动过程中图形上点经过的路线长（一）沿着一条直线无滑动翻滚 口 』 c例1. （1） （2008四川达州市）.如图所 ，// \ /、\ / \示，边长为2的等边三角形木块，沿水平 [/ '、、/ '、、AC B A 线J 滚动，则上点从开始至结束所走过的路（2）（2009 黄冈市）矩形 ABC 。
的边 AB=8, AD=6,现/ V 将矩形A8CD 放在直线/上且沿着/向右作无滑动地 D rAT\ fT " I翻滚，半它翻滚至类似开始的位置时（如 4__一"匚一"卜/（3）如图，将边长为2cm 的正六边形ABCDEF60 180 ttx2图所示），则顶点人所经过的路线长是 的6条边沿直线m 向右滚动（不滑动），当正六边形滚动一•周时，顶点A 所经过的路线 长是 o［分析］这是同一系列题目，如右图可知：三角形每次翻滚的角度为120度，矩形每 次翻滚的角度为90度，正六边形每次翻滚60度，三个几何图形每次都是翻滚它的一个 外角度数；三角形滚动一周，A 点走了 2个弧长，圆心角都是120度，但半径分别是AC 和AB 。
弧长计算公式课件
随着科学技术的发展，弧长计算公式的研究和应用将不断深入和扩展。为了更好地适应实 际应用的需要，需要不断改进和优化弧长计算公式，提高计算效率和精度。
应用领域的拓展
随着新技术的和新问题的出现，弧长计算公式的应用领域也将不断扩展。例如，在人工智 能、数据科学、生物信息学等领域，弧长计算公式将有新的应用场景。
弧长计算公式课件
目 录
• 弧长计算公式概述 • 弧长计算公式基础 • 弧长计算公式应用 • 弧长计算公式实例 • 弧长计算公式的扩展与优化 • 总结与展望
CHAPTER 01
弧长计算公式概述
弧长概念简介
弧长定义
弧长是圆弧从起点到终点的直线 距离。
弧长计算公式
弧长公式是用来计算圆弧的长度 的一种公式。
随着科学技术的发展，弧长计算公式的理论和应用得到了进一步的发展和完善 。
CHAPTER 02
弧长计算公式基础
圆的定义与性质
01
圆是平面上所有与给定点（称为 圆心）距离等于定长（称为半径 ）的点的集合。
02
圆的性质包括其对称性（即圆心 是圆的对称中心）和其不变性（ 即沿着圆的边缘走一圈，走过的 距离总是等于圆的周长）。
弧长计算公式的理论重要性
弧长计算公式是微积分学中的基本公式之一，它涉及到函数的导数和积 分，对于理解函数的局部和全局性质有着重要的意义。
03
弧长计算公式的实际应用价值
弧长计算公式在实际问题中有着广泛的应用，如计算管道的流量、计算
车辆的速度和加速度、计算电路的电量等。
对未来弧长计算公式研究和发展的展望
是角度（弧度）。
该公式可以用来计算圆上任意两 点之间弧线的长度。
CHAPTER 03
用几何画板动态展示圆滚动周数的问题
用几何画板动态展示圆滚动周数的问题【摘要】在数学中考题和教科书中我们常常会遇到与圆滚动周数有关的问题，由于滚动是一种复合运动，包括滚动圆本身的自转及其沿着另一个几何图形的平移或旋转，故此类问题灵活性强，易被表面现象所迷惑，解题时易出现错误．几何画板是动态教学软件，它能动态展现几何图形各个元素的内在联系，特别是一些动态的生成过程（如轨迹问题）．本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用《几何画板》动态展示圆滚动的周数的问题．【关键词】几何画板；圆滚动的周数；外切；内切我们常常会遇到一类与圆的滚动有关的问题，由于此类问题灵活性较强，且易被表面现象所迷惑，解题时极易出现错误，有些同学感到难以理解，教师不知道如何解释。
本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，首先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用《几何画板》动态展示圆滚动的周数的问题。
我们先引入概念：（1）动圆自转一周；（2）滚动。
动圆自转一周，是指圆心移动的同时，圆的任一半径绕圆心旋转了0360，半径终止时的状态与起始时的状态成同向平行（从圆心出发指着同一方向）。
滚动，是指一个物体（多为球形或圆柱形）在另一个物体上接触面不断改变的移动。
滚动其实是一种复合运动，包括两种运动：一是滚动圆本身的自转；另外还有滚动圆沿着另一个几何图形的平移或旋转。
由于在滚动过程中滚动圆除圆心外，其余各点相对于另一个几何图形的运动轨迹是变化的，很难把握其规律，而圆心相对于另一个几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题，只要知道圆心轨迹的长度S 和滚圆的半径R , 就可以按公式S /2R π求出滚圆自身滚动的圈数。
1. 动圆与定圆外切的情况设半径为r 的动圆D 与半径为R 的定圆A 外切且作无滑动的滚动,当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,求动圆自转的周数。
分析 如右图1：当动圆自转1周，动圆从初始位置点D 滚动圆1D ，半径PD 旋到1CD ，且1//CD PD ，记α=∠CAP ，显然⌒CmP 1= ⌒CP由于⌒CmP 1+ ⌒P 1C r π2=，得⌒CP + ⌒P 1C r π2= 即r r R παπαπ2180180=+得⌒D 1D =r π2 这表明动圆自转1周时，它的圆心描出的弧长恰好是动圆的周长，由此推出动圆自转的周数动圆周长动圆圆心移动路程=n 。
沪教版(五四制)六年级数学上册 第四章圆与扇形同步讲义(无答案)
圆与扇形周长和面积的计算一、圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫圆心，定长叫圆的半径。
二、与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
半圆：圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧与劣弧：大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，围绕圆心旋转任何一个角度，都能和它原来的图形重合。
四、与圆有关的计算 1、 圆的周长与弧长公式圆的周长：2C r π=弧长：180nl r π=（n 为圆心角度数） 圆的周长÷直径=圆周率（圆周率是个无限不循环小数，近似等于3.14，即 3.14π≈）。
2、 圆面积公式与扇形面积公式圆的面积：2S r π=214d π=.第五讲 圆与扇形扇形面积：213602n S r lr π==扇形（扇形的半径为r ，圆心角为n ，弧长为l ）.【前铺1】 请说出日常生活中你所知道的圆或扇形的物体。
（至少说出5种）【前铺2】 一头驴被栓在磨盘旁边一直走，它走的线路是一个什么图形?温馨提醒：本讲除题目中有特殊说明外，π取3.14【例题1】 （1）一张圆桌面的直径是0.95米，这张圆桌面的周长是多少米?（得数保留两位小数）（2）一辆自行车车轮的半径是0.33米，车轮滚动一周自行车前进多少米？（得数保留两位小数）（3）一块长方形木板，长6分米，宽4分米，截出一个最大的圆，那么这个圆的周长为 分米；（4）已知小圆的半径是大圆半径的13，大圆的周长是12π，则小圆的周长是____【例题2】 （1）一个圆的周长为6.28厘米，则该圆的面积为多少平方厘米？（2）把一根长25.13厘米的铁丝围成一个圆（接头处共0.01厘米），这个圆的面积是多少？（3）一个圆形花池，池边周围栏杆长50.24米，则该花池的底面积是______平方米（4）圆的半径从6厘米减少到4厘米，面积减少 平方厘米；【例题3】 （1）将一根长10厘米的绳子绕一根吸管10圈，还余下0.58厘米，这根吸管的外直径是 毫米；（2）大圆半径是小圆的1.5倍，大圆面积比小圆面积大10平方厘米，大圆面积是 平方厘米；（3）一张三角形铁片与一张半径是50毫米的圆形铁片的面积相等，已知三角形铁片的底边长250毫米，则这个三角形在这条底边上的高是毫米；（4）有相同周长的长方形、正方形和圆，它们的面积从大到小是。
中考中的弧长应用题
中考中的弧长应用题在近几年的中考题中，数学与实际生活相连的题逐渐增多，弧长公式在实际生活中的应用就是其中一例。
为帮助同学们理清这一问题，现举几例说明。
一、滚动问题例1、如图1，一块含有30º角的直角三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向放置到A 1B 1C 的位置，若BC 的长为15cm,那么顶点A 从开始到结束所经过的路径的长为（ ） A.10πcm B.20πcmC.cmD. 15πcm析解：由顶点A 到A 1的位置所经过的路径是以CAC 为半径，圆心角∠ACA 1=120BC=15，∠A=30º，则AC=30 cm 。
则点A 运动的路径长为1203020180ππ⋅=（cm ） 故选B例2、如图2，王虎使一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 的位置变化为A A 1 A 2，其中第二次翻滚时，被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30º角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为（ ） A.10cm B. 4cm C.7πcm D.5πcm析解：如图3，第一次滚动时，即由A 到A 1的位置所经过的路径是 1AA 的长，它是以B 为圆心，AB 为半径，且∠ABA 1=90º的一段圆弧，则 1AA 52π= 第二次滚动的路径是以C 为圆心，3cm 为半径，圆心角为60º的一段圆弧，则 12A A 的长为603180ππ⋅= 则共走过的路径为5722πππ+=。
故选C 。
二、滑轮问题例3、如图4所示，定滑轮的半径为4cm ，下面挂一重为10kg 的物体，若在力F 的作用下上升20cm ，则定滑轮转动的角度为______） 析解：当物体上升20cm 时，绳上的某一点A 转动到B 的位置， 也就是 AB =20cm 。
设定滑轮转动的角度为n º,则图1图3图4 图2420180n π=，解得n =300 所以定滑轮转动的角度为300º。
【人教版九年级上册数学上册】24.4弧长和扇形面积课时2
轴截面上另一母线 AC 上，问它爬行的最短路线长是多少厘
米？
A
过圆锥轴（高）的截
面，即△ABC
B
C
A
分析：
把曲面转化成平面
C
B
圆锥侧面展开成扇形
A
垂线段最短
求BD的长
B
D
C
B'
解：设圆锥侧面展开图的圆心角为 n ，
nl
r
10
2r , n 360
∴在Rt∆ABP中，
BP=
2 + 2 = 62 + 32 = 3 5 (m)，
∴小猫所经过的最短路程为3 5 m.
3.（2020•广东中考）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪
出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成
1
一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为
3
m．
A
解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心
24.4 弧长和扇形面积
第2课时
初中数学
九年级上册 RJ
知识回顾
一、圆的周长公式
C=2πR
二、圆的面积公式
S=πR2
三、弧长的计算公式
四、扇形面积计算公式
学习目标
1.体会圆锥侧面积的探索过程.
2.会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题.
课堂导入
课堂导入
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.
线长, l 表示圆锥的母线长,那么 r，h，l 之间的数
量关系是：
r 2+h 2=l 2
注意：知道这三个量中的任意两
个量，可以求另一个量.
沪教版六年级数学上册 第4章 圆的周长和弧长(带答案)
1、复习圆的周长、及圆的弧长公式。
2、在基础训练部分，着重复习公式及计算的方法技巧；在巩固训练部分，加强对图形的分析，由易到难，解决平时学生易犯错误的题目，加深理解。
3、在教学中让学生感受到几何图形的美。
圆的周长与弧长一、上节回顾（课前回顾）圆的认识：O.r圆心：我们把圆中心的这一点叫做圆心.圆心一般用字母O表示.半径：我们把连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,半径一般用字母r 表示.（在同一个圆里有无数条半径,所有半径的长度都相等.）直径：我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径一般用字母d来表示。
结论：在同一圆内（或等圆）有无数条半径,无数条直径,所有的直径都相等,所有的半径都相等,直径是半径2倍,也就是“d = 2r”。
二、本节内容知识点一：圆的周长用字母C表示圆的周长，d表示直径，那么C= πd 或C= 2πr .（直径大小一般用字母∅表示）。
基础练习：（1）圆的周长总是它的直径的倍多一些。
这个倍数是个固定的数，把它叫做，用字母表示。
（2）一个圆的半径是2.5厘米，它的直径是厘米，圆的周长是厘米。
（3）一个圆的周长是50.24分米，它的直径是分米，半径是分米。
（4）一个圆的半径是2厘米，半径扩大3倍，直径扩大倍，圆的周长就扩大倍。
（5）两圆的半径之比为3∶2，则它们的周长之比为；（6）周长为6π的圆的半径为。
经典例题：例1、（1）一个时钟的时针长10cm，时针尖12小时走了cm。
62.8（2）一个半圆形的窗户，它的直径是1米，这个半圆形的一周用米材料。
2.57（3）如果圆的直径扩大原来的5倍，那么圆的周长扩大为原来的倍；5如果圆的半径增加3cm，那么圆的周长增加cm。
18.84一个直径为2cm的圆的周长，正好等于另一个圆周长的1，则另一个圆的半径是cm。
44例2、如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系式是（）AA．a=b B．a<b C．a>b D．不能确定例3、一辆自行车车轮的外直径是75cm，如果车轮以每分钟100圈的速度行驶，那么通过1413m的公路需要多少分钟？6分钟例4、两个皮带轮用皮带相连，大轮的直径是1.5m，小轮的直径是0.5m，大轮转一圈，小轮转几圈？3例5、在一个边长为4厘米的正方形内画一个最大的圆，并在其余部分涂上阴影，求阴影部分的周长。
第28课 圆的弧长和图形面积的计算
基础自测
4．(2012·衢州) 用圆心角为 120°，半径为 6 cm 的扇形纸
片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的
高是
(C)
A. 2cm
B．3 2 cm
C．4 2 cm
D．4 cm
解析 l＝1201π80×6＝4π cm， 圆锥的底面半径为 4π÷2π＝2 cm，
∴这个圆锥形筒的高为 62－22＝4 2 cm.
∴S
阴影＝S
扇形
－S ＝ OAB
△AOB
360
－2×2 3×1
＝4π3 － 3.
基础自测
3．(2012·嘉兴) 已知一个圆锥的底面半径为 3 cm，母线
长为 10 cm，则这个圆锥的侧面积为 A．15π cm2 B．30π cm2
( B)
C．60π cm2 D．3 cm2
解析 这个圆锥的侧面积＝πrl＝π×3×10＝30π cm2.
((11))求求运运动动所所形形成成的的路路径径长长或或面面积积时时，，关关键键是是理理清清运运动动 所所形形成成图图形形的的轨轨迹迹变变化化，，特特别别是是扇扇形形，，需需要要理理清清圆圆心心与与半半径径 的的变变化化；；
((22))处处理理不不规规则则图图形形的的面面积积时时，，注注意意利利用用割割补补法法与与等等积积 变变换换转转化化为为规规则则图图形形，，再再利利用用规规则则图图形形的的公公式式求求解解．．
助学微博
一一种种转转化化
最最短短距距离离问问题题，，通通常常借借助助于于展展开开图图来来解解决决．．在在将将立立体体图图 形形转转化化为为平平面面图图形形后后，，应应把把题题中中已已知知条条件件转转化化到到具具体体的的线线段段 中中，，最最后后构构造造直直角角三三角角形形解解题题．．
六年级秋季班-第15讲：圆的周长和弧长
圆的周长和弧长是六年级数学上学期第4章第1节的内容，通过本讲的学习，同学们需要掌握圆的周长和弧长的公式，并熟练运用进行相关的计算．难点是圆的周长和弧长公式在组合图形中的运用，以及在实际问题中的应用．1、 圆的周长通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母π表示，π读作“pai ”；圆周率π是个无限不循环小数， 3.14π≈．圆的周长÷直径 = 圆周率．用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么：C d π=或2C r π=圆的周长和弧长内容分析知识结构模块一：圆的周长知识精讲【例1】 想要求圆的周长，就必须知道（ ）A ．圆心B ．圆周率C ．直径和半径D ．直径或半径【难度】★ 【答案】D【解析】C d π=或2C r π=． 【总结】考查圆的周长公式．【例2】 π是一个（ ）A ．有限小数B ．无限循环小数C ．无限不循环小数D ．混合循环小数【难度】★ 【答案】C【解析】圆周率π是一个无限不循环小数． 【总结】考查圆周率基的概念．【例3】 判定题：（1）大圆的圆周率大于小圆的圆周率．（ ）（2）一个圆的半径扩大2倍，它的周长也扩大2倍．（ ）【难度】★【答案】（1）×；（2）√． 【解析】（1）圆周率是个定值；（2）由周长公式可知，当一个圆的半径扩大n 倍时，这个圆的周长也扩大n 倍． 【总结】考查圆周率及圆的周长公式．例题解析20 cm3【例4】 求下列图中各圆的周长．（π取3.14）【难度】★【答案】（1）62.8cm ；（2）18.84．【解析】（1） 3.142062.8C d cm π==⨯=；（2）22 3.14318.84C r π==⨯⨯=．【总结】考查圆的周长以及周长公式的计算．【例5】 车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为多少米？（π取3.14） 【难度】★ 【答案】2.512米．【解析】3.14×0.8=2.512m ．【总结】考查圆的周长的在实际问题中的计算．【例6】 小智每天绕半径为20米的花坛跑15圈，则小智每天要跑多少米？（π取3.14） 【难度】★ 【答案】1884米．【解析】15×2×3.14×20=1884米．【总结】考查圆的周长的在实际问题中的计算．【例7】 小方家挂钟的分钟长24厘米，1小时后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？10小时后呢？（π取3.14）【难度】★★【答案】1小时后走过的路程为：150.72cm ，10小时后走过的路程为：1507.2cm ． 【解析】1小时后走过的路成为：2×3.14×24=150.72cm ， 10小时后走过的路成为：150.72×10=1507.2cm ．【总结】考查圆的周长的计算，分针走过1小时，针尖走过的路程即为一个圆的周长．10154 6【例8】 填表：（π取3.14）圆的半径 2厘米 2.5dm 1.5m 10m 圆的直径 4cm 5dm 3米 20m 圆的周长12.56cm15.7分米9.42m62.8米【难度】★★ 【答案】见表格．【解析】根据半径、直径、周长之间的关系计算． 【总结】考查圆的周长、半径、直径之间的关系．【例9】 如图，是一个由半圆和一条直径所组成的图形，求这个图形的周长．（单位：厘米，π取3.14）【难度】★★ 【答案】25.7．【解析】10×3.14÷2+10=25.7．【总结】考查半圆的周长的计算，直径的长度勿忘．【例10】 如图，大半圆的直径为15厘米，小半圆的直径是大半圆的13，则该图形的周长为______．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】41.4cm ．【解析】3.14(155)25541.4cm ⨯+÷++=．【总结】考查圆的周长的计算，注意本题中是半个圆．【例11】 如图是由直径分别为4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形，则这个图形的周长为______．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】31.4cm ．【解析】3.14(1064)231.4cm ⨯++÷=．【总结】考查圆的周长的计算，注意本题中周长是三个半圆的和．ABCO【例12】 直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起，如图所示，试求金属带的长度．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】7.14m ．【解析】3.14×1+4=7.14m ．【总结】本题中注意金属带的长度包含了4个直径．【例13】 一个正方形的铁片里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是25.12厘米，那么正方形的周长比圆的周长多多少厘米？（π取3.14）【难度】★★ 【答案】6.88厘米．【解析】已知正方形的边长即为圆的直径，则正方形边长为25.12÷3.14=8cm ， 所以正方形周长为：8×4=32cm ，则正方形的周长比圆的周长多：32-25.12=6.88cm ．【总结】本题中注意正方形的边长即为圆的周长，从而利用圆的周长公式计算．【例14】 如图，点O 、点B 在线段AC 上，AB = 120 米，BC = 70 米，O 是圆心．从A到C 有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短．【难度】★★★ 【答案】距离一样．【解析】A →C ：190π÷2 = 95π； A →O →C ：95π÷2×2 = 95π； A →B →C :120π÷2+70π÷2 = 95π．【总结】考查圆的周长公式在组合图形周长计算中的运用．【例15】 如图，一个半径1厘米的硬币沿着长方形纸板的边缘滚动，长方形纸板长30厘米，宽20厘米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是______厘米．（π取3.14） 【难度】★★★ 【答案】106.28cm ．【解析】虚线图形的周长即为银币圆心经过的路程： 即：（30+20）×2+2×3.14×1=106.28cm ． 【总结】本题在计算时注意四角是四段圆弧组成的．ABO1、弧和圆心角的概念如图，圆上A 、B 两点之间的部分就是弧，记作：AB ，读作：弧AB ；AOB ∠称为圆心角．2、弧长公式设圆的半径长为r ，n °圆心角所对的弧长是l ，那么：180nl r π=．【例16】 下列图形中的角是圆心角的有______个．【难度】★ 【答案】3．【解析】顶点在圆心的角叫圆心角． 【总结】考查圆心角的概念．模块二：弧长知识精讲例题解析【例17】下列判断中正确的是（）A．半径越大的弧越长B．所对圆心角越大的弧越长C．所对圆心角相同时，半径越大的弧越大D．半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变【难度】★【答案】C【解析】由公式可得C正确．【总结】考查弧长的影响因素．【例18】若一弧长是所在圆周长的25，则它所对的圆心角是______度．【难度】★【答案】144度．【解析】2 3601445⨯=．【总结】考查弧长公式的逆运用．【例19】一段圆弧所在的圆的半径是40厘米，这条弧所对的圆心角为100°，求该圆弧的弧长．（结果保留π）【难度】★【答案】2009π．【解析】100×40π÷180 =2009π．【总结】考查对弧长公式的理解以及利用公式进行计算．【例20】一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（π取3.14）【难度】★【答案】4cm．【解析】18.84×180÷270÷3.14 = 4cm．【总结】考查弧长公式的逆运用．ABC12厘米【例21】 如图，ABC ∆的三条边长都是18毫米，分别以A 、B 、C 为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】56.52毫米．【解析】180×3.14×18÷180 = 56 .52毫米．【总结】考查对弧长公式的理解以及运用公式进行计算．【例22】 某建筑物上的大钟，分针长1.2米，时针长0.9米，试计算2小时分针和时针的针尖运动的距离．（π取3.14）【难度】★★【答案】分针针尖2小时经过的路程为15.072m 、时针针尖2小时经过的路程为0.942m ． 【解析】时针走两小时，走过的圆心角度数为60°，则时针针尖2小时运动的距离为：60×3.14×0.9÷180 = 0.942m ，分针走一小时，走过的圆心角为360°，则时针针尖2小时运动的距离为：720×3.14×1.2÷180= 15.072m ．【总结】考查弧长公式的运用，注意时针针尖和分针针尖在不同时间走过圆心角不同．【例23】 把直径为18厘米的圆等分成9个扇形，每个扇形的周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】24.28cm ．【解析】3.14×18÷9+18=24.28cm ．【总结】考查弧长的计算，分成扇形后多了两个半径．【例24】 如图，圆心角为135°的扇形减去直径为12厘米的半圆，所得到的阴影部分的周长为______厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】59.1厘米．【解析】135×3.14×12÷180+3.14×6＋12 = 59.1厘米． 【总结】考查弧长公式的计算．A BCD7厘米2 2 2 2 2 2 4【例25】 如图，以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★ 【答案】3.09cm ．【解析】已知两段弧所对的圆心角的度数均为60°， 故阴影部分的周长为：120×3.14×1÷180＋1=3.09cm ． 【总结】考查弧长的计算，注意阴影部分的周长包含BC 的长．【例26】 如图，四边形ABCD 是长方形，长为10厘米，宽为6厘米，求阴影部分的周长．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】33.12cm ．【解析】90×3.14×10÷180＋90×3.14×6÷180＋4＋4=33.12cm ． 【总结】考查组合图形的周长的计算．【例27】 夏天到了，爸爸到商店买了3瓶啤酒，售货员将3瓶啤酒捆扎在一起，如图所示，那么捆4圈至少用绳子______厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】171.92厘米．【解析】（3×7+3.14×7）×4 = 171.92cm ．【总结】本题中一圈绳子的长度包含了一个直径为7厘米的 的圆的周长与3个直径的和．【例28】 求图中阴影部分的周长．（π取3.14） 【难度】★★★ 【答案】33.12．【解析】四条弧加起来正好是一个圆， 故阴影部分的周长为：3.14×4×2＋2×4=33.12．【总结】考查组合图形的周长的计算，注意该组合图形中包含了四条线段的长．AABCABCABCABCA……原位置第一次第二次第三次第四次第五次【例29】如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长600厘米的正方形，栓狗的绳子长20米．现狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，可跑多少米？（π取3.14）【难度】★★★【答案】69.08m．【解析】狗可以跑4个14圆，第一个14圆的半径为20米，路程是：14×2π×20 = 10π；第二个14圆的半径为20-6=14米，路程是：14×2π×14 = 7π；第三个14圆的半径为20-6-6=8米，路程是：14×2π×8 = 4π；第四个14圆的半径为20-6-6-6=2米，路程是：14×2π×2 =π．所以可以跑的总路程为：10π+7π+ 4π+π= 22π= 69.08m．【总结】本题综合性较强，主要是分清每段圆的半径．【例30】等边三角形的边长是3厘米，现将ABC沿一条直线翻滚30次，如图所示，求A点经过的路程的长．【难度】★★★【答案】125.6cm．【解析】A点运动一次走过的路程是圆心角为120度半径为3厘米的扇形的弧长，但连续运动两次之后，第三次A点是不动的，因此ABC每翻滚一次，就有一次固定不动，A点经过的路程的长为：1202323040125.6 3603cm ππ⨯⨯⨯⨯⨯==．【总结】本题综合性较强，一方面要分清楚A点的运动路径，另一方面要确定三角形在旋转时的旋转中心．【习题1】 下列结论中，正确的是（ ）A ．任何一个圆的周长与半径之比不是一个固定的数B ．任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比C ．任何两个圆的周长之比是一个固定的数D ．称圆的周长与半径之比为圆周率 【难度】★ 【答案】B ．【解析】圆周率是一个固定的数． 【总结】考查圆的周长及圆周率的概念．【习题2】 圆的直径为30 ，则圆的周长为______．（结果保留π） 【难度】★ 【答案】30π． 【解析】30C d ππ==． 【总结】考查圆的周长的计算．【习题3】 一个圆中，120°的圆心角所对的弧长是15.072米，则这个圆的半径是______米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】7.2m ．【解析】15.072×180÷120÷3.14 = 7.2m ． 【总结】考查弧长公式的逆运用．【习题4】 一个半圆的周长是17.99厘米，则它的直径为______厘米．（π取3.14） 【难度】★★ 【答案】7厘米． 【解析】设周长为d ，则17.992dd π+=，解得：7d =．【总结】考查圆的周长公式的逆运用，注意本题中周长还包含一条直径的长．随堂检测AB6厘米 4厘米【习题5】 两只蚂蚁分别沿着边长为10米的正方形和直径为10米的圆的路线爬行，如果同时以同样的速度从一点出发，那么谁先回到起点？【难度】★★【答案】沿圆形路线爬行的蚂蚁先到起点．【解析】因为4×10 > 10π，所以沿圆形路线爬行的蚂蚁先到起点． 【总结】考查圆与正方形周长的计算在实际问题中的运用．【习题6】 如图是由两个正方形和两个扇形的组合图形，则阴影部分的周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】33.98厘米．【解析】90×3.14×10÷180＋90×3.14×4÷180＋2＋6＋4 =33.98厘米．【总结】考查组合图形的周长的计算，注意周长包含了好几部分．【习题7】 一个自行车轮子的直径为0.8米，能滚动25圈/分，要通过一座长502.4米的大桥，需要多少分钟？【难度】★★（π取3.14） 【答案】8分．【解析】502.4÷（25×3.14×0.8）= 8分．【总结】自行车的轮子滚动一圈，实际上就是直径为0.8米的圆的周长，然后转化为路 程与速度的问题．【习题8】 如图，圆A 的半径为圆B 半径的13，圆A 从图上所示位置出发，沿着圆B滚动，那么至少要滚动多少圈才能回到原处？【难度】★★★ 【答案】4．【解析】设小圆半径为x ，则大圆半径为3x ，则圆心A 经过的路程为：8x π，故圆A 滚动的圈数为：842xxππ=．【总结】考查圆的周长的计算及运用，本题中只要看点A 运动的路程即可．【习题9】地球的赤道是个近似的圆形，赤道的半径约6378.2千米，假设有一根绳子沿地球赤道贴紧地面绕一周，现在将绳子增加6.28米，使绳子与地面之间有均匀的缝隙，请问缝隙有多宽？一只高4厘米的蜗牛能否从该缝隙间爬过？（π取3.14）【难度】★★★【答案】1m，能．【解析】6378.2千米= 6378200米，绳子增加6.28米后的周长为：2 3.146378200 6.28 6.286378201⨯⨯+=⨯米，增加后的半径为：6.286378201 3.1426378201⨯÷÷=米，增加的半径长度为：637820163782001-=米，即缝隙宽为1米．因为1米大于4厘米，所以该蜗牛能从该缝隙爬过．【总结】本题综合性较强，注意认真分析题目中的条件，进行计算．【习题10】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总周长为多少米？【难度】★★★【答案】50.24m．【解析】120×3.14×2÷180×2＋300×3.14×8÷180=50.24m．【总结】本题中小狗运动的路程是三段弧长的和，解题时注意分析．10080【作业1】 两个圆的周长比为1 : 3，则半径比为______． 【难度】★ 【答案】1:3．【解析】周长比等于半径比． 【总结】考查圆的周长与半径的关系．【作业2】 把一张圆形纸对折，再对折，再对折，得到一个扇形，那么它的圆心角是______°．【难度】★ 【答案】45．【解析】360°÷2÷2÷2=45°．【总结】考查圆的对折引起相应圆心角的变化．【作业3】 在一个周长为31.4厘米的圆中，108°所对的弧长为______厘米．（π取3.14） 【难度】★ 【答案】9.42厘米．【解析】108÷360×31.4 = 9.42厘米． 【总结】考查弧长的计算．【作业4】 如图，计算环行跑道的周长（单位：米；π取3.14）． 【难度】★★ 【答案】451.2米．【解析】3.14×80＋200 = 451.2米． 【总结】考查环形跑道周长的计算．课后作业AB C DEFG H【作业5】用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形或者围成一个圆，则围成的正方的边长与围成的圆的直径哪个大？大多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】圆的直径大，大2.15dm．【解析】正方形边长为：31.4÷4=7.85dm，圆的直径为：31.4÷3.14=10dm，故圆的直径大，大：10-7.85=2.15dm．【总结】考查圆的周长的计算．【作业6】如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，边长的一半为半径在正三角形内作弧，若正三角形边长为4厘米，求三条弧长的和．【难度】★★【答案】2π．【解析】180π×2÷180 = 2π．【总结】考查弧长的计算．【作业7】如图，正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到如图所示是图形，则该图形的外周长为______厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】19.7厘米．【解析】2×3.14×（1+2+3+4）÷4 + 4= 15.7+ 4 = 19.7厘米．【总结】考查组合图形周长的计算，注意该图形周长中还包含线段DH的长．ABCDEABCDE45°【作业8】 如图，小明同学分别以同一个含45°角的三角板的两个锐角顶点为圆心，以一条直角边的长为半径画弧，求这两段弧AD 与AE 的长的比．【难度】★★★ 【答案】1:3．【解析】两段弧的半径相等，所以弧长比等于 圆心角比：45:135=1:3．【总结】考查利用弧长公式求出弧之比．【作业9】 下图中，五个正方形的边长均为l ，那么其中阴影部分的周长相等的图形是哪些？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【答案】B = C = E 、A = D ．【解析】B 、C 、E 的周长都等于一个圆的周长，A 、D 的周长都等有一个圆的周长加 正方形的周长．【总结】考查组合图形的周长的计算．【作业10】 两枚如图放置的同样大小的硬币，其中一枚固定另一枚沿其周围滚动．滚动时，两枚硬币总是保持有一点相触，这在几何学上叫做相切．当滚动的一枚硬币沿固定的一枚硬币周围滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那枚硬币自转了多少周？【难度】★★★ 【答案】2．【解析】设硬币的半径为r ，则滚动的圆的圆心走过的圆的半径为2r ， 故银币自传的圈数为：（2×π×2r ）÷（2×π×r ）= 2．【总结】考查圆的周长的计算及运用，本题中只要看圆心运动的路程即可．。
小专题(十六) 应用弧长公式求图形滚动的路径长——教材P118数学活动1的变式与应用
小专题(十六) 应用弧长公式求图形滚动的路径长——教材P118教学活动1的变式与应用【例1】 (黄冈中考改编)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A 1位置时，求点A 经过的路线长．解：如图，由A″C 1＝32＋42＝5，则AA′︵＝90π×3180＝32π，A′A″︵＝90π×4180＝2π，A″A 1︵＝90π×5180＝52π， 则点A 第一次翻滚到点A 1位置时，经过的路线长为AA′︵＋A′A″︵＋A″A 1︵＝32π＋2π＋52π＝6π.【方法归纳】 平面图形滚动问题的解题规律：(1)滚动前后图形的形状、大小不变，位置改变；(2)滚动时不动的点是定点，滚动过程中动点经过的路线(轨迹)一般是一段圆弧，所形成的图形一般是扇形，所以解决平面图形滚动问题的关键是找到定点(即所形成扇形的圆心)与动点，其中定点与动点之间的距离是所形成扇形的半径．1．如图，⊙P 与x 轴切于点O ，点P 的坐标为(0，1)，点A 在⊙P 上，且在第一象限，∠APO ＝120°，⊙P沿x 轴正方向滚动，当点A 第一次落在x 轴上时，点A 的横坐标为23π(结果保留π)．2．如图，边长为2的等边三角形木块，沿水平线l 滚动，则A 点从开始至结束所走过的路线长为8π3(结果保留π)．3．如图，将边长为 2 cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动(不滑动)，当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O 经过的路线长是3πcm .(结果保留π)4．(恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于5π．5．如图，已知∠ABC ＝90°，AB ＝πr ，BC ＝πr 2，半径为r 的⊙O 从点A 出发，沿A →B →C 方向滚动到点C 时停止，则圆心O 运动的路程是2πr ．6．如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚．(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转60度时，点A 落在点A 1位置；(2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长．解：当点A 翻滚到点A 2的位置时，点A 所经过的路径长为：l ＝AA 1︵＋A 1A 2︵＝60π×2180＋60π×23180＝2（3＋1）π3.。
圆的特点与性质
圆的特点与性质
圆是几何中的基本图形之一，具有以下特点与性质:
1. 定义: 圆是平面上所有离一个固定点相等距离的点所组成的
集合。
这个固定点被称为圆心，固定距离被称为半径。
2. 对称性: 圆具有无限个对称轴，其中任何一条通过圆心的直
线都是圆的对称轴。
这意味着圆上的任何点关于圆心都具有对称性。
3. 直径: 圆上任意两点之间的线段称为直径，直径的长度等于
半径的两倍。
4. 弧长: 圆上两点之间的弧长是连接这两点的圆弧所对应的弧长，弧长的长度取决于弧所对应的圆心角的大小。
5. 弧度制: 弧可以用弧度来度量，弧度是一个角度制单位，等
于圆的半径上的弧长与半径的比值。
一个完整的圆对应的弧度为
2π。
6. 面积: 圆的面积可以通过公式A = πr^2来计算，其中A表示面积，π是一个无理数，约等于3.，r为半径。
7. 周长: 圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中C表示周长，r为半径。
8. 圆与直线的交点关系: 圆与直线最多有两个交点。
如果直线经过圆心，则有无限个交点；如果直线不经过圆，则没有交点。
9. 圆与圆的位置关系: 两个圆之间有三种可能的位置关系。
它们可以相交于两个交点、内切于一个交点，或者外切于一个交点。
以上是关于圆的一些特点与性质的简要介绍。
圆在几何学中具有广泛的应用，在日常生活和工程领域中也有很多实际应用。
六年级秋季班-第15讲：圆的周长和弧长(1)(教案教学设计导学案)
圆的周长和弧长是六年级数学上学期第4章第1节的内容，通过本讲的学习，同学们需要掌握圆的周长和弧长的公式，并熟练运用进行相关的计算．难点是圆的周长和弧长公式在组合图形中的运用，以及在实际问题中的应用．1、圆的周长通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，．圆的周长直径= 圆周率．用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或【例1】想要求圆的周长，就必须知道（）A．圆心B．圆周率C．直径和半径D．直径或半径【难度】★【答案】【解析】【例2】是一个（）A．有限小数B．无限循环小数C．无限不循环小数D．混合循环小数【难度】★【答案】【解析】【例3】判定题：（1）大圆的圆周率大于小圆的圆周率．（）（2）一个圆的半径扩大2倍，它的周长也扩大2倍．（）【难度】★【答案】【解析】【例4】求下列图中各圆的周长．（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例5】车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为多少米？（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例6】小智每天绕半径为20米的花坛跑15圈，则小智每天要跑多少米？（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例7】小方家挂钟的分钟长24厘米，1小时后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？10小时后呢？（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例【难度】★★【答案】【解析】【例9】如图，是一个由半圆和一条直径所组成的图形，求这个图形的周长．（单位：厘米，取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，大半圆的直径为15厘米，小半圆的直径是大半圈的，则该图形的周长为______．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例11】如图是由直径分别为4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形，则这个图形的周长为______．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例12】直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起，如图所示，试求金属带的长度．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例13】一个正方形的铁片里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是25.12厘米，那么正方形的周长比圆的周长多多少厘米？（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例14】如图，点O、点B在线段AC上，AB = 120 米，BC = 70 米，O是圆心．从A 到C有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短．【难度】★★★【答案】【解析】【例15】如图，一个半径1厘米的硬币沿着长方形纸板的边缘滚动，长方形纸板长30厘米，宽20厘米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是______厘米．（取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】1、弧和圆心角的概念如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角．2、弧长公式设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：【例16】下列图形中的角是圆心角的有______个．【难度】★【答案】【解析】【例17】下列判断中正确的是（）A．半径越大的弧越长B．所对圆心角越大的弧越长C．所对圆心角相同时，半径越大的弧越大D．半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变【难度】★【答案】【解析】【例18】若一弧长是所在圆周长的，则它所对的圆心角是______度．【难度】★【答案】【解析】【例19】一段圆弧所在的圆的半径是40厘米，这条弧所对的圆心角为100°，求该圆弧的弧长．（结果保留）【难度】★【答案】【解析】【例20】一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例21】如图，的三条边长都是18毫米，分别以A、B、C为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例22】某建筑物上的大钟，分针长1.2米，时针长0.9米，是计算2小时分针和时针的针尖运动的距离．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例23】把直径为18厘米的圆等分成9个扇形，每个扇形的周长是______厘米．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例24】如图，圆心角为135°的扇形减去直径为12厘米的半圆，所得到的阴影部分的周长为______厘米．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例25】如图，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例26】如图，四边形ABCD是长方形，长为10厘米，宽为6厘米，求阴影部分的周长．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例27】夏天到了，爸爸到商店买了3瓶啤酒，售货员将3瓶啤酒捆扎在一起，如图所示，那么捆4圈至少用绳子______厘米．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例28】求图中阴影部分的周长．（取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【例29】如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长600厘米的正方形，栓狗的绳子长20米．现狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，可跑多少米？（取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【例30】等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求A点经过的路程的长．【难度】★★★【答案】【解析】【习题1】下列结论中，正确的是（）A．任何一个圆的周长与半径之比不是一个固定的数B．任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比C．任何两个圆的周长之比是一个固定的数D．称圆的周长与半径之比为圆周率【难度】★【答案】【解析】【习题2】圆的直径为30 ，则圆的周长为______．（结果保留）【难度】★【答案】【解析】【习题3】一个圆中，120°的圆心角所对的弧长是15.072米，则这个圆的半径是______米．（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【习题4】一个半圆的周长是17.99厘米，则它的直径为______厘米．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【习题5】两只蚂蚁分别沿着边长为10米的正方形和直径为10米的圆的路线爬行，如果同时以同样的速度从一点出发，那么谁先回到起点？【难度】★★【答案】【解析】【习题6】如图是由两个正方形和两个扇形的组合图形，则阴影部分的周长是______厘米．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【习题7】一个自行车轮子的直径为0.8米，能滚动25圈/分，要通过一座长502.4米的大桥，需要多少分钟？【难度】★★（取3.14）【答案】【解析】【习题8】如图，圆A的半径为圆B半径的，圆A从图上所示位置出发，沿着圆B 滚动，那么至少要滚动多少圈才能回到原处？【难度】★★★【答案】【解析】【习题9】地球的赤道是个近似的圆形，赤道的半径约6378.2千米，假设有一根绳子沿地球赤道贴紧地面绕一周，现在将绳子增加6.28米，使绳子与地面之间有均匀的缝隙，请问缝隙有多宽？一只高4厘米的蜗牛能否从该缝隙间爬过？（取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【习题10】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总周长为多少米？【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】两个圆的周长比为1 : 3，则周长比为______．【难度】★【答案】【解析】【作业2】把一张圆形纸对折，再对折，再对折，得到一个扇形，那么它的圆心角是______°．【难度】★【答案】【解析】（取3.14）【作业3】在一个周长为31.4厘米的圆中，108°所对的弧长为______厘米．【难度】★【答案】【解析】【作业4】如图，计算环行跑道的周长（单位：米；取3.14）．【难度】★★【答案】【解析】【作业5】用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形或者围成一个圆，则围成的正方的边长与围成的圆的直径哪个大？大多少？（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业6】如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，边长的一半为半径在正三角形内作弧，若正三角形边长为4厘米，求三条弧长的和．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】如图，正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到如图所示是图形，则该图形的外周长为______厘米．（取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业8】如图，小明同学分别以同一个含45°角的三角板的两个锐角顶点为圆心，以一条直角边的长为半径画弧，求这两段弧与的长的比．【难度】★★★【答案】【解析】【作业9】下图中，五个正方形的边长均为l，那么其中阴影部分的周长相等的图形是哪些？【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】两枚如图放置的同样大小的硬币，其中一枚固定另一枚沿其周围滚动．滚动时，两枚硬币总是保持有一点相触，这在几何学上叫做相切．当滚动的一枚硬币沿固定的一枚硬币周围滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那枚硬币自转了多少周？【难度】★★★【答案】【解析】。
多边形的滚动形成的路线长和面积
多边形的滚动形成的路线长和面积知识准备1、一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的 .2、弧长公式：扇形面积公式：滚动三角形如图，一块含有300角的直角三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到'''A B C 的位置，若BC 的长为15cm ，求：(1)顶点A 从开始到结束所经过的路径长；(2)△ABC 扫过的面积.滚动正方形1、如图，一块边长为10cm 的正方形木板ABCD ，在水平桌面上绕点D 按顺时针方向旋转到A ′B ′C ′D ′的位置时，顶点B 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A.20cmB.202cmC.102πcmD. 52πcm2、如图，将边长为10cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，求正方形的顶点A 所经过的的路线长.滚动矩形已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动的转动，当它转动一周时，求：(1)顶点A所经过的路线长；(2)顶点A所经过的路线与直线AP所围成的图形的面积.挑战自我如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为.课后练习1、如图，一块腰为8cm的等腰直角三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B顺时针旋转45°到△A′BC′位置，则顶点C从开始到结束所经过的路径长为___ ___cm；△ABC扫过的面积为___ ___cm2.2、一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线l翻滚（如图），当点B第一次翻滚到点B2位置时，求点B经过的路径长及其与直线l所围成的图形的面积.3、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）___ ___．延伸提高4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置，求：（1）整个旋转过程中点H运动的路径长；（2）整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积.。
弧长C(教师)
学科教师辅导讲义年 级：预初 科 目：数学 课时数：3课 题弧长教学目的1.理解弧的概念；2.掌握弧长公式；会用公式进行有关弧长、图形周长的计算.教学内容【知识梳理】1 .弧与圆心角的概念①圆上任意两点间的部分叫做弧，弧用符号“ ”表示，如图所示，以A ，B 为端点的弧，记作AB ，读作“弧AB ”，如图中的AB 又称作半圆．②顶点在圆心的角叫做圆心角．如图中的∠AOB 称为圆心角．2.弧长计算公式l =2180180n r r πππ⨯=，可变形为2360l n r π=，即360l nC =. 由此可知：(1)弧长是所在圆周长的几分之几，圆心角就是360︒的几分之几．(2)1︒的圆心角所对的弧长是圆周长的1360,圆心角为n 度的弧长是圆周长的360n．【说明】(1)决定弧长有两个量：圆的半径和圆心角，它们增大和减小都直接关系到弧长的增大与减小．即在一个圆中弧长随着圆心和半径的增大而增大，随着它们的减小而减小． (2)为了计算方便，在进行某些稍做复杂点的计算时要注意计算的合理性，选择简便的算法，如108180×3.14×5应先约分后计算．在没有说明精确度要求时，可以保留π作结果． 3.弧长与弧度弧有长度即弧长，也有度数即弧度，弧长决定弧的长短，弧度决定着弧弯曲程度，弧度即是弧所对的圆心角的度数．【典型例题讲解】 题型一：【例1】下列叙述中，正确的个数为 ( ) ①半圆是一条弧。
②圆心角相等，所对弧的长也相等。
③顶点在圆内的角叫做圆心角。
A.0；B.l ；C.2；D.3.【解析】①是正确的；②缺少了前提条件：“在同一个圆中”，所以②不正确；③不正确，只有顶点在圆心上，这个角才叫圆心角。
【答案】B【例2】下列图形的角是圆心角的是______，不是圆心角的是_______．（写序号）【答案】②⑤；①③④题型二：【例3】在半径为10厘米的圆中，72︒圆心角所对的弧长是多少厘米？ 【分析】弧长计算与C ，d ，r ，n ，π有关，已知半径，则计算公式为180nl r π=． 【解析】由题意知．r =10厘米，n=72， 所以180n l r π==72180×3.14×10=12. 56（厘米）． 答：所求的弧长是12. 56厘米．【例4】在周长为10厘米的圆中，36°圆心角所对的弧长是多少厘米？【方法总结】此题不需要求圆的半径，利用圆心角和周角的比等于弧长和周长的比直接求解即可.【例5】如图所示,一个闹钟的时针长5厘米，从上午8点到下午4点，时针针尖走过的距离是多少厘米？ 【分析】只要求出上午八点到下午四点时针转过多少度即可. 【借题发挥】1.如图所示，以△ABC 的三个顶点为圆心、15毫米为半径，在△ABC 内画弧，得到三段弧，求这三段弧长之和。
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图形滚动与弧长
一、滚动圆
例1：如图1，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于A 点，A 代表的数为－1，假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点B 重合，则点B 对应的实数是 。
解析：硬币滚动一周的周长为π，此时的线段AB=π，那么
1O B A B O A π=-=-，所以B 点的对应实数为1π- 故填：1π-
二、滚动三角形
例2：如图2，一块含有300
角的直角三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到'''A B C 的位置，若BC 的长为15cm ，那么顶点A 从开始到结束所经过的路径长为( )
A. 10cm π
B.
C. 15m π
D.20cm π 解析：三角板在旋转过程中，点A 从开始到结束所经过的路 径是以点C 为圆心、以AC 为半径的一段弧，这段弧所对的 圆心角是1200。
由BC=15cm ，∠A=300可得，AC=30cm ，所以
所求的这段路径长为
12012030
20()180
180
A C cm πππ⨯⨯== 故选D
三、滚动正方形
例3：如图3，将边长为8cm 正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动(不滑动)，当正方形滚
动两周时，正方形的顶点A 所经过的的路线的长为多少？ 解析：正方形ABCD 滚动一周时如图4所示，
第一次：A 点所经过的路线长是以点C 为圆心、 CA 为半径、圆心角为900的弧长，
∵)AC cm =
=
∴弧长为：9090()180
180AC cm ππ⨯⨯==
第二次：弧长=909084()180
180
A D cm πππ⨯⨯==
第三次：是以点A 为圆心，AB 长为半径滚动900，此时点A 没有动；
第四次：经过的路线长为：
909084()180
180
A B cm πππ⨯⨯=
=
∴正方形滚动一周时，点A 的经过的路线长是448)cm πππ++=，当正方
形ABCD 滚动两周时点A 所经过的路线长为8)216)cm ππ⨯=+
答：正方形滚动两周时，正方形的顶点A 所经过的的路线的长16)cm π。
四、滚动矩形
例4：如图5，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD 在直线上按顺时针方向不滑动的每秒转动900
，转动3秒后停止，则顶点A 经过的路线长为 。
解析：矩形在转动过程中点A 从开始到结束所经过的 路径是分别以B 为圆心、AB 长为半径的弧1AA ；以 点1C 为圆心、11C A 长为半径的弧12A A ；以点2D 为圆
心、22D A 长为半径的弧23A A 的弧长之和，而每段弧所对的圆心角均为900，所以可求得点A 所经过的路线长为：
908901090612180
180
180
ππππ⨯⨯⨯+
+=
点评：解决这类问题的关键是搞清楚图形在滚动过程中某点所经过的路径，即弧长共有几段，然后分别求出各段路径的长度，再求出总长度即可。
实战练习：
已知矩形ABCD 的长AB=4，宽AD=3，按如图6放置在直线AP 上，然后不滑动的转动，当它转动一周时('
A A →)，顶点A 所经过的路线长等于 。
参考答案：6π。
提示：第一次转动是以点B 为圆心，BA=4为半径旋转900，转动的弧长为2π；第二次弧长为2.5π；第三次转到，转动的弧长为1.5π。