6反比例函数(特殊图形)
反比例函数的图像和性质

> y >y.
1 2
3 (2)已知 x1,y1 和 x2,y2 是反比例函数 y 的两对自变 x 量与函数的对应值.若 x1 x2 0,则 0 > y1 > y2.
2.已知( x1,y1 ),( x2,y2),( x3,y3 )是反比例函数
2 的图象上的三个点,并且 y1 y2 y3 0 ,则 y x x1,x2,x3 的大小关系是( C )
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3
有两条曲线共同组成 一个反比例函数的图像, 叫双曲线。
-4 -5 -6
反比例函数图像的两个分支关于 原点对称,反比例函数的图像(2个分 支作为一个整体)是一个中心对称图 形。
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
… - -3 -2 -1 … 0 … 1 2 3 6 … 6 6 x Y= … - -2 -3 -6 … / … 6 3 2 1 … 1 · x
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y2> y1
.
当k<0时:
在每一个象限内,y随x的增大而增大
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 1<0<x2 A(x1,y1),B(x2,y2)且x
k4 都在反比例函数 y y x(k<0) 的图象上, x
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y1 >0>y2
性 质
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.反比例函数图象无限向 x,y 轴逼近,但总不相交; 3.反比例函数自身都是中心对称图形,对称中心是坐 标原点.
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是( x y y
反比例函数的图像和性质的综合应用

解析
根据题意,将点 A(-2 ,3)和点 B(3,-2 )分别代入两个函数中 ,得到关于 m、k、b 的方程组,解方程组求 得 m、k、b 的值,即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边,并且和 其他两边相交的线段,所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ,沿y轴方向平移,函数表达式不变, 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时,图像分别位于第一、三象限,每一个象限内,从 左往右,y随x的增大而减小;
02
当k<0时,图像分别位于第二、四象限,每一个象限内,从 左往右,y随x的增大而增大。
03
k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数; k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积,或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度,应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离,或已 知距离和时间求解速度,利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律,求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹,结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意,将点(-2, -1)代入两个函数中, 得到关于 k、m、n 的 方程组,解方程组求得 k、m、n 的值,即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中,得到关于 k、 m、n 的另一个方程, 与前面的方程组联立求 解,即可得到最终的解
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质

2023函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质•反比例函数概述•反比例函数的图象特征•反比例函数的性质•反比例函数的应用目•反比例函数与其他数学内容的联系•研究反比例函数的实验与数值模拟录01反比例函数概述形如$y = \frac{k}{x}$($k$为常数,$k \neq 0$)的函数称为反比例函数。
定义当$k > 0$时,图象分布在第一、三象限,且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小;当$k < 0$时,图象分布在第二、四象限,且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
性质定义与性质描述生活中常见的数量关系例如,当两个变量成反比例关系时,可以用反比例函数来描述它们之间的关系。
例如,路程一定时,速度与时间成反比;物体重量一定时,浮力与排开液体的体积成反比等。
数学中基本概念之间的联系反比例函数与正比例函数、一次函数、二次函数等有密切的联系,研究反比例函数有助于理解这些基本概念之间的联系与区别。
反比例函数的重要性描述自然现象和社会现象许多自然现象和社会现象中都存在反比例关系,例如物理学中的万有引力定律、电学中的欧姆定律等。
研究反比例函数可以描述这些现象,并帮助人们更好地理解它们。
数学应用在数学中,反比例函数与其他函数、方程、不等式等都有密切的联系。
研究反比例函数可以帮助人们更好地理解这些概念,并为解决实际问题提供更好的数学工具。
研究反比例函数的意义与发展02反比例函数的图象特征中心对称反比例函数图象以原点为中心对称。
双曲线反比例函数图象表现为双曲线,两支曲线永远不会相交。
形状特征水平位置当反比例函数解析式中的常数为正数时,图象在第一、三象限;当常数为负数时,图象在第二、四象限。
垂直位置由于反比例函数的图象关于原点对称,因此当常数为正数时,图象向右上方倾斜;当常数为负数时,图象向右下方倾斜。
位置特征当自变量x增大时,函数值y会减小;当自变量x减小时,函数值y会增大。
当|x|增大时,|y|会减小;当|x|减小时,|y|会增大。
反比例函数的图像与性质

反比例函数的图像与性质一、反比例函数的概念:形如(0)ky k x=≠的函数,叫做反比例函数.其中x 是自变量,y 是函数 ,k 叫做比例系数. 【注】1、自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数,y 的取值范围也是不等于0的一切实数.2、在反比例函数ky x=(k≠0)的左边是函数y ,右边是分母为自变量x 的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式,如1y x =,312y x =等都是反比例函数,但21y x =+就不是关于x 的反比例函数. 3、反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y =kx -1或xy =k 的形式.4、反比例函数中,两个变量成反比例关系. 二、反比例函数的图形与性质与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y 随x 的增大而减小; 时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y 随x 的增大而增大.,b )在双曲线的一支上,则(),a b --在双曲线的即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线,所得矩形的面积为|k |.所以已知反比例函数可求矩形面积,反之,已知矩形面积可求反比例函数.【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.【练】1、下列函数中,哪些是反比例函数?(1)31y x =-;(2)22y x =;(3)1y x =;(4)23x y =;(5)3y x =; (6)23y x =-;(7)12y x -=;(8)41y x =+;2、已知函数()231m m y m x +-=-中,y 是x 的反比例函数,求当3x =时,y 的值.反比例函数的图像与性质专项练习解答题1. 若变量y 与x 成正比例变量x 与z 成反比例,则 ( )A.y 与z 成反比例函数关系B.y 与z 成正比例函数关系C.y 与z 2成正比例函数关系D.y 与z 2成反比例函数关系2. 点P (1,3)在反比例函数ky x=(k≠0)的图象上,则k 的值是) A.13 B.3 C. 13- D.-3 3. 在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上,y x 都随的增大而增大,则k 的值可以是( ) A .1- B .0 C .1 D .24. 如图,A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积为S ,则( )A. S=2B. S=4C. 2<S<4D. S>45. 在函数22a y x--=(a 为常数)的图象上有三点()()()112233,,,,,x y x y x y ,且1230x x x <<<,则123,,y y y 的大小关系是 。
第六章 反比例函数反比例函数的图象与性质

作业
(A层)如图,当 x 0 时, 下列图象中,
有可能表示 y 2 的图象的是
.
x
(B层)
1、已y2与知xy2 成反y1+比y例2 ,,y且1与当x x成=正2与比x例=3,时,
y的值都等于19. y与x间的系数关系式, 并求x=4时y的值.
2、习题6.2 联系拓广
数学核心素养
一、什么是数学核心素养 二、如何在数学教学活动中体现数学核心素养 三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
挑战自我 能力提升
问题: 1、反比例函数图象是中心对称图形吗?
若是的话,请找出对称中心.
2、反比例函数图象是轴对称图形吗? 若是的话,你能试着说明它的对称轴 是什么吗?
分层达标 课后延伸
A层
1、y 3(x 0) 的图象叫
,
x
图象位于
象限.
2、写出一个图象分布在二、四象限内的
反比例函数解析式
.
B层
1、已知函数 y(m2)xm22m9是反比例函数,
且图象经过 一、三象限, 求m的值
2、u与t成反比,且当u=6时,t 1 8
这个函数关系式为
.
Hale Waihona Puke 归纳总结 纳入系统反比例函数图象分别都是由两支曲线组成, 因此称反比例函数的图象为双曲线
反比例函数的图象由k决定 当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;
第六章 反比例函数
反比例函数的图象与性质
设疑激思 复习引入
1.我们通常从哪几方面研究函数? 2.画一次函数图象的步骤是什么? 3.借助图象我们研究了一次函数的哪些
性质?
合作探究 发现问题
26.1.2反比例函数的图像和性质

03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01
02
03
求导判断法
通过对反比例函数求导, 根据导数的正负判断函数 的单调性。
图像观察法
通过观察反比例函数的图 像,可以直接判断出函数 在不同区间的单调性。
特殊点比较法
选取反比例函数上的特殊 点,比较它们的函数值大 小,从而判断函数的单调 性。
奇偶性讨论
奇函数性质
02
反比例函数图像特点
图像形状及位置
01
反比例函数的图像是一条双曲线 ,该曲线以原点为中心,分布在 两个象限内。
02
当$k > 0$时,双曲线的两支分别 位于第一、第三象限;当$k < 0$ 时,双曲线的两支分别位于第二 、第四象限。
渐近线与坐标轴关系
反比例函数的图像无限接近于坐标轴 ,但永远不会与坐标轴相交。
的关系等。
工程学
在工程学中,复合反比例函数可用 于描述某些物理量之间的关系,如 电阻、电容和电感等。
数学建模
在数学建模中,复合反比例函数可 作为一种数学模型来描述实际问题 ,如人口增长、资源消耗等。
THANKS
感谢观看
在第一、三象限内,双曲线无限接近 于$x$轴和$y$轴的正半轴;在第二、 四象限内,双曲线无限接近于$x$轴和 $y$轴的负半轴。
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称,即如果点$(x, y)$在双曲线上,则点$(-x, -y)$ 也在双曲线上。
此外,反比例函数的图像还关于直线$y = x$和$y = -x$对称。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题求解
矩形面积
当矩形的长度和宽度成反比例关系时 ,可以通过反比例函数求解其面积。
6.2 反比例函数的图像和性质(1)课件(共31张ppt)

对于一次函数 y = kx + b (k、b为常数, k ≠ 0 ),我们是如何研究的?
问题2:
对于反比例函数
y
k x
(
k是常数,k
≠
0
)
,我们能否像一次函数那样进行研究呢?
杭州育才中学 黄有宇
知识回顾
作一次函数图象的一般步骤:
y 6x
一条直线
描点法 列
描
连
表
点
线
反比例函数的图象是怎样的?
求m的取值范围.
5. 已知反比例函数
y k (k 0) x
与正比例函数
y=-2x的图象的一个公共点的纵坐标为-4,
求这个反比例函数的解析式,
并求出另一个公共点的坐标.
适度拓展,用药熏消毒法进
行消毒。已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的
含药量 y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧
(2)
杭州育才中学 黄有宇
观察反比例函数 y k ( k 0 )的图象,说出y与x之
间的变化关系:
x
k 0
k 0
y
O
( x3,y(3xC)4,yD4 )
A ( x1,y1 ) B ( x2,y2 )
x
y
( x1,y1 ) A
( x2,y2 ) B
O
x
D ( x4,y4 )
C ( x3,y3 )
当k>0时,在一、三象限; 当k<0时,在二、四象限
增
减 当k>0时,y随x的增大而增大 性 当k<0时,y随x的增大而减小
当k>0时,在每一象限内,y 随x的增大而减小
当k<0时,在每一象限内, y随x的增大而增大
反比例函数

k 1 .反比例函数 y= (k 是常数, k≠0)的图象是 x 双曲线.因为 x≠0,k≠0,相应地 y 值也不能为 0, 所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴,但永不 与 x 轴、y 轴相交.
2.反比例函数的图象和性质 k 反比例函数 y= (k 是常数, k≠0)的图象总是关于 x 原点对称的,它的位置和性质受 k 的符号的影响.
(1)求该轿车可行驶的总路程 s 与平均耗油量 a 之 间的函数解析式(关系式). (2)当平均耗油量为 0.08 升/千米时, 该轿车可以行 驶多少千米? 【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际 问题. k k 解:(1)把 a=0.1,s=700 代入 s= ,得 700= , a 0.1 70 k=70,s= . a
考点三 反比例函数值的大小比较 例 3(2014· 衡阳)若点 P1(-1,m),P2(-2,n)在 k 反比例函数 y= (k>0)的图象上,则 m________n(填 x “>”“<”或“=”).
【点拨】方法一:∵k>0,∴在每个象限内y 随x的增大而减小.又∵0>-1>-2,∴m<n.方 法二:∵k>0,∴取k=2,把x=-1,x=-2分别 2 代入y= ,得m=-2,n=-1,∴m<n. x
k 2. (2014· 株洲)已知反比例函数 y= 的图象经过点 x (2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是 ( B ) A.(-6,1) C.(2,-3) B.(1,6) D.(3,-2)
k 解析:∵y= 的图象经过点(2,3),∴k=2×3=6. x 又∵1×6=6=k, ∴点(1,6)也在这个函数的图象上. 故 选 B.
A.②③
B.③④
C.①②
D.①④
考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)

考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1.反比例函数的概念一般地,函数ky x=(k 是常数,k ≠0)叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式.自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数.2.反比例函数ky x=(k 是常数,k ≠0)中x ,y 的取值范围反比例函数ky x=(k 是常数,k ≠0)的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数,函数值y 的取值范围也是非零实数.二、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象与性质(1)图象:反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限.由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴.(2)性质:当k >0时,函数图象的两个分支分别在第一、三象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小.当k <0时,函数图象的两个分支分别在第二、四象限,在每个象限内,y 随x 的增大而增大.表达式ky x=(k 是常数,k ≠0)kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内,y随x的增大而减小在每个象限内,y随x的增大而增大2.反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴为直线y=x和y=-x,对称中心为原点.3.注意(1)画反比例函数图象应多取一些点,描点越多,图象越准确,连线时,要注意用平滑的曲线连接各点.(2)随着|x|的增大,双曲线逐渐向坐标轴靠近,但永远不与坐标轴相交,因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0.(3)反比例函数的图象不是连续的,因此在谈到反比例函数的增减性时,都是在各自象限内的增减情况.当k>0时,在每一象限(第一、三象限)内y随x的增大而减小,但不能笼统地说当k>0时,y随x的增大而减小.同样,当k<0时,也不能笼统地说y随x 的增大而增大.三、反比例函数解析式的确定1.待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法,由于在反比例函数kyx=中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式.2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤(1)设反比例函数解析式为kyx=(k≠0);(2)把已知一对x,y的值代入解析式,得到一个关于待定系数k的方程;(3)解这个方程求出待定系数k;(4)将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式.四、反比例函数中|k|的几何意义1.反比例函数图象中有关图形的面积2.涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时,可通过面积作和或作差的形式来求解.(1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①,S △ABC =2S △ACO =|k |;(2)如图②,已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点,且一次函数与x 轴交于点C ,则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+;(3)如图③,已知反比例函数ky x=的图象上的两点,其坐标分别为()A A x y ,,()B B x y ,,C 为AB 延长线与x 轴的交点,则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-.五、反比例函数与一次函数的综合1.涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时,联立两个解析式,构造方程组,然后求出交点坐标.针对12y y >时自变量x 的取值范围,只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如,如下图,当12y y >时,x 的取值范围为A x x >或0B x x <<;同理,当12y y <时,x 的取值范围为0A x x <<或B x x <.2.求一次函数与反比例函数的交点坐标(1)从图象上看,一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号,两个函数必有两个交点;②k 值异号,两个函数可能无交点,可能有一个交点,也可能有两个交点;(2)从计算上看,一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况.考向一反比例函数的定义1.反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y ,等号右边是关于自变量x 的分式,分子是不为零的常数k ,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式.2.反比例函数的一般形式的结构特征:①k ≠0;②以分式形式呈现;③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为:2.考向二反比例函数的图象和性质当k>0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内,y随x的增大而减小.当k<0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内,y随x的增大而增大.双曲线是由两个分支组成的,一般不说两个分支经过第一、三象限(或第二、四象限),而说图象的两个分支分别在第一、三象限(或第二、四象限).典例引领根据图象可知,114x x>+的解集是-正确的有②③;故选:B .【点睛】本题考查了反比例函数的性质,平移的性质,反比例函数图象与几何变换,掌握性质,数形结合是解题的关键.2.如图,点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧,则下列说法中,不正确的是(A .该反比例函数解析式B .矩形OCBD 的面积为C .该反比例函数的另一个分支在第三象限,且【详解】解:根据题意,10k ->,解得1k <,∴0k =满足题意,故选:D .变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象,并结合表中的数据:①猜测1y与x之间的函数关系,并求②求2y关于x的函数表达式;(2)①观察表格可知,1y 是x 设1k y x=,把()30,10代入得:1030k =,∴300k =,∴612x ≤≤.考向三反比例函数解析式的确定1.反比例函数的解析式k y x=(k ≠0)中,只有一个待定系数k ,确定了k 值,也就确定了反比例函数,因此要确定反比例函数的解析式,只需给出一对x ,y 的对应值或图象上一个点的坐标,代入k y x=中即可.2.确定点是否在反比例函数图象上的方法:(1)把点的横坐标代入解析式,求出y 的值,若所求值等于点的纵坐标,则点在图象上;若所求值不等于点的纵坐标,则点不在图象上.(2)把点的横、纵坐标相乘,若乘积等于k ,则点在图象上,若乘积不等于k ,则点不在图象上.典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征,题关键.利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值.【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式,根据矩形的边与y 轴平行,()1,B m ,D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点,确定点是解题的关键.先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质,键.变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点,即可得出答案.【详解】解:∵ABCD 是矩形,∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式,及解不等式.先求出双曲线解析式,由题意可用长.再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系(1)因为反比例函数kyx=中的k有正负之分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应加上绝对值符号.(2)若三角形的面积为12|k|,满足条件的三角形的三个顶点分别为原点,反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足.典例引领A .4-B .6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,题的关键.利用APC 与PBD 相似即可解决问题.【详解】解:PC x ⊥ 轴,PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠,PD x 轴,BPD PAC ∴∠=∠,APC PBD ∴ ∽,∴AC PC PD BD=.二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义,的面积是是解答此题的关键.作AD OB ⊥OA =12OB ,然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值.∵Rt OAB 中,30ABO ∠=︒,∴OA =12OB ,∵90ADO OAB ∠∠==︒,AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽,∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ,【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象,比例函数的图象,理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键.连接AB y ∥轴,得ABC 和AB y ∥轴,ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等,52ABC AOB S S ∆∆∴==,根据反比例函数比例系数的几何意义得:变式拓展(1)用含m 的代数式表示(2)若3OMN S =△,则【答案】24m k =90OAB ∠=︒,∴N 点的横坐标为m ,反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ,∴N 点的纵坐标为4m , OME OAN S S =△△,OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形,3OMN S =△,三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质,形的判定与性质;由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=,当04m <<时,则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形,k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴,垂足为点E,连接等.作AE x到三角形AOB的面积,两个面积之和为⊥轴,垂足为点【详解】解:作AE x,AE x⊥轴,AB AC=∴=,BE CE,=5OC OB(1)求k和m的値;(2)当8x≥时,求函数值【答案】(1)10k=,m(2)5 04y<≤.考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型:(1)利用k值与图象的位置的关系,综合确定系数符号或图象位置;(2)已知直线与双曲线表达式求交点坐标;(3)用待定系数法确定直线与双曲线的表达式;(4)应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等.解题时,一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识,并结合图象分析、解答问题.典例引领(1)若2k =,4b =-,则(2)若CE DE =,则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,系是解此题的关键.【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用,解析式,解题的关键是数形结合,熟练掌握相关的性质.过点⊥轴于点E,过点CB作BE x()DE=---=,证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得:1131x y =-⎧⎨=⎩,2113x y =-⎧⎨=⎩,∴()3,1A -,()1,3B -,二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式;(2)连接OA OB ,,求OAB 的面积;(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =,y =x +1(2)52AOB S =对于1y x =+,当0y =时,=1x -;当0x =∴()1,0C -,()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ (3)解:由图象可知:不等式m kx b x+<的解集为:(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)设D 为线段AC 上的一个动点(不包括图象于点E ,当CDE 的面积最大时,求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-.变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求AOB 的面积;(3)观察图象,直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】(1)先把点A 代入反比例函数解析式,即可求出(2)先求出直线y =-(3)观察函数图象即可求得不等式的解集.【详解】(1)解:∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式;(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点,求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】(1)利用点A 的坐标,代入可求出反比例函数解析式,进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式;当点P在BC上运动时,则PB∵2sin ==2PH B PB ,即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得,函数图像有最大值为(3)解:根据函数图像可得:当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点,求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;的面积;(2)求ABO(1)求a ,k 的值.(2)利用图像信息,直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2,直线CD 过点A ,与反比例函数图像交于点C ,与x 轴交于点,OA OC ,求OAC 的面积.【答案】(1)4a =,12k =;(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)在y轴上取一点N,当(3)将直线1y向下平移2围.根据函数图象可得:当11.如图,在平面直角坐标系例函数2myx=(m为常数,且(1)求反比例函数与一次函数的解析式.(1)求反比例函数的解析式;(2)点C在这个反比例函数图象上,坐标.【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形,∴==,OB AE2OE AB==45,∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形,AED∴==,DE AE4。
26.1.2反比例函数的图像与性质 (教学课件)- 初中数学人教版九年级下册

典例精析例4如下图,它是反比例函数 图象的一支,根据图象,回答下列问题:(1)图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围是什么?(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x₁,y₁) 和点B(x₂,y₂), 如果x₁>X₂, 那么 y₁ 和 y₂有怎样的大小关系? o A
3.反比例函 的图象如图所示,则k<_0, 在图象的每一支上,y 随 x 的增大而增 大4.如图,M 为反比例函 图象上的一点,MA 垂直y轴,垂足为A,△MAO 的面积为2,则k的 值 为 4 .
yA M0
642o5-2-6
5X
课堂练习
3
课堂练习5.已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函 图象交于点A(3, 司),点B(14-2a,2).(1)求反比例函数的解析式;(2)若一次函数图象与y 轴交于点C, 点 D 为点C 关于原点O 的对称点,求△A CD 的面 积 . yAC ABO X
可得 解 故一次函数的解析式为
●
课堂练习∵当x=0 时 ,y=6,C(0,6)..OC=6. ∵点D 为点C关于原点O 的对称点, ∴CD=20C=12.
板书设计反比例函数的图象和性质1.反比例函数的性质:反比例函 的图象,当k>0 时,图象位于第一、三象限, 在每一象限内,y 的值随x的增大而减小;当k<0 时,图象位于第二、四象限,y 的 值随x的增大而增大.2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交。3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形.4. 在反比例函数 的图象上任取一点,分别作坐标轴的垂线(或平行线), 与 坐标轴所围成的矩形的面积S矩形=|k|.
典例精析解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限,或 者位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限,所以另 一支必位于第三象限.因为这个函数的图象位于第一、第三象限,所以m-5>0解 得 m>5.( 2 ) 因 为m-5>0, 所以在这个函数图象的任一支上,y 都随x 的增大而减小,因此当X₁>X₂ 时 ,y₁<y₂.
反比例函数图象及性质

2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1:在反比例函数 y x 的图象上有两点(x1,y1)、
(x2,y2),若x1>x2 ,则y1>y2吗?
x 当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限, 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化?
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
反比例函数的图象与性质

反比例函数在数学学科中有着 重要的地位,是中考和高考的 重要内容之一。
02
反比例函数的图象特 征
反比例函数在坐标系中的位置
当k>0时,图象分别位于第一、三象限;
当k<0时,图象分别位于第二、四象限。
反比例函数的增减性
当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大。
反比例函数的极值
当k>0时,函数无极值;
当k<0时,在x轴上存在两个极值点,当x取这两个极值点对 应的横坐标时,y的值为无穷大。
03
反比例函数的性质
反比例函数的奇偶性
01
02
03
奇函数
反比例函数是奇函数,因 为对于所有实数x,都有 f(-x)=-f(x)。
图像对称
由于反比例函数是奇函数 ,所以它的图像关于原点 对称。
05
反比例函数与其他知 识点的联系
与一次函数的联系
斜率
反比例函数的斜率是常数,而一 次函数的斜率是变量。
截距
反比例函数没有截距,而一次函 数有截距。
函数性质
反比例函数具有单调性,而一次 函数没有单调性。
与二次函数的联系
表达式
二次函数的表达式是二次多项式,而反比例函数 的表达式是分式。
极值
二次函数有极值,而反比例函数没有极值。
图形
二次函数图像是抛物线,而反比例函数的图像是 双曲线。
在数学竞赛中的应用
代数问题
反比例函数在数学竞赛的代数问题中经常出现,如解方程、求最 值等。
几何问题
反比例函数与几何图形的结合也是数学竞赛的热点之一,如与圆、 三角形等结合。
反比例函数的图象和性质

忆一忆
面积性质(一)
y P(m,n)
oA
x
y
P(m,n)
oA
x
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(1)求反比例函数和一次函数的解析式。 (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一 次函数的值的x的取值范围。
y
M (2,m)
o
x
N (-1,-4)
求(1)一次函数的解析式
(2)根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。
y A
O
xBΒιβλιοθήκη 例:已知,关于x的一次函数
和
反比例函数
的图象都经过点(1,-
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反比例函数图象的特征及性质

性质
当x增大时,y值减小,但xy的乘积保持不变 ,等于比例系数。
对反比例函数应用的展望
01
拓展应用领域
反比例函数作为一种基本的函 数类型,在物理、化学、工程 等领域都有广泛的应用。未来 可以进一步探索其在更多领域 的应用可能性。
02
深化理论研究
虽然反比例函数的基本性质已 经比较清楚,但是关于其更深 层次的理论研究仍然有待加强 。例如,可以进一步探讨反比 例函数与其他函数类型的复合 、变换等问题。
感谢您的观看
THANKS
性质的比较
反比例函数性质
反比例函数在其定义域内是连续的,且当x趋近于0时,y趋近于无穷大或无穷小。此外,反比例函数在其定义域 内具有单调性,即当k>0时,在每个象限内随着x的增大,y值逐渐减小;当k<0时,则相反。
一次函数性质
一次函数在其定义域内是连续的,且当x趋近于无穷大或无穷小时,y也趋近于无穷大或无穷小。此外,一次函 数的斜率决定了函数的增减性,即当斜率大于0时,函数为增函数;当斜率小于0时,函数为减函数。
反比例函数的一般形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x(k ≠ 0),其中 k 是比例系数。
当 k > 0 时,反比例函数的图象位于 第一象限和第三象限;当 k < 0 时, 反比例函数的图象位于第二象限和第 四象限。
比例系数 k 决定了反比例函数的图象 特征和性质。
02
反比例函数的图象
图象的形状
反比例函数的图象是由两支分别位于第一、三象限和第二、四象限的双曲线组成。
当$k > 0$时,两支曲线分别位于第一、三象限内;当$k < 0$时,两支曲线分别位 于第二、四象限内。
在每个象限内,随着$x$的增大,$y$值逐渐减小,曲线从坐标轴附近向无限远处延 伸。
反比例函数图像和性质课件

4 4.反比例函数 y x
k 的图象经过点(2,-3), 则它的表 5.反比例函数 y 6 x y x _____. 达式为__________
复习回顾
1.反比例函数是一个怎样的图 象?
反比例函数的图象是双曲0时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
的图象有又什么共同特征?
(1)函数图象分别位于哪个象限内?
x>0时,图象在第四象限;x<0 时,图象在第二象限
(2)在每个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化?
在每一个象限内,y随x的增大而增大
知识归纳:
反比例函数
k y x
的图象,
当k>0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而减 小; 当k<0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而增 大。
o
P1 Q
x
4.如图所示:比较k1,k2,k3,k4的大小.
y=k4/x
y=k1/x
k1>k2>k3>k4
思考:
y=k3/x
y=k2/x
反比例函数y=m/x与一次函数y=kx+b交 于点A(1,8),和B(4,2),则三角形AOB的面 15 积是________
y
A B
双曲线离原点越远 k的绝对值越大 双曲线离原点越近 k的绝对值越小
在每一象限内,y随x的增大而增大
5.下列函数中y随x的值增大而减小的有( BD ) A.y=3x B.y=3/x C.y=-3/x D.y=-3x
一 象限, y随x的值增大 6.y=3/x,当x>0时图象在第______ 减小 当x<0时图象在第______ 而_____, 三 象限, y随x的值增 大而减小 ______
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6 反比例函数(特殊图形)
反比例函数与特殊图形
正方形 1.如图,正方形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y
轴的正半轴上,反比例函数 y= k (k>0)的图象经过 x
另外两个顶点 C、D,且点 D(4,n)(0<n<4), 则 k 的值为
2.正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y=
2(x
x
>0)的图象上,顶点 A1、B1 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形 P2P3A2B2,顶
点 P3 在反比例函数 y=
2 (x>0)的图象上,
x
顶点 A2 在 x 轴的正半轴上,则点 P3 的坐标为
3.如图,矩形 ABCD 的顶点 A、D 在反比例函数 y= 6 (x x >0)的图象上,顶点 C、B 分别在 x 轴、y 轴的正 半轴上,且 AB =2.再在其右侧作正方形 DEFG、FPQR BC
(如图),顶点 F、R 在反比例函数 y= 6 (x>0)的 x
图象上,顶点 E、Q 在 x 轴的正半轴上,则点 R 的 坐标为
菱形 1.如图,已知四边形 OABC 是菱形,CD⊥x 轴,垂足
为 D,函数 y= 4 的图象经过点 C,且与 AB 交于点 x
E.若 OD=2,则△OCE 的面积为
2.如图,在直角坐标系中,有菱形 OABC,A 点的坐 标为(5,0),双曲线 y= k (x>0)经过 C 点,
x
且 OB•AC=40,则 k 的值为
3.如图,已知:如图,在直角坐标系中,有菱形 OABC, A 点的坐标为(10,0),对角线 OB、AC 相交于 D 点,双曲线 y= k (x>0)经过 D 点,交 BC 的延长
x
线于 E 点,且 OB•AC=160,有下列四个结论:①双 曲线的解析式为 y= 40 (x>0);②E 点的坐标是
x
(5,8);
③sin∠COA= 4 ; ④AC+OB=12 5.其中正确的结 5
论是
平行四边形 1.如图,▱ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别是 A(-1,0), B(0,-2),顶点 C,D 在
双曲线 y= k 上,边 AD 交 y 轴于点 E,D 点横坐标为 x
2,则 k=
2.如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,BC=2AB.A, B 两点的坐标分别是(﹣1,0),(0,2),
C,D 两点在反比例函数 y= k(k<0)的图象上,则 k x
等于
.
3.如图,▱ABCD 中,A(1,0)、B(0,-2),双曲
线
y= (k x<0)过点 x
C,点
D
在
y
轴 上 ,若
S□ABCD=6,
则 k=
1.如图,平行四边形 ABOC 中,对角线交于点 E,双 曲线 y= k (k<0)经过 C、E 两点,若平行四边形 ABOC
x
的面积为 10,则 k 的值是
2.如图,平行四边形 OABC 的顶点 B,C 在第一象限, 点 A 的坐标为(3,0),点 D 为边 AB 的中点,反 比例函数 y= k (x>0)的图象经过 C,D 两点,若
x
∠COA=α ,则 k 的值等于( ) A.8sin2α B.8cos2α C.4tanα D.2tanα
3.如图,□ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别是 A(-1,0), B(0,-2),顶点 C,D 在双曲线 y= k 上,
x
边 AD 交 y 轴于点 E,且 S 四 BCDE=5S△ABE,则 k=__ __
矩形 1.已知矩形 OABC 的面积为 100 ,它的对角线 OB 与双
3
曲线 y= k 相交于点 D,且 OB:OD=5:3,则 k= x
2.如图,已知矩形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上,OC 在 y 轴上,O 为坐标原点,连接 OB;双曲线 y= k 交
x
BC 于 D,交 OB 于 E,连接 OD,若 E 是 OB 的中点, 且△OBD 的面积等于 3,则 k 的值为
3.如图,反比例函数 y=- 3(x>0)图象经过矩形 OABC x 边 AB 的中点 E,交边 BC 于 F 点,连接 EF、OE、 OF,则△OEF 的面积是
1.如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 C 在 x 轴的负半轴上,点 A 在 y 轴正半轴上,矩形 OABC 的面积为 8 2 .把矩形 OABC 沿 DE 翻折,使点 B 与 点 O 重合,点 C 落在第三象限的 G 点处,作 EH⊥x 轴于 H,过 E 点的反比例函数 y= k 图象恰好过 DE
x
的中点 F.则 k= ,线段 EH 的长为:
2.已知:如图,矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴的负半轴 上,边 OC 在 y 轴的正半轴上,且 OA=2OC,直线 y=x+b 过点 C,并且交对角线 OB 于点 E,交 x 轴于 点 D,反比例函数 y a
x
过点 E 且交 AB 于点 M,交 BC 于点 N,连接 MN、OM、 ON,若△OMN 的面积是 80 ,
9
则 a、b 的值分别为( )
A.a=2,b=3 B.a=3,b=2 C.a=-2,b=3 D.a=-3,b=2
3.如图,矩形 ABOC 在坐标系中,A(-3, 3 ),将 △ABO 沿对角线 AO 折叠后点 B 落在 B′处,则过 点 B′的双曲线的解析式为
1.如图,在直角坐标系中,正方形 OABC 的顶点 O 与 原点重合,顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上,反比
例函数 y= k (k≠0,x>0)的图象与正方形的两 x
边 AB、BC 分别交于点 M、N,ND⊥x 轴,垂足为 D, 连接 OM、ON、MN.下列结论: ①△OCN≌△OAM;②ON=MN;③四边形 DAMN 与△ MON 面积相等;④若∠MON=45°,MN=2,则点 C 的坐标为(0, 2 +1).其中正确结论的个数是 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图,两个反比例函数
y= k1 x
和
y= k2 x
(其中
k1>k2
>0)在第一象限内的图象依次是 C1 和 C2,设点 P 在 C1 上,PC⊥x 轴于点 C,交 C2 于点 A, PD⊥y 轴于点 D,交 C2 于点 B,下列说法正确的是 ()
①△ODB 与△OCA 的面积相等;②四边形 PAOB 的
面积等于 k1-k2; ③PA 与 PB 始终相等;
④当点 A 是 PC 的三等
分点时,点 B 一定是 PD 三等分点.
A.①② B.①②④ C.①④ D.①③④
3 . 如 图 ,两 个 反 比 例 函 数
y
1
=
( k1
x
其
中
k 1> 0)和
y
2=
3 x
在第一象限内的图象依次是 C1 和 C2,点 P 在 C1 上.矩形 PCOD 交 C2 于 A、B 两点,OA 的延长线交 C1 于点 E,EF 垂直 x 轴于 F 点,且图中阴影部分 面积为 13,则 EF:AC 为
1.如图,正方形 OBCD 的边长为 2,点 E 是 BC 上的中
点,点 F 是边 OD 上一点,若双曲线 y= k (x>0) x
经过点 E,交 CF 于 G,且△OBG 的面积为 5 1 ,则 OF
2
DF
的值等于
2.如图,点 A 在 x 轴正半轴上,点 C 在 y 正半轴上, 四边形 OABC 为矩形,面积为 6,双曲线 y= k (x>
x
0)交 BC 于点 M,交 AB 于点 N,连接 OB,MN,若 2OB=3MN,则 k=
直角三角形
1.已知点 A,B 分别在反比例函数 y= 2(x>0),y= 8
x
x
(x>0)的图象上且 OA⊥OB,
。